Со оваа услуга можете најдете ја најголемата и најмалата вредност на функцијатаедна променлива f(x) со решението форматирано во Word. Ако е дадена функцијата f(x,y), затоа, потребно е да се најде екстремот на функцијата на две променливи. Можете да ги најдете и интервалите на функциите за зголемување и намалување.
Правила за внесување функции:
Неопходен услов за екстрем на функција од една променлива
Равенката f" 0 (x *) = 0 е неопходен условекстрем на функција на една променлива, т.е. во точката x * првиот извод на функцијата мора да исчезне. Идентификува стационарни точки x c во кои функцијата не се зголемува или намалува.Доволен услов за екстрем на функција од една променлива
Нека f 0 (x) е двапати диференцијабилна во однос на x што припаѓа на множеството D. Ако во точката x * условот е исполнет:F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0
Тогаш точката x * е локална (глобална) минимална точка на функцијата.
Ако во точката x * условот е исполнет:
F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0
Тогаш точката x * е локален (глобален) максимум.
Пример бр. 1. Најдете ги најголемите и најмала вредностфункции: на сегментот .
Решение. 
Критичната точка е една x 1 = 2 (f’(x)=0). Оваа точка припаѓа на сегментот. (Точката x=0 не е критична, бидејќи 0∉).
Ги пресметуваме вредностите на функцијата на краевите на сегментот и на критичната точка.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Одговор: f min = 5 / 2 на x=2; f max =9 на x=1
Пример бр. 2. Користејќи изводи од повисок ред, пронајдете го екстремот на функцијата y=x-2sin(x) .
Решение.
Најдете го изводот на функцијата: y’=1-2cos(x) . Да ги најдеме критичните точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Наоѓаме y’’=2sin(x), пресметај , што значи x= π / 3 +2πk, k∈Z се минималните точки на функцијата; 
, што значи x=- π / 3 +2πk, k∈Z се максималните точки на функцијата.
Пример бр. 3. Истражете ја екстремната функција во близина на точката x=0.
Решение. Овде е неопходно да се најдат екстремите на функцијата. Ако екстремот x=0, тогаш дознајте го неговиот тип (минимум или максимум). Ако меѓу пронајдените точки нема x = 0, тогаш пресметајте ја вредноста на функцијата f(x=0).
Треба да се забележи дека кога изводот на секоја страна од дадената точка не го менува својот знак, можните ситуации не се исцрпуваат дури и за диференцијабилните функции: може да се случи за произволно мало соседство од едната страна на точката x 0 или од двете страни дериватот го менува знакот. Во овие точки, неопходно е да се користат други методи за проучување на функциите на екстремен начин.
Ајде да видиме како да испитаме функција користејќи график. Излегува дека гледајќи го графикот, можеме да дознаеме сè што не интересира, имено:
- домен на функција
- опсег на функции
- функција нули
- интервали на зголемување и намалување
- максимални и минимални поени
- најголемата и најмалата вредност на функцијата на отсечка.
Ајде да ја разјасниме терминологијата:
Абцисае хоризонталната координата на точката.
Ординација- вертикална координата.
Оска на апсциса- хоризонталната оска, најчесто наречена оска.
Y оска - вертикална оска, или оска.
Аргумент- независна променлива од која зависат вредностите на функцијата. Најчесто индициран.
Со други зборови, избираме , ги заменуваме функциите во формулата и добиваме .
Доменфункции - збир на оние (и само оние) вредности на аргументи за кои постои функцијата.
Назначено со: или .
На нашата слика, доменот на дефинирање на функцијата е сегментот. Токму на овој сегмент е нацртан графикот на функцијата. Само овде оваа функцијапостои.
Опсег на функциие збир на вредности што ги зема променливата. Во нашата фигура, ова е сегмент - од најниската до највисоката вредност.
Функција нули- точки каде вредноста на функцијата е нула, т.е. На нашата слика тоа се точки и .
Вредностите на функциите се позитивникаде . Во нашата слика тоа се интервалите и .
Вредностите на функциите се негативникаде . За нас, ова е интервалот (или интервалот) од до .
Клучни концепти - функцијата за зголемување и намалувањена некој сет. Како множество, можете да земете сегмент, интервал, унија на интервали или целата нумеричка права.
