Z praktycznego punktu widzenia największe zainteresowanie budzi użycie pochodnej do znalezienia największego i najniższa wartość Funkcje. Z czym to się wiąże? Maksymalizacja zysków, minimalizacja kosztów, ustalenie optymalnego obciążenia sprzętu... Inaczej mówiąc, w wielu obszarach życia musimy rozwiązywać problemy optymalizacji niektórych parametrów. A to są zadania znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji.
Należy zauważyć, że największych i najmniejszych wartości funkcji szuka się zwykle na pewnym przedziale X, który jest albo całą dziedziną funkcji, albo częścią dziedziny definicji. Sam przedział X może być odcinkiem, przedziałem otwartym 
, nieskończony odstęp.
W tym artykule porozmawiamy o jawnym znajdowaniu największych i najmniejszych wartości dana funkcja jedna zmienna y=f(x) .
Nawigacja strony.
Największa i najmniejsza wartość funkcji - definicje, ilustracje.
Przyjrzyjmy się pokrótce głównym definicjom.
Największa wartość funkcji 
to dla każdego 
nierówność jest prawdziwa.
Najmniejsza wartość funkcji Taką wartością nazywa się y=f(x) w przedziale X 
to dla każdego nierówność jest prawdziwa.
Definicje te są intuicyjne: największą (najmniejszą) wartością funkcji jest największa (najmniejsza) akceptowana wartość na rozpatrywanym przedziale przy odciętej.
Punkty stacjonarne– są to wartości argumentu, przy których pochodna funkcji przyjmuje wartość zero.
Dlaczego potrzebujemy punktów stacjonarnych przy znajdowaniu największych i najmniejszych wartości? Odpowiedź na to pytanie daje twierdzenie Fermata. Z twierdzenia tego wynika, że jeśli funkcja różniczkowalna ma w pewnym punkcie ekstremum (lokalne minimum lub lokalne maksimum), to punkt ten jest stacjonarny. Zatem funkcja często przyjmuje największą (najmniejszą) wartość w przedziale X w jednym ze stacjonarnych punktów tego przedziału.
Ponadto funkcja często może przyjmować swoje największe i najmniejsze wartości w punktach, w których pierwsza pochodna tej funkcji nie istnieje, a sama funkcja jest zdefiniowana.
Od razu odpowiedzmy na jedno z najczęstszych pytań w tym temacie: „Czy zawsze da się wyznaczyć największą (najmniejszą) wartość funkcji”? Nie, nie zawsze. Czasami granice przedziału X pokrywają się z granicami dziedziny definicji funkcji lub przedział X jest nieskończony. A niektóre funkcje w nieskończoności i na granicach dziedziny definicji mogą przyjmować zarówno nieskończenie duże, jak i nieskończenie małe wartości. W takich przypadkach nie można nic powiedzieć o największej i najmniejszej wartości funkcji.
Dla przejrzystości podamy ilustrację graficzną. Spójrz na zdjęcia, a wiele stanie się jaśniejsze.
Na segmencie
Na pierwszym rysunku funkcja przyjmuje największą (max y) i najmniejszą (min y) wartość punkty stacjonarne, znajdujący się wewnątrz segmentu [-6;6] .
Rozważmy przypadek pokazany na drugim rysunku. Zmieńmy segment na . W tym przykładzie najmniejszą wartość funkcji uzyskuje się w punkcie stacjonarnym, a największą w punkcie, którego odcięta odpowiada prawej granicy przedziału.
Na rysunku 3 punkty graniczne odcinka [-3;2] są odciętymi punktów odpowiadających największej i najmniejszej wartości funkcji.
W otwartej przerwie
Na czwartym rysunku funkcja przyjmuje największe (max y) i najmniejsze (min y) wartości w stacjonarnych punktach znajdujących się wewnątrz przerwa otwarta (-6;6) .
W przedziale nie można wyciągnąć żadnych wniosków na temat największej wartości.
