При изведување на првата формула од табелата, ќе продолжиме од дефиницијата на дериватната функција во точка. Ајде да земеме каде x– било кој реален број, тоа е, x– кој било број од доменот на дефинирање на функцијата. Дозволете ни да ја запишеме границата на односот на зголемувањето на функцијата до зголемувањето на аргументот на: 
Треба да се напомене дека под граничниот знак се добива изразот, кој не е неизвесност на нула поделена со нула, бидејќи броителот не содржи бесконечно мала вредност, туку точно нула. Со други зборови, зголемувањето на константна функција е секогаш нула.
Така, извод на константна функцијае еднаква на нула низ целиот домен на дефиниција.
Извод на функција на моќност.
Дериватна формула функција за напојувањеизгледа како 
, каде што експонентот стр– кој било реален број.
Прво да ја докажеме формулата за природниот експонент, односно за p = 1, 2, 3,…
Ќе ја користиме дефиницијата за извод. Дозволете ни да ја запишеме границата на односот на зголемување на функцијата на моќност до зголемувањето на аргументот: 
За да го поедноставиме изразот во броителот, се свртуваме кон биномната формула на Њутн: 
Оттука, 
Ова ја докажува формулата за извод на функција на моќност за природен експонент.
Извод на експоненцијална функција.
Ви ја претставуваме изведбата на формулата за извод врз основа на дефиницијата:
Дојдовме до неизвесност. За да го прошириме, воведуваме нова променлива и на . Потоа. Во последната транзиција ја користевме формулата за премин кон нова логаритамска основа.
Ајде да замениме во оригиналната граница: 
Ако се сеќавате на второто прекрасна граница, тогаш доаѓаме до формулата за изводот на експоненцијалната функција: 
Извод на логаритамска функција.
Да ја докажеме формулата за изводот на логаритамска функција за сите xод доменот на дефиниција и сите валидни вредности на основата алогаритам По дефиниција за дериват имаме: 
Како што забележавте, за време на докажувањето трансформациите беа извршени користејќи ги својствата на логаритамот. Еднаквост 
е точно поради втората извонредна граница.
Изводи на тригонометриски функции.
За да изведеме формули за изводи на тригонометриски функции, ќе треба да потсетиме на некои тригонометриски формули, како и на првата забележителна граница.
По дефиниција на изводот за синусната функција имаме 
.
Да ја искористиме формулата за разлика во синусите: 
Останува да се свртиме кон првата извонредна граница: 
Така, изводот на функцијата грев хЕте го cos x.
Точно на ист начин се докажува формулата за дериватот на косинус. 
Според тоа, изводот на функцијата cos xЕте го – грев х.
Ќе изведеме формули за табелата со деривати за тангента и котангента користејќи докажани правила на диференцијација (дериват на дропка). 
Деривати на хиперболични функции.
Правилата за диференцијација и формулата за изводот на експоненцијалната функција од табелата на деривати ни овозможуваат да изведеме формули за изводите на хиперболичен синус, косинус, тангента и котангента. 
Извод на инверзната функција.
За да се избегне забуна при презентацијата, да го означиме во знакот на аргументот на функцијата со која се врши диференцијација, односно тоа е извод на функцијата f(x)Од страна на x.
Сега да формулираме правило за наоѓање дериват инверзна функција.
Оставете ги функциите y = f(x)И x = g(y)меѓусебно инверзно, дефинирано на интервалите и соодветно. Ако во некоја точка постои конечен ненулти извод на функцијата f(x), тогаш во точката постои конечен извод на инверзната функција g(y), и 
. Во друг пост 
.
Ова правило може да се преформулира за било кој xод интервалот , тогаш добиваме 
.
Ајде да ја провериме валидноста на овие формули.
Да ја најдеме инверзната функција за природниот логаритам 
(Тука yе функција, и x- аргумент). Откако ја решивме оваа равенка за x, добиваме (тука xе функција, и y– нејзиниот аргумент). Тоа е, 
и меѓусебно инверзни функции.
Од табелата на деривати гледаме дека 
И 
.
Да се увериме дека формулите за пронаоѓање на изводите на инверзната функција нè водат до истите резултати: 
Прикажан е доказ и изведување на формулата за изводот на синус - sin(x). Примери за пресметување на деривати на гревот 2x, синус на квадрат и коцка. Изведување на формулата за изводот од синус од n-ти ред.
Изводот во однос на променливата x од синусот на x е еднаков на косинусот на x:
(грев x)′ = cos x.
Доказ
За да ја изведеме формулата за изводот на синус, ќе ја користиме дефиницијата за дериват:
.
За да ја пронајдеме оваа граница, треба да го трансформираме изразот на таков начин што ќе го сведеме на познати закони, својства и правила. За да го направите ова, треба да знаеме четири својства.
1)
Значењето на првата извонредна граница:
(1)
;
2)
Континуитет на косинусната функција:
(2)
;
3)
Тригонометриски формули. Ќе ни треба следнава формула:
(3)
;
4)
Ограничување на имотот:
Ако и, тогаш
(4)
.
Ајде да ги примениме овие правила до нашата граница. Прво го трансформираме алгебарскиот израз
.
За да го направите ова, ја применуваме формулата
(3)
.
Во нашиот случај
; . Потоа
;
;
;
.