Функција се зголемува
Со други зборови, колку повеќе, толку повеќе, односно графикот оди надесно и нагоре.
Функција се намалувана сетот , доколку има и , кои припаѓаат на многумина, неравенството подразбира нееднаквост .
За функцијата што се намалува повисока вредностодговара на помалата вредност. Графикот оди надесно и надолу.
На нашата слика, функцијата се зголемува на интервалот и се намалува на интервалите и .
Ајде да дефинираме што е тоа максимални и минимални точки на функцијата.
Максимална точка- ова е внатрешна точка од доменот на дефиниција, таква што вредноста на функцијата во неа е поголема отколку во сите точки доволно блиску до неа.
Со други зборови, максимална точка е точка во која вредноста на функцијата повеќеотколку во соседните. Ова е локален „рид“ на табелата.
Во нашата фигура има максимална точка.
Минимална точка- внатрешна точка на доменот на дефиниција, таква што вредноста на функцијата во неа е помала отколку во сите точки доволно блиску до неа.
Односно, минималната точка е таква што вредноста на функцијата во неа е помала отколку кај нејзините соседи. Ова е локална „дупка“ на графиконот.
Во нашата фигура има минимална точка.
Поентата е границата. Тоа не е внатрешна точка на доменот на дефиниција и затоа не одговара на дефиницијата за максимална точка. На крајот на краиштата, таа нема соседи лево. На ист начин, на нашата табела не може да има минимална точка.
Максималните и минималните поени заедно се нарекуваат екстремни точки на функцијата. Во нашиот случај ова е и .
Што да направите ако треба да најдете, на пример, минимална функцијана сегментот? ВО во овој случајодговор: . Бидејќи минимална функцијае неговата вредност на минималната точка.
Слично на тоа, максимумот на нашата функција е . Се постигнува во точка.
Можеме да кажеме дека екстремите на функцијата се еднакви на и .
Понекогаш проблемите бараат наоѓање најголемите и најмалите вредности на функцијатана даден сегмент. Тие не мора да се совпаѓаат со крајностите.
Во нашиот случај најмала функционална вредностна отсечката е еднаква и се совпаѓа со минимумот на функцијата. Но, неговата најголема вредност на овој сегмент е еднаква на . Се постигнува на левиот крај на сегментот.
Во секој случај, најголемите и најмалите вредности континуирана функцијана отсечка се постигнуваат или на крајните точки или на краевите на отсечката.
Нека функцијата y =ѓ(X)е континуиран во интервалот [ а, б]. Како што е познато, таквата функција ги достигнува своите максимални и минимални вредности на овој сегмент. Функцијата може да ги земе и овие вредности внатрешна точкасегмент [ а, б], или на границата на сегментот.
Да се најдат најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегментот [ а, б] неопходно:
1) најдете ги критичните точки на функцијата во интервалот ( а, б);
2) пресметајте ги вредностите на функцијата во пронајдените критични точки;
3) пресметајте ги вредностите на функцијата на краевите на сегментот, односно кога x=Аи x = б;
4) од сите пресметани вредности на функцијата, изберете ја најголемата и најмалата.
Пример.Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата
на сегментот.
Наоѓање критични точки:
Овие точки лежат внатре во сегментот; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
во точката x= 3 и во точката x= 0.
Проучување на функција за конвексност и точка на флексија.
Функција y = ѓ (x) повикани конвексенпомеѓу (а, б) , ако неговиот график лежи под тангентата нацртана во која било точка од овој интервал, и се нарекува конвексен надолу (конкавен), ако неговиот график лежи над тангентата.
Точката низ која конвексноста се заменува со конкавност или обратно се нарекува точка на флексија.
Алгоритам за испитување на конвексност и точка на флексија:
1. Најдете критични точки од вториот вид, односно точки во кои вториот извод е еднаков на нула или не постои.
2. Нацртај критични точки на бројната права, делејќи ја на интервали. Најдете го знакот на вториот извод на секој интервал; ако , тогаш функцијата е конвексна нагоре, ако, тогаш функцијата е конвексна надолу.
