ಯಾವ ವಿಧದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿವೆ? ಪಾಠ "ಬಹುಭುಜಗಳು"

ವಿಷಯ: ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು - 8 ನೇ ತರಗತಿ:

ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರದ ಪಕ್ಕದ ಭಾಗಗಳ ರೇಖೆಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುರಿದ ರೇಖೆ.

ವಿಭಾಗಗಳ ತುದಿಗಳು ಶಿಖರಗಳು.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ವಿಭಾಗವು ಲಿಂಕ್.

ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೊತ್ತಗಳು ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ಉದ್ದಮುರಿದ ರೇಖೆ ಉದಾಹರಣೆಗೆ, AM + ME + EK + KO = ಮುರಿದ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದ

ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಮುಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಇದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ(ಮೇಲೆ ನೋಡು) .

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿನ ಲಿಂಕ್‌ಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಕ್ಷಗಳು.

ಅಡ್ಡ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ - ಪರಿಧಿಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ.

ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಲಗಿರುವ ಶೃಂಗಗಳು ನೆರೆಯ.

ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗ ನೆರೆಯ ಶಿಖರಗಳು, ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ ಕರ್ಣೀಯವಾಗಿ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆದರು ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ: ಪೆಂಟಗನ್, ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಒಳಗಿರುವ ಎಲ್ಲವೂ ಒಳ ಭಾಗವಿಮಾನ, ಮತ್ತು ಹೊರಗಿನ ಎಲ್ಲವೂ - ವಿಮಾನದ ಹೊರ ಭಾಗ.

ಸೂಚನೆ! ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ- ಇದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಹೆಚ್ಚುವರಿಗಳಿವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳುಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಅದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ.

ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಪ್ರತಿ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ಮಾನಸಿಕವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು (ಅಥವಾ ರೇಖಾಚಿತ್ರದೊಂದಿಗೆ), ನಾವು ಪ್ರತಿ ಬದಿಯನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳಂತೆ ಅನೇಕ ಕೋನಗಳು.

ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (n-2)*180°. n ಎಂಬುದು ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಸರಿಯಾದ, ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಇಲ್ಲಿ n ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ): 180° * (n-2) / n

ಕೆಳಗೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು, ಅವುಗಳ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಒಂದು ಕೋನವು ಯಾವುದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ:

​​​​​​​

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪ್ರಾರಂಭಿಸುತ್ತೇವೆ ಹೊಸ ವಿಷಯಮತ್ತು ನಮಗೆ ಹೊಸ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ: "ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ". ನಾವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ನೋಡುತ್ತೇವೆ: ಬದಿಗಳು, ಶೃಂಗದ ಕೋನಗಳು, ಪೀನ ಮತ್ತು ನಾನ್‌ಕನ್ವೆಕ್ಸಿಟಿ. ನಂತರ ನಾವು ಸಾಬೀತು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖ ಸಂಗತಿಗಳು, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ನಾವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಹತ್ತಿರ ಬರುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ಮುಂದಿನ ಪಾಠಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವಿಷಯ: ಚತುರ್ಭುಜಗಳು

ಪಾಠ: ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು

ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಕೋರ್ಸ್ನಲ್ಲಿ, ನಾವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸರಳವಾದವುಗಳನ್ನು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಶೀಲಿಸಿದ್ದೇವೆ: ತ್ರಿಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ವಲಯಗಳು. ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಆಯತಾಕಾರದ, ಸಮದ್ವಿಬಾಹುಗಳು ಮತ್ತು ಈ ಅಂಕಿಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಿದ್ದೇವೆ ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನಗಳು. ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮಾನ್ಯ ಮತ್ತು ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡಲು ಸಮಯ ಸಂಕೀರ್ಣ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳು - ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು.

ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳುನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದೇವೆ - ಇದು ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 1 ನೋಡಿ).

ಅಕ್ಕಿ. 1. ತ್ರಿಕೋನ

ಇದು ಮೂರು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವ್ಯಕ್ತಿ ಎಂದು ಹೆಸರು ಈಗಾಗಲೇ ಒತ್ತಿಹೇಳುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ರಲ್ಲಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಇರಬಹುದು, ಅಂದರೆ. ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಪೆಂಟಗನ್ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ), ಅಂದರೆ. ಐದು ಮೂಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಚಿತ್ರ.

ಅಕ್ಕಿ. 2. ಪೆಂಟಗನ್. ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ- ಹಲವಾರು ಅಂಕಗಳನ್ನು (ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು) ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಕಿ. ಈ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಶಿಖರಗಳುಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳು ಪಕ್ಷಗಳು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳು ಒಂದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ.

ಯಾವುದಾದರು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿವಿಮಾನವನ್ನು ಎರಡು ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುತ್ತದೆ: ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ. ಆಂತರಿಕ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಸಹ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅವರು ಪೆಂಟಗನ್ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವಾಗ, ಅವರು ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಂತರಿಕ ಪ್ರದೇಶ ಮತ್ತು ಅದರ ಗಡಿ ಎರಡನ್ನೂ ಅರ್ಥೈಸುತ್ತಾರೆ. ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಪ್ರದೇಶವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೊಳಗೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ, ಅಂದರೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಪೆಂಟಗನ್ ಅನ್ನು ಸಹ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 2 ನೋಡಿ).

ಕೆಲವು ಅಜ್ಞಾತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಕೋನಗಳ (n ತುಣುಕುಗಳು) ಇರುವಿಕೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ಒತ್ತಿಹೇಳಲು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ n-gons ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪರಿಧಿ- ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ.

