Dzisiaj przyjrzymy się, jakie wielkości nazywane są odwrotnie proporcjonalnymi, jak wygląda wykres odwrotnej proporcjonalności i jak to wszystko może ci się przydać nie tylko na lekcjach matematyki, ale także poza szkołą.
Takie inne proporcje
Proporcjonalność podaj dwie wielkości wzajemnie od siebie zależne.
Zależność może być bezpośrednia i odwrotna. W konsekwencji zależności między wielkościami opisuje się metodą bezpośredniej i odwrotnej proporcjonalności.
Bezpośrednia proporcjonalność– jest to taka zależność pomiędzy dwiema wielkościami, w której zwiększenie lub zmniejszenie jednej z nich powoduje zwiększenie lub zmniejszenie drugiej. Te. ich postawa się nie zmienia.
Na przykład niż więcej wysiłku Im więcej wysiłku włożysz w przygotowanie się do egzaminów, tym wyższe będziesz mieć oceny. Albo im więcej rzeczy zabierzesz ze sobą na wędrówkę, tym cięższy będzie Twój plecak. Te. Ilość wysiłku włożonego w przygotowanie się do egzaminów jest wprost proporcjonalna do uzyskanych ocen. A ilość rzeczy spakowanych w plecaku jest wprost proporcjonalna do jego wagi.
Odwrotna proporcjonalność - Ten zależność funkcjonalna, w którym spadek lub wzrost jest kilkukrotny niezależna ilość(nazywa się to argumentem) powoduje proporcjonalny (tj. taką samą liczbę razy) wzrost lub spadek wielkości zależnej (nazywa się to funkcją).
Zilustrujmy prosty przykład. Chcesz kupić jabłka na rynku. Jabłka na ladzie i ilość pieniędzy w portfelu są odwrotnie proporcjonalne. Te. Im więcej jabłek kupisz, tym mniej pieniędzy Ci zostanie.
Funkcja i jej wykres
Funkcję odwrotnej proporcjonalności można opisać jako y = k/x. W którym X≠ 0 i k≠ 0.
Funkcja ta ma następujące właściwości:
- Jego dziedziną definicji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Zasięg to wszystko liczby rzeczywiste, z wyjątkiem y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Nie ma wartości maksymalnych ani minimalnych.
- Jest to dziwne, a jego wykres jest symetryczny względem początku.
- Nieokresowe.
- Jego wykres nie przecina osi współrzędnych.
- Nie ma zer.
- Jeśli k> 0 (czyli argument rośnie), funkcja maleje proporcjonalnie na każdym swoim przedziale. Jeśli k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- W miarę wzrostu argumentu ( k> 0) wartości ujemne funkcje znajdują się w przedziale (-∞; 0), a dodatnie (0; +∞). Kiedy argument maleje ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Wykres funkcji odwrotnej proporcjonalności nazywa się hiperbolą. Pokazane w następujący sposób:
Problemy odwrotnej proporcjonalności
Aby było to jaśniejsze, spójrzmy na kilka zadań. Nie są one zbyt skomplikowane, a rozwiązanie ich pomoże Ci zwizualizować sobie, czym jest odwrotna proporcjonalność i jak ta wiedza może przydać się w Twoim codziennym życiu.
Zadanie nr 1. Samochód jedzie z prędkością 60 km/h. Dotarcie do celu zajęło mu 6 godzin. Ile czasu zajmie mu pokonanie tej samej odległości, jeśli porusza się z dwukrotnie większą prędkością?
Możemy zacząć od zapisania wzoru opisującego zależność pomiędzy czasem, drogą i prędkością: t = S/V. Zgadzam się, bardzo przypomina nam to funkcję odwrotnej proporcjonalności. Wskazuje także, że czas, jaki samochód spędza na drodze, i prędkość, z jaką się porusza, są odwrotnie proporcjonalne.
Aby to sprawdzić, znajdźmy V 2, które zgodnie z warunkiem jest 2 razy większe: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Następnie obliczamy odległość korzystając ze wzoru S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz nie jest trudno znaleźć czas t 2, który jest od nas wymagany zgodnie z warunkami problemu: t 2 = 360/120 = 3 godziny.
