Võrdhaarse trapetsi nurgad. Tere! See artikkel keskendub trapetsidega seotud probleemide lahendamisele. See ülesannete rühm on osa eksamist, ülesanded on lihtsad. Arvutame välja trapetsi, aluse ja kõrguse nurgad. Paljude probleemide lahendamine taandub lahendamisele, nagu öeldakse: kus me oleme ilma Pythagorase teoreemita?
Töötame võrdhaarse trapetsiga. Sellel on alustel võrdsed küljed ja nurgad. Blogis on artikkel trapetsi kohta.
Märgime väikese ja olulise nüansi, mida me ülesannete endi lahendamise käigus üksikasjalikult ei kirjelda. Vaata, kui meile antakse kaks alust, siis suurem alus, mille kõrgused on langetatud, jagatakse kolmeks segmendiks - üks on võrdne väiksema alusega (need on ristküliku vastasküljed), ülejäänud kaks on võrdsed. muu (need on võrdsete täisnurksete kolmnurkade jalad):
Lihtne näide: antud on kaks võrdhaarse trapetsi alust 25 ja 65. Suurem alus jagatakse segmentideks järgmiselt:
*Ja edasi! Tähtsümbolid ei sisaldu ülesannetes. Seda tehti teadlikult, et mitte koormata lahendust algebraliste täpsustustega. Olen nõus, et see on matemaatiliselt kirjaoskamatu, kuid eesmärk on mõte selgeks teha. Ja alati saab tippude ja muude elementide tähistused ise teha ja matemaatiliselt õige lahenduse kirja panna.
Vaatleme ülesandeid:
27439. Võrdhaarse trapetsi alused on 51 ja 65. Külged on 25. Leidke trapetsi teravnurga siinus.
Nurga leidmiseks peate konstrueerima kõrgused. Visandil tähistame andmeid kogusetingimuses. Alumine alus on 65, kõrgustega jagatud segmentideks 7, 51 ja 7:
Täisnurkses kolmnurgas tunneme hüpotenuusi ja jalga, saame leida teise jala (trapetsi kõrguse) ja seejärel arvutada nurga siinuse.
Pythagorase teoreemi kohaselt on näidatud jalg võrdne:
Seega:
Vastus: 0,96
27440. Võrdhaarse trapetsi alused on 43 ja 73. Trapetsi teravnurga koosinus on 5/7. Leia külg.
Konstrueerime kõrgused ja märgime andmed üles suurusjärgus, alumine alus on jagatud segmentideks 15, 43 ja 15:
27441. Võrdhaarse trapetsi suurem alus on 34. Külg on 14. Teravnurga siinus on (2√10)/7. Otsige üles väiksem alus.
Ehitame kõrgusi. Väiksema aluse leidmiseks peame leidma, millega võrdub lõik, mis on täisnurkse kolmnurga jalg (tähistatud sinisega):
Saame arvutada trapetsi kõrguse ja seejärel leida jala:
Pythagorase teoreemi abil arvutame jala:
Nii et väiksem alus on:
27442. Võrdhaarse trapetsi alused on 7 ja 51. Teravnurga puutuja on 5/11. Leidke trapetsi kõrgus.
Konstrueerime kõrgused ja märgime andmed suurusjärgus. Alumine alus on jagatud segmentideks:
Mida teha? Avaldame meile teadaoleva nurga puutuja põhjas täisnurkses kolmnurgas:
27443. Võrdhaarse trapetsi väiksem alus on 23. Trapetsi kõrgus on 39. Teravnurga puutuja on 13/8. Otsige suurem alus.
Ehitame kõrgused ja arvutame, millega jalg võrdub:
Seega on suurem alus võrdne:
27444. Võrdhaarse trapetsi alused on 17 ja 87. Trapetsi kõrgus on 14. Leidke teravnurga puutuja.
Ehitame kõrgused ja märgime eskiisile teadaolevad väärtused. Alumine alus on jagatud segmentideks 35, 17, 35:
Tangensi määratluse järgi:
77152. Võrdhaarse trapetsi alused on 6 ja 12. Trapetsi teravnurga siinus on 0,8. Leia külg.
Koostame eskiisi, konstrueerime kõrgused ja märgime teadaolevad väärtused, suurem alus jagatakse segmentideks 3, 6 ja 3:
Avaldame hüpotenuusi, mis on tähistatud kui x, koosinuse kaudu:
Peamisest trigonomeetrilisest identiteedist leiame cosα
Seega:
27818. Mis on võrdhaarse trapetsi suurem nurk, kui on teada, et vastasnurkade vahe on 50 0? Esitage oma vastus kraadides.
Geomeetria kursusest teame, et kui meil on kaks paralleelset sirget ja põik, on sisemiste ühekülgsete nurkade summa võrdne 180 0. Meie puhul on
Tingimus ütleb, et vastasnurkade vahe on 50 0, st
Punktidest D ja C langetame kahte kõrgust:
Nagu eespool mainitud, jagavad nad suurema aluse kolmeks segmendiks: üks on võrdne väiksema alusega, ülejäänud kaks on üksteisega võrdsed.
Sel juhul on need 3, 9 ja 3 (kokku 15). Lisaks märgime, et täisnurksed kolmnurgad lõigatakse ära kõrguste järgi ja need on võrdkülgsed, kuna nurgad aluses on 45 0. Sellest järeldub, et trapetsi kõrgus võrdub 3-ga.
See on kõik! Edu sulle!
Lugupidamisega Aleksander.