ಈಗ ನಾವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರಕಾರಗಳೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಅವುಗಳನ್ನು ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಪೀನಮತ್ತು ಅಲ್ಲದ ಪೀನ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ. 2 ಪೀನವಾಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ. 3 ಪೀನವಲ್ಲದ.

ಅಕ್ಕಿ. 3. ನಾನ್-ಕನ್ವೆಕ್ಸ್ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 1. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಎಂದು ಕರೆದರು ಪೀನ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಬದಿಗಳ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುವಾಗ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ. ಪೀನವಲ್ಲದಎಲ್ಲರೂ ಇದ್ದಾರೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು.

ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಪೆಂಟಗನ್‌ನ ಯಾವುದೇ ಭಾಗವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುವಾಗ ಊಹಿಸುವುದು ಸುಲಭ. 2 ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. ಇದು ಪೀನವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಚತುರ್ಭುಜದ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುವಾಗ. 3 ಅದನ್ನು ಎರಡು ಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ನೋಡುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. ಅದು ಪೀನವಾಗಿಲ್ಲ.

ಆದರೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪೀನದ ಇನ್ನೊಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ 2. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಎಂದು ಕರೆದರು ಪೀನ, ಅದರ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಆರಿಸುವಾಗ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಒಂದು ವಿಭಾಗದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸುವಾಗ, ವಿಭಾಗದ ಎಲ್ಲಾ ಬಿಂದುಗಳು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿವೆ.

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಬಳಕೆಯ ಪ್ರದರ್ಶನವನ್ನು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು. 2 ಮತ್ತು 3.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಕರ್ಣೀಯಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು, ಎರಡು ಇವೆ ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಮೇಯಗಳುಅವರ ಕೋನಗಳ ಬಗ್ಗೆ: ಆಂತರಿಕ ಕೋನದ ಮೊತ್ತ ಪ್ರಮೇಯ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಮತ್ತು ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಪ್ರಮೇಯ. ಅವುಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ (ಎನ್-ಗೊನ್).

ಅದರ ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಬದಿಗಳು).

ಪುರಾವೆ 1. ನಾವು ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಚಿತ್ರಿಸೋಣ. 4 ಪೀನ n-gon.

ಅಕ್ಕಿ. 4. ಕಾನ್ವೆಕ್ಸ್ ಎನ್-ಗೊನ್

ಶೃಂಗದಿಂದ ನಾವು ಸಾಧ್ಯವಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅವರು n-gon ಅನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತಾರೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಶೃಂಗದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಗಳು ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಎಲ್ಲಾ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು n-gon ನ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಚಿತ್ರದಿಂದ ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ. ಯಾವುದೇ ತ್ರಿಕೋನದ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, n-gon ನ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ:

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪುರಾವೆ 2. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಮತ್ತೊಂದು ಪುರಾವೆ ಸಾಧ್ಯ. ಅಂಜೂರದಲ್ಲಿ ಇದೇ ರೀತಿಯ n-gon ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. 5 ಮತ್ತು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಪಡಿಸಿ.

ಅಕ್ಕಿ. 5.

ನಾವು n-gon ನ ವಿಭಜನೆಯನ್ನು n ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ (ತ್ರಿಕೋನಗಳಿರುವಷ್ಟು ಬದಿಗಳು). ಅವುಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದು, ಮತ್ತು ಇದು ಕೋನವಾಗಿದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ, n-gon ನ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅದರ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ (n ನಲ್ಲಿ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು . ಚತುರ್ಭುಜದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಪ್ರಮೇಯ. ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದಲ್ಲಿ (ಎನ್-ಗೊನ್).

ಅದರ ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ (ಬದಿಗಳು), ಮತ್ತು , ..., ಅವು ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳಾಗಿವೆ.

ಪುರಾವೆ. ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಪೀನ n-gon ಅನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ. 6 ಮತ್ತು ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿ.

ಅಕ್ಕಿ. 6. ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳೊಂದಿಗೆ ಪೀನ n-gon

ಏಕೆಂದರೆ ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿಪಕ್ಕದ ಆಂತರಿಕ ಜೊತೆ ಸಂಪರ್ಕ, ನಂತರ ಮತ್ತು ಅದೇ ರೀತಿ ಉಳಿದ ಬಾಹ್ಯ ಮೂಲೆಗಳಿಗೆ. ನಂತರ:

ರೂಪಾಂತರಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ನಾವು n-gon ನ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಬೀತಾಗಿರುವ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ.

ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಸಾಬೀತಾದ ಪ್ರಮೇಯದಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ವಾಸ್ತವ, ಅದು ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತ ಪೀನ n-gonಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಅದರ ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲೆ (ಬದಿಗಳು). ಮೂಲಕ, ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

1. ಅಲೆಕ್ಸಾಂಡ್ರೊವ್ ಎ.ಡಿ. ಮತ್ತು ಇತರರು ಜ್ಯಾಮಿತಿ, 8 ನೇ ತರಗತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2006.
2. ಬುಟುಜೋವ್ ವಿ.ಎಫ್., ಕಡೊಮ್ಟ್ಸೆವ್ ಎಸ್.ಬಿ., ಪ್ರಸೊಲೊವ್ ವಿ.ವಿ. ಜ್ಯಾಮಿತಿ, 8 ನೇ ತರಗತಿ. - ಎಂ.: ಶಿಕ್ಷಣ, 2011.
3. ಮೆರ್ಜ್ಲ್ಯಾಕ್ ಎ.ಜಿ., ಪೊಲೊನ್ಸ್ಕಿ ವಿ.ಬಿ., ಯಾಕಿರ್ ಎಸ್.ಎಂ. ಜ್ಯಾಮಿತಿ, 8 ನೇ ತರಗತಿ. - ಎಂ.: ವೆಂಟಾನಾ-ಗ್ರಾಫ್, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