W nieskończoności
W przykładzie pokazanym na siódmym rysunku funkcja przyjmuje najwyższa wartość(max y) w punkcie stacjonarnym o odciętej x=1, a najmniejszą wartość (min y) osiąga się na prawej granicy przedziału. Przy minus nieskończoności wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do y=3.
W tym przedziale funkcja nie osiąga ani najmniejszej, ani największej wartości. Gdy x=2 zbliża się od prawej strony, wartości funkcji dążą do minus nieskończoności (linia prosta x=2 to pionowa asymptota), a ponieważ odcięta dąży do nieskończoności, wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do y=3. Graficzną ilustrację tego przykładu pokazano na rysunku 8.
Algorytm znajdowania największych i najmniejszych wartości funkcji ciągłej w segmencie.
Napiszmy algorytm, który pozwoli nam znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w segmencie.
- Znajdujemy dziedzinę definicji funkcji i sprawdzamy, czy zawiera ona cały segment.
- Znajdujemy wszystkie punkty, w których nie istnieje pierwsza pochodna, a które mieszczą się w segmencie (zwykle takie punkty znajdują się w funkcjach z argumentem pod znakiem modułu oraz w funkcje mocy z wykładnikiem ułamkowo-wymiernym). Jeśli nie ma takich punktów, przejdź do następnego punktu.
- Wyznaczamy wszystkie punkty stacjonarne mieszczące się w obrębie odcinka. Aby to zrobić, przyrównujemy to do zera, rozwiązujemy powstałe równanie i wybieramy odpowiednie pierwiastki. Jeśli nie ma punktów stacjonarnych lub żaden z nich nie mieści się w segmencie, przejdź do następnego punktu.
- Wartości funkcji obliczamy w wybranych punktach stacjonarnych (jeśli występują), w punktach, w których nie istnieje pierwsza pochodna (jeśli występują), a także w x=a i x=b.
- Z uzyskanych wartości funkcji wybieramy największą i najmniejszą - będą to wymagane odpowiednio największe i najmniejsze wartości funkcji.
Przeanalizujmy algorytm rozwiązania przykładu, aby znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie.
Przykład.
Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji
- na segmencie ;
- na segmencie [-4;-1] .
Rozwiązanie.
Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczby rzeczywiste, z wyjątkiem zera, tj. Obydwa segmenty mieszczą się w domenie definicyjnej.
Znajdź pochodną funkcji po: 
Oczywiście pochodna funkcji istnieje we wszystkich punktach odcinków i [-4;-1].
Z równania wyznaczamy punkty stacjonarne. Jedyny prawdziwy korzeń wynosi x=2 . Ten nieruchomy punkt należy do pierwszego segmentu.
W pierwszym przypadku obliczamy wartości funkcji na końcach odcinka i w punkcie stacjonarnym, czyli dla x=1, x=2 i x=4: 
Zatem największa wartość funkcji 
osiąga się przy x=1 i najmniejszej wartości 
– przy x=2.
W drugim przypadku wartości funkcji obliczamy tylko na końcach odcinka [-4;-1] (ponieważ nie zawiera on ani jednego punktu stacjonarnego): 
Proces poszukiwania najmniejszych i największych wartości funkcji na odcinku przypomina fascynujący lot helikopterem wokół obiektu (wykresu funkcji), strzelanie w określone punkty z armaty dalekiego zasięgu i wybieranie bardzo specjalne punkty z tych punktów za strzały kontrolne. Punkty dobierane są w określony sposób i wg pewne zasady. Według jakich zasad? Porozmawiamy o tym dalej.
Jeśli funkcja y = F(X) jest ciągła na przedziale [ A, B] , następnie dociera do tego segmentu najmniej I najwyższe wartości . Może się to zdarzyć zarówno w punkty ekstremalne lub na końcach segmentu. Dlatego znaleźć najmniej I największe wartości funkcji , ciągły na przedziale [ A, B], musisz w sumie obliczyć jego wartości punkt krytyczny i na końcach odcinka, a następnie wybierz z nich najmniejszy i największy.
