Do Liczba wymierna m/n zapisuje się jako ułamek dziesiętny; licznik należy podzielić przez mianownik. W tym przypadku iloraz zapisuje się jako skończoną lub nieskończoną część dziesiętną.
Zanotować podany numer jako ułamek dziesiętny.
Rozwiązanie. Podziel licznik każdego ułamka na kolumnę przez jego mianownik: A) podziel 6 przez 25; B) podzielić 2 przez 3; V) podziel 1 przez 2, a następnie dodaj powstały ułamek do jednego - części całkowitej tej liczby mieszanej.
Nieredukowalne ułamki zwyczajne, których mianowniki nie zawierają czynników pierwszych innych niż 2 I 5 , zapisuje się jako końcowy ułamek dziesiętny.
W Przykład 1 Kiedy A) mianownik 25=5,5; Kiedy V) mianownik wynosi 2, więc otrzymujemy końcowe miejsca po przecinku 0,24 i 1,5. Gdy B) mianownik wynosi 3, zatem wyniku nie można zapisać w postaci skończonego ułamka dziesiętnego.
Czy można bez długiego dzielenia zamienić na ułamek dziesiętny taki ułamek zwykły, którego mianownik nie zawiera innych dzielników niż 2 i 5? Rozwiążmy to! Jaki ułamek nazywa się ułamkiem dziesiętnym i zapisuje się go bez kreski ułamkowej? Odpowiedź: ułamek o mianowniku 10; 100; 1000 itd. A każda z tych liczb jest produktem równy liczba dwójek i piątek. W rzeczywistości: 10=2 ·5; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 itd.
Dlatego mianownik nieredukowalnego ułamek wspólny będzie musiał być przedstawiony jako iloczyn „dwójek” i „piątek”, a następnie pomnożony przez 2 i (lub) 5, tak aby „dwójki” i „piątki” stały się równe. Wtedy mianownik ułamka będzie równy 10, 100 lub 1000 itd. Aby mieć pewność, że wartość ułamka się nie zmieni, mnożymy licznik ułamka przez tę samą liczbę, przez którą pomnożyliśmy mianownik.
Wyraź następujące ułamki zwykłe w postaci ułamków dziesiętnych:
Rozwiązanie. Każdy z tych ułamków jest nieredukowalny. Rozwińmy mianownik każdego ułamka do czynniki pierwsze.
20=2,2,5. Wniosek: brakuje jednego „A”.
8=2·2·2. Wniosek: brakuje trzech liter „A”.
25=5,5. Wniosek: brakuje dwóch „dwójek”.
Komentarz. W praktyce często nie stosują faktoryzacji mianownika, a po prostu zadają pytanie: przez ile należy pomnożyć mianownik, aby wynik był jedynką z zerami (10 lub 100 lub 1000 itp.). A następnie licznik jest mnożony przez tę samą liczbę.
Tak na wszelki wypadek A)(przykład 2) z liczby 20 możesz uzyskać 100, mnożąc przez 5, dlatego musisz pomnożyć licznik i mianownik przez 5.
Gdy B)(przykład 2) z liczby 8 nie zostanie uzyskana liczba 100, ale liczba 1000 zostanie uzyskana poprzez pomnożenie przez 125. Zarówno licznik (3), jak i mianownik (8) ułamka mnoży się przez 125.
Gdy V)(przykład 2) z 25 otrzymasz 100, jeśli pomnożysz przez 4. Oznacza to, że licznik 8 należy pomnożyć przez 4.
Nazywa się nieskończony ułamek dziesiętny, w którym jedna lub więcej cyfr niezmiennie powtarza się w tej samej kolejności okresowy jako ułamek dziesiętny. Zbiór powtarzających się cyfr nazywany jest okresem tego ułamka. Dla uproszczenia okres ułamka zapisuje się raz, ujęty w nawiasy.
Gdy B)(przykład 1) powtarza się tylko jedna cyfra i jest równa 6. Dlatego nasz wynik 0,66... będzie zapisywany w ten sposób: 0,(6) . Czytają: punkt zerowy, kropka szósta.
Jeśli między przecinkiem a pierwszą kropką znajduje się jedna lub więcej niepowtarzających się cyfr, to jest to frakcja okresowa nazywana mieszaną frakcją okresową.
