Takrifkan monomial. Mengurangkan monomial kepada bentuk piawai, contoh, penyelesaian

Definisi 3.3. Monomial dipanggil ungkapan yang merupakan hasil darab nombor, pembolehubah dan kuasa dengan penunjuk semula jadi.

Sebagai contoh, setiap ungkapan,
,
ialah monomial.

Mereka mengatakan bahawa monomial mempunyai pandangan standard , jika ia mengandungi hanya satu faktor berangka di tempat pertama, dan setiap hasil darab pembolehubah yang serupa di dalamnya diwakili oleh satu darjah. Faktor berangka monomial yang ditulis dalam bentuk piawai dipanggil pekali monomial . Dengan kuasa monomial dipanggil jumlah eksponen semua pembolehubahnya.

Definisi 3.4. Polinomial dipanggil jumlah monomial. Monomial yang membentuk polinomial dipanggilahli polinomial .

Istilah serupa - monomial dalam polinomial - dipanggil sebutan yang serupa bagi polinomial .

Definisi 3.5. Polinomial bentuk piawai dipanggil polinomial di mana semua istilah ditulis dalam bentuk piawai dan sebutan serupa diberikan.Darjah polinomial bentuk piawai dipanggil kuasa terbesar monomial yang termasuk di dalamnya.

Sebagai contoh, ialah polinomial bentuk piawai darjah keempat.

Tindakan ke atas monomial dan polinomial

Jumlah dan perbezaan polinomial boleh ditukar kepada polinomial bentuk piawai. Apabila menambah dua polinomial, semua sebutan mereka ditulis dan sebutan serupa diberikan. Apabila menolak, tanda-tanda semua sebutan polinomial yang ditolak diterbalikkan.

Sebagai contoh:

Istilah polinomial boleh dibahagikan kepada kumpulan dan disertakan dalam kurungan. Memandangkan ini adalah penjelmaan yang sama songsang dengan pembukaan kurungan, yang berikut ditubuhkan peraturan kurungan: jika tanda tambah diletakkan sebelum kurungan, maka semua istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tandanya; Jika tanda tolak diletakkan di hadapan kurungan, maka semua istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang bertentangan.

Sebagai contoh,

Peraturan untuk mendarab polinomial dengan polinomial: Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, sudah cukup untuk mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan polinomial yang lain dan menambah hasil darab yang terhasil.

Sebagai contoh,

Definisi 3.6. Polinomial dalam satu pembolehubah darjah dipanggil ungkapan bentuk

di mana
- sebarang nombor yang dipanggil pekali polinomial , dan
,– integer bukan negatif.

Jika
, maka pekali dipanggil pekali utama bagi polinomial
, monomial
- miliknya ahli senior , pekali – ahli percuma .

Jika bukan pembolehubah kepada polinomial
gantikan nombor nyata , maka hasilnya akan menjadi nombor nyata
yang dipanggil nilai polinomial
di
.

Definisi 3.7. Nombor dipanggilpunca polinomial
, Jika
.

Pertimbangkan membahagi polinomial dengan polinomial, di mana
Dan - integer. Pembahagian adalah mungkin jika darjah dividen polinomial adalah
Tidak kurang ijazah polinomial pembahagi
, itu dia
.

Bahagikan polinomial
kepada polinomial
,
, bermakna mencari dua polinomial tersebut
Dan
, kepada

Dalam kes ini, polinomial
darjah
dipanggil polinomial-quotient ,
– peringatan ,
.

Catatan 3.2. Jika pembahagi
–bukan polinomial sifar, maka pembahagian
pada
,
, sentiasa boleh dilaksanakan, dan hasil bagi dan baki ditentukan secara unik.

Catatan 3.3. Dalam kes
di hadapan semua orang , itu dia

mereka mengatakan bahawa ia adalah polinomial
terbahagi sepenuhnya(atau saham)kepada polinomial
.