Jak widać czas podróży i prędkość są rzeczywiście odwrotnie proporcjonalne: przy prędkości 2 razy większej niż prędkość pierwotna samochód spędzi w drodze 2 razy mniej czasu.
Rozwiązanie tego problemu można również zapisać jako proporcję. Stwórzmy więc najpierw ten diagram:
↓ 60 km/h – 6 godz
↓120 km/h – x godz
Strzałki wskazują zależność odwrotnie proporcjonalną. Sugerują też, że przy sporządzaniu proporcji należy odwrócić prawą stronę zapisu: 60/120 = x/6. Skąd mamy x = 60 * 6/120 = 3 godziny.
Zadanie nr 2. W warsztacie zatrudnionych jest 6 pracowników, którzy są w stanie wykonać zadaną ilość pracy w ciągu 4 godzin. Jeśli liczba pracowników zmniejszy się o połowę, ile czasu zajmie pozostałym pracownikom wykonanie tej samej ilości pracy?
Zapiszmy warunki problemu w formie diagramu wizualnego:
↓ 6 pracowników – 4 godziny
↓ 3 pracowników – x godz
Zapiszmy to jako proporcję: 6/3 = x/4. I otrzymujemy x = 6 * 4/3 = 8 godzin.Jeśli pracowników będzie 2 razy mniej, pozostali spędzą 2 razy więcej czasu na wykonaniu całej pracy.
Zadanie nr 3. Do basenu prowadzą dwie rury. Przez jedną rurę woda przepływa z prędkością 2 l/s i napełnia basen w ciągu 45 minut. Przez inną rurę basen napełni się w ciągu 75 minut. Z jaką prędkością woda wpływa do basenu tą rurą?
Na początek sprowadźmy wszystkie wielkości dane nam zgodnie z warunkami zadania do tych samych jednostek miary. Aby to zrobić, wyrażamy prędkość napełniania basenu w litrach na minutę: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.
Ponieważ warunek ten oznacza, że basen napełnia się wolniej przez drugą rurę, oznacza to, że natężenie przepływu wody jest mniejsze. Proporcjonalność jest odwrotna. Wyraźmy nieznaną prędkość poprzez x i narysujmy następujący wykres:
↓ 120 l/min – 45 min
↓ x l/min – 75 min
I wtedy tworzymy proporcję: 120/x = 75/45, skąd x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
W zadaniu prędkość napełniania basenu wyrażona jest w litrach na sekundę, otrzymaną odpowiedź sprowadźmy do tej samej postaci: 72/60 = 1,2 l/s.
Zadanie nr 4. Mała prywatna drukarnia drukuje wizytówki. Pracownik drukarni pracuje z szybkością 42 wizytówek na godzinę i przepracowuje cały dzień – 8 godzin. Gdyby pracował szybciej i wydrukował 48 wizytówek w godzinę, ile wcześniej mógłby wrócić do domu?
Podążamy sprawdzoną ścieżką i sporządzamy diagram zgodnie z warunkami problemu, wyznaczając pożądaną wartość jako x:
↓ 42 wizytówki/godzinę – 8 godzin
↓ 48 wizytówek/h – x godz
Z powrotem przed nami zależność proporcjonalna: ile razy więcej wizytówek drukuje pracownik drukarni w ciągu godziny, tyle samo razy mniej czasu będzie potrzebował na wykonanie tej samej pracy. Wiedząc o tym, utwórzmy proporcję:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 godzin.
Tym samym po ukończeniu pracy w 7 godzin pracownik drukarni mógł wrócić do domu godzinę wcześniej.
Wniosek
Wydaje nam się, że te problemy odwrotnej proporcjonalności są naprawdę proste. Mamy nadzieję, że teraz i Wy tak o nich myślicie. A najważniejsze jest to, że wiedza o odwrotnie proporcjonalnej zależności ilości może naprawdę przydać się więcej niż raz.
Nie tylko na lekcjach matematyki i egzaminach. Ale nawet wtedy, gdy szykujesz się do wyjazdu, na zakupy, decydujesz się dorobić w czasie wakacji itp.