Załóżmy, że chcesz wyznaczyć największą wartość funkcji F(X) w segmencie [ A, B] . Aby to zrobić, musisz znaleźć wszystkie jego punkty krytyczne leżące na [ A, B] .
Punkt krytyczny zwany punktem, w którym zdefiniowana funkcja, i jej pochodna albo równa zeru, albo nie istnieje. Następnie należy obliczyć wartości funkcji w punktach krytycznych. I na koniec należy porównać wartości funkcji w punktach krytycznych i na końcach odcinka ( F(A) I F(B)). Największa z tych liczb będzie największa wartość funkcji w segmencie [A, B] .
Problemy ze znalezieniem najmniejsze wartości funkcji .
Szukamy wspólnie najmniejszych i największych wartości funkcji
Przykład 1. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji 
na segmencie [-1, 2]
.
Rozwiązanie. Znajdź pochodną tej funkcji. Przyrównajmy pochodną do zera () i uzyskajmy dwa punkty krytyczne: i . Aby znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji na danym odcinku, wystarczy obliczyć jej wartości na końcach odcinka i w punkcie, ponieważ punkt nie należy do odcinka [-1, 2]. Te wartości funkcji to: , , . Wynika, że najmniejsza wartość funkcji(zaznaczone na czerwono na poniższym wykresie), równe -7, osiąga się na prawym końcu odcinka – w punkcie , oraz największy(również czerwony na wykresie) wynosi 9, - w punkcie krytycznym.
Jeżeli funkcja jest ciągła w pewnym przedziale i przedział ten nie jest segmentem (ale jest np. przedziałem; różnica między przedziałem a odcinkiem: punkty graniczne przedziału nie są wliczane do przedziału, ale punkty graniczne odcinka wchodzą w skład odcinka), to wśród wartości funkcji może nie być najmniejszej i największej. Zatem np. funkcja pokazana na poniższym rysunku jest ciągła w zakresie ]-∞, +∞[ i nie ma największej wartości.
Jednakże dla dowolnego przedziału (zamkniętego, otwartego lub nieskończonego) prawdziwa jest następująca właściwość funkcji ciągłych.
Przykład 4. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie [-1, 3] .
Rozwiązanie. Pochodną tej funkcji znajdujemy jako pochodną ilorazu:
.
Przyrównujemy pochodną do zera, co daje nam jeden punkt krytyczny: . Należy do segmentu [-1, 3] . Aby znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji na danym odcinku, znajdujemy jej wartości na końcach odcinka oraz w znalezionym punkcie krytycznym:
Porównajmy te wartości. Wniosek: równy -5/13, w punkcie i najwyższa wartość równy 1 w punkcie .
Nadal wspólnie szukamy najmniejszych i największych wartości funkcji
Są nauczyciele, którzy na temat znajdowania najmniejszych i największych wartości funkcji nie dają uczniom do rozwiązania przykładów bardziej złożonych niż te właśnie omówione, czyli takich, w których funkcja jest wielomianem lub ułamek, którego licznik i mianownik są wielomianami. Ale nie będziemy ograniczać się do takich przykładów, ponieważ wśród nauczycieli są tacy, którzy lubią zmuszać uczniów do pełnego myślenia (tabela derywatów). Dlatego użyte zostaną logarytm i funkcja trygonometryczna.
Przykład 6. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie .
Rozwiązanie. Znajdujemy pochodną tej funkcji jako pochodna produktu :
Przyrównujemy pochodną do zera, co daje jeden punkt krytyczny: . Należy do segmentu. Aby znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji na danym odcinku, odnajdujemy jej wartości na końcach odcinka oraz w znalezionym punkcie krytycznym:
Wynik wszystkich działań: funkcja osiąga wartość minimalną, równy 0, w punkcie i w punkcie i najwyższa wartość, równy mi², w punkcie.