Pembahagian polinomial dilakukan sama seperti pembahagian nombor berbilang digit: pertama, istilah utama polinomial dividen dibahagikan dengan sebutan utama polinomial pembahagi, kemudian hasil bagi daripada pembahagian istilah ini, yang akan menjadi sebutan utama bagi polinomial hasil, didarab dengan polinomial pembahagi dan hasil darab yang terhasil ditolak daripada polinomial dividen . Hasilnya, polinomial diperoleh - baki pertama, yang dibahagikan dengan polinomial pembahagi dengan cara yang sama dan sebutan kedua polinomial hasil bagi ditemui. Proses ini diteruskan sehingga baki sifar diperoleh atau darjah baki polinomial kurang daripada darjah polinomial pembahagi.

Apabila membahagikan polinomial dengan binomial, anda boleh menggunakan skema Horner.

Skim Horner

Katakan kita hendak membahagi polinomial

secara binomial
. Mari kita nyatakan hasil bahagi sebagai polinomial

dan selebihnya ialah . Maknanya , pekali polinomial
,
dan selebihnya Mari kita tulis dalam bentuk berikut:

Dalam skim ini, setiap pekali
,
,
, …,diperoleh daripada tarikh sebelumnya garis bawah didarab dengan nombor dan menambah pada hasil yang terhasil nombor yang sepadan dalam baris atas di atas pekali yang dikehendaki. Jika ada ijazah tiada dalam polinomial, maka pekali yang sepadan sama dengan sifar. Setelah menentukan pekali mengikut skema yang diberikan, kami menulis hasil bagi

dan hasil pembahagian jika
,

atau ,

Jika
,

Teorem 3.1. Agar pecahan tidak dapat dikurangkan (

,

)ialah punca polinomial
dengan pekali integer, adalah perlu bahawa nombor itu adalah pembahagi tempoh bebas , dan nombor - pembahagi pekali utama .

Teorem 3.2. (Teorem Bezout ) Baki daripada membahagikan polinomial
secara binomial
sama dengan nilai polinomial
di
, itu dia
.

Apabila membahagikan polinomial
secara binomial
kita ada persamaan

Ini benar, khususnya, apabila
, itu dia
.

Contoh 3.2. Bahagikan dengan
.

Penyelesaian. Mari gunakan skema Horner:

Oleh itu,

Contoh 3.3. Bahagikan dengan
.

Penyelesaian. Mari gunakan skema Horner:

Oleh itu,

,

Contoh 3.4. Bahagikan dengan
.

Penyelesaian.

Hasilnya kita dapat

Contoh 3.5. Bahagikan
pada
.

Penyelesaian. Mari bahagikan polinomial dengan lajur:

Kemudian kita dapat

.

Kadangkala adalah berguna untuk mewakili polinomial sebagai hasil darab yang sama bagi dua atau lebih polinomial. Transformasi identiti sedemikian dipanggil pemfaktoran polinomial . Mari kita pertimbangkan kaedah utama penguraian tersebut.

Mengambil faktor sepunya daripada kurungan. Untuk memfaktorkan polinomial dengan mengeluarkan faktor sepunya daripada kurungan, anda mesti:

1) cari faktor sepunya. Untuk melakukan ini, jika semua pekali polinomial adalah integer, pembahagi sepunya modulo terbesar bagi semua pekali polinomial dianggap sebagai pekali faktor sepunya, dan setiap pembolehubah yang termasuk dalam semua sebutan polinomial diambil dengan yang terbesar. eksponen yang ada dalam polinomial ini;

2) cari hasil bahagi diberi polinomial oleh faktor yang sama;

3) tulis hasil darab faktor am dan hasil bahagi.

Pengumpulan ahli. Apabila memfaktorkan polinomial menggunakan kaedah pengelompokan, istilahnya dibahagikan kepada dua atau lebih kumpulan supaya setiap daripadanya boleh ditukar kepada produk, dan produk yang terhasil akan mempunyai faktor yang sama. Selepas ini, kaedah pendakapan faktor sepunya bagi istilah yang baru diubah digunakan.