Nieredukowalny ułamek wspólny, którego mianownikiem jest razem z innymi mnożnik zawiera mnożnik 2 Lub 5 , staje się mieszany frakcja okresowa.
Zapisz liczby w postaci ułamka dziesiętnego:
Dowolną liczbę wymierną można zapisać w postaci nieskończonego okresowego ułamka dziesiętnego.
Zapisz liczby w postaci nieskończonego ułamka okresowego.
Spośród wielu ułamków występujących w arytmetyce na szczególną uwagę zasługują te, które mają w mianowniku 10, 100, 1000 - ogólnie rzecz biorąc, dowolna potęga dziesięciu. Ułamki te mają specjalną nazwę i oznaczenie.
Ułamek dziesiętny to dowolny ułamek liczbowy, którego mianownikiem jest potęga dziesięciu.
Przykłady ułamków dziesiętnych:
Dlaczego w ogóle konieczne było oddzielanie takich frakcji? Dlaczego potrzebują własną formę dokumentacja? Są ku temu co najmniej trzy powody:
- Dziesiętne dużo wygodniej jest porównywać. Pamiętaj: dla porównania zwykłe ułamki należy je od siebie odjąć, a w szczególności doprowadzić ułamki do wspólnego mianownika. W przypadku ułamków dziesiętnych nic takiego nie jest wymagane;
- Zmniejsz obliczenia. Ułamki dziesiętne są dodawane i mnożone przez własne zasady, a po krótkim szkoleniu będziesz z nimi pracować znacznie szybciej niż ze zwykłymi;
- Łatwość nagrywania. W przeciwieństwie do zwykłych ułamków zwykłych, ułamki dziesiętne są zapisywane w jednym wierszu bez utraty przejrzystości.
Większość kalkulatorów podaje również odpowiedzi w postaci ułamków dziesiętnych. W niektórych przypadkach inny format nagrywania może powodować problemy. Na przykład, co jeśli poprosisz w sklepie o resztę w wysokości 2/3 rubla :)
Zasady zapisywania ułamków dziesiętnych
Główną zaletą ułamków dziesiętnych jest wygodny i wizualny zapis. Mianowicie:
Notacja dziesiętna jest formą zapisywania ułamków dziesiętnych, gdzie cała część oddzielone od ułamka zwykłego kropką lub przecinkiem. W tym przypadku sam separator (kropka lub przecinek) nazywany jest kropką dziesiętną.
Na przykład 0,3 (czytaj: „wskaźniki zerowe, 3 dziesiąte”); 7,25 (7 całości, 25 setnych); 3,049 (3 całe, 49 tysięcznych). Wszystkie przykłady pochodzą z poprzedniej definicji.
W piśmie przecinek jest zwykle używany jako kropka dziesiętna. W tym miejscu i w dalszej części serwisu będzie również używany przecinek.
Aby zapisać dowolny ułamek dziesiętny w tej formie, musisz wykonać trzy proste kroki:
- Zapisz licznik osobno;
- Przesuń przecinek w lewo o tyle miejsc, ile jest zer w mianowniku. Załóżmy, że początkowo przecinek dziesiętny znajduje się po prawej stronie wszystkich cyfr;
- Jeżeli przecinek dziesiętny przesunął się, a po nim na końcu wpisu znajdują się zera, należy je przekreślić.
Zdarza się, że w drugim kroku w liczniku nie ma wystarczającej liczby cyfr, aby dokończyć przesunięcie. W takim przypadku brakujące pozycje uzupełniane są zerami. Ogólnie rzecz biorąc, po lewej stronie dowolnej liczby możesz przypisać dowolną liczbę zer bez szkody dla zdrowia. To brzydkie, ale czasami przydatne.
Na pierwszy rzut oka algorytm ten może wydawać się dość skomplikowany. Tak naprawdę wszystko jest bardzo, bardzo proste – wystarczy trochę poćwiczyć. Spójrz na przykłady:
Zadanie. Dla każdego ułamka podaj jego zapis dziesiętny:
Licznik pierwszego ułamka wynosi: 73. Przesuwamy przecinek dziesiętny o jedno miejsce (ponieważ mianownik wynosi 10) - otrzymujemy 7,3.
