Dengan polinomial, seperti yang lain ungkapan algebra, boleh dihasilkan pelbagai tindakan. Mari kita fikirkan cara menambah dan menolak polinomial.
Biarkan dua polinomial diberikan. Untuk menambahkannya, tuliskannya dalam kurungan dan letakkan tanda tambah di antaranya. Kemudian kami membuka kurungan dan membentangkan istilah yang serupa. Apabila menolak, kami meletakkan tanda tolak di antara kurungan.
Kami membukanya dengan kurungan dan mengemukakan istilah yang serupa. Jika terdapat tanda tambah di hadapan kurungan, maka dengan membuka kurungan kita mengekalkan tanda setiap monomial yang termasuk dalam polinomial yang disertakan dalam kurungan. Jika terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, maka, membuka kurungan, anda harus menggantikan tanda setiap monomial yang termasuk dalam polinomial yang disertakan dalam kurungan.
Untuk membawa istilah yang serupa, anda perlu menambah pekali monomial yang serupa, dan kemudian darabkan nombor yang terhasil dengan ungkapan huruf.
Contoh
Mari kita lihat contoh.
Diberi dua polinomial x^3 +5*x^2 - 4*x + 5 dan -x^3 + 3*x^2 - x + 2. Cari hasil tambah dan beza polinomial ini.
(x^3 +5*x^2 - 4*x + 5) + (-x^3 + 3*x^2 - x + 2) =
x^3 +5*x^2 - 4*x + 5 - x^3 + 3*x^2 - x + 2 =
8*x^2 - 5*x + 7.
(x^3 +5*x^2 - 4*x + 5) - (-x^3 + 3*x^2 - x + 2) =
x^3 +5*x^2 - 4*x + 5 + x^3 - 3*x^2 + x - 2 =
2*x^3 + 2*x^2 -3*x +1.
Jumlah algebra bagi polinomial
Perlu diingat bahawa x^3 - x^3 = 0. Dan oleh itu, apabila menambah, monomial x^3 hilang. Dalam kes ini, istilah x^3 dan -x^3 dikatakan membatalkan satu sama lain. Seperti yang anda lihat, penambahan dan penolakan polinomial dijalankan mengikut peraturan yang sama. Dalam kes ini, tidak perlu menggunakan istilah "penambahan polinomial" atau "perbezaan polinomial." Mereka boleh digantikan dengan satu ungkapan - "jumlah algebra polinomial."
Anda boleh menulis peraturan am mencari hasil tambah algebra bagi beberapa polinomial.
Untuk mencari jumlah algebra beberapa polinomial, yang ditulis dalam bentuk piawai, adalah perlu untuk membuka kurungan dan membawa istilah yang serupa.
Pada masa yang sama, jika terdapat tanda tambah di hadapan kurungan, maka apabila membuka kurungan, tanda di hadapan syarat mesti dibiarkan tidak berubah. Sekiranya terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, maka apabila membuka kurungan, tanda di hadapan syarat mesti diganti dengan yang bertentangan. "Tambah" kepada "tolak", dan "tolak" kepada "tambah".
Operasi tambah dan tolak ialah operasi asas dalam banyak kes menyelesaikan masalah algebra. Dalam video ini kita akan melihat prinsip asas bekerja dengan polinomial.
Sebagai permulaan, mari kita ingat bahawa polinomial ialah ungkapan yang terdiri daripada beberapa monomial atau monomial yang berbeza. Selain itu, setiap monomial tersebut mewakili sama ada nilai angka, atau pembolehubah. Kadangkala pembolehubah dikumpulkan mengikut pendaraban atau pembahagian, dan mungkin juga mempunyai pekali berangkanya sendiri.
Dalam kuliah video sebelumnya, kami melihat untuk mengurangkan istilah yang serupa - memudahkan sebarang polinomial kepada pandangan standard. Perlu segera memasukkan kenyataan bahawa tindakan sedemikian saling berkaitan secara langsung dengan operasi tambah dan tolak dalam satu polinomial. Tetapi dalam kes ini operasi algebra dengan beberapa polinomial, penyederhanaan awal mungkin tidak diperlukan dan merumitkan masalah. Adalah lebih tepat untuk menyeragamkan polinomial akhir. Lagipun, lebih banyak monomial dalam polinomial, lebih mudah untuk mencari istilah yang serupa. Oleh itu, jika tugasnya adalah untuk menambah atau menolak dua polinomial, anda tidak seharusnya segera mengurangkannya kepada bentuk standard.