Aplikasi rumus pendaraban yang disingkatkan. Dalam kes di mana polinomial perlu dikembangkan menjadi faktor, mempunyai bentuk sebelah kanan mana-mana formula pendaraban yang disingkatkan;

biarlah

, maka yang berikut adalah benar rumus pendaraban singkatan:

Untuk :
Jika ganjil ( ):
binomial Newton: di mana – bilangan gabungan daripada Oleh .

Pengenalan ahli bantu baharu. Kaedah ini terdiri daripada menggantikan polinomial dengan polinomial lain yang identik sama dengannya, tetapi mengandungi bilangan sebutan yang berbeza, dengan memperkenalkan dua istilah bertentangan atau menggantikan mana-mana istilah dengan jumlah monomial yang serupa yang sama. Penggantian dibuat sedemikian rupa sehingga kaedah pengelompokan istilah boleh digunakan pada polinomial yang terhasil.

Contoh 3.6..

Penyelesaian. Semua istilah polinomial mengandungi faktor sepunya
. Oleh itu,.

Jawapan: .

Contoh 3.7.

Penyelesaian. Kami mengumpulkan secara berasingan istilah yang mengandungi pekali , dan istilah yang mengandungi . Kurungan faktor biasa kumpulan, kami mendapat:

.

Jawapan:
.

Contoh 3.8. Faktorkan polinomial
.

Penyelesaian. Dengan menggunakan formula pendaraban singkatan yang sesuai, kami memperoleh:

Jawapan: .

Contoh 3.9. Faktorkan polinomial
.

Penyelesaian. Dengan menggunakan kaedah pengumpulan dan formula pendaraban singkatan yang sepadan, kami memperoleh:

.

Jawapan: .

Contoh 3.10. Faktorkan polinomial
.

Penyelesaian. Kami akan menggantikan pada
, kumpulkan istilah, gunakan formula pendaraban yang disingkatkan:

.

Jawapan:
.

Contoh 3.11. Faktorkan polinomial

Penyelesaian. kerana ,
,
, Itu

Pelajaran tentang topik: "Bentuk standard monomial. Definisi. Contoh"

Bahan tambahan
Pengguna yang dihormati, jangan lupa tinggalkan komen, ulasan, hasrat anda. Semua bahan telah disemak oleh program anti-virus.

Alat bantu mengajar dan simulator di kedai dalam talian Integral untuk gred 7
Buku teks elektronik "Geometri Boleh Difahami" untuk gred 7-9
Buku teks multimedia "Geometri dalam 10 minit" untuk gred 7-9

Monomial. Definisi

Monomial- Ini ungkapan matematik, iaitu produk faktor utama dan satu atau lebih pembolehubah.

Monomial merangkumi semua nombor, pembolehubah, kuasanya dengan eksponen semula jadi:
42;  3;  0;  6 2 ;  2 3 ;  b 3 ;  kapak 4;  4x 3 ;  5a 2 ;  12xyz 3 .

Selalunya sukar untuk menentukan sama ada ungkapan matematik yang diberikan merujuk kepada monomial atau tidak. Contohnya, $\frac(4a^3)(5)$. Adakah ini monomial atau tidak? Untuk menjawab soalan ini kita perlu memudahkan ungkapan, i.e. hadir dalam bentuk: $\frac(4)(5)*a^3$.
Kita boleh mengatakan dengan pasti bahawa ungkapan ini- monomial

Bentuk standard monomial

Apabila mengira, adalah wajar untuk mengurangkan monomial kepada pandangan standard. Ini adalah rakaman monomial yang paling ringkas dan mudah difahami.

Prosedur untuk mengurangkan monomial kepada bentuk standard adalah seperti berikut:
1. Darab pekali monomial (atau faktor berangka) dan letakkan keputusan yang terhasil di tempat pertama.
2. Pilih semua kuasa dengan asas huruf yang sama dan darabkannya.
3. Ulang titik 2 untuk semua pembolehubah.

Contoh.
I. Kurangkan monomial yang diberi $3x^2zy^3*5y^2z^4$ kepada bentuk piawai.

Penyelesaian.
1. Darabkan pekali bagi monomial $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Sekarang mari kita berikan istilah yang serupa$15х^2y^5z^5$.