ಮನೆಕೆಲಸ

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಚಿತ್ರ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸ್ವಯಂ-ಛೇದಕಗಳಿಲ್ಲದೆಯೇ ಮುಚ್ಚಿದ ಮುರಿದ ರೇಖೆ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ (ಸರಳ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (ಅಂಜೂರ 1a)), ಆದರೆ ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಸ್ವಯಂ ಛೇದಕಗಳನ್ನು ಅನುಮತಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ನಂತರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಸರಳವಾಗಿಲ್ಲ).

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳು ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಯ ತುದಿಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಪಕ್ಕದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಅಕ್ಕಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಕರ್ಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೋನ (ಅಥವಾ ಆಂತರಿಕ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ) ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೋನವು ಈ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುವ ಅದರ ಬದಿಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಕೋನವನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಯಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಪೀನವಲ್ಲದಿದ್ದಲ್ಲಿ ಕೋನವು 180° ಮೀರಬಹುದು.

ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವು ಈ ಶೃಂಗದಲ್ಲಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನದ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನವಾಗಿದೆ. IN ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣಬಾಹ್ಯ ಕೋನವು 180 ° ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಕೋನದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಪ್ರತಿ ಶೃಂಗದಿಂದ > 3 ಕ್ಕೆ 3 ಕರ್ಣಗಳಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಒಟ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆತ್ರಿಕೋನದ ಕರ್ಣಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಾಲ್ಕು - ಒಂದು ಚತುರ್ಭುಜ, ಐದು - ಒಂದು ಪೆಂಟಗನ್, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಜೊತೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎನ್ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ n-ಚೌಕ.

ಸಮತಟ್ಟಾದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಒಂದು ಆಕೃತಿ ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸೀಮಿತವಾದ ಪ್ರದೇಶದ ಸೀಮಿತ ಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ.

ಕೆಳಗಿನ (ಸಮಾನ) ಷರತ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಪೀನ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

• 1. ಇದು ಅದರ ನೆರೆಯ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಯಾವುದೇ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತದೆ. (ಅಂದರೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಅದರ ಇತರ ಬದಿಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ);
• 2. ಇದು ಒಂದು ಛೇದಕವಾಗಿದೆ (ಅಂದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾಗ) ಹಲವಾರು ಅರ್ಧ-ವಿಮಾನಗಳು;
• 3. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ತುದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ವಿಭಾಗವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ.

ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ನಿಯಮಿತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಮಕೋನ ತ್ರಿಕೋನ, ಚೌಕ ಮತ್ತು ಪೆಂಟಗನ್.

ಒಂದು ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಕೆಲವು ವೃತ್ತವನ್ನು ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದರೆ ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತುವರಿದಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ

ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು:

1 ಪೀನ-ಗಾನ್‌ನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಕರ್ಣವು, ಅಲ್ಲಿ >3, ಅದನ್ನು ಎರಡು ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಾಗಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ.

2 ಪೀನ ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

D-vo: ನಾವು ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಗಣಿತದ ಪ್ರೇರಣೆ. = 3 ನಲ್ಲಿ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಮೇಯವು ಒಂದು -ಗೊನ್, ಅಲ್ಲಿ ನಿಜವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸೋಣ <, ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ -ಗೋನ್.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿರಲಿ. ಈ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕರ್ಣವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ಪ್ರಮೇಯ 3 ರ ಪ್ರಕಾರ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಪೀನ ತ್ರಿಕೋನವಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಲಾಗಿದೆ (ಚಿತ್ರ 5). ಇಂಡಕ್ಷನ್ ಊಹೆಯ ಮೂಲಕ. ಇನ್ನೊಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ, . ಈ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವುದು (- ಆಂತರಿಕ ಕೋನ ಕಿರಣ ) ಮತ್ತು (- ಆಂತರಿಕ ಕೋನ ಕಿರಣ ), ನಾವು ಪಡೆದಾಗ: .

3 ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸುತ್ತಲೂ ನೀವು ವೃತ್ತವನ್ನು ವಿವರಿಸಬಹುದು, ಮತ್ತು ಕೇವಲ ಒಂದು.

D-vo: ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿರಲಿ, ಮತ್ತು ಕೋನಗಳ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು (ಚಿತ್ರ 150). ಅಂದಿನಿಂದ, ಆದ್ದರಿಂದ, * 180 °< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке ಬಗ್ಗೆ.ಅದನ್ನು ಸಾಬೀತು ಮಾಡೋಣ ಓ = OA 2 = ಬಗ್ಗೆ =… = OA ಪ . ತ್ರಿಕೋನ ಬಗ್ಗೆಸಮದ್ವಿಬಾಹು, ಆದ್ದರಿಂದ ಬಗ್ಗೆ= ಬಗ್ಗೆ. ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ಎರಡನೇ ಮಾನದಂಡದ ಪ್ರಕಾರ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಬಗ್ಗೆ = ಬಗ್ಗೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಅದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ ಬಗ್ಗೆ = ಬಗ್ಗೆಇತ್ಯಾದಿ ಆದ್ದರಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಗ್ಗೆಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳಿಂದ ಸಮಾನ ದೂರದಲ್ಲಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ವೃತ್ತ ಬಗ್ಗೆತ್ರಿಜ್ಯ ಬಗ್ಗೆಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಸುತ್ತುವರಿದಿದೆ.

