Ruut geomeetriline kujund - numbriline tunnus geomeetriline kujund, mis näitab selle kujundi suurust (osa pinnast, mida piirab selle kujundi suletud kontuur). Pindala suurust väljendatakse selles sisalduvate ruutühikute arvuga.
Kolmnurga pindala valemid
- Kolmnurga pindala valem külje ja kõrguse järgi
Kolmnurga pindala võrdne poolega kolmnurga külje pikkuse ja sellele küljele tõmmatud kõrguse pikkusest - Kolmnurga pindala valem, mis põhineb kolmel küljel ja ümbermõõdu raadiusel
- Kolmnurga pindala valem, mis põhineb sisse kirjutatud ringi kolmel küljel ja raadiusel
Kolmnurga pindala on võrdne kolmnurga poolperimeetri ja sisse kirjutatud ringi raadiuse korrutisega. kus S on kolmnurga pindala,
- kolmnurga külgede pikkused,
- kolmnurga kõrgus,
- nurk külgede ja
- sisse kirjutatud ringi raadius,
R - piiritletud ringi raadius,
Ruutpinna valemid
- Ruudu pindala valem küljepikkuse järgi
Ruudukujuline ala võrdne selle külje pikkuse ruuduga. - Valem ruudu pindala jaoks piki diagonaali pikkust
Ruudukujuline ala võrdne poolega selle diagonaali pikkuse ruudust.S= 1 2 2 kus S on ruudu pindala,
- ruudu külje pikkus,
- ruudu diagonaali pikkus.
Ristküliku pindala valem
- Ristküliku pindala võrdne selle kahe külgneva külje pikkuste korrutisega
kus S on ristküliku pindala,
- ristküliku külgede pikkused.
Paralleelogrammi pindala valemid
- Rööpküliku pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja kõrgusel
Rööpküliku pindala - Rööpküliku pindala valem, mis põhineb kahel küljel ja nendevahelisel nurgal
Rööpküliku pindala võrdub selle külgede pikkuste korrutisega nendevahelise nurga siinusega.a b sin α
kus S on rööpküliku pindala,
- rööpküliku külgede pikkused,
- rööpküliku kõrguse pikkus,
- rööpküliku külgede vaheline nurk.
Rombi pindala valemid
- Rombi pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja kõrgusel
Rombi pindala võrdne selle külje pikkuse ja sellele küljele langetatud kõrguse korrutisega. - Rombi pindala valem, mis põhineb külje pikkusel ja nurgal
Rombi pindala on võrdne tema külje pikkuse ruudu ja rombi külgede vahelise nurga siinuse korrutisega. - Rombi pindala valem, mis põhineb selle diagonaalide pikkustel
Rombi pindala võrdne poolega selle diagonaalide pikkuste korrutisest. kus S on rombi pindala,
- rombi külje pikkus,
- rombi kõrguse pikkus,
- rombi külgede vaheline nurk,
1, 2 - diagonaalide pikkused.
Trapetsi pindala valemid
- Heroni valem trapetsi jaoks
kus S on trapetsi pindala,
- trapetsi aluste pikkused,
- trapetsi külgede pikkused,
Kõik tasapinnaliste kujundite pindala valemid
Võrdhaarse trapetsi pindala
1. Võrdhaarse trapetsi pindala valem, kasutades külgi ja nurki
a - alumine alus
b - ülemine alus
c - võrdne küljed
α - nurk alumises aluses
Võrdhaarse trapetsi külgede pindala valem (S):
Võrdhaarse trapetsi pindala valem, kasutades külgi ja nurki, (S):
2. Võrdhaarse trapetsi pindala valem sisse kirjutatud ringi raadiuse järgi
R - sisse kirjutatud ringi raadius
D - sisse kirjutatud ringi läbimõõt
O - sisse kirjutatud ringi keskpunkt
α, β - trapetsinurgad
Võrdhaarse trapetsi pindala valem sisse kirjutatud ringi raadiuse järgi (S):
FAIR, võrdhaarse trapetsi sisse kirjutatud ringi jaoks:
3. Diagonaale läbiva võrdhaarse trapetsi pindala ja nendevahelise nurga valem
d- trapetsi diagonaal
α,β- diagonaalidevahelised nurgad
Diagonaale läbiva võrdhaarse trapetsi pindala ja nendevahelise nurga valem (S):
4. Läbiva võrdhaarse trapetsi pindala valem keskjoon, külg ja nurk põhjas
c- pool
m - trapetsi keskjoon
α, β - nurgad aluses
Võrdhaarse trapetsi pindala valem, kasutades keskjoont, külgmist külg- ja alusnurka,
(S): 
5. Võrdhaarse trapetsi pindala valem, kasutades aluseid ja kõrgust
a - alumine alus
b - ülemine alus
h - trapetsi kõrgus
Võrdhaarse trapetsi pindala valem, kasutades aluseid ja kõrgust, (S):
Kolmnurga pindala külje ja kahe nurga põhjal, valem.
a, b, c - kolmnurga küljed
α, β, γ - vastasnurgad
Kolmnurga pindala läbi külje ja kahe nurga (S):
Tavalise hulknurga pindala valem
a - hulknurga külg
n - külgede arv
Korrapärase hulknurga pindala (S):
Valem (Hiigur) poolperimeetrit läbiva kolmnurga pindala jaoks (S):
Võrdkülgse kolmnurga pindala on:
Võrdkülgse kolmnurga pindala arvutamise valemid.
a - kolmnurga külg
h – kõrgus
Kuidas arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala?
