На пример, низата \(2\); \(5\); \(8\); \(единаесет\); \(14\)... е аритметичка прогресија бидејќи секој следниот елементсе разликува од претходниот за три (може да се добие од претходниот со додавање три):

Во оваа прогресија, разликата \(d\) е позитивна (еднаква на \(3\)), и затоа секој следен член е поголем од претходниот. Ваквите прогресии се нарекуваат се зголемува.

Сепак, \(d\) исто така може да биде негативен број. На пример, во аритметичка прогресија \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... разликата во прогресијата \(d\) е еднаква на минус шест.

И во овој случај, секој следен елемент ќе биде помал од претходниот. Овие прогресии се нарекуваат се намалува.

Нотација на аритметичка прогресија

Напредокот е означен со мала латиница.

Броевите што формираат прогресија се нарекуваат членови(или елементи).

Тие се означуваат со иста буква како аритметичка прогресија, но со нумерички индекс еднаков на бројот на елементот по редослед.

На пример, аритметичката прогресија \(a_n = \лево\( 2; 5; 8; 11; 14…\десно\)\) се состои од елементите \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) и така натаму.

Со други зборови, за прогресијата \(a_n = \лево\(2; 5; 8; 11; 14…\десно\)\)

Решавање проблеми со аритметичка прогресија

Во принцип, информациите презентирани погоре се веќе доволни за да се реши речиси секој проблем со аритметичка прогресија (вклучувајќи ги и оние понудени во OGE).

Пример (OGE). Аритметичка прогресијададени со условите \(b_1=7; d=4\). Најдете \(b_5\).
Решение:

Одговор: \(b_5=23\)

Пример (OGE). Дадени се првите три члена на аритметичка прогресија: \(62; 49; 36…\) Најдете ја вредноста на првиот негативен член од оваа прогресија..
Решение:

	Ни се дадени првите елементи од низата и знаеме дека тоа е аритметичка прогресија. Односно, секој елемент се разликува од својот сосед со ист број. Ајде да дознаеме кој со одземање на претходниот од следниот елемент: \(d=49-62=-13\).
	Сега можеме да ја вратиме нашата прогресија до (првиот негативен) елемент што ни треба.
	Подготвени. Можете да напишете одговор.

Одговор: \(-3\)

Пример (OGE). Дадени неколку последователни елементи на аритметичка прогресија: \(…5; x; 10; 12,5...\) Најдете ја вредноста на елементот означен со буквата \(x\).
Решение:

	За да го пронајдеме \(x\), треба да знаеме колку следниот елемент се разликува од претходниот, со други зборови, разликата во прогресијата. Да го најдеме од два познати соседни елементи: \(d=12,5-10=2,5\).
	И сега лесно можеме да го најдеме она што го бараме: \(x=5+2,5=7,5\).
	Подготвени. Можете да напишете одговор.

Одговор: \(7,5\).

Пример (OGE). Дадена е аритметичка прогресија следните услови: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Најдете го збирот на првите шест членови од оваа прогресија.
Решение:

Треба да го најдеме збирот на првите шест члена од прогресијата. Но, ние не ги знаеме нивните значења, ни е даден само првиот елемент. Затоа, прво ги пресметуваме вредностите една по една, користејќи го она што ни е дадено: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) И откако ги пресметавме шесте елементи што ни се потребни, го наоѓаме нивниот збир.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Пронајдена е потребната сума.

Одговор: \(S_6=9\).

Пример (OGE). Во аритметичка прогресија \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Најдете ја разликата на оваа прогресија.
Решение:

Одговор: \(d=7\).

Важни формули за аритметичка прогресија

Како што можете да видите, многу проблеми за аритметичката прогресија може да се решат едноставно со разбирање на главната работа - дека аритметичката прогресија е синџир од броеви, а секој следен елемент во овој синџир се добива со додавање на истиот број на претходниот (на разлика на прогресијата).

Сепак, понекогаш има ситуации кога е многу незгодно да се одлучи „главно“. На пример, замислете дека во првиот пример не треба да го најдеме петтиот елемент \(b_5\), туку триста осумдесет и шестиот \(b_(386)\). Дали треба да додадеме четири \(385\) пати? Или замислете дека во претпоследниот пример треба да го најдете збирот на првите седумдесет и три елементи. Ќе ви здосади да броите...