Opowiedz nam w komentarzach, jakie przykłady odwrotnych i bezpośrednich relacji proporcjonalnych zauważasz wokół siebie. Niech to będzie taka gra. Zobaczysz jakie to ekscytujące. Nie zapomnij udostępnić tego artykułu na w sieciach społecznościowych aby Twoi przyjaciele i koledzy z klasy również mogli grać.
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Typy zależności
Przyjrzyjmy się ładowaniu akumulatora. Jako pierwszą wielkość przyjmijmy czas potrzebny na naładowanie. Druga wartość to czas pracy po naładowaniu. Im dłużej będziesz ładować baterię, tym dłużej będzie ona działać. Proces będzie kontynuowany aż do pełnego naładowania akumulatora.
Zależność czasu pracy akumulatora od czasu jego ładowania
Notatka 1
Ta zależność nazywa się prosty:
Wraz ze wzrostem jednej wartości rośnie także druga. Gdy jedna wartość maleje, druga również maleje.
Spójrzmy na inny przykład.
Jak więcej książek wtedy uczeń przeczyta mniej błędów zrobi to pod dyktando. Albo im wyżej wzniesiesz się w górach, tym niższe będzie ciśnienie atmosferyczne.
Uwaga 2
Ta zależność nazywa się odwracać:
Gdy jedna wartość rośnie, druga maleje. Gdy jedna wartość maleje, druga wzrasta.
Zatem na wszelki wypadek bezpośrednia zależność obie wielkości zmieniają się jednakowo (zarówno rosną, jak i maleją) oraz w przypadku odwrotna relacja– odwrotnie (jeden wzrasta, drugi maleje lub odwrotnie).
Wyznaczanie zależności pomiędzy wielkościami
Przykład 1
Czas potrzebny na odwiedzenie przyjaciela wynosi 20 $ minut. Jeśli prędkość (pierwsza wartość) wzrośnie 2 $ razy, dowiemy się, jak zmienia się czas (druga wartość), który spędzimy na drodze do przyjaciela.
Oczywiście czas skróci się o 2 $ razy.
Uwaga 3
Ta zależność nazywa się proporcjonalny:
Ile razy zmienia się jedna wielkość, ile razy zmienia się druga wielkość.
Przykład 2
Za 2 dolary bochenków chleba w sklepie trzeba zapłacić 80 rubli. Jeśli musisz kupić bochenki chleba za 4 $ (ilość chleba wzrośnie 2 $ razy), ile razy więcej będziesz musiał zapłacić?
Oczywiście koszt również wzrośnie 2 razy. Mamy przykład zależności proporcjonalnej.
W obu przykładach uwzględniono zależności proporcjonalne. Ale w przykładzie z bochenkami chleba ilości zmieniają się w jednym kierunku, zatem zależność jest taka prosty. A w przykładzie pójścia do domu przyjaciela, związek między prędkością a czasem jest taki odwracać. Tak jest zależność wprost proporcjonalna I zależność odwrotnie proporcjonalna.
Bezpośrednia proporcjonalność
Rozważmy proporcjonalne wielkości 2 $: liczbę bochenków chleba i ich koszt. Niech bochenek chleba za 2 dolary będzie kosztował 80 rubli. Jeśli liczba bułek wzrośnie 4 $ razy (bułki 8 $), ich całkowity koszt wyniesie 320 $ rubli.
Stosunek liczby bułek: $\frac(8)(2)=4$.
Stosunek kosztu bułki: $\frac(320)(80)=4$.
Jak widać, relacje te są sobie równe:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Definicja 1
Równość dwóch stosunków nazywa się proporcja.
W przypadku zależności wprost proporcjonalnej zależność uzyskuje się, gdy zmiana pierwszej i drugiej wielkości pokrywa się:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Definicja 2
Obie wielkości nazywane są wprost proporcjonalna, jeżeli gdy jedna z nich ulegnie zmianie (zwiększy się lub zmniejszy), druga wartość również ulegnie zmianie (odpowiednio zwiększeniu lub zmniejszeniu) o tę samą kwotę.