Juhised
Kui mõlema aluse (b ja c) ja samade külgmiste külgede (a) pikkused on definitsiooni järgi teada, siis saab täisnurkse kolmnurga abil arvutada selle ühe teravnurga (γ) väärtuse. Selleks langetage kõrgust mis tahes lühikese aluse kõrval asuvast nurgast. Täisnurkse kolmnurga moodustavad kõrgus (), külg (hüpotenuus) ja pika aluse segment kõrguse ja lähikülje vahel (teine jalg). Selle lõigu pikkuse saab leida, lahutades suurema aluse pikkusest väiksema pikkuse ja jagades tulemuse pooleks: (c-b)/2.
Olles saanud täisnurkse kolmnurga kahe külgneva külje pikkuse, jätkake nendevahelise nurga arvutamisega. Hüpotenuusi pikkuse (a) ja jala pikkuse ((c-b)/2) suhe annab selle nurga koosinusväärtuse (cos(γ)) ja arkosiini funktsioon aitab selle teisendada nurk kraadides: γ=arccos(2*a/(c-b )). Nii saate ühe teravnurga väärtuse ja kuna see on võrdhaarne, on ka teisel teravnurgal sama väärtus. Kõikide nurkade summa peab olema 360°, mis tähendab, et kahe nurga summa võrdub selle ja kahekordse teravnurga vahega. Kuna mõlemad nürinurgad on samuti samad, tuleb nende väärtuse (α) leidmiseks jagada see erinevus pooleks: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2*) a/(c-b)) . Nüüd on teil arvutatud kõik võrdhaarse trapetsi nurgad, arvestades selle külgede teadaolevaid pikkusi.
Kui joonise külgede pikkused on teadmata, kuid selle kõrgus (h) on antud, peate jätkama sama skeemi järgi. Sel juhul saate täisnurkses kolmnurgas, mis koosneb küljest ja pika aluse lühikesest segmendist, teada kahe jala pikkused. Nende suhe määrab vajaliku nurga puutuja ja sellel trigonomeetrilisel funktsioonil on ka oma antipood, mis teisendab puutuja väärtuse nurga väärtuseks - arctangensiks. Teisendage eelmises etapis saadud terav- ja nürinurkade valemid vastavalt: γ = arctg(2*h/(c-b)) ja α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).
Selle probleemi lahendamiseks vektoralgebra meetodite abil peate teadma järgmisi mõisteid: vektorite geomeetriline summa ja skalaarkorrutis, samuti peaksite meeles pidama nelinurga sisenurkade summa omadust.
Sa vajad
- - paber;
- - pliiats;
- - joonlaud.
Juhised
Vektor on suunatud segment, st suurus, mis loetakse täielikult määratletuks, kui on antud selle pikkus ja suund (nurk) antud telje suhtes. Vektori asukohta ei piira enam miski. Kaks vektorit, mille pikkus ja suund on samad, loetakse võrdseteks. Seetõttu on koordinaatide kasutamisel vektorid esindatud selle lõpu punktide raadiusvektoritega (algokoht on koordinaatide alguspunktis).
Definitsiooni järgi: vektorite geomeetrilise summa saadud vektor on vektor, mis algab esimese algusest ja millel on teise lõpp, eeldusel, et esimese lõpp on ühendatud teise algusega. Seda saab jätkata, luues sarnaselt paiknevate vektorite ahela.
Joonistage antud ABCD vektoritega a, b, c ja d joonisel fig. 1. Ilmselgelt on sellise paigutuse korral saadud vektor d=a+ b+c.
Sel juhul on skalaarkorrutis mugavam vektorite a ja d põhjal. Punktkorrutis, mida tähistatakse (a, d)= |a||d|cosф1. Siin on φ1 nurk vektorite a ja d vahel.
Koordinaatidega antud vektorite punktkorrutis määratakse järgmisega:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, siis
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).
Ristkülikukujulise trapetsi omadused
- U ristkülikukujuline trapets ja kaks nurka peavad olema õiged
- Mõlemad täisnurgad ristkülikukujulise trapetsi liigid kuuluvad tingimata külgnevatesse tippudesse
- Mõlemad täisnurgad ristkülikukujulises trapetsis on need tingimata sama külje kõrval
- Ristkülikukujulise trapetsi diagonaalid moodustage ühel küljel täisnurkne kolmnurk
- Külje pikkus alustega risti oleva trapetsi kõrgus on võrdne selle kõrgusega
- Ristkülikukujulise trapetsi juures alused on paralleelsed, üks külg on alustega risti ja teine külg on aluste suhtes kallutatud
- Ristkülikukujulise trapetsi juures kaks nurka on täisnurksed ja ülejäänud kaks on teravad ja nürid
Ülesanne
IN ristkülikukujuline trapets suurim külg on võrdne aluste summaga, kõrgus on 12 cm. Leidke ristküliku pindala, mille küljed on võrdsed trapetsi alustega.Lahendus.
Tähistame trapetsi kui ABCD. Tähistame trapetsi aluste pikkused a (suurem alus AD) ja b (väiksem alus BC). Olgu see täisnurk
Ristküliku pindala, mille küljed on võrdsed trapetsi alustega, on võrdne
S = ab
Trapetsi ABCD ülemise aluse tipust C langetame kõrguse CK alumisele alusele. Trapetsi kõrgus on teada ülesande tingimustest. Siis Pythagorase teoreemi järgi
CK 2 + KD
Kuna trapetsi suurim külgkülg on võrdne aluste summaga, siis CD = a + b
Kuna trapets on ristkülikukujuline, jagab trapetsi ülemisest põhjast tõmmatud kõrgus alumise aluse kaheks segmendiks
see on
12 2 + (a - b) 2 = (a + b) 2
kus
144 + a 2 - 2ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
144 = 4ab
Kuna ristküliku pindala on S = ab (vt ülal), siis
144 = 4S
S = 144/4 = 36
Vastus: 36 cm
2 .