Przykład 7. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji 
na segmencie .
Rozwiązanie. Znajdź pochodną tej funkcji:
Przyrównujemy pochodną do zera:
Jedyny punkt krytyczny należy do segmentu. Aby znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji na danym odcinku, odnajdujemy jej wartości na końcach odcinka oraz w znalezionym punkcie krytycznym:
Wniosek: funkcja osiąga wartość minimalną, równe , w punkcie i najwyższa wartość, równy , w punkcie .
W stosowanych problemach ekstremalnych znalezienie najmniejszych (maksymalnych) wartości funkcji z reguły sprowadza się do znalezienia minimum (maksimum). Ale to nie same minima i maksima są bardziej interesujące w praktyce, ale wartości argumentu, przy których są one osiągane. Powstaje przy rozwiązywaniu stosowanych problemów dodatkowa trudność- zestawienie funkcji opisujących rozpatrywane zjawisko lub proces.
Przykład 8. Zbiornik o pojemności 4, mający kształt równoległościanu podstawa kwadratowa i otwórz od góry, musisz go ocynować. Jakie powinien mieć wymiary zbiornik aby zmieścił się najmniejsza ilość materiał?
Rozwiązanie. Pozwalać X- strona podstawy, H- wysokość zbiornika, S- jego powierzchnia bez osłony, V- jego objętość. Powierzchnię zbiornika wyraża się wzorem tj. jest funkcją dwóch zmiennych. Wyrazić S jako funkcję jednej zmiennej używamy faktu, że , skąd . Podstawianie znalezionego wyrażenia H do wzoru na S:
Zbadajmy tę funkcję aż do jej ekstremum. Jest zdefiniowany i różniczkowalny wszędzie w ]0, +∞[ i
.
Przyrównujemy pochodną do zera () i znajdujemy punkt krytyczny. Dodatkowo, gdy pochodna nie istnieje, ale wartość ta nie wchodzi w zakres definicji i dlatego nie może być punktem ekstremalnym. Jest to zatem jedyny krytyczny punkt. Sprawdźmy to pod kątem obecności ekstremum, korzystając z drugiego znaku wystarczającego. Znajdźmy drugą pochodną. Gdy druga pochodna jest większa od zera (). Oznacza to, że gdy funkcja osiągnie minimum 
. Od tego minimum jest jedynym ekstremum tej funkcji, jest to jej najmniejsza wartość. Zatem bok podstawy zbiornika powinien wynosić 2 m, a jego wysokość powinna wynosić .
Przykład 9. Z punktu A zlokalizowanej na linii kolejowej, do p Z, położony w pewnej odległości od niego l, ładunek musi zostać przetransportowany. Koszt transportu jednostki masy na jednostkę odległości koleją jest równy , a autostradą równy . Do jakiego momentu M linie kolej żelazna należy zbudować autostradę, z której będzie można transportować ładunki A V Z był najbardziej ekonomiczny (sekcja AB zakłada się, że linia kolejowa jest prosta)?
Największą (najmniejszą) wartością funkcji jest największa (najmniejsza) przyjęta wartość rzędnej w rozpatrywanym przedziale.
Aby znaleźć największą lub najmniejszą wartość funkcji, należy:
- Sprawdź, które punkty stacjonarne wchodzą w skład danego odcinka.
- Oblicz wartość funkcji na końcach odcinka i w punktach stacjonarnych z kroku 3
- Spośród uzyskanych wyników wybierz największą lub najmniejszą wartość.
Aby znaleźć maksymalną lub minimalną liczbę punktów, musisz:
- Znajdź pochodną funkcji $f"(x)$
- Znajdź punkty stacjonarne rozwiązując równanie $f"(x)=0$
- Rozważ pochodną funkcji.