Przykład 3
Samochód przejechał 180 USD km w 2 USD godzin. Znajdź czas, w którym pokona dystans o wartości 2 $ z tą samą prędkością.
Rozwiązanie.
Czas jest wprost proporcjonalny do odległości:
$t=\frac(S)(v)$.
Ile razy zwiększy się odległość, kiedy stała prędkość, czas wzrośnie o tę samą kwotę:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Samochód przejechał 180 USD km w 2 USD godzin
Samochód przejedzie 180 $ \cdot 2 = 360 $ km - w $x$ godzinach
Jak dłuższy dystans wtedy przejedzie samochód dłuższy czas będzie mu to potrzebne. W związku z tym związek między wielkościami jest wprost proporcjonalny.
Zróbmy proporcję:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Odpowiedź: Samochód będzie potrzebował 4 $ godzin.
Odwrotna proporcjonalność
Definicja 3
Rozwiązanie.
Czas jest odwrotnie proporcjonalny do prędkości:
$t=\frac(S)(v)$.
O ile razy prędkość wzrasta, przy tej samej drodze, czas zmniejsza się o tę samą wartość:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Zapiszmy warunek problemu w formie tabeli:
Samochód przejechał 60 $ km – w 6 $ godzin
Samochód przejedzie 120 $ km – w $x$ godzin
Im większa prędkość samochodu, tym mniej czasu to zajmie. W związku z tym zależność między wielkościami jest odwrotnie proporcjonalna.
Zróbmy proporcję.
Ponieważ proporcjonalność jest odwrotna, druga zależność w proporcji jest odwrócona:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Odpowiedź: Samochód będzie potrzebował 3 $ godzin.
Podstawowe cele:
- wprowadzić pojęcie bezpośredniej i odwrotnie proporcjonalnej zależności wielkości;
- uczyć, jak rozwiązywać problemy wykorzystując te zależności;
- promować rozwój umiejętności rozwiązywania problemów;
- utrwalić umiejętność rozwiązywania równań za pomocą proporcji;
- powtórz kroki ze zwykłymi i dziesiętne;
- rozwijać logiczne myślenie studenci.
PODCZAS ZAJĘĆ
I. Samostanowienie o działaniu(Czas organizacyjny)
- Chłopaki! Dziś na lekcji zapoznamy się z problemami rozwiązywanymi za pomocą proporcji.
II. Aktualizowanie wiedzy i rejestrowanie trudności w zajęciach
2.1. Praca ustna (3 minuty)
– Znajdź znaczenie wyrażeń i znajdź słowo zaszyfrowane w odpowiedziach.
14 – s; 0,1 – i; 7 – l; 0,2 – a; 17 – w; 25 – do
– Powstałe słowo to siła. Dobrze zrobiony!
– Motto naszej dzisiejszej lekcji: Siła tkwi w wiedzy! Szukam – czyli się uczę!
– Z otrzymanych liczb utwórz proporcję. (14:7 = 0,2:0,1 itd.)
2.2. Rozważmy zależność między znanymi nam wielkościami (7 minut)
– drogę przebytą przez samochód ze stałą prędkością i czas jego ruchu: S = vt ( wraz ze wzrostem prędkości (czasu) odległość wzrasta);
– prędkość pojazdu i czas spędzony w podróży: v=S:t(wraz ze wzrostem czasu przebycia ścieżki prędkość maleje);
–
koszt towaru zakupionego w jednej cenie i jego ilość:
C = a · n (wraz ze wzrostem (spadkiem) ceny koszt zakupu wzrasta (maleje));
– cena produktu i jego ilość: a = C: n (wraz ze wzrostem ilości cena maleje)
– pole prostokąta i jego długość (szerokość): S = a · b (wraz ze wzrostem długości (szerokości) powierzchnia wzrasta;
– długość i szerokość prostokąta: a = S: b (wraz ze wzrostem długości zmniejsza się szerokość;
– liczba pracowników wykonujących jakąś pracę przy tej samej wydajności pracy i czas potrzebny na wykonanie tej pracy: t = A: n (wraz ze wzrostem liczby pracowników zmniejsza się czas poświęcony na wykonanie pracy) itp. .