ಕೇವಲ ಒಂದು ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತವಿದೆ ಎಂದು ಈಗ ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೆಲವು ಮೂರು ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎ 2 , . ಕೇವಲ ಒಂದು ವೃತ್ತವು ಈ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವುದರಿಂದ, ನಂತರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸುತ್ತಲೂ … ನೀವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ವಲಯಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

• 4 ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ವೃತ್ತವನ್ನು ಕೆತ್ತಬಹುದು, ಮತ್ತು ಒಂದೇ ಒಂದು.
• 5 ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ.
• 6 ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಅದೇ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರದೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.
• 7 ಸಮ್ಮಿತಿ:

ಈ ಅಂಕಿಅಂಶವನ್ನು ಸ್ವತಃ ಭಾಷಾಂತರಿಸುವ ಅಂತಹ ಚಲನೆ (ಒಂದೇ ಅಲ್ಲ) ಇದ್ದರೆ ಆಕೃತಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತಿ (ಸಮ್ಮಿತೀಯ) ಇದೆ ಎಂದು ಅವರು ಹೇಳುತ್ತಾರೆ.

• 7.1. ಸಾಮಾನ್ಯ ತ್ರಿಕೋನವು ಯಾವುದೇ ಅಕ್ಷಗಳು ಅಥವಾ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ; ಸಮದ್ವಿಬಾಹು (ಆದರೆ ಸಮಬಾಹು ಅಲ್ಲ) ತ್ರಿಕೋನವು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಒಂದು ಅಕ್ಷವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ತಳಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ದ್ವಿಭಾಜಕ.
• 7.2 ಒಂದು ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವು 120 ° ತಿರುಗುವ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಕೇಂದ್ರದ ಸುತ್ತ ಮೂರು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು (ಬದಿಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾದ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳು) ಮತ್ತು ತಿರುಗುವ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

7.3 ಯಾವುದೇ ನಿಯಮಿತ n-gon ಸಮರೂಪದ n ಅಕ್ಷಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ, ಅವೆಲ್ಲವೂ ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ. ಇದು ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಕೋನದೊಂದಿಗೆ ಕೇಂದ್ರದ ಬಗ್ಗೆ ತಿರುಗುವಿಕೆಯ ಸಮ್ಮಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಹೊಂದಿದೆ.

ಯಾವಾಗ ಸಮ ಎನ್ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೆಲವು ಅಕ್ಷಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಶೃಂಗಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ, ಇತರವುಗಳು ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳ ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತವೆ.

ಬೆಸಕ್ಕೆ ಎನ್ಪ್ರತಿ ಅಕ್ಷವು ಎದುರು ಭಾಗದ ಮೇಲ್ಭಾಗ ಮತ್ತು ಮಧ್ಯದ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ.

ಸಮ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೇಂದ್ರವು ಅದರ ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದೆ. ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಸಮ್ಮಿತಿಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ.

8 ಸಾಮ್ಯತೆ:

ಸಾಮ್ಯತೆ ಮತ್ತು -ಗಾನ್‌ನೊಂದಿಗೆ -ಗೊನ್‌ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಅರ್ಧ-ಪ್ಲೇನ್ ಅರ್ಧ-ಪ್ಲೇನ್‌ಗೆ ಹೋಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪೀನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎನ್-ಗೊನ್ ಪೀನವಾಗುತ್ತದೆ ಎನ್-ಗೊನ್.

ಪ್ರಮೇಯ: ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಿದರೆ:

ವೇದಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕ ಎಲ್ಲಿದೆ

ನಂತರ ಈ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಹೋಲುತ್ತವೆ.

• 8.1 ಎರಡು ರೀತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪರಿಧಿಗಳ ಅನುಪಾತವು ಹೋಲಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• 8.2 ಎರಡು ಪೀನ ಸಮಾನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಅನುಪಾತವು ಹೋಲಿಕೆಯ ಗುಣಾಂಕದ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ತ್ರಿಕೋನ ಪರಿಧಿಯ ಪ್ರಮೇಯ

ಮುಚ್ಚಿದ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯಿಂದ ಸುತ್ತುವರಿದ ಸಮತಲದ ಭಾಗವನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ಮುರಿದ ರೇಖೆಯ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪಕ್ಷಗಳುಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ. AB, BC, CD, DE, EA (Fig. 1) ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ABCDE ಯ ಬದಿಗಳಾಗಿವೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪರಿಧಿ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪೀನ, ಅದು ಅದರ ಯಾವುದೇ ಬದಿಯ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿದ್ದರೆ, ಎರಡೂ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಮೀರಿ ಅನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

MNPKO ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ (Fig. 1) ಪೀನವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು KR ನೇರ ರೇಖೆಯ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಬದಿಗಳಲ್ಲಿದೆ.

ನಾವು ಪೀನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಬದಿಗಳಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಆಂತರಿಕಮೂಲೆಗಳು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಮೇಲ್ಭಾಗಗಳು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಶೃಂಗಗಳು.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕರ್ಣ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

AC, AD - ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕರ್ಣಗಳು (ಚಿತ್ರ 2).

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನಗಳನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 3).