3. Ако при минување низ критична точка од вториот вид знакот се менува и во овој момент вториот извод е еднаков на нула, тогаш оваа точка е апсциса на точката на флексија. Најдете ја нејзината ордината.
Асимптоти на графикот на функција. Проучување на функција за асимптоти.
Дефиниција.Се нарекува асимптота на графикот на функцијата директно, кој има својство дека растојанието од која било точка на графикот до оваа права се стреми кон нула додека точката на графикот се движи неодредено од почетокот.
Постојат три типа на асимптоти: вертикална, хоризонтална и наклонета.
Дефиниција.Правата линија се нарекува вертикална асимптотафункционална графика y = f(x), ако барем една од едностраните граници на функцијата во оваа точка е еднаква на бесконечност, тоа е
каде е точката на дисконтинуитет на функцијата, односно не спаѓа во доменот на дефиниција.
Пример.
Д ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
x= 2 – точка на прекин.
Дефиниција.Директно y =Аповикани хоризонтална асимптотафункционална графика y = f(x)во , ако
Пример.
|
x | |||
|
y |
Дефиниција.Директно y =кx +б (к≠ 0) се нарекува коси асимптотафункционална графика y = f(x)каде
Општа шема за проучување на функции и конструирање графикони.
Алгоритам за истражување на функцииy = f(x) :
1. Најдете го доменот на функцијата Д (y).
2. Најдете (ако е можно) точките на пресек на графикот со координатните оски (ако x= 0 и на y = 0).
3. Испитајте ја рамномерноста и непарноста на функцијата ( y (‒ x) = y (x) ‒ паритет; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ чудно).
4. Најдете ги асимптотите на графикот на функцијата.
5. Најдете ги интервалите на монотоност на функцијата.
6. Најдете ги екстремите на функцијата.
7. Најдете ги интервалите на конвексност (конкавност) и точките на флексија на функционалниот график.
8. Врз основа на спроведеното истражување, конструирај график на функцијата.
Пример.Истражете ја функцијата и изградете го нејзиниот график.
1) Д (y) =
x= 4 – точка на прекин.
2) Кога x = 0,
(0; ‒ 5) – точка на пресек со ох.
На y = 0,
3)
y(‒
x)=
функција општ поглед(ниту парни, ниту непарни).
4) Испитуваме за асимптоти.
а) вертикална
б) хоризонтална
в) најдете ги косите асимптоти каде
‒коса асимптотна равенка
5) Б дадена равенканема потреба да се најдат интервали на монотоност на функцијата.
6)
Овие критични точки го делат целиот домен на дефиниција на функцијата во интервалот (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) и (10; +∞). Удобно е да се прикажат добиените резултати во форма на следната табела.
Процесот на пребарување на најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегмент потсетува на фасцинантен лет околу објект (график на функции) во хеликоптер, пукање на одредени точки од топ со долг дострел и избирање многу посебни точки од овие точки за контролни истрели. Поените се избираат на одреден начин и според одредени правила. По кои правила? За ова ќе зборуваме понатаму.
Доколку функцијата y = ѓ(x) е континуиран во интервалот [ а, б] , тогаш стигнува на овој сегмент најмалку И највисоки вредности . Ова може да се случи или во екстремни точки, или на краевите на сегментот. Затоа, да се најде најмалку И најголемите вредности на функцијата , континуирано на интервалот [ а, б] , треба да ги пресметате неговите вредности во сите критични точкии на краевите на отсечката, а потоа изберете ги најмалите и најголемите од нив.
Нека, на пример, треба да одредите највисока вредностфункции ѓ(x) на сегментот [ а, б] . За да го направите ова, треба да ги најдете сите негови критични точки што лежат на [ а, б] .
Критична точка наречена точка во која дефинирана функција, и неа дериватили еднакво на нула или не постои. Потоа треба да ги пресметате вредностите на функцијата во критичните точки. И, конечно, треба да се споредат вредностите на функцијата во критичните точки и на краевите на сегментот ( ѓ(а) И ѓ(б)). Најголемиот од овие бројки ќе биде најголемата вредност на функцијата на сегментот [а, б] .
Проблеми со наоѓање најмали функциски вредности .
Заедно ги бараме најмалите и најголемите вредности на функцијата
Пример 1. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата 
на сегментот [-1, 2]
.