II. Kurangkan monomial yang diberi $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ kepada bentuk piawai.

Penyelesaian.
1. Darabkan pekali bagi monomial $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Sekarang kami membentangkan istilah yang serupa $\frac(10)(7)a^5b^5c$.

Kuasa monomial

Untuk monomial terdapat konsep darjahnya. Mari kita fikirkan apa itu.

Definisi.

Kuasa monomial bentuk piawai ialah jumlah eksponen semua pembolehubah yang termasuk dalam rekodnya; jika tiada pembolehubah dalam tatatanda monomial dan ia berbeza daripada sifar, maka darjahnya dianggap sama dengan sifar; nombor sifar dianggap sebagai monomial yang darjahnya tidak ditentukan.

Menentukan tahap monomial membolehkan anda memberikan contoh. Darjah monomial a adalah sama dengan satu, kerana a ialah 1. Kuasa monomial 5 ialah sifar, kerana ia bukan sifar dan tatatandanya tidak mengandungi pembolehubah. Dan hasil darab 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 ialah monomial darjah kelapan, kerana jumlah eksponen semua pembolehubah a, x dan y adalah sama dengan 2+1+3+2=8.

Dengan cara ini, darjah monomial yang tidak ditulis dalam bentuk piawai adalah sama dengan darjah monomial sepadan bentuk piawai. Untuk menggambarkan ini, mari kita mengira darjah monomial 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Monomial dalam bentuk piawai ini mempunyai bentuk −6·x 8 ·y 4, darjahnya ialah 8+4=12. Oleh itu, darjah monomial asal ialah 12.

Pekali monomial

Monomial dalam bentuk piawai, yang mempunyai sekurang-kurangnya satu pembolehubah dalam tatatandanya, ialah produk dengan faktor berangka tunggal - pekali berangka. Pekali ini dipanggil pekali monomial. Mari kita rumuskan hujah di atas dalam bentuk definisi.

Definisi.

Pekali monomial ialah faktor berangka bagi monomial yang ditulis dalam bentuk piawai.

Sekarang kita boleh memberi contoh pekali pelbagai monomial. Nombor 5 ialah pekali bagi monomial 5·a 3 mengikut takrifan, begitu juga dengan monomial (−2,3)·x·y·z mempunyai pekali −2,3.

Pekali monomial, sama dengan 1 dan -1, patut diberi perhatian khusus. Maksudnya di sini ialah mereka biasanya tidak hadir secara eksplisit dalam rakaman. Adalah dipercayai bahawa pekali monomial dalam bentuk piawai, yang tidak mempunyai faktor berangka dalam tatatandanya, sama dengan satu. Contohnya, monomial a, x·z 3, a·t·x, dsb. mempunyai pekali 1, kerana a boleh dianggap sebagai 1·a, x·z 3 - sebagai 1·x·z 3, dsb.

Begitu juga, pekali monomial, entri yang dalam bentuk standard tidak mempunyai faktor berangka dan bermula dengan tanda tolak, dianggap sebagai tolak satu. Contohnya, monomial −x, −x 3 y z 3, dsb. mempunyai pekali −1, kerana −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 dan sebagainya.

Dengan cara ini, konsep pekali monomial sering dirujuk sebagai monomial bentuk piawai, iaitu nombor tanpa faktor huruf. Pekali bagi nombor-monomial tersebut dianggap sebagai nombor ini. Jadi, sebagai contoh, pekali monomial 7 dianggap sama dengan 7.

Bibliografi.

• Algebra: buku teks untuk darjah 7. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; diedit oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebra. darjah 7. Pada pukul 2 petang Bahagian 1. Buku teks untuk pelajar institusi pendidikan/ A. G. Mordkovich. - ed. ke-17, tambah. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 p.: sakit. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (manual untuk mereka yang memasuki sekolah teknik): Proc. elaun.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hlm., sakit.