ಕೋನಗಳ (ಬದಿಗಳು) ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನ, ಚತುರ್ಭುಜ, ಪೆಂಟಗನ್, ಇತ್ಯಾದಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಮೂಲಕ ಒಟ್ಟಿಗೆ ತರಬಹುದಾದರೆ ಅವು ಸರ್ವಸಮಾನವೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕೆತ್ತಲಾದ ಮತ್ತು ಸುತ್ತುವರಿದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಶೃಂಗಗಳು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ನಂತರ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆವೃತ್ತಕ್ಕೆ, ಮತ್ತು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ - ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಳಿ (ಅಂಜೂರ).

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಶವಾಗಿದ್ದರೆ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆವೃತ್ತದ ಬಗ್ಗೆ, ಮತ್ತು ವೃತ್ತವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಕೆತ್ತಲಾಗಿದೆಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯೊಳಗೆ (ಚಿತ್ರ).

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಹೋಲಿಕೆ

ಒಂದೇ ಹೆಸರಿನ ಎರಡು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಒಂದು ಕೋನಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದರ ಕೋನಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಸಮಾನ ಬದಿಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಸಮಾನವೆಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಿಗಳನ್ನು (ಕೋನಗಳು) ಹೊಂದಿರುವ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಅದೇ ಹೆಸರಿನ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮಾನ ಕೋನಗಳ ಶೃಂಗಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ABCDE ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ A'B'C'D'E' ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಇದು ಅವಶ್ಯಕ: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' ಮತ್ತು, ಜೊತೆಗೆ, AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪರಿಧಿಗಳ ಅನುಪಾತ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಮಾನ ಅನುಪಾತಗಳ ಸರಣಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಪಾತಗಳನ್ನು ಹೊಂದೋಣ: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

ಈ ಸಂಬಂಧಗಳ ಹಿಂದಿನ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಂತರದ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

ನಾವು ಕೆಲವು ಇತರ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸರಣಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ನಾವು ಅದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 ಹಿಂದಿನ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಈ ಸಂಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ನಂತರದ ಮೊತ್ತ, ಮತ್ತು ನಂತರ ಈ ಮೊತ್ತಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

ಎರಡೂ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ಸಮಾನ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸರಣಿಯ ಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯರ ಮೊತ್ತವು ಅದೇ ಸರಣಿಯ ನಂತರದ ಸದಸ್ಯರ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಈ ಯಾವುದೇ ಸಂಬಂಧಗಳ ಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯ ಅದರ ನಂತರದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ.

ಹಲವಾರು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ ನಾವು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಇದನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಈಗ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪರಿಧಿಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ABCDE ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ A'B'C'D'E' (Fig).

ಈ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ಅದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’

ಸಮಾನ ಅನುಪಾತಗಳ ಸರಣಿಗಾಗಿ ನಾವು ಪಡೆದ ಆಸ್ತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ನಾವು ಬರೆಯಬಹುದು:

ನಾವು ತೆಗೆದುಕೊಂಡ ಸಂಬಂಧಗಳ ಹಿಂದಿನ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವು ಮೊದಲ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ (P) ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಈ ಸಂಬಂಧಗಳ ನಂತರದ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಎರಡನೇ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ (P') ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ P / P ' = AB / A'B'.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪರಿಧಿಗಳು ಅವುಗಳ ಸಮಾನ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಅನುಪಾತ

ABCDE ಮತ್ತು A'B'C'D'E' ಒಂದೇ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ).

ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' ಮತ್ತು ΔADE ~ ΔA'D'E' ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ.

ಜೊತೆಗೆ,

;

ಈ ಅನುಪಾತಗಳ ಎರಡನೇ ಅನುಪಾತಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಹೋಲಿಕೆಯಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ

ಸಮಾನ ಅನುಪಾತಗಳ ಸರಣಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಥವಾ

ಅಲ್ಲಿ S ಮತ್ತು S' ಈ ರೀತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಬದಿಗಳ ಚೌಕಗಳಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ.

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ರೂಪಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತಿಸಬಹುದು: S / S' = (AB / A'B') 2

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶ

ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಚತುರ್ಭುಜ ABC (Fig.) ಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರಲಿ.

ಅದರಲ್ಲಿ ಕರ್ಣವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕ್ರಿ.ಶ. ನಾವು ಎಬಿಡಿ ಮತ್ತು ಎಸಿಡಿ ಎಂಬ ಎರಡು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ನಂತರ ನಾವು ಈ ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೊತ್ತವು ಈ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ಪೆಂಟಗನ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬೇಕಾದರೆ, ನಾವು ಅದೇ ಕೆಲಸವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ನಾವು ಶೃಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರಿಂದ ಕರ್ಣಗಳನ್ನು ಸೆಳೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಮೂರು ತ್ರಿಕೋನಗಳನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದರ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಈ ಪೆಂಟಗನ್ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಯಾವುದೇ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಾಗ ನಾವು ಅದೇ ರೀತಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ.

ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಯೋಜಿತ ಪ್ರದೇಶ

ಒಂದು ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ನಡುವಿನ ಕೋನ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ (ಚಿತ್ರ.).

ಪ್ರಮೇಯ. ಸಮತಲದ ಮೇಲೆ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ರದೇಶವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಪ್ಲೇನ್‌ನಿಂದ ರೂಪುಗೊಂಡ ಕೋನದ ಕೊಸೈನ್‌ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದ ಯೋಜಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ತ್ರಿಕೋನಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಬಹುದು, ಅದರ ಪ್ರದೇಶಗಳ ಮೊತ್ತವು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ತ್ರಿಕೋನಕ್ಕೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಸಾಕು.