Licznik drugiego ułamka: 9. Przesuwamy przecinek dziesiętny o dwa miejsca (ponieważ mianownik wynosi 100) - otrzymujemy 0,09. Musiałem dodać jedno zero po przecinku i jeszcze jedno przed nim, żeby nie zostawić dziwnego wpisu w rodzaju „.09”.
Licznik trzeciego ułamka to: 10029. Przesuwamy przecinek dziesiętny o trzy miejsca (ponieważ mianownik wynosi 1000) - otrzymujemy 10,029.
Licznik ostatniego ułamka: 10500. Ponownie przesuwamy przecinek o trzy cyfry - otrzymujemy 10500. Na końcu liczby znajdują się dodatkowe zera. Skreśl je i otrzymamy 10,5.
Zwróć uwagę na dwa ostatnie przykłady: liczby 10.029 i 10.5. Zgodnie z przepisami zera po prawej stronie należy przekreślić, tak jak to się robi ostatni przykład. Jednakże nigdy nie powinieneś tego robić z zerami wewnątrz liczby (które są otoczone innymi liczbami). Dlatego otrzymaliśmy 10,029 i 10,5, a nie 1,29 i 1,5.
Ustaliliśmy więc definicję i formę zapisywania ułamków dziesiętnych. Dowiedzmy się teraz, jak zamienić zwykłe ułamki zwykłe na dziesiętne - i odwrotnie.
Konwersja ułamków zwykłych na dziesiętne
Rozważmy prosty ułamek liczbowy postaci a/b. Możesz skorzystać z podstawowej właściwości ułamka i pomnożyć licznik i mianownik przez taką liczbę, że dolna część będzie potęgą dziesięciu. Ale zanim to zrobisz, przeczytaj co następuje:
Istnieją mianowniki, których nie można sprowadzić do potęgi dziesięciu. Naucz się rozpoznawać takie ułamki, ponieważ nie można z nimi pracować za pomocą algorytmu opisanego poniżej.
Otóż to. Jak rozumiesz, czy mianownik jest zredukowany do potęgi dziesięciu, czy nie?
Odpowiedź jest prosta: rozłóż mianownik na czynniki pierwsze. Jeśli rozwinięcie zawiera tylko czynniki 2 i 5, liczbę tę można zmniejszyć do potęgi dziesięciu. Jeśli istnieją inne liczby (3, 7, 11 - cokolwiek), możesz zapomnieć o potędze dziesięciu.
Zadanie. Sprawdź, czy wskazane ułamki można przedstawić w postaci ułamków dziesiętnych:
Wypiszmy i rozliczmy mianowniki tych ułamków:
20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - występują tylko liczby 2 i 5. Dlatego ułamek zwykły można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego.
12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - istnieje „zabroniony” współczynnik 3. Ułamka nie można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego.
640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Wszystko jest w porządku: nie ma nic poza liczbami 2 i 5. Ułamek zwykły można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego.
48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Znów „wypłynął” czynnik 3. Nie da się go przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego.
Więc uporządkowaliśmy mianownik - teraz spójrzmy na cały algorytm przechodzenia do ułamków dziesiętnych:
- Rozważ mianownik ułamka pierwotnego i upewnij się, że ogólnie można go przedstawić jako ułamek dziesiętny. Te. sprawdź, czy w rozwinięciu występują tylko czynniki 2 i 5. W przeciwnym razie algorytm nie działa;
- Policz, ile dwójek i piątek jest w rozwinięciu (innych liczb tam nie będzie, pamiętasz?). Wybierz dodatkowy współczynnik, taki aby liczba dwójek i piątek była równa.
- Właściwie pomnóż licznik i mianownik ułamka pierwotnego przez ten współczynnik - otrzymamy pożądaną reprezentację, tj. mianownikiem będzie potęga dziesięciu.
Oczywiście dodatkowy współczynnik również zostanie rozłożony tylko na dwójki i piątki. Jednocześnie, aby nie komplikować sobie życia, należy wybrać najmniejszy ze wszystkich możliwych mnożników.
I jeszcze jedno: jeśli ułamek wyjściowy zawiera część całkowitą, koniecznie zamień ten ułamek na ułamek niewłaściwy - i dopiero wtedy zastosuj opisany algorytm.