DALAM algebra linear Adalah menjadi kebiasaan untuk menulis polinomial dalam siri yang sama dalam kurungan berasingan. Ini membantu untuk mendedahkan tanda dengan betul. Jadi, jika kita mempunyai dua polinomial, maka kita menulisnya dalam satu siri dan meletakkan tanda perlu antara kurungan:
(a 2 + c 3 - 7) + (3a 2 - 2c 3 +3)
Untuk menyelesaikan ungkapan yang diberikan cukuplah sekadar menjalankan perkara biasa penambahan algebra. Untuk melakukan ini, buka kurungan, dengan mengingati peraturan untuk memelihara tanda. Apabila menambah (apabila terdapat tambah), semua tanda dikekalkan tidak berubah; Kami menulis ungkapan dalam bentuk baharu:
a 2 + c 3 - 7 + 3a 2 - 2c 3 +3 =
4a 2 - 1c 3 - 4 = 4a 2 - s 3 - 4
Kami memproses polinomial yang terhasil mengikut peraturan pengurangan istilah yang serupa, cari pembolehubah sepunya, kurangkan segala-galanya maksud yang serupa. Kadangkala kita menggunakan penambahan atau penolakan secara berperingkat untuk monomial tertentu. Akibatnya, ungkapan kami dikurangkan kepada bentuk standard, iaitu jawapan kepada diberi contoh. Perlu difahami bahawa, secara formal, jumlah polinomial, dalam dalam kes ini, ialah ungkapan:
a 2 + c 3 - 7 + 3a 2 - 2c 3 +3
Ia tidak akan dianggap sebagai ralat jika anda menunjukkannya dalam jawapan. Tetapi, mengikut undang-undang algoritma pengiraan algebra, jawapan akhir untuk operasi dengan polinomial harus dipermudahkan sebanyak mungkin, i.e. dikurangkan kepada bentuk piawai.
Operasi tolak dijalankan dengan cara yang sama, hanya dengan mengambil kira fakta bahawa tanda tolak di hadapan kurungan akan menukar tanda di dalam:
(a 2 + c 3 - 7) - (3a 2 - 2c 3 +3) =
A 2 + c 3 - 7 - 3a 2 + 2c 3 - 3=
2a 2 + 3c 3 - 10
Dalam polinomial kedua (ditolak) tanda-tanda terbalik sepenuhnya kerana tolak: pada makna yang bertentangan. Selepas itu algoritma penyelesaian adalah sama sepenuhnya dengan penjumlahan (yang sebenarnya, adalah apa yang mengurangkan polinomial kepada bentuk piawai).
Kadang-kadang dalam beberapa tugas perlu dilakukan tindakan terbalik- membuat jumlah atau perbezaan tertentu daripada polinomial. Ini mungkin diperlukan untuk penyelesaian selanjutnya, dan syarat untuk membelah polinomial ditetapkan oleh realiti masalah itu sendiri. Sebagai contoh, anda memerlukan ungkapan seperti:
3a 2 - 2c 3 +3
Tugas dalam kes ini ialah yang berikut: kemukakan ungkapan sebagai jumlah polinomial, salah satunya ialah 3a 2. Ini mudah dilakukan dengan menyerlahkan polinomial yang ditentukan dalam kurungan. Pada masa yang sama, anda tidak perlu menukar tanda, kerana tambah membolehkan anda melakukan ini:
3а 2 + (- 2с 3 +3)
Jika anda memerlukan perbezaan polinomial, salah satunya ialah 3a 2, maka anda bukan sahaja perlu mengasingkan polinomial dalam kurungan, tetapi juga meletakkan tolak, yang menyongsangkan tanda dalam polinomial kedua:
3a 2 - (2c 3 -3)
Oleh itu, masalah yang melibatkan penambahan atau penolakan polinomial boleh diselesaikan dengan mudah jika anda mahir menggunakan sifat penambahan algebra.
Di antara pelbagai ungkapan yang dipertimbangkan dalam algebra, jumlah monomial menduduki tempat yang penting. Berikut adalah contoh ungkapan tersebut:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Jumlah monomial dipanggil polinomial. Istilah dalam polinomial dipanggil istilah polinomial. Monomial juga dikelaskan sebagai polinomial, menganggap monomial sebagai polinomial yang terdiri daripada satu ahli.