Otrzymaliśmy zależności, w których przy kilkukrotnym wzroście jednej wielkości druga od razu zwiększa się o tę samą wielkość (przykłady pokazano strzałkami) oraz zależności, w których przy kilkukrotnym wzroście jednej wielkości druga wielkość maleje o tę samą liczbę razy.
Zależności takie nazywane są bezpośrednią i odwrotną proporcjonalnością.
Zależność wprost proporcjonalna– zależność, w której przy kilkukrotnym zwiększeniu (zmniejszeniu) jednej wartości druga wartość wzrasta (zmniejsza się) o tę samą kwotę.
Zależność odwrotnie proporcjonalna– zależność, w której przy kilkukrotnym zwiększeniu (zmniejszeniu) jednej wartości druga wartość maleje (zwiększa się) o tę samą kwotę.
III. Inscenizacja zadanie edukacyjne
– Jaki problem przed nami stoi? (Naucz się rozróżniać linie proste i zależności odwrotne)
- Ten - cel nasza lekcja. Teraz sformułuj temat lekcja. (Zależność bezpośrednia i odwrotna proporcjonalna).
- Dobrze zrobiony! Zapisz temat lekcji w zeszytach. (Nauczyciel zapisuje temat na tablicy.)
IV. „Odkrycie” nowej wiedzy(10 minut)
Spójrzmy na problem nr 199.
1. Drukarka drukuje 27 stron w 4,5 minuty. Ile czasu zajmie wydrukowanie 300 stron?
27 stron – 4,5 min.
300 stron - x?
2. Pudełko zawiera 48 opakowań herbat po 250 g każde. Ile opakowań 150g tej herbaty otrzymasz?
48 opakowań – 250 g.
X? – 150 gr.
3. Samochód przejechał 310 km spalając 25 litrów benzyny. Jak daleko może przejechać samochód na pełnym zbiorniku paliwa o pojemności 40 litrów?
310 km – 25 l
X? – 40 l
4. Jedno z kół zębatych sprzęgła ma 32 zęby, a drugie 40. Ile obrotów wykona drugie koło, podczas gdy pierwsze wykona 215 obrotów?
32 zęby – 315 obr.
40 zębów – x?
Aby skompilować proporcję, potrzebny jest jeden kierunek strzałek, w tym celu w odwrotnej proporcjonalności jeden stosunek zastępuje się odwrotnością.
Na tablicy uczniowie odnajdują znaczenie wielkości, na miejscu rozwiązują jedno wybrane przez siebie zadanie.
– Sformułuj regułę rozwiązywania problemów z zależnością bezpośrednią i odwrotnie proporcjonalną.
Na tablicy pojawia się tabela:
V. Pierwotna konsolidacja w mowie zewnętrznej(10 minut)
Zadania w arkuszu:
- Z 21 kg nasion bawełny uzyskano 5,1 kg oleju. Ile oleju uzyska się z 7 kg nasion bawełny?
- Aby zbudować stadion, 5 buldożerów oczyściło teren w 210 minut. Jak długo zajęłoby 7 buldożerów oczyszczenie tego miejsca?
VI. Niezależna praca z autotestem względem normy(5 minut)
Dwóch uczniów samodzielnie rozwiązuje zadanie nr 225 na ukrytych tablicach, a pozostali w zeszytach. Następnie sprawdzają działanie algorytmu i porównują je z rozwiązaniem na tablicy. Błędy są korygowane i ustalane są ich przyczyny. Jeżeli zadanie zostało wykonane poprawnie, uczniowie stawiają obok siebie znak „+”.
Studenci, którzy popełniają błędy w samodzielnej pracy, mogą skorzystać z pomocy konsultantów.
VII. Włączenie do systemu wiedzy i powtarzanie№ 271, № 270.
W zarządzie pracuje sześć osób. Po 3-4 minutach uczniowie pracujący przy tablicy prezentują swoje rozwiązania, a pozostali sprawdzają zadania i biorą udział w ich dyskusji.