Zadanie. Tłumaczenie danych ułamki liczbowe do dziesiętnego:
Rozłóżmy mianownik pierwszego ułamka na czynniki: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Dlatego ułamek zwykły można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego. Rozszerzenie zawiera dwie dwójki, a nie jedną piątkę, więc dodatkowy współczynnik wynosi 5 2 = 25. Dzięki niemu liczba dwójek i piątek będzie równa. Mamy:
Teraz spójrzmy na drugi ułamek. Aby to zrobić, zauważ, że 24 = 3 8 = 3 2 3 - w rozwinięciu jest potrójna, więc ułamka nie można przedstawić jako ułamka dziesiętnego.
Dwa ostatnie ułamki mają mianowniki odpowiednio 5 (liczba pierwsza) i 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - wszędzie występują tylko dwójki i piątki. Co więcej, w pierwszym przypadku „dla pełnego szczęścia” współczynnik 2 nie wystarczy, a w drugim - 5. Otrzymujemy:
Konwersja ułamków dziesiętnych na ułamki zwykłe
Odwrotna konwersja- z dziesiętnej formy zapisu na zwykłą - jest znacznie łatwiej. Nie ma tu żadnych ograniczeń ani specjalnych kontroli, więc zawsze możesz zamienić ułamek dziesiętny na klasyczny ułamek „dwupiętrowy”.
Algorytm tłumaczenia jest następujący:
- Skreśl wszystkie zera po lewej stronie przecinka oraz kropkę dziesiętną. Będzie to licznik żądanego ułamka. Najważniejsze, żeby nie przesadzić i nie przekreślać wewnętrznych zer otoczonych innymi liczbami;
- Policz, ile miejsc po przecinku jest po przecinku. Weź liczbę 1 i dodaj po prawej stronie tyle zer, ile jest znaków, które policzysz. To będzie mianownik;
- Właściwie to zapisz ułamek, którego licznik i mianownik właśnie znaleźliśmy. Jeśli to możliwe, zmniejsz go. Jeśli pierwotny ułamek zawierał część całkowitą, otrzymamy teraz ułamek niewłaściwy, co jest bardzo wygodne do dalszych obliczeń.
Zadanie. Zamień ułamki dziesiętne na zwykłe: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.
Przekreśl zera po lewej stronie i przecinki - otrzymamy następujące liczby(to będą liczniki): 8; 3107; 225; 72008.
W pierwszym i drugim ułamku są 3 miejsca po przecinku, w drugim - 2, a w trzecim - aż 4 miejsca po przecinku. Otrzymujemy mianowniki: 1000; 1000; 100; 10000.
Na koniec połączmy liczniki i mianowniki w ułamki zwykłe:
Jak widać z przykładów, uzyskaną frakcję bardzo często można zmniejszyć. Jeszcze raz zauważę, że każdy ułamek dziesiętny można przedstawić jako ułamek zwykły. Odwrotna konwersja nie zawsze jest możliwa.
§ 114. Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny.Zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny polega na znalezieniu ułamka dziesiętnego, który będzie równy podanemu ułamkowi zwykłemu. Zamieniając ułamki zwykłe na dziesiętne, napotkamy dwa przypadki:
1) kiedy ułamki zwykłe można zamienić na ułamki dziesiętne Dokładnie;
2) gdy ułamki zwykłe można zamienić tylko na ułamki dziesiętne około. Rozważmy te przypadki po kolei.
1. Jak zamienić zwykły ułamek nieredukowalny na ułamek dziesiętny, czyli innymi słowy, jak zamienić ułamek zwykły na równy mu ułamek dziesiętny?
W przypadku, gdy mogą być zwykłe ułamki Dokładnie przekonwertowane na dziesiętny, tak jest dwie drogi takie leczenie.
Przypomnijmy sobie, jak zamienić jeden ułamek na inny, równy pierwszemu, lub jak przejść z jednego ułamka na drugi, nie zmieniając wartości pierwszego. To właśnie zrobiliśmy, gdy sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika ( §86). Kiedy sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika, robimy to w następujący sposób: znaleźliśmy wspólny mianownik dla danych ułamków obliczamy dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka, a następnie mnożymy licznik i mianownik każdego ułamka przez ten współczynnik.
Zauważywszy to, weźmy nieredukowalny ułamek 3/20 i spróbujmy zamienić go na ułamek dziesiętny. Mianownik tego ułamka wynosi 20, ale należy go sprowadzić do innego mianownika, który byłby reprezentowany przez jedynkę z zerami. Będziemy szukać najmniejszego mianownika składającego się z jedynki i zer.
Pierwszy sposób zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny polega na rozłożeniu mianownika na czynniki pierwsze.
Musisz dowiedzieć się, przez jaką liczbę należy pomnożyć 20, aby iloczyn był wyrażony jako jedynka z zerami. Aby się tego dowiedzieć, musisz najpierw pamiętać, na jakie czynniki pierwsze rozkładają się liczby reprezentowane przez jeden i zera. Oto rozkłady:
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
Widzimy, że liczba reprezentowana przez jedynkę z zerami jest rozkładana tylko na dwójki i piątki i nie ma innych czynników w rozwinięciu. Ponadto w rozszerzeniu znajdują się dwójki i piątki ten sam numer. I wreszcie liczba tych i innych czynników osobno jest równa liczbie zer po jedynce na obrazie danej liczby.
Zobaczmy teraz, jak 20 rozkłada się na czynniki pierwsze: 20 = 2 2 5. Z tego jasno wynika, że w rozkładzie liczby 20 występują dwie dwójki i jedna piątka. Oznacza to, że jeśli dodamy do tych czynników jedną piątkę, otrzymamy liczbę reprezentowaną przez jedynkę z zerami. Innymi słowy, aby w mianowniku była liczba reprezentowana przez jedynkę z zerami zamiast 20, należy pomnożyć 20 przez 5, a aby wartość ułamka się nie zmieniła, należy pomnożyć jego licznik przez 5 , tj.
Zatem, aby zamienić ułamek zwykły na ułamek dziesiętny, należy rozłożyć mianownik tego ułamka zwykłego na czynniki pierwsze, a następnie wyrównać w nim liczbę dwójek i piątek, wprowadzając do niego (i oczywiście do licznika ) brakujące czynniki w wymaganej liczbie.
Zastosujmy ten wniosek do niektórych ułamków.
Zamień 3/50 na ułamek dziesiętny. Mianownik tego ułamka rozwija się w następujący sposób:
Oznacza to, że brakuje mu jednej dwójki. Dodajmy to:
Zamień 7/40 na ułamek dziesiętny.
Mianownik tego ułamka rozkłada się w następujący sposób: 40 = 2 2 2 5, tj. brakuje mu dwóch piątek. Wprowadźmy je do licznika i mianownika jako czynniki:
Z tego, co zostało powiedziane, nie jest trudno wywnioskować, które ułamki zwykłe zamieniają się dokładnie na ułamki dziesiętne. Jest całkiem oczywiste, że nieredukowalny ułamek zwyczajny, którego mianownik nie zawiera żadnych innych czynników pierwszych innych niż 2 i 5, zamienia się dokładnie na ułamek dziesiętny. Ułamek dziesiętny, który otrzymuje się przez odwrócenie ułamka zwykłego, będzie miał tyle miejsc po przecinku, ile razy w mianowniku ułamka zwykłego po jego zmniejszeniu uwzględniono dominujący liczbowo współczynnik 2 lub 5.
Jeśli weźmiemy ułamek 9/40, to po pierwsze zamieni się on w ułamek dziesiętny, ponieważ jego mianownik obejmuje czynniki 2 2 2 5, a po drugie powstały ułamek dziesiętny będzie miał 3 miejsca po przecinku, ponieważ liczbowo dominujący czynnik 2 wchodzi w ekspansję trzykrotnie. Rzeczywiście:
Drugi sposób(poprzez podzielenie licznika przez mianownik).
Załóżmy, że chcesz zamienić 3/4 na ułamek dziesiętny. Wiemy, że 3/4 to iloraz 3 podzielony przez 4. Możemy znaleźć ten iloraz, dzieląc 3 przez 4. Zróbmy to:
Zatem 3/4 = 0,75.