Затоа, во такви случаи тие не ги решаваат работите „главно“, туку користат специјални формули изведени за аритметичка прогресија. А главните се формулата за n-тиот член на прогресијата и формулата за збир на \(n\) првите членови.

Формула на \(n\)тиот член: \(a_n=a_1+(n-1)d\), каде што \(a_1\) е првиот член од прогресијата;
\(n\) – број на потребниот елемент;
\(a_n\) – член на прогресијата со број \(n\).

Оваа формула ни овозможува брзо да го најдеме дури и тристатиот или милионитиот елемент, знаејќи го само првиот и разликата на прогресијата.

Пример. Аритметичката прогресија е специфицирана со условите: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Најдете \(b_(246)\).
Решение:

Одговор: \(b_(246)=1850\).

Формула за збир на првите n членови: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), каде

\(a_n\) – последниот сумиран член;

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е специфицирана со условите \(a_n=3,4n-0,6\). Најдете го збирот на првите \(25\) членови од оваа прогресија.
Решение:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		За да го пресметаме збирот на првите дваесет и пет члена, треба да ја знаеме вредноста на првиот и дваесет и петтиот член. Нашата прогресија е дадена со формулата на n-тиот член во зависност од неговиот број (за повеќе детали, видете). Ајде да го пресметаме првиот елемент со замена на еден за \(n\).
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Сега да го најдеме дваесет и петтиот член со замена на дваесет и пет наместо \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Па, сега можеме лесно да ја пресметаме потребната сума.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Одговорот е подготвен.

Одговор: \(S_(25)=1090\).

За збирот \(n\) од првите членови, можете да добиете друга формула: само треба да \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) наместо \(a_n\) заменете ја формулата за него \(a_n=a_1+(n-1)d\). Добиваме:

Формула за збир од првите n членови: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), каде

\(S_n\) – потребната сума од \(n\) првите елементи;
\(a_1\) – првиот сумиран член;
\(d\) – разлика во прогресијата;
\(n\) – број на елементи во збирот.

Пример. Најдете го збирот на првите \(33\)-ex членови на аритметичката прогресија: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Решение:

Одговор: \(S_(33)=-231\).

Покомплексни проблеми со аритметичка прогресија

Сега имате се потребни информацииза решавање на речиси секој проблем со аритметичка прогресија. Ајде да ја завршиме темата со разгледување на проблеми во кои не само што треба да примените формули, туку и да размислите малку (во математиката ова може да биде корисно ☺)

Пример (OGE). Најдете го збирот на сите негативни членови на прогресијата: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Решение:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Задачата е многу слична на претходната. Почнуваме да го решаваме истото: прво го наоѓаме \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Сега би сакал да го заменам \(d\) во формулата за збирот... и тука се појавува мала нијанса - не знаеме \(n\). Со други зборови, не знаеме колку термини ќе треба да се додадат. Како да дознаете? Ајде да размислиме. Ќе престанеме да додаваме елементи кога ќе го достигнеме првиот позитивен елемент. Тоа е, треба да го дознаете бројот на овој елемент. Како? Да ја запишеме формулата за пресметување на кој било елемент на аритметичка прогресија: \(a_n=a_1+(n-1)d\) за нашиот случај.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Ни треба \(a_n\) да стане поголемо од нула. Ајде да дознаеме на што \(n\) ќе се случи ова.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|: 0,3\)		Ние ги делиме двете страни на неравенката со \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Префрламе минус еден, не заборавајќи да ги смениме знаците
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Ајде да пресметаме...
\(n>65.333…\)		...и излегува дека првиот позитивен елемент ќе го има бројот \(66\). Според тоа, последниот негативен има \(n=65\). За секој случај, ајде да го провериме ова.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Значи, треба да ги додадеме првите \(65\) елементи.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Одговорот е подготвен.

Одговор: \(S_(65)=-630,5\).

Пример (OGE). Аритметичката прогресија е специфицирана со условите: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Најдете го збирот од \(26\)-тиот до елементот \(42\) вклучувајќи го.
Решение:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Во овој проблем, исто така, треба да го пронајдете збирот на елементи, но почнувајќи не од првиот, туку од \(26\)-тиот. За таков случај немаме формула. Како да се одлучи? Лесно е - за да го добиете збирот од \(26\)-то до \(42\)-то, прво мора да го најдете збирот од \(1\)-то до \(42\)-то, а потоа да го одземете од него збирот од прво до \(25\)ти (види слика).
	За нашата прогресија \(a_1=-33\), и разликата \(d=4\) (на крајот на краиштата, ги додаваме четирите на претходниот елемент за да го најдеме следниот). Знаејќи го ова ајде да ја најдеме суматапрвите \(42\)-y елементи.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Сега збирот на првите \(25\) елементи.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cточка 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	И, конечно, го пресметуваме одговорот.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Одговор: \(S=1683\).

За аритметичка прогресија, има уште неколку формули кои не ги разгледавме во оваа статија поради нивната мала практична корисност. Сепак, можете лесно да ги најдете.

Прво ниво

Аритметичка прогресија. Детална теоријасо примери (2019)

Редоследот на броеви

Значи, да седнеме и да почнеме да пишуваме некои бројки. На пример:
Можете да напишете какви било броеви, а може да ги има онолку колку што сакате (во нашиот случај, ги има). Колку и да напишеме бројки, секогаш можеме да кажеме кој е прв, кој втор и така до последниот, односно да ги нумерираме. Ова е пример за броена низа:

Редоследот на броеви
На пример, за нашата низа:

Доделениот број е специфичен за само еден број во низата. Со други зборови, нема три втори броеви во низата. Вториот број (како и ти број) е секогаш ист.
Бројот со број се нарекува ти член од низата.

Обично ја нарекуваме целата низа со некоја буква (на пример,), и секој член од оваа низа е иста буква со индекс еднаков на бројот на овој член: .

Во нашиот случај:

Да речеме дека имаме броена низа, во која разликата помеѓу соседните броеви е иста и еднаква.
На пример:

итн.
Оваа бројна низа се нарекува аритметичка прогресија.
Терминот „прогресија“ бил воведен од римскиот автор Боетиј уште во 6 век и бил сфатен во повеќе во широка смисла, како бесконечна броена низа. Името „аритметика“ е пренесено од теоријата на континуирани пропорции, која ја проучувале античките Грци.

Ова е бројна низа, чиј член е еднаков на претходниот додаден на истиот број. Овој број се нарекува разлика на аритметичка прогресија и е означен.

Обидете се да одредите кои низи од броеви се аритметичка прогресија, а кои не се:

а)
б)
в)
г)

Разбрав? Ајде да ги споредиме нашите одговори:
Еаритметичка прогресија - b, c.
не еаритметичка прогресија - a, d.

Да се ​​вратиме на дадена прогресија() и обидете се да ја пронајдете вредноста на неговиот та член. Постои дваначин да го најдете.

1. Метод

Можеме да го додадеме бројот на прогресијата на претходната вредност додека не го достигнеме тиот член на прогресијата. Добро е што немаме многу да резимираме - само три вредности:

Значи, тиот член на опишаната аритметичка прогресија е еднаков на.

2. Метод

Што ако треба да ја најдеме вредноста на тиот член на прогресијата? Збирот би ни одзел повеќе од еден час, а не е факт дека не би грешиле при собирањето броеви.
Се разбира, математичарите дошле до начин на кој не е неопходно да се додаде разликата на аритметичката прогресија на претходната вредност. Погледнете ја подетално нацртаната слика... Сигурно веќе сте забележале одредена шема, и тоа:

На пример, да видиме од што се состои вредноста на тиот член на оваа аритметичка прогресија:


Со други зборови:

Обидете се сами да ја пронајдете вредноста на член на дадена аритметичка прогресија на овој начин.

Дали пресметавте? Споредете ги вашите белешки со одговорот:

Забележете дека го добивте точно истиот број како и во претходниот метод, кога последователно ги додадовме условите на аритметичката прогресија на претходната вредност.
Ајде да се обидеме да се „обезличиме“ оваа формула- ајде да ја доведеме до општа формаи добиваме:

Равенка за аритметичка прогресија.

Аритметичките прогресии може да се зголемуваат или намалуваат.

Зголемување- прогресии во кои секоја следна вредност на поимите е поголема од претходната.
На пример:

Опаѓачки- прогресии во кои секоја следна вредност на поимите е помала од претходната.
На пример:

Изведената формула се користи при пресметување на поими и во зголемување и во намалување на аритметичката прогресија.
Ајде да го провериме ова во пракса.
Ни е дадена аритметичка прогресија која се состои од следните броеви: Да провериме колкав ќе биде бројот на оваа аритметичка прогресија ако ја користиме нашата формула за да ја пресметаме:

Од тогаш:

Така, ние сме убедени дека формулата работи и во намалување и во зголемување на аритметичката прогресија.
Обидете се сами да ги пронајдете тите и членовите на оваа аритметичка прогресија.

Ајде да ги споредиме резултатите:

Својство на аритметичка прогресија

Ајде да го комплицираме проблемот - ќе го изведеме својството на аритметичка прогресија.
Да речеме дека ни е даден следниот услов:
- аритметичка прогресија, најдете ја вредноста.
Лесно, велиш и почнуваш да броиш според формулата што веќе ја знаеш:

Нека, ах, тогаш:

Апсолутно во право. Излегува дека прво наоѓаме, потоа го додаваме на првиот број и го добиваме она што го бараме. Ако прогресијата е претставена со мали вредности, тогаш нема ништо комплицирано во тоа, но што ако ни се дадени бројки во условот? Се согласувам, постои можност да се направи грешка во пресметките.
Сега размислете, дали е можно да се реши овој проблем во еден чекор користејќи некоја формула? Се разбира, да, и тоа е она што ќе се обидеме да го откриеме сега.

Да го означиме бараниот член на аритметичката прогресија како што ни е позната формулата за наоѓање - ова е истата формула што ја изведовме на почетокот:
, Потоа:

• претходниот термин на прогресијата е:
• следниот термин на прогресијата е:

Ајде да ги сумираме претходните и следните услови на прогресијата:

Излегува дека збирот на претходните и следните членови на прогресијата е двојната вредност на членот за прогресија што се наоѓа меѓу нив. Со други зборови, за да ја пронајдете вредноста на поимот за прогресија со познати претходни и последователни вредности, треба да ги додадете и поделите со.

Така е, го добивме истиот број. Ајде да го обезбедиме материјалот. Пресметајте ја вредноста за прогресијата сами, тоа не е воопшто тешко.

Добро сторено! Знаете речиси сè за прогресијата! Останува да дознаеме само една формула, која, според легендата, лесно ја заклучил еден од најголемите математичари на сите времиња, „кралот на математичарите“ - Карл Гаус...

Кога Карл Гаус имал 9 години, еден наставник, зафатен со проверка на работата на учениците во другите класови, ја доделил следната задача на часот: „Пресметај го збирот на сите природни броеви од до (според други извори до) инклузивно“. Замислете го изненадувањето на наставникот кога еден од неговите ученици (ова беше Карл Гаус) една минута подоцна го даде точниот одговор на задачата, додека повеќето од соучениците на храбриот, по долги пресметки, добија погрешен резултат...

Младиот Карл Гаус забележал одредена шема која лесно можете да ја забележите и вие.
Да речеме дека имаме аритметичка прогресија која се состои од -ти членови: Треба да го најдеме збирот на овие членови на аритметичката прогресија. Се разбира, можеме рачно да ги сумираме сите вредности, но што ако задачата бара да се најде збирот на нејзините поими, како што бараше Гаус?

Дозволете ни да ја прикажеме прогресијата што ни е дадена. Погледнете ги подетално истакнатите броеви и обидете се да извршите разни математички операции со нив.


Дали сте го пробале? Што забележавте? Во право! Нивните збирови се еднакви

Сега кажи ми колку такви парови има вкупно во прогресијата што ни е дадена? Се разбира, точно половина од сите бројки, т.е.
Врз основа на фактот дека збирот на два члена на аритметичка прогресија е еднаков, а слични парови се еднакви, добиваме дека вкупна количинае еднакво на:
.
Така, формулата за збир на првите членови на која било аритметичка прогресија ќе биде:

Кај некои проблеми не го знаеме поимот, но ја знаеме разликата во прогресијата. Обидете се да ја замените формулата на членот во формулата за сума.
Што доби?

Добро сторено! Сега да се вратиме на проблемот што му беше поставен на Карл Гаус: пресметајте сами колку е еднаков збирот на броеви кои почнуваат од th и збирот на броевите што почнуваат од th.

Колку добивте?
Гаус открил дека збирот на членовите е еднаков, и збирот на членовите. Дали така одлучивте?

Всушност, формулата за збирот на членовите на аритметичката прогресија била докажана од античкиот грчки научник Диофант уште во 3 век, и во текот на ова време духовити луѓецелосно ги искористил својствата на аритметичката прогресија.
На пример, замислете Антички Египети најмногу градба од големи размеритоа време - изградба на пирамида... На сликата е прикажана едната страна од неа.

Каде е тука прогресијата, велите? Погледнете внимателно и пронајдете шема во бројот на песочни блокови во секој ред од ѕидот на пирамидата.


Зошто не аритметичка прогресија? Пресметајте колку блокови се потребни за да се изгради еден ѕид ако на основата се поставени блок тули. Се надевам дека нема да броите додека го движите прстот преку мониторот, се сеќавате на последната формула и се што кажавме за аритметичката прогресија?

ВО во овој случајпрогресијата изгледа како на следниот начин: .
Разлика во аритметичката прогресија.
Број на членови на аритметичка прогресија.
Ајде да ги замениме нашите податоци во последните формули (да го пресметаме бројот на блокови на 2 начини).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да пресметате на мониторот: споредете ги добиените вредности со бројот на блокови што се во нашата пирамида. Разбрав? Браво, го совладавте збирот на n-ти членови на аритметичка прогресија.
Се разбира, не можете да изградите пирамида од блокови во основата, но од? Обидете се да пресметате колку песочни тули се потребни за да се изгради ѕид со оваа состојба.
Дали успеавте?
Точниот одговор е блокови:

Обука

Задачи:

1. Маша влегува во форма за лето. Секој ден таа го зголемува бројот на сквотови за. Колку пати Маша ќе прави чучњеви во една недела ако направи сквотови на првиот тренинг?
2. Колкав е збирот на сите непарни броеви содржани во.
3. При складирање на логови, дрвосечачите ги редат на таков начин што секој горен слојсодржи еден дневник помалку од претходниот. Колку трупци има во една ѕидарија, ако основата на ѕидањето е трупци?

Одговори:

1. Да ги дефинираме параметрите на аритметичката прогресија. Во овој случај
   (недели = денови).

   Одговор:За две недели, Маша треба да прави сквотови еднаш дневно.

2. Прво чуден број, последен број.
   Разлика во аритметичката прогресија.
   Бројот на непарни броеви во е половина, меѓутоа, ајде да го провериме овој факт користејќи ја формулата за наоѓање на членот на аритметичка прогресија:

   Броевите содржат непарни броеви.
   Ајде да ги замениме достапните податоци во формулата:

   Одговор:Збирот на сите непарни броеви содржани во е еднаков.

3. Да се ​​потсетиме на проблемот со пирамидите. За нашиот случај, a, бидејќи секој горен слој е намален за еден дневник, тогаш вкупно има еден куп слоеви, т.е.
   Да ги замениме податоците во формулата:

   Одговор:Во ѕидарството има трупци.

Ајде да го сумираме

1. - бројна низа во која разликата меѓу соседните броеви е иста и еднаква. Може да се зголемува или намалува.
2. Наоѓање формулаТерминот на аритметичката прогресија се запишува со формулата - , каде што е бројот на броеви во прогресијата.
3. Својство на членовите на аритметичка прогресија- - каде е бројот на броеви во прогресија.
4. Збирот на членовите на аритметичка прогресијаможе да се најде на два начина:
   
   , каде е бројот на вредности.

АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА. ПРОСЕЧНО НИВО

Редоследот на броеви

Ајде да седнеме и да почнеме да пишуваме некои бројки. На пример:

Можете да напишете какви било броеви, а може да ги има колку што сакате. Но, секогаш можеме да кажеме кој е прв, кој е втор и така натаму, односно можеме да ги броиме. Ова е пример за бројна низа.

Редоследот на броевие збир на броеви, од кои на секој може да му се додели единствен број.

Со други зборови, секој број може да се поврзе со одреден природен број и единствен. И ние нема да го доделиме овој број на кој било друг број од овој сет.

Бројот со бројот се нарекува ти член на низата.

Обично ја нарекуваме целата низа со некоја буква (на пример,), и секој член од оваа низа е иста буква со индекс еднаков на бројот на овој член: .

Многу е погодно ако ти член од низата може да се специфицира со некоја формула. На пример, формулата

ја поставува низата:

А формулата е следнава низа:

На пример, аритметичката прогресија е низа (првиот член овде е еднаков, а разликата е). Или (, разлика).

n-ти термин формула

Формулата ја нарекуваме рекурентна во која, за да го дознаете тиот член, треба да ги знаете претходните или неколку претходни:

За да го најдеме, на пример, тиот член на прогресијата користејќи ја оваа формула, ќе треба да ги пресметаме претходните девет. На пример, нека. Потоа:

Па, дали сега е јасно која е формулата?

Во секоја линија што ја додаваме, помножена со некој број. Кое? Многу едноставно: ова е бројот на тековниот член минус:

Сега е многу поудобно, нели? Проверуваме:

Одлучете сами:

Во аритметичка прогресија, најдете ја формулата за n-тиот член и најдете го стотиот член.

Решение:

Првиот член е еднаков. Што е разликата? Еве што:

(Затоа се нарекува разлика затоа што е еднаква на разликата на последователните членови на прогресијата).

Значи, формулата:

Тогаш стотиот член е еднаков на:

Колку изнесува збирот на сите природни броеви од до?

Според легендата, голем математичарКарл Гаус како 9-годишно момче ја пресметал оваа сума за неколку минути. Забележал дека збирот на првиот и последниот број е еднаков, збирот на вториот и претпоследниот е ист, збирот на третиот и третиот од крајот е ист итн. Колку такви парови има вкупно? Така е, точно половина од бројот на сите броеви, т.е. Значи,

Општата формула за збирот на првите членови на која било аритметичка прогресија ќе биде:

Пример:
Најдете го збирот на сите двоцифрени броеви, множители.

Решение:

Првата таква бројка е оваа. Секој нареден се добива со додавање на претходен датум. Така, броевите за кои нè интересира формираат аритметичка прогресија со првиот член и разликата.

Формула на тиот член за оваа прогресија:

Колку поими има во прогресијата ако сите треба да бидат двоцифрени?

Многу лесно: .

Последниот рок од прогресијата ќе биде еднаков. Потоа збирот:

Одговор:.

Сега одлучете сами:

1. Секој ден спортистот трча повеќе метри од претходниот ден. Колку километри вкупно ќе истрча за една недела ако истрча km m првиот ден?
2. Велосипедист поминува повеќе километри секој ден од претходниот ден. Првиот ден патувал км. Колку дена треба да патува за да помине еден километар? Колку километри ќе помине во последниот ден од своето патување?
3. Цената на фрижидерот во продавница секоја година се намалува за исто толку. Определете колку се намалувала цената на фрижидерот секоја година ако, ставен на продажба за рубли, шест години подоцна бил продаден за рубли.

Одговори:

1. Овде најважно е да се препознае аритметичката прогресија и да се одредат нејзините параметри. Во овој случај, (недели = денови). Треба да го одредите збирот на првите членови на оваа прогресија:
   .
   Одговор:
2. Тука е дадено: , мора да се најде.
   Очигледно, треба да ја користите истата формула за сума како во претходниот проблем:
   .
   Заменете ги вредностите:

   Коренот очигледно не одговара, па одговорот е.
   Ајде да ја пресметаме патеката помината во последниот ден користејќи ја формулата на членот:
   (км).
   Одговор:

3. Дадено:. Најдете:.
   Не може да биде поедноставно:
   (тријте).
   Одговор:

АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Ова е бројна низа во која разликата помеѓу соседните броеви е иста и еднаква.

Аритметичката прогресија може да се зголемува () и намалува ().

На пример:

Формула за наоѓање на n-ти член на аритметичка прогресија

се пишува со формулата, каде што е бројот на броеви во прогресија.

Својство на членовите на аритметичка прогресија

Тоа ви овозможува лесно да пронајдете член на прогресија ако се познати неговите соседни членови - каде е бројот на броеви во прогресијата.

Збир на членови на аритметичка прогресија

Постојат два начини да ја пронајдете сумата:

Каде е бројот на вредности.

Каде е бројот на вредности.

Мотото на нашата лекција ќе бидат зборовите на рускиот математичар В.П. Ермакова: „Во математиката не треба да се запамети формули, туку процеси на размислување“.

За време на часовите

Формулирање на проблемот

На таблата е портрет на Гаус. Наставник или ученик кој добил задача однапред да подготви порака вели дека кога Гаус бил на училиште, наставникот ги замолил учениците да ги соберат сите цели броевиод 1 до 100. Малиот Гаус го реши овој проблем за една минута.

Прашање . Како Гаус го добил одговорот?

Наоѓање решенија

Учениците ги изразуваат своите претпоставки, а потоа сумираат: сфаќајќи дека збировите се 1 + 100, 2 + 99 итн. се еднакви, Гаус помножил 101 со 50, односно со бројот на таквите збирови. Со други зборови, тој забележал шема која е вродена во аритметичката прогресија.

Изведување на формулата за збир nпрвите членови на аритметичка прогресија

Запишете ја темата на часот на табла и во вашите тетратки. Учениците заедно со наставникот го запишуваат заклучокот од формулата:

Нека а 1 ; а 2 ; а 3 ; а 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- аритметичка прогресија.

Примарна консолидација

1. Користејќи ја формулата (1), го решаваме Гаусовиот проблем:

2. Користејќи ја формулата (1), решавајте ги проблемите усно (нивните услови се напишани на табла или позитивен код), ( a n) - аритметичка прогресија:

А) а 1 = 2, а 10 = 20. С 10 - ?

б) а 1 = –5, а 7 = 1. С 7 - ? [–14]

V) а 1 = –2, а 6 = –17. С 6 - ? [–57]

G) а 1 = –5, а 11 = 5. С 11 - ?

3. Завршете ја задачата.

Со оглед на: ( a n) - аритметичка прогресија;

а 1 = 3, а 60 = 57.

Најдете: С 60 .

Решение. Да ја користиме формулата за сума nпрвите членови на аритметичка прогресија

Одговори: 1800.

Дополнително прашање.Колку видови на различни проблеми може да се решат користејќи ја оваа формула?

Одговори. Четири типа на задачи:

Најдете ја сумата С н;

Најдете го првиот член од аритметичката прогресија а 1 ;

Најдете nри член на аритметичка прогресија a n;

Најдете го бројот на членовите на аритметичка прогресија.

4. Завршена задача: бр. 369(б).

Најдете го збирот на првите шеесет членови од аритметичката прогресија ( a n), Ако а 1 = –10,5, а 60 = 51,5.

Решение.

Одговори: 1230.

Дополнително прашање. Запишете ја формулата nри член на аритметичка прогресија.

Одговори: a n = а 1 + г(n – 1).

5. Пресметајте ја формулата за првите девет членови од аритметичката прогресија ( b n),
Ако б 1 = –17, г = 6.

Дали е можно да се пресмета веднаш со помош на формула?

Не, бидејќи деветтиот мандат е непознат.

Како да го најдете?

Според формулата nри член на аритметичка прогресија.

Решение. б 9 = б 1 + 8г = –17 + 8∙6 = 31;

Одговори: 63.

Прашање. Дали е можно да се најде збирот без да се пресмета деветтиот член од прогресијата?

Формулирање на проблемот

Проблем: добијте ја формулата за збир nпрви членови на аритметичка прогресија, знаејќи го нејзиниот прв член и разлика г.

(Изведување формула на табла од страна на ученик.)

Ќе одлучиме бр. 371(а) за нова формула (2):

Дозволете ни вербално да воспоставиме формули (2) ( на табла се запишуваат условите на задачите).

(a n

1. а 1 = 3, г = 4. С 4 - ?

2. а 1 = 2, г = –5. С 3 - ? [–9]

Откријте од учениците кои прашања се нејасни.

Самостојна работа

Опција 1

Со оглед на: (a n) - аритметичка прогресија.

1. а 1 = –3, а 6 = 21. С 6 - ?

2. а 1 = 6, г = –3. С 4 - ?

Опција 2

Со оглед на: (a n) - аритметичка прогресија.

1.а 1 = 2, а 8 = –23. С 8 - ? [–84]

2.а 1 = –7, г = 4. С 5 - ?

Учениците разменуваат тетратки и си ги проверуваат решенијата.

Сумирајте го учењето на материјалот врз основа на резултатите од самостојната работа.