Сега ајде да ја направиме замената. Во , .
.
Да ја направиме истата замена и да го искористиме својството на континуитет (2):
.
Бидејќи границите пресметани погоре постојат, ние применуваме својство (4):
.
Формулата за дериват на синус е докажана.
Примери
Ајде да размислиме едноставни примеринаоѓање деривати на функции кои содржат синус. Ќе најдеме деривати на следните функции:
y = грев 2x; y = грев 2 xи y = грев 3 x.
Пример 1
Најдете го изводот на грев 2x.
Решение
Прво, да го најдеме дериватот на наједноставниот дел:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Аплицираме.
.
Еве .
Одговори
(грев 2x)′ = 2 cos 2x.
Пример 2
Најдете го дериватот на синус во квадрат:
y = грев 2 x.
Решение
Ајде да ја преработиме оригиналната функција во поразбирлива форма:
.
Ајде да го најдеме дериватот на наједноставниот дел:
.
Примени ја дериватната формула комплексна функција.
.
Еве .
Можете да примените една од формулите за тригонометрија. Потоа
.
Одговори
Пример 3
Најдете го дериватот на синус во коцка:
y = грев 3 x.
Деривати од повисок ред
Забележете дека дериватот на грев хпрвиот ред може да се изрази преку синус како што следува:
.
Ајде да го најдеме изводот од втор ред користејќи ја формулата за извод на сложена функција:
.
Еве .
Сега можеме да ја забележиме таа диференцијација грев хпредизвикува неговиот аргумент да се зголеми за . Тогаш дериватот од n-ти ред ја има формата:
(5)
.
Ајде да го докажеме ова користејќи го методот математичка индукција.
Веќе проверивме дека за , формулата (5) е валидна.
Да претпоставиме дека формулата (5) е валидна за одредена вредност. Да докажеме дека од ова произлегува дека формулата (5) е задоволена за .
Да ја напишеме формулата (5) на:
.
Ја диференцираме оваа равенка користејќи го правилото за диференцијација на сложена функција:
.
Еве .
Така најдовме:
.
Ако го замениме , тогаш оваа формула ќе ја има формата (5).
Формулата е докажана.
Презентирани се деривати на инверзи тригонометриски функциии изведување на нивните формули. Дадени се и изрази за деривати од повисок ред. Врски до страници со повеќе детална изјаваизлезни формули.
Прво, ја изведуваме формулата за дериватот на лаксинот. Нека
y = arcsin x.
Бидејќи лаксинот е инверзна функција на синусот, тогаш
.
Овде y е функција од x. Диференцирајте во однос на променливата x:
.
Аплицираме:
.
Така најдовме:
.
Затоа што тогаш. Потоа
.
И претходната формула ја има формата:
. Од тука
.
Токму на овој начин можете да ја добиете формулата за дериватот на лакот косинус. Сепак, полесно е да се користи формула која ги поврзува инверзните тригонометриски функции:
.
Потоа
.
Подетален опис е претставен на страницата „Деривација на деривати на арксин и аркозин“. Таму се дава изведување на деривати на два начина- дискутирано погоре и според формулата за изводот на инверзната функција.
Изведување на деривати на арктангенс и аркотангенс
На ист начин ќе ги најдеме и дериватите на арктангенс и аркотангенс.
Нека
y = арктан x.
Арктангента е инверзна функција на тангента:
.
Диференцирајте во однос на променливата x:
.
Ја применуваме формулата за извод на сложена функција:
.
Така најдовме:
.
Дериват на лачен котангенс:
.
Деривати на арксин
Нека
.
Веќе го најдовме дериватот од прв ред на лаксинот:
.
Со диференцијација, го наоѓаме изводот од втор ред:
;
.
Може да се напише и во следнава форма:
.
Од тука добиваме диференцијална равенка, што е задоволено со дериватите на арксин од првиот и вториот ред:
.
Со диференцирање на оваа равенка, можеме да најдеме деривати од повисок ред.
Извод на лаксин од n-ти ред
Дериватот на лакот од ред n има следен поглед:
,
каде е полином на степен . Се одредува со формулите:
;
.
Еве .
Полиномот ја задоволува диференцијалната равенка:
.
Дериват на аркозин од n-ти ред
Дериватите за лачниот косинус се добиваат од изводите за лачниот синус со помош на тригонометриската формула:
.
Затоа, дериватите на овие функции се разликуваат само по знак:
.
Деривати на арктангенс
Нека .
.
Го најдовме дериватот на лачниот котангенс од прв ред:
.
Ајде да ја разложиме дропката во нејзината наједноставна форма:
Еве ја имагинарната единица, .
.
Диференцираме еднаш и ја доведуваме дропката до заеднички именител:
.
Заменувајќи го, добиваме:
Извод на арктангенс од n-ти ред
;
.
Така, дериватот на арктангенсот од n-ти ред може да се претстави на неколку начини:
Деривати на лачен котангенс
.
Нека биде сега. Да ја примениме формулата за поврзување на инверзни тригонометриски функции:
.
Тогаш дериватот од n-ти ред на лачната тангента се разликува само по знак од изводот на лачната тангента:
.
Заменувајќи го, наоѓаме:
Референци: Н.М. Гинтер, Р.О. Кузмин, Збирка проблеми навиша математика