ΔАВС ಅನ್ನು ವಿಮಾನದ ಮೇಲೆ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಿಸೋಣ ಆರ್. ಎರಡು ಪ್ರಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ:

a) ΔABC ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಆರ್;

ಬಿ) ΔABC ಯಾವುದೇ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿಲ್ಲ ಆರ್.

ಪರಿಗಣಿಸೋಣ ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣ: ಅವಕಾಶ [AB] || ಆರ್.

(AB) ಮೂಲಕ ವಿಮಾನವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಆರ್ 1 || ಆರ್ಮತ್ತು ಪ್ರಾಜೆಕ್ಟ್ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿ ΔАВС ಆನ್ ಆರ್ 1 ಮತ್ತು ಮೇಲೆ ಆರ್(ಅಕ್ಕಿ.); ನಾವು ΔАВС 1 ಮತ್ತು ΔА'В'С' ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಆಸ್ತಿಯ ಮೂಲಕ ನಾವು ΔАВС 1 (ಕಾಂಗ್) ΔА'В'С' ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ

S Δ ABC1 = S Δ A'B'C'

⊥ ಮತ್ತು ವಿಭಾಗ D 1 C 1 ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ. ನಂತರ ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ ಎಂಬುದು ಸಮತಲ ΔABC ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಆರ್ 1 . ಅದಕ್ಕೇ

S Δ ABC1 = 1 / 2 | ಎಬಿ | | C 1 D 1 | = 1/2 | ಎಬಿ | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC ಕಾಸ್ φ

ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

ಪರಿಗಣಿಸಲು ಮುಂದುವರಿಯೋಣ ಎರಡನೇ ಪ್ರಕರಣ. ವಿಮಾನವನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ ಆರ್ 1 || ಆರ್ಆ ಶೃಂಗದ ಮೂಲಕ ΔАВС, ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇರುವ ಅಂತರ ಆರ್ಚಿಕ್ಕದು (ಇದು ಶೃಂಗ A ಆಗಿರಲಿ).

ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ ΔАВС ಅನ್ನು ಯೋಜಿಸೋಣ ಆರ್ 1 ಮತ್ತು ಆರ್(ಅಕ್ಕಿ.); ಅದರ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಗಳು ಕ್ರಮವಾಗಿ ΔАВ 1 С 1 ಮತ್ತು ΔА'В'С' ಆಗಿರಲಿ.

ಲೆಟ್ (BC) ∩ ಪ 1 = D. ನಂತರ

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC ಕಾಸ್ φ

ಇತರ ವಸ್ತುಗಳು

ತ್ರಿಕೋನ, ಚದರ, ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿ - ಈ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿವೆ. ಆದರೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ ಏನೆಂದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಇವುಗಳೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಕೋನಗಳು ಮತ್ತು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಅಂತಹ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಬಹಳಷ್ಟು ಇವೆ, ಆದರೆ ಅವೆಲ್ಲವೂ ಒಂದೇ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಮತ್ತು ಅದೇ ಸೂತ್ರಗಳು ಅವರಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ.

ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿ, ಅದು ಚೌಕ ಅಥವಾ ಅಷ್ಟಭುಜವಾಗಿರಬಹುದು, ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಬಹುದು. ಆಕೃತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುವಾಗ ಈ ಮೂಲ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಜೊತೆಗೆ, ಒಂದು ವೃತ್ತವನ್ನು ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಬಹುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸಂಪರ್ಕದ ಬಿಂದುಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅದರ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ವೃತ್ತವು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಕೇಂದ್ರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದು ಮುಖ್ಯ. ಈ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಒಂದೇ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಗೆ ಒಳಪಟ್ಟಿರುತ್ತವೆ. ನಿಯಮಿತ n-gon ನ ಯಾವುದೇ ಭಾಗವು ಅದರ ಸುತ್ತಲಿನ R ವೃತ್ತದ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು: a = 2R ∙ sin180°. ಮೂಲಕ ನೀವು ಬದಿಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರವಲ್ಲ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪರಿಧಿಯನ್ನೂ ಸಹ ಕಾಣಬಹುದು.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ

ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿಭಾಗಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದು ಸಂಪರ್ಕಗೊಂಡಾಗ ಮುಚ್ಚಿದ ರೇಖೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಫಲಿತಾಂಶದ ಆಕೃತಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಕೋನಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸರಳ ಮತ್ತು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸಲಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ಗುಂಪು ತ್ರಿಕೋನ ಮತ್ತು ಚೌಕವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳು ಹೆಚ್ಚು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ನಕ್ಷತ್ರಾಕಾರದ ಆಕೃತಿಗಳೂ ಸೇರಿವೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ, ಬದಿಗಳನ್ನು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತುವ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡೋಣ. n ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. ಅದರ ಸುತ್ತಲೂ ವೃತ್ತವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ. R ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಿ. ಈಗ ನಿಮಗೆ ಕೆಲವು n-gon ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸಿ. ಅದರ ಕೋನಗಳ ಬಿಂದುಗಳು ವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು: a = 2R ∙ sinα: 2.