Inny przykład: zamień 5/8 na ułamek dziesiętny.
Zatem 5/8 = 0,625.
Aby więc zamienić ułamek zwykły na dziesiętny, wystarczy podzielić licznik ułamka przez jego mianownik.
2. Rozważmy teraz drugi z przypadków wskazanych na początku akapitu, tj. przypadek, gdy ułamka zwykłego nie można zamienić na dokładny dziesiętny.
Zwykłego nieredukowalnego ułamka, którego w mianowniku znajdują się jakiekolwiek czynniki pierwsze inne niż 2 i 5, nie można dokładnie przeliczyć na ułamek dziesiętny. W rzeczywistości na przykład ułamka 8/15 nie można zamienić na ułamek dziesiętny, ponieważ jego mianownik 15 rozkłada się na dwa czynniki: 3 i 5.
Nie możemy wyeliminować trójki z mianownika i nie możemy wybrać takiej liczby całkowitej, aby po pomnożeniu przez nią danego mianownika iloczyn wyrażał się jako jedynka z zerami.
W takich przypadkach możemy tylko rozmawiać przybliżenie Ułamki zwykłe na dziesiętne.
Jak to jest zrobione? Odbywa się to poprzez podzielenie licznika ułamka zwykłego przez mianownik, tj. w tym przypadku stosuje się drugą metodę konwersji ułamka zwykłego na ułamek dziesiętny. Oznacza to, że metodę tę stosuje się zarówno do manipulacji precyzyjnej, jak i przybliżonej.
Jeśli ułamek zwykły zostanie zamieniony dokładnie na ułamek dziesiętny, wówczas dzielenie daje końcowy ułamek dziesiętny.
Jeśli ułamek zwykły nie jest konwertowany na ułamek dokładny dziesiętny, wówczas dzielenie daje nieskończony ułamek dziesiętny.
Ponieważ nie możemy spełnić niekończący się proces dzielenie, to musimy zatrzymać dzielenie na jakimś miejscu po przecinku, czyli dokonać przybliżonego podziału. Możemy np. przestać dzielić od pierwszego miejsca po przecinku, czyli ograniczyć się do części dziesiątych; jeśli to konieczne, możemy zatrzymać się na drugim miejscu po przecinku, uzyskując części setne itp. W takich przypadkach mówimy, że zaokrąglamy nieskończony ułamek dziesiętny. Zaokrąglanie odbywa się z dokładnością wymaganą do rozwiązania tego problemu.
§ 115. Pojęcie ułamka okresowego.
Wieczysty ułamek dziesiętny, w którym jedna lub więcej cyfr niezmiennie powtarza się w tej samej kolejności, nazywany jest okresowym ułamkiem dziesiętnym. Na przykład:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
Nazywa się zbiór powtarzających się liczb okres ten ułamek. Okres pierwszego z zapisanych powyżej ułamków wynosi 3, okres drugiego ułamka wynosi 12, okres trzeciego ułamka wynosi 234. Oznacza to, że okres może składać się z kilku cyfr - jednej, dwóch, trzech itd. Pierwszy zestaw powtarzających się cyfr nazywany jest pierwszym okresem, drugi całością - drugim okresem itd., tj.
Frakcje okresowe mogą być czyste lub mieszane. Ułamek okresowy nazywa się czystym, jeśli jego okres rozpoczyna się bezpośrednio po przecinku. Oznacza to, że zapisane powyżej ułamki okresowe będą czyste. Wręcz przeciwnie, ułamek okresowy nazywany jest mieszanym, jeśli zawiera jedną lub więcej niepowtarzających się cyfr między przecinkiem a pierwszą kropką, na przykład:
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
Aby skrócić literę, numery okresów można wpisać jednorazowo w nawiasie i nie wstawiać elipsy po nawiasie, czyli zamiast 0,33... można wpisać 0,(3); zamiast 2,515151... możesz napisać 2,(51); zamiast 0,2333... możesz napisać 0,2(3); zamiast 0,8333... możesz napisać 0,8(3).
Ułamki okresowe odczytuje się w następujący sposób:
0,(3) - 0 liczb całkowitych z okresem 3.
7,2 ust. 3 - 7 liczb całkowitych, 2 przed kropką, 3 w okresie.