Решение. Најдете го изводот на оваа функција. Да го изедначиме изводот со нула () и да добиеме две критични точки: и . За да се најдат најмалите и најголемите вредности на функцијата на даден сегмент, доволно е да се пресметаат нејзините вредности на краевите на сегментот и во точката, бидејќи точката не припаѓа на отсечката [-1, 2]. Овие вредности на функции се: , , . Го следи тоа најмала функционална вредност(означено со црвено на графиконот подолу), еднакво на -7, се постигнува на десниот крај на отсечката - во точката , и најголем(исто така црвено на графикот), е еднакво на 9, - во критичната точка.
Ако функцијата е континуирана во одреден интервал и овој интервал не е отсечка (туку е, на пример, интервал; разликата помеѓу интервалот и отсечката: граничните точки на интервалот не се вклучени во интервалот, туку граничните точки на сегментот се вклучени во сегментот), тогаш меѓу вредностите на функцијата можеби нема да има најмала и најголема. Така, на пример, функцијата прикажана на сликата подолу е континуирана на ]-∞, +∞[ и нема најголема вредност.
Меѓутоа, за кој било интервал (затворен, отворен или бесконечен), следново својство на континуирани функции е точно.
Пример 4. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегментот [-1, 3] .
Решение. Го наоѓаме изводот на оваа функција како извод на количникот:
.
Изводот го изедначуваме со нула, што ни дава еден критична точка: . Припаѓа на сегментот [-1, 3] . За да ги најдеме најмалите и најголемите вредности на функцијата на даден сегмент, ги наоѓаме нејзините вредности на краевите на сегментот и на пронајдената критична точка:
Ајде да ги споредиме овие вредности. Заклучок: еднаков на -5/13, во точка и највисока вредностеднакво на 1 во точка .
Продолжуваме заедно да ги бараме најмалите и најголемите вредности на функцијата
Има наставници кои на тема пронаоѓање на најмалите и најголемите вредности на функцијата не им даваат на учениците примери за решавање кои се посложени од оние кои штотуку беа дискутирани, односно оние во кои функцијата е полином или дропка, чиј броител и именител се полиноми. Но, ние нема да се ограничиме на такви примери, бидејќи меѓу наставниците има и такви кои сакаат да ги принудат учениците да размислуваат целосно (табела со деривати). Затоа ќе се користат логаритамската и тригонометриската функција.
Пример 6. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата на сегментот .
Решение. Изводот на оваа функција го наоѓаме како дериват на производот :
Изводот го изедначуваме со нула, што дава една критична точка: . Припаѓа на сегментот. За да ги најдеме најмалите и најголемите вредности на функцијата на даден сегмент, ги наоѓаме нејзините вредности на краевите на сегментот и на пронајдената критична точка:
Резултат од сите дејства: функцијата ја достигнува својата минимална вредност, еднакво на 0, во точката и во точката и највисока вредност, еднакви д², во точката.
Пример 7. Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата 
на сегментот .
Решение. Најдете го изводот на оваа функција:
Изводот го изедначуваме со нула:
Единствената критична точка му припаѓа на сегментот. За да ги најдеме најмалите и најголемите вредности на функцијата на даден сегмент, ги наоѓаме нејзините вредности на краевите на сегментот и на пронајдената критична точка:
Заклучок: функцијата ја достигнува својата минимална вредност, еднакво на , во точката и највисока вредност, еднакви , во точката .
Кај применетите екстремни проблеми, наоѓањето на најмалите (максимални) вредности на функцијата, по правило, се сведува на наоѓање на минимум (максимум). Но, не се од поголем практичен интерес самите минимуми или максимални, туку оние вредности на аргументот со кои се постигнуваат. При решавање на применетите проблеми се јавува дополнителна тешкотија- компилација на функции кои го опишуваат феноменот или процесот што се разгледува.
Пример 8.Резервоар со капацитет од 4, со форма на паралелепипед со квадратна основаи се отвора одозгора, треба да се калај. Кои треба да бидат димензиите на резервоарот така што ќе потрае најмал износматеријал?