Kami menyatakan bahawa mana-mana monomial boleh bawa ke bentuk standard. Dalam artikel ini kita akan memahami apa yang dipanggil membawa monomial kepada bentuk standard, apakah tindakan yang membolehkan proses ini dijalankan, dan mempertimbangkan penyelesaian kepada contoh dengan penjelasan terperinci.

Navigasi halaman.

Apakah yang dimaksudkan untuk mengurangkan monomial kepada bentuk piawai?

Ia adalah mudah untuk bekerja dengan monomial apabila ia ditulis dalam bentuk standard. Walau bagaimanapun, selalunya monomial dinyatakan dalam bentuk yang berbeza daripada yang standard. Dalam kes ini, anda sentiasa boleh beralih daripada monomial asal kepada monomial bentuk standard dengan melakukan transformasi identiti. Proses menjalankan transformasi sedemikian dipanggil mengurangkan monomial kepada bentuk piawai.

Mari kita ringkaskan hujah-hujah di atas. Kurangkan monomial kepada bentuk piawai- ini bermakna melakukan perkara berikut dengannya transformasi identiti supaya ia mengambil bentuk piawai.

Bagaimana untuk membawa monomial ke bentuk standard?

Sudah tiba masanya untuk memikirkan cara mengurangkan monomial kepada bentuk standard.

Seperti yang diketahui daripada definisi, monomial bentuk bukan piawai ialah hasil nombor, pembolehubah dan kuasanya, dan mungkin berulang. Dan monomial bentuk piawai boleh mengandungi dalam tatatandanya hanya satu nombor dan pembolehubah tidak berulang atau kuasanya. Sekarang masih perlu memahami bagaimana untuk membawa produk jenis pertama kepada jenis yang kedua?

Untuk melakukan ini, anda perlu menggunakan yang berikut peraturan untuk mengurangkan monomial kepada bentuk piawai terdiri daripada dua langkah:

• Pertama, kumpulan faktor berangka dilakukan, serta pembolehubah yang sama dan kuasanya;
• Kedua, hasil darab nombor dikira dan digunakan.

Hasil daripada menggunakan peraturan yang dinyatakan, sebarang monomial akan dikurangkan kepada bentuk standard.

Contoh, penyelesaian

Apa yang tinggal ialah mempelajari cara menggunakan peraturan daripada perenggan sebelumnya semasa menyelesaikan contoh.

Contoh.

Kurangkan monomial 3 x 2 x 2 kepada bentuk piawai.

Penyelesaian.

Mari kumpulkan faktor berangka dan faktor dengan pembolehubah x. Selepas mengumpulkan, monomial asal akan mengambil bentuk (3·2)·(x·x 2) . Hasil darab nombor dalam kurungan pertama adalah sama dengan 6, dan peraturan untuk mendarab kuasa dengan atas alasan yang sama membenarkan ungkapan dalam kurungan kedua diwakili sebagai x 1 +2=x 3. Hasilnya, kita memperoleh polinomial bentuk piawai 6 x 3.

Berikut ialah ringkasan ringkas penyelesaiannya: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.

Jawapan:

3 x 2 x 2 =6 x 3.

Jadi, untuk membawa monomial kepada bentuk standard, anda perlu berupaya mengumpulkan faktor, mendarab nombor dan bekerja dengan kuasa.

Untuk menyatukan bahan, mari kita selesaikan satu lagi contoh.

Contoh.

Kemukakan monomial dalam bentuk piawai dan nyatakan pekalinya.

Penyelesaian.

Monomial asal mempunyai faktor berangka tunggal dalam tatatanda -1, mari kita alihkannya ke permulaan. Selepas ini, kami akan secara berasingan mengumpulkan faktor dengan pembolehubah a, secara berasingan dengan pembolehubah b, dan tiada apa-apa untuk mengelompokkan pembolehubah m dengan, kami akan membiarkannya seperti sedia ada, kami mempunyai . Selepas menjalankan operasi dengan darjah dalam kurungan, monomial akan mengambil bentuk piawai yang kita perlukan, dari mana kita boleh melihat pekali monomial, bersamaan dengan -1. Tolak satu boleh digantikan dengan tanda tolak: .