5,00(17) - 5 liczb całkowitych, dwa zera przed kropką, 17 w okresie.
Jak powstają ułamki okresowe? Widzieliśmy już, że przy zamianie ułamków zwykłych na dziesiętne mogą wystąpić dwa przypadki.
Po pierwsze, mianownik zwykłego frakcja nieredukowalna nie zawiera innych mnożników niż 2 i 5; w tym przypadku ułamek zwykły staje się końcowym ułamkiem dziesiętnym.
Po drugie, w mianowniku zwykłego nieredukowalnego ułamka znajdują się dowolne czynniki pierwsze inne niż 2 i 5; w tym przypadku ułamek zwykły nie zamienia się w końcowy ułamek dziesiętny. W tym ten ostatni przypadek Próba zamiany ułamka zwykłego na dziesiętny poprzez podzielenie licznika przez mianownik daje następujący wynik: nieskończony ułamek, które zawsze będą okresowe.
Aby to zobaczyć, spójrzmy na przykład. Spróbujmy zamienić ułamek zwykły 18/7 na dziesiętny.
Wiemy oczywiście z góry, że ułamka o takim mianowniku nie można zamienić na końcowy ułamek dziesiętny i mówimy tylko o przybliżonej konwersji. Podziel licznik 18 przez mianownik 7.
W iloraz mamy osiem miejsc po przecinku. Nie ma potrzeby dalszego kontynuowania podziału, bo on i tak się nie zakończy. Ale z tego jasno wynika, że dzielenie można kontynuować w nieskończoność i w ten sposób uzyskać nowe liczby w ilorazu. Te nowe liczby powstaną, ponieważ zawsze będziemy mieć resztki; ale żadna reszta nie może być większa niż dzielnik, który dla nas wynosi 7.
Zobaczmy jakie mieliśmy salda: 4; 5; 1; 3; 2; b, czyli były to liczby mniejsze niż 7. Oczywiście nie może ich być więcej niż sześć i przy dalszej kontynuacji dzielenia trzeba będzie je powtórzyć, a po nich powtórzone zostaną cyfry ilorazu. Powyższy przykład potwierdza tę tezę: miejsca po przecinku w ilorazu są w następującej kolejności: 571428, po czym ponownie pojawiają się cyfry 57. Oznacza to, że skończył się pierwszy okres i zaczął się drugi.
Zatem, nieskończony ułamek dziesiętny uzyskany przez odwrócenie ułamka zwykłego będzie zawsze okresowy.
Jeśli podczas rozwiązywania problemu napotkany zostanie ułamek okresowy, wówczas jest on pobierany z dokładnością wymaganą przez warunki problemu (do dziesiątej, setnej, tysięcznej itp.).
§ 116. Współpraca z ułamkami zwykłymi i dziesiętnymi.
Decydując różne zadania Spotkamy się z przypadkami, w których problem dotyczy zarówno ułamków zwykłych, jak i dziesiętnych.
W takich przypadkach możesz postępować na różne sposoby.
1. Zamień wszystkie ułamki zwykłe na dziesiętne. Jest to wygodne, ponieważ obliczenia na ułamkach dziesiętnych są łatwiejsze niż w przypadku zwykłych ułamków zwykłych. Na przykład,
Zamieńmy ułamki zwykłe 3/4 i 1 1/5 na dziesiętne:
2. Zamień wszystkie ułamki zwykłe na ułamki zwykłe. Najczęściej robi się to w przypadkach, gdy istnieją ułamki zwykłe, które nie zamieniają się w końcowe miejsca po przecinku.
Na przykład, 
Zamieńmy ułamki dziesiętne na zwykłe:
3. Obliczenia przeprowadza się bez zamiany niektórych ułamków na inne.
Jest to szczególnie przydatne, gdy przykład dotyczy wyłącznie mnożenia i dzielenia. Na przykład,
Przepiszmy przykład w następujący sposób:
4. W niektórych przypadkach zamień wszystkie ułamki zwykłe na dziesiętne(nawet te, które zamieniają się w okresowe) i znajdź przybliżony wynik. Na przykład,
Zamieńmy 2/3 na ułamek dziesiętny, ograniczając się do części tysięcznych.