Contohnya, polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
boleh dipermudahkan.
Marilah kita mewakili semua istilah dalam bentuk monomial bentuk piawai:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Mari kita kemukakan istilah yang serupa dalam polinomial yang terhasil:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya ialah polinomial, yang kesemuanya adalah monomial dalam bentuk piawai, dan di antaranya tidak ada yang serupa. Polinomial sedemikian dipanggil polinomial bentuk piawai.
Untuk darjah polinomial dalam bentuk standard mengambil kuasa tertinggi ahli-ahlinya. Oleh itu, binomial \(12a^2b - 7b\) mempunyai darjah ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6\) mempunyai darjah kedua.
Lazimnya, istilah polinomial bentuk piawai yang mengandungi satu pembolehubah disusun dalam susunan menurun bagi eksponen darjahnya. Contohnya:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Jumlah beberapa polinomial boleh diubah (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai.
Kadangkala istilah polinomial perlu dibahagikan kepada kumpulan, melampirkan setiap kumpulan dalam kurungan. Memandangkan melampirkan kurungan ialah penjelmaan songsang kurungan pembukaan, ia mudah untuk dirumuskan peraturan untuk membuka kurungan:
Jika tanda “+” diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang sama.
Jika tanda "-" diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang bertentangan.
Transformasi (pemudahan) hasil darab monomial dan polinomial
Dengan menggunakan harta pengagihan pendaraban boleh ditukar (dipermudahkan) kepada polinomial, hasil darab monomial dan polinomial. Contohnya:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Hasil darab monomial dan polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab monomial ini dan setiap sebutan polinomial itu.
Keputusan ini biasanya dirumuskan sebagai peraturan.
Untuk mendarab monomial dengan polinomial, anda mesti mendarab monomial itu dengan setiap sebutan polinomial itu.
Kami telah menggunakan peraturan ini beberapa kali untuk mendarab dengan jumlah.
Hasil daripada polinomial. Penjelmaan (pemudahan) hasil darab dua polinomial
Secara amnya, hasil darab dua polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap sebutan satu polinomial dan setiap sebutan yang lain.
Biasanya peraturan berikut digunakan.
Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan yang lain dan menambah hasil darab.
Rumus pendaraban yang disingkatkan. Jumlah kuasa dua, perbezaan dan perbezaan kuasa dua
Dengan beberapa ungkapan dalam transformasi algebra perlu berurusan dengan lebih kerap daripada orang lain. Mungkin ungkapan yang paling biasa ialah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), iaitu kuasa dua hasil tambah, kuasa dua bagi perbezaan dan perbezaan segi empat sama. Anda perasan bahawa nama ungkapan ini nampaknya tidak lengkap, contohnya, \((a + b)^2 \) sudah tentu, bukan hanya kuasa dua jumlah, tetapi kuasa dua jumlah a dan b . Walau bagaimanapun, kuasa dua jumlah a dan b tidak berlaku dengan kerap, bukannya huruf a dan b, ia mengandungi pelbagai, kadangkala agak kompleks, ungkapan.
Ungkapan \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) boleh ditukar dengan mudah (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai, sebenarnya, anda telah pun menghadapi tugas sedemikian apabila mendarab polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Adalah berguna untuk mengingati identiti yang terhasil dan menerapkannya tanpa pengiraan perantaraan. Rumusan lisan ringkas membantu ini.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuasa dua jumlah sama dengan jumlah segi empat sama dan dua kali ganda hasil darab.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuasa dua perbezaan adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua tanpa hasil darab.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - perbezaan segi empat sama adalah sama dengan hasil darab beza dan hasil tambah.
Ketiga-tiga identiti ini membolehkan seseorang menggantikan bahagian kirinya dengan tangan kanan dalam transformasi dan sebaliknya - bahagian tangan kanan dengan tangan kiri. Perkara yang paling sukar ialah melihat ungkapan yang sepadan dan memahami bagaimana pembolehubah a dan b digantikan di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan.