Решение. Нека x- основната страна, ч- висина на резервоарот, С- неговата површина без покривка, В- нејзиниот волумен. Површината на резервоарот се изразува со формулата, т.е. е функција од две променливи. Да се изрази Скако функција на една променлива го користиме фактот дека , од каде . Замена на пронајдениот израз чво формулата за С:
Да ја испитаме оваа функција до крајност. Таа е дефинирана и диференцијабилна насекаде во ]0, +∞[ и
.
Изводот го изедначуваме со нула () и ја наоѓаме критичната точка. Дополнително, кога изводот не постои, но оваа вредност не е вклучена во доменот на дефиниција и затоа не може да биде екстремна точка. Значи, ова е единствената критична точка. Ајде да го провериме за присуство на екстремум користејќи го вториот доволен знак. Ајде да го најдеме вториот извод. Кога вториот извод е поголем од нула (). Тоа значи дека кога функцијата ќе достигне минимум 
. Од ова минимумот е единствениот екстремум на оваа функција, тоа е нејзината најмала вредност. Значи, страната на основата на резервоарот треба да биде 2 m, а нејзината висина треба да биде .
Пример 9.Од точка Алоциран на железничката пруга, до точка СО, кој се наоѓа на растојание од него л, товарот мора да се транспортира. Трошоците за транспорт на единица тежина по единица растојание со железница се еднакви на , а по автопат се еднакви на . До која точка Млинии железницатреба да се изгради автопат за транспорт на товар од АВ СОбеше најекономичен (дел АБжелезницата се претпоставува дека е права)?
Проучување на таков објект математичка анализакако функција има голема значењеи во други области на науката. На пример, во економска анализаоднесувањето постојано се бара да се оценува функциипрофитот, имено да се одреди неговиот најголем значењеи да развијат стратегија за нејзино постигнување.
Инструкции
Проучувањето на секое однесување секогаш треба да започне со пребарување на доменот на дефиниција. Обично по услов специфична задачапотребно е да се одреди најголемиот значење функцииили на целата оваа област, или на одреден интервал од неа со отворени или затворени граници.
Врз основа на , најголемиот е значење функции y(x0), во која за која било точка во доменот на дефиниција важи неравенката y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Графички, оваа точка ќе биде највисока ако вредностите на аргументите се поставени по оската на апсцисата, а самата функција по должината на оската на ординатите.
Да се одреди најголемата значење функции, следете го алгоритмот од три чекори. Ве молиме имајте предвид дека мора да бидете способни да работите со еднострани и , како и да го пресметате дериватот. Значи, нека е дадена некоја функција y(x) и треба да ја пронајдете нејзината најголема значењена одреден интервал со гранични вредности А и Б.
Откријте дали овој интервал е во опсегот на дефиницијата функции. За да го направите ова, треба да го најдете со разгледување на сите можни ограничувања: присуство на дропка во изразот, квадратен коренитн. Доменот на дефиниција е збир на вредности на аргументи за кои функцијата има смисла. Определете дали даден интервалнеговото подмножество. Ако да, тогаш одете на следната фаза.
Најдете го изводот функциии решете ја добиената равенка со изедначување на изводот на нула. На овој начин ќе ги добиете вредностите на т.н стационарни точки. Оценете дали барем еден од нив припаѓа на интервалот А, Б.
Во третата фаза, разгледајте ги овие точки и заменете ги нивните вредности во функцијата. Во зависност од типот на интервалот, направете ги следните дополнителни чекори. Ако има сегмент од формата [A, B], граничните точки се вклучени во интервалот; тоа е означено со загради. Пресметајте вредности функцииза x = A и x = B. Ако отворен интервал(А, Б), граничните вредности се пробиени, т.е. не се вклучени во него. Решавање на еднострани граници за x→A и x→B. Комбиниран интервал од формата [A, B) или (A, B), чиишто граници едната му припаѓа, другата не. Најдете ја едностраната граница додека x се стреми кон пробиената вредност и заменете ја другата во функцијата Бесконечен двостран интервал (-∞, +∞) или еднострани бесконечни интервали од формата: , (-∞, B).За реалните граници A и B, постапете според веќе опишаните принципи и за бесконечни, барајте граници за x→-∞ и x→+∞, соодветно.
Задачата во оваа фаза