VIII. Refleksja na temat aktywności (podsumowanie lekcji)
– Czego nowego nauczyłeś się na lekcji?
-Co powtórzyli?
– Jaki jest algorytm rozwiązywania problemów proporcji?
– Czy osiągnęliśmy swój cel?
– Jak oceniasz swoją pracę?
Przykład
1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 itd.Czynnik proporcjonalności
Nazywa się stałą zależnością wielkości proporcjonalnych współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pokazuje, ile jednostek jednej wielkości przypada na jednostkę drugiej.
Bezpośrednia proporcjonalność
Bezpośrednia proporcjonalność- zależność funkcjonalna, w której pewna wielkość zależy od innej wielkości w taki sposób, że ich stosunek pozostaje stały. Innymi słowy, zmienne te ulegają zmianie proporcjonalnie, V równe udziały, to znaczy, jeśli argument zmieni się dwukrotnie w dowolnym kierunku, wówczas funkcja również zmieni się dwukrotnie w tym samym kierunku.
Matematycznie bezpośrednia proporcjonalność jest zapisana jako wzór:
F(X) = AX,A = CoNST
Odwrotna proporcjonalność
Odwrotna proporcjonalność- jest to zależność funkcjonalna, w której wzrost wartości niezależnej (argumentu) powoduje proporcjonalne zmniejszenie wartości zależnej (funkcji).
Matematycznie odwrotna proporcjonalność jest zapisana jako wzór:
Właściwości funkcji:
Źródła
Fundacja Wikimedia. 2010.
- Drugie prawo Newtona
- Bariera Coulomba
Zobacz, co oznacza „Bezpośrednia proporcjonalność” w innych słownikach:
bezpośrednia proporcjonalność- - [A.S. Goldberg. Angielsko-rosyjski słownik energii. 2006] Tematyka energii w ogóle EN bezpośredni współczynnik ... Przewodnik tłumacza technicznego
bezpośrednia proporcjonalność- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. bezpośrednia proporcjonalność vok. direkte Proportionalität, f rus. bezpośrednia proporcjonalność, f pranc. proporcjonalny directe, f … Fizikos terminų žodynas
PROPORCJONALNOŚĆ- (z łac. proporcjonalny, proporcjonalny, proporcjonalny). Proporcjonalność. Słownik obcojęzyczne słowa, zawarte w języku rosyjskim. Chudinov A.N., 1910. PROPORCJONALNOŚĆ łac. proporcjonalny, proporcjonalny. Proporcjonalność. Wyjaśnienie 25000... ... Słownik obcych słów języka rosyjskiego
PROPORCJONALNOŚĆ- PROPORCJONALNOŚĆ, proporcjonalność, liczba mnoga. nie, kobieta (książka). 1. streszczenie rzeczownik do proporcjonalnego. Proporcjonalność części. Proporcjonalność ciała. 2. Taki związek między wielkościami, gdy są one proporcjonalne (patrz proporcjonalne ... Słownik Uszakowa
Proporcjonalność- Dwie wzajemnie zależne wielkości nazywane są proporcjonalnymi, jeśli stosunek ich wartości pozostaje niezmieniony Spis treści 1 Przykład 2 Współczynnik proporcjonalności ... Wikipedia
PROPORCJONALNOŚĆ- PROPORCJONALNOŚĆ i kobiecość. 1. patrz proporcjonalne. 2. W matematyce: taki związek między wielkościami, w którym wzrost jednej z nich pociąga za sobą zmianę drugiej o tę samą wielkość. Linia prosta (z podcięciem ze wzrostem o jedną wartość... ... Słownik wyjaśniający Ożegowa
proporcjonalność- I; I. 1. na Proporcjonalny (1 wartość); proporcjonalność. P. części. P. budowa ciała. P. reprezentacja w parlamencie. 2. Matematyka. Zależność pomiędzy proporcjonalnie zmieniającymi się wielkościami. Czynnik proporcjonalności. Linia bezpośrednia (w której z... ... słownik encyklopedyczny