- Narysuj linię współrzędnych, umieść na niej punkty stacjonarne i wyznacz znaki pochodnej w otrzymanych przedziałach, korzystając z zapisu z kroku 3.
- Znajdź maksimum lub minimum punktów zgodnie z zasadą: jeśli w punkcie pochodna zmieni znak z plusa na minus, to będzie to punkt maksymalny (jeśli z minus na plus, to będzie to punkt minimalny). W praktyce wygodnie jest stosować obraz strzałek na przedziałach: na przedziale, w którym pochodna jest dodatnia, strzałka jest rysowana w górę i odwrotnie.
Tabela pochodnych niektórych funkcji elementarnych:
| Funkcjonować | Pochodna |
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n, n∈N$ | $nx^(n-1), n∈N$ |
| $(1)/(x)$ | $-(1)/(x^2)$ |
| $(1)/x(^n), n∈N$ | $-(n)/(x^(n+1)), n∈N$ |
| $√^n(x), n∈N$ | $(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$ |
| $sinx$ | $cosx$ |
| $cosx$ | $-sinx$ |
| $tgx$ | $(1)/(cos^2x)$ |
| $ctgx$ | $-(1)/(sin^2x)$ |
| $cos^2x$ | $-grzech2x$ |
| $grzech^2x$ | $grzech2x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^xlna$ |
| $lnx$ | $(1)/(x)$ |
| $log_(a)x$ | $(1)/(xlna)$ |
Podstawowe zasady różniczkowania
1. Pochodna sumy i różnicy jest równa pochodnej każdego wyrazu
$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$
Znajdź pochodną funkcji $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$
Pochodna sumy i różnicy jest równa pochodnej każdego wyrazu
$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$
2. Pochodna produktu.
$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$
Znajdź pochodną $f(x)=4x∙cosx$
$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$
3. Pochodna ilorazu
$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$
Znajdź pochodną $f(x)=(5x^5)/(e^x)$
$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$
4. Pochodna złożona funkcja równy iloczynowi pochodnej funkcja zewnętrzna do pochodnej funkcji wewnętrznej
$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$
$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - grzech(5x)∙5= -5sin(5x)$
Znajdź minimalny punkt funkcji $y=2x-ln(x+11)+4$
1. Znajdź ODZ funkcji: $x+11>0; x>-11$
2. Znajdź pochodną funkcji $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$
3. Znajdź punkty stacjonarne przyrównując pochodną do zera
$(2x+21)/(x+11)=0$
Ułamek jest równy zero, jeśli licznik równy zeru, a mianownik nie jest zerem
$2x+21=0; x≠-11$
4. Narysujmy linię współrzędnych, umieść na niej punkty stacjonarne i wyznaczmy znaki pochodnej w otrzymanych przedziałach. Aby to zrobić, podstaw dowolną liczbę z prawego obszaru do pochodnej, na przykład zero.
$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$
5. W punkcie minimalnym pochodna zmienia znak z minus na plus, zatem punktem minimalnym jest punkt $-10,5$.
Odpowiedź: $-10,5 $
Znajdź największą wartość funkcji $y=6x^5-90x^3-5$ na odcinku $[-5;1]$
1. Znajdź pochodną funkcji $y′=30x^4-270x^2$
2. Przyrównaj pochodną do zera i znajdź punkty stacjonarne
30x^4-270x^2=0$
Wyciągniemy to wspólny mnożnik 30x^2$ w nawiasach
30x^2(x^2-9)=0$
30x^2(x-3)(x+3)=0$
Przyrównajmy każdy czynnik do zera
$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$
$x=0;x=3;x=-3$
3. Wybierz punkty stacjonarne, do których należą dany segment $[-5;1]$
Odpowiadają nam punkty stacjonarne $x=0$ i $x=-3$
4. Oblicz wartość funkcji na końcach odcinka i w punktach stacjonarnych z kroku 3