Katakan kita perlu menambah monomial:
Ungkapan yang terhasil ialah jumlah algebra. Mengikut syarat yang diperkenalkan (§ 16), kita boleh meninggalkan tanda tambah di mana-mana dan menulis secara ringkas:
Terdapat dua istilah yang serupa dalam ungkapan ini.
Mari kita bentangkannya dan pada masa yang sama susun polinomial dalam kuasa menurun berkenaan dengan x:
(Semak dengan menggantikan monomial ini dan ke dalam jumlah nilai yang terhasil:
Jadi kita boleh memperoleh peraturan berikut:
Untuk menambah monomial, cukup untuk menulisnya (sebagai jumlah algebra) satu demi satu dengan tandanya.
Jika ungkapan yang terhasil mengandungi istilah yang serupa, maka ia mesti diberikan.
2. Penambahan polinomial.
Jom selesaikan masalah. Satu bakul mengandungi x epal, satu lagi mempunyai y lebih banyak epal daripada yang pertama, dan yang ketiga mempunyai 27 epal kurang daripada yang kedua. Berapakah bilangan epal yang terdapat dalam ketiga-tiga bakul itu?
1) Terdapat x epal dalam bakul pertama.
2) Terdapat epal dalam bakul kedua.
3) Terdapat epal dalam bakul ketiga.
4) Terdapat epal dalam tiga bakul.
Jawapan yang terhasil ialah hasil tambah satu monomial dan dua polinomial.
Mari permudahkan jawapan ini. Kita tahu bahawa setiap ungkapan adalah jumlah algebra. Oleh itu, menggunakan peraturan menambah jumlah, kita boleh menulis:
Selepas membawa istilah yang sama akhirnya kami mendapat:
Tentukan berapa banyak epal di dalam bakul jika:
Ini bermakna kita boleh memperoleh peraturan berikut untuk menambah polinomial:
Untuk menambah polinomial, anda perlu menyimpan secara berurutan (dalam bentuk jumlah algebra) semua istilahnya dengan tandanya.
Jika ungkapan yang terhasil mengandungi istilah yang serupa, ia mesti diberikan.
3. Mengembangkan kurungan.
Apabila membuat keputusan tugasan sebelumnya Saya terpaksa membuka kurungan, yang setiap satunya mempunyai tanda pluo di hadapannya. Jadi kita boleh membuat kesimpulan:
Untuk membuka kurungan yang didahului dengan tanda tambah, anda perlu menulis semua istilah dalam kurungan tanpa kurungan, dengan tandanya.
Nota. Jika ungkapan bermula dengan kurungan tanpa sebarang tanda di hadapannya, tanda tambah tersirat, sebagai contoh:
4. Kurungan.
Kadang-kadang perlu, sebaliknya, untuk menyertakan polinomial atau sebahagian daripadanya dalam kurungan. Inilah yang kami lakukan semasa menghantar istilah yang serupa (lihat contoh dalam perenggan sebelumnya). Mari kita ambil contoh ini. Katakan kita perlu mengira ungkapan:
Jelas sekali, di sini adalah lebih menguntungkan untuk terlebih dahulu menolak 238 daripada 258 dan menambah perbezaan 20 kepada 136. Pengiraan dilakukan dengan mudah dan cepat dalam fikiran. Untuk menunjukkan ini, mari sertakan istilah kedua dan ketiga dalam kurungan:
Katakan secara umum anda perlu menyertakan polinomial atau sebahagian daripadanya dalam kurungan dan meletakkan tanda tambah di hadapan kurungan. Kami akan dipandu oleh peraturan berikut:
Untuk melampirkan polinomial dalam kurungan dengan tanda tambah di hadapannya, anda perlu menulis semua istilah polinomial dengan tandanya dalam kurungan:
Adalah mudah untuk mengesahkan ketepatan kesamaan ini dengan membuka kurungan mengikut peraturan yang ditetapkan dalam perenggan 3.
5. Penambahan polinomial tersusun.
Jika polinomial disusun dalam kuasa huruf yang sama (kedua-duanya menaik atau kedua-duanya menurun), maka lebih mudah untuk menambahnya seperti berikut: menandatangani satu polinomial di bawah yang lain supaya istilah yang serupa terletak satu di bawah yang lain; selepas ini, mereka segera mengurangkan istilah yang sama dan menulis keputusan akhir.
Penambahan polinomial tersusun juga dilakukan apabila ia mengandungi lebih daripada satu huruf.