b - kolmnurga alus
a - võrdsed küljed
h – kõrgus
3. Trapetsi pindala valem nelja külje abil
a - alumine alus
b - ülemine alus
c, d - küljed
Trapetsi piiritletud ringi raadius piki külgi ja diagonaale
a - trapetsi külgmised küljed
c - alumine alus
b - ülemine alus
d - diagonaal
h - kõrgus
Trapetsi raadiuse valem, (R)
leida külgede abil võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt
Teades võrdhaarse kolmnurga külgi, saate valemi abil leida selle kolmnurga ümber piiritletud ringi raadiuse.
a, b - kolmnurga küljed
Võrdhaarse kolmnurga ümbermõõt (R):
Kuusnurga sisse kirjutatud ringi raadius
a - kuusnurga külg
Kuusnurga sisse kirjutatud ringi raadius (r):
Ringjoone raadius rombis
r - sisse kirjutatud ringi raadius
a - rombi külg
D, d - diagonaalid
h - rombi kõrgus
Võrdkülgse trapetsi sisse kirjutatud ringi raadius
c - alumine alus
b - ülemine alus
a - küljed
h - kõrgus
Ringjoone raadius täisnurkses kolmnurgas
a, b - kolmnurga jalad
c - hüpotenuus
Võrdhaarse kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius
a, b - kolmnurga küljed
Tõesta, et sissekirjutatud nelinurga pindala on
\/(р - а) (р - b) (р - с) (р - d),
kus p on poolperimeeter ning a, b, c ja d on nelinurga küljed.
Tõesta, et ringi sisse kirjutatud nelinurga pindala on võrdne
1/2 (ab + cb) · sin α, kus a, b, c ja d on nelinurga küljed ning α on külgede a ja b vaheline nurk.
S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Loe lähemalt FB.ru-st:
Ruut suvaline nelinurk(joonis 1.13) saab väljendada selle külgede a, b, c ja vastasnurkade paari summa kaudu:
kus p on nelinurga poolperimeeter.
Ringjoone sisse kirjutatud nelinurga pindala () (joonis 1.14, a) arvutatakse Brahmagupta valemiga
ja kirjeldatud (joonis 1.14, b) () - vastavalt valemile
Kui nelinurk kirjutatakse ja kirjeldatakse samal ajal (joonis 1.14, c), muutub valem väga lihtsaks:
Vali valem
Hulknurga pindala hindamiseks ruudulisel paberil piisab, kui lugeda, mitu lahtrit see hulknurk katab (võtame lahtri pindala üheks). Täpsemalt, kui S on hulknurga pindala, on lahtrite arv, mis asuvad täielikult hulknurga sees, ja on lahtrite arv, millel on polügooni sisemusega vähemalt üks ühine punkt.
Allpool käsitleme ainult selliseid hulknurki, mille kõik tipud asuvad sõlmedes ruuduline paber– nendes, kus ruudustiku jooned ristuvad. Selgub, et selliste hulknurkade jaoks saab määrata järgmise valemi:
kus on pindala, r on sõlmede arv, mis asuvad rangelt hulknurga sees.
Seda valemit nimetatakse "Pick valemiks" - matemaatiku järgi, kes selle 1899. aastal avastas.
Geomeetriaülesannete lahendamiseks peate teadma valemeid - näiteks kolmnurga pindala või rööpküliku pindala -, samuti lihtsaid tehnikaid, millest me räägime.
Kõigepealt õpime selgeks jooniste pindalade valemid. Oleme need spetsiaalselt kogunud mugavasse tabelisse. Prindi, õpi ja kandideeri!
Muidugi pole kõik geomeetriavalemid meie tabelis. Näiteks geomeetria ja stereomeetria ülesandeid lahendada teises osas profiil Ühtne riigieksam Matemaatikas kasutatakse ka teisi kolmnurga pindala valemeid. Kindlasti räägime teile neist.
Mida teha, kui peate leidma mitte trapetsi või kolmnurga pindala, vaid mõne pindala keeruline kujund? Sööma universaalsed meetodid! Näitame neid FIPI tegumipanga näidete abil.
1. Kuidas leida ebastandardse figuuri pindala? Näiteks suvaline nelinurk? Lihtne tehnika – jagame selle kuju nendeks, millest teame kõike, ja leiame selle pindala – nende kujundite pindalade summana.
Jagame selle nelinurga horisontaaljoon kaheks kolmnurgaks ühisosa, võrdne . Kõrgused need kolmnurgad on võrdsed ja . Siis on nelinurga pindala võrdne kahe kolmnurga pindalade summaga: .
Vastus:.
2. Mõnel juhul võib kujundi pindala esitada mõne ala erinevusena.
Polegi nii lihtne välja arvutada, millega selle kolmnurga alus ja kõrgus võrdub! Kuid võime öelda, et selle pindala on võrdne ruudu ja küljega pindalade vahega kolm ristkülikukujulist kolmnurgad. Kas näete neid pildil? Saame: .
Vastus:.
3. Mõnikord peate ülesandes leidma mitte kogu figuuri pindala, vaid selle osa. Tavaliselt räägime sektori pindalast - ringi osast. Leidke raadiusega ringi sektori pindala, mille kaare pikkus on võrdne .
Sellel pildil näeme osa ringist. Kogu ringi pindala on võrdne . Jääb välja selgitada, milline ringi osa on kujutatud. Kuna kogu ringi pikkus on võrdne (alates) ja antud sektori kaare pikkus on võrdne, on kaare pikkus väiksem kui kogu ringi pikkus. Nurk, mille all see kaar toetub, on samuti mitu korda väiksem täisring(st kraadid). See tähendab, et sektori pindala on mitu korda väiksem kui kogu ringi pindala.