ಕೆತ್ತಲಾದ ನಿಯಮಿತ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಸಮಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಾಗಿದೆ. ಚೌಕ ಮತ್ತು ಎನ್-ಗೊನ್‌ಗೆ ಅದೇ ಸೂತ್ರಗಳು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ತ್ರಿಕೋನವು ಅದರ ಬದಿಗಳು ಉದ್ದದಲ್ಲಿ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ ಅದನ್ನು ನಿಯಮಿತವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕೋನಗಳು 60⁰ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬದಿಯ ಉದ್ದದೊಂದಿಗೆ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸೋಣ a. ಅದರ ಮಧ್ಯ ಮತ್ತು ಎತ್ತರವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ಅದರ ಬದಿಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು a = x: cosα ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ, ಅಲ್ಲಿ x ಮಧ್ಯದ ಅಥವಾ ಎತ್ತರವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನದ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು a = b = c ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಹೇಳಿಕೆಯು ನಿಜವಾಗುತ್ತದೆ: a = b = c = x: cosα. ಅಂತೆಯೇ, ನೀವು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ ಬದಿಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು, ಆದರೆ x ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎತ್ತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಆಕೃತಿಯ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಯೋಜಿಸಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ, ಎತ್ತರ x ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, a = b = x: cosα ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. a ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡ ನಂತರ, ನೀವು ಬೇಸ್ c ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ. ನಾವು ಅರ್ಧ ಬೇಸ್ c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ c = 2xtanα. ಈ ಸರಳ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಯಾವುದೇ ಕೆತ್ತಲಾದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಲಾದ ಚೌಕದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು

ಯಾವುದೇ ಇತರ ಕೆತ್ತಲಾದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯಂತೆ, ಒಂದು ಚೌಕವು ಸಮಾನ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ. ತ್ರಿಕೋನದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸೂತ್ರಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಕರ್ಣೀಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನೀವು ಚೌಕದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಕರ್ಣವು ಕೋನವನ್ನು ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಇದರ ಮೌಲ್ಯ 90 ಡಿಗ್ರಿ. ಹೀಗಾಗಿ, ವಿಭಜನೆಯ ನಂತರ, ತಳದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಕೋನಗಳು 45 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂತೆಯೇ, ಚೌಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬದಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, ಇಲ್ಲಿ e ಎಂಬುದು ಚೌಕದ ಕರ್ಣ, ಅಥವಾ ನಂತರ ರೂಪುಗೊಂಡ ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ತಳ ವಿಭಾಗ. ಚೌಕದ ಬದಿಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ಏಕೈಕ ಮಾರ್ಗವಲ್ಲ. ಈ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ವೃತ್ತದಲ್ಲಿ ಬರೆಯೋಣ. ಈ ವೃತ್ತದ R ನ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಚೌಕದ ಬದಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: a4 = R√2. ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು R = a: 2tg (360 o: 2n) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು ಬದಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

n-gon ನ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುವುದು

n-gon ನ ಪರಿಧಿಯು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗಿದೆ. ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವುದು ಸುಲಭ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳ ಅರ್ಥಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಕೆಲವು ವಿಧದ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳಿಗೆ ವಿಶೇಷ ಸೂತ್ರಗಳಿವೆ. ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವೇಗವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವರು ನಿಮಗೆ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತಾರೆ. ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಸಮಾನ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಾಕು. ಸೂತ್ರವು ಆಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: P = an, ಇಲ್ಲಿ a ಅಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯ ಮತ್ತು n ಎಂಬುದು ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 ಸೆಂ.ಮೀ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿಯ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಅದನ್ನು 8 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, 5 ಸೆಂ.ಮೀ.ನಷ್ಟು ಷಡ್ಭುಜಾಕೃತಿಗೆ ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ ಕೆಳಗಿನಂತೆ: P = 5 ∙ 6 = 30 cm ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ, ಚದರ ಮತ್ತು ರೋಂಬಸ್‌ನ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಎಷ್ಟು ಬದಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದರ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ, ಅದರ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ಸುಲಭಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಇತರ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನೀವು ಅದರ ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಒಂದು ಸಾಕು. ಅದೇ ತತ್ವವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಚತುರ್ಭುಜಗಳ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ, ಒಂದು ಚದರ ಮತ್ತು ರೋಂಬಸ್. ಇವುಗಳು ವಿಭಿನ್ನ ಅಂಕಿಗಳಾಗಿದ್ದರೂ, ಅವುಗಳಿಗೆ ಸೂತ್ರವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ: P = 4a, ಅಲ್ಲಿ a ಬದಿಯಾಗಿದೆ. ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆ ಕೊಡೋಣ. ರೋಂಬಸ್ ಅಥವಾ ಚೌಕದ ಬದಿಯು 6 ಸೆಂ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಾವು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: P = 4 ∙ 6 = 24 cm ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ, ಕೇವಲ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದರ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಆಕೃತಿಯ ಉದ್ದ a ಮತ್ತು ಅಗಲ b ಅನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ನಂತರ ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತೇವೆ P = (a + b) ∙ 2. ಎಲ್ಲಾ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ರೋಂಬಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಬಾಹು ಮತ್ತು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು

P = 3a ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಿಯಾದ ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ a ಎಂಬುದು ಬದಿಯ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ. ಇದು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದನ್ನು ಮಧ್ಯದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ, ಕೇವಲ ಎರಡು ಬದಿಗಳು ಸಮಾನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ. ಆಧಾರವನ್ನು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಮೂಲಕ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ಬದಿಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ತಿಳಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ. P = a + b + c ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಸಮಾನ ಬದಿಗಳು ಮತ್ತು c ಆಧಾರವಾಗಿದೆ. ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದಲ್ಲಿ a = b = a, ಅಂದರೆ a + b = 2a, ನಂತರ P = 2a + c ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಮದ್ವಿಬಾಹು ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಯು 4 ಸೆಂ, ಅದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ಪರಿಧಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನಾವು = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5.65 cm ನೊಂದಿಗೆ ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ನ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 cm.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ

ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯು ಪ್ರತಿದಿನ ನಮ್ಮ ಜೀವನದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಚೌಕ, ತ್ರಿಕೋನ, ಅಷ್ಟಭುಜಾಕೃತಿ. ಈ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ನೀವೇ ನಿರ್ಮಿಸುವುದಕ್ಕಿಂತ ಸುಲಭವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಇದು ಮೊದಲ ನೋಟದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸರಳವಾಗಿದೆ. ಯಾವುದೇ n-gon ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ನೀವು ಅದರ ಕೋನಗಳ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು? ಪ್ರಾಚೀನ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಸಹ ನಿಯಮಿತ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದರು. ಅವುಗಳನ್ನು ವಲಯಗಳಿಗೆ ಹೇಗೆ ಹೊಂದಿಸುವುದು ಎಂದು ಅವರು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ತದನಂತರ ಅಗತ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಅದರ ಮೇಲೆ ಗುರುತಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸರಳ ಅಂಕಿಗಳಿಗಾಗಿ ನಿರ್ಮಾಣ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಸೂತ್ರಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಯೂಕ್ಲಿಡ್ ತನ್ನ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಕೃತಿ "ಇನ್ಸೆಪ್ಶನ್" ನಲ್ಲಿ 3-, 4-, 5-, 6- ಮತ್ತು 15-ಗಾನ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಬಗ್ಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅವರು ಅವುಗಳನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಮತ್ತು ಕೋನಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಮಾರ್ಗಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡರು. 15-ಗೊನ್‌ಗೆ ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೋಡೋಣ. ಮೊದಲು ನೀವು ಅದರ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. S = 180⁰(n-2) ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಮಗೆ 15-ಗೊನ್ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ ಸಂಖ್ಯೆ n 15 ಆಗಿದೆ. ನಾವು ತಿಳಿದಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ನಾವು 15-ಗೊನ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಆಂತರಿಕ ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ನೀವು ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಬೇಕು. ಒಟ್ಟು 15 ಕೋನಗಳಿವೆ ನಾವು 2340⁰: 15 = 156⁰. ಇದರರ್ಥ ಪ್ರತಿ ಆಂತರಿಕ ಕೋನವು 156⁰ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಈಗ ಆಡಳಿತಗಾರ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಸೂಚಿ ಬಳಸಿ ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ 15-ಗಾನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ n-gons ಬಗ್ಗೆ ಏನು? ಅನೇಕ ಶತಮಾನಗಳಿಂದ, ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಹೆಣಗಾಡಿದ್ದಾರೆ. ಇದು 18 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೆಡ್ರಿಕ್ ಗೌಸ್ ಅವರಿಂದ ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ. ಅವರು 65537-ಗೊನ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಅಂದಿನಿಂದ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಅಧಿಕೃತವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗಿದೆ.

ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಎನ್-ಗಾನ್‌ಗಳ ಕೋನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಸಹಜವಾಗಿ, ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗಳ ಕೋನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಹಲವಾರು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ. ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅವುಗಳನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು. ಅದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡುವುದು? ನೀವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮುಂದುವರಿಯಬೇಕು. ಮೊದಲಿಗೆ, ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಅದರಿಂದ 2 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ: n - 2. ಕಂಡುಬರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ n ("pi" = 3.14) ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ. ಈಗ ಉಳಿದಿರುವುದು ಫಲಿತಾಂಶದ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು n-gon ನಲ್ಲಿನ ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸುವುದು. ಅದೇ ದಶಭುಜವನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಂಖ್ಯೆ n 15. ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸೋಣ S = n (n - 2) : n = 3.14(15 - 2) : 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಇದು ಒಂದೇ ಮಾರ್ಗವಲ್ಲ. ನೀವು ಕೋನವನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ 57.3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಬಹುದು. ಎಲ್ಲಾ ನಂತರ, ಒಂದು ರೇಡಿಯನ್‌ಗೆ ಎಷ್ಟು ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೋನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಡಿಗ್ರಿಗಳು ಮತ್ತು ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ನೀವು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಕೋನಗಳನ್ನು ಡಿಗ್ರಿಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಟ್ಟು ಕೋನಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ 2 ಅನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶದ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬದಿಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 200 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮೂಲಕ, ಡಿಗ್ರಿಗಳಂತಹ ಕೋನಗಳ ಮಾಪನದ ಅಂತಹ ಘಟಕವನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

n-gons ನ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ

ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಗೆ, ಆಂತರಿಕ ಜೊತೆಗೆ, ನೀವು ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವನ್ನು ಸಹ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು. ಅದರ ಮೌಲ್ಯವು ಇತರ ಅಂಕಿಗಳಂತೆಯೇ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಹುಭುಜಾಕೃತಿಯ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಆಂತರಿಕ ಒಂದರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಇದಲ್ಲದೆ, ಈ ಎರಡು ಕೋನಗಳ ಮೊತ್ತವು ಯಾವಾಗಲೂ 180 ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: 180⁰ ಮೈನಸ್ ಆಂತರಿಕ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯ. ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಇದು ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರುವ ಕೋನದ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಚೌಕದ ಆಂತರಿಕ ಕೋನವು 90 ಡಿಗ್ರಿ, ಅಂದರೆ ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವು 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ನೋಡುವಂತೆ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ. ಬಾಹ್ಯ ಕೋನವು ಕ್ರಮವಾಗಿ +180⁰ ರಿಂದ -180⁰ ವರೆಗೆ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು.