Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma
1. Rööpküliku mõiste ja põhiomadused
Alustuseks tuletame meelde para-ral-le-lo-grami definitsiooni.
Definitsioon. Paralleelogramm- what-you-rekh-gon-nick, millel on iga kaks pro-ti-vale külge, mis on paralleelsed (vt joonis . 1).
Riis. 1. Pa-ral-le-lo-gramm
Jätame meelde pa-ral-le-lo-gram-ma põhiomadused:
Kõigi nende omaduste kasutamiseks peate olema kindel, et fi-gu-ra, kellegi kohta -Roy me räägime, - pa-ral-le-lo-gram. Selleks on vaja teada selliseid fakte kui pa-ral-le-lo-gram-ma märke. Praegu vaatame neist kahte esimest.
2. Rööpküliku esimene märk
Teoreem. Esimene märk pa-ral-le-lo-gram-ma. Kui neljasöes on kaks vastaskülge võrdsed ja paralleelsed, siis see neljasöe hüüdnimi - rööpkülik. 
.
Riis. 2. Pa-ral-le-lo-gram-ma esimene märk
Tõestus. Paneme dia-go-nali nelja-reh-coal-ni-ka (vt joonis 2), ta jagas selle kaheks tri-coal-ni-kaks. Kirjutame üles, mida me nende kolmnurkade kohta teame:
kolmnurkade esimese võrdusmärgi järgi.
Näidatud kolmnurkade võrdsusest järeldub, et sirgjoonte paralleelsuse märgiga ch-nii ületamisel on nende s-ku-shchi. Meil on see:
Do-ka-za-but.
3. Rööpküliku teine märk
Teoreem. Teine märk on pa-ral-le-lo-gram-ma. Kui neljanurgas on iga kaks pro-ti-vale külge võrdsed, siis see nelinurk on rööpkülik. 
.
Riis. 3. Pa-ral-le-lo-gram-ma teine märk
Tõestus. Panime dia-go-naali nelja nurka (vt joonis 3), ta jagab selle kaheks kolmnurgaks. Paneme teooria vormi põhjal kirja, mida me nende kolmnurkade kohta teame:
kolmnurkade kolmanda võrdusmärgi järgi.
Kolmnurkade võrdsusest järeldub, et paralleelsete joonte märgi järgi on nende ristamisel s-ku-shchey. Sööme:
par-ral-le-lo-gram määratluse järgi. Q.E.D.
Do-ka-za-but.
4. Näide esimese rööpküliku tunnuse kasutamisest
Vaatame näidet pa-ral-le-lo-gram märkide kasutamisest.
Näide 1. Mõhnas pole süsi Leia: a) söe nurgad; b) saja-ro-kaev.
Lahendus. Illustratsioon Joon. 4.
pa-ral-le-lo-gramm pa-ral-le-lo-gram-ma esimese märgi järgi.
A. 
par-ral-le-lo-grammi omadusega pro-ti-valenurkade kohta, par-ral-le-lo-grammi omadusega nurkade summa kohta, kui see asub ühel küljel.
B. 
valesid pooldavate poolte võrdsuse olemuse tõttu.
re-tiy märk pa-ral-le-lo-gram-ma
5. Ülevaade: Parallelogrammi definitsioon ja omadused
Pidagem seda meeles rööpkülik- see on nelja ruudu nurk, millel on paarikaupa pro-ti-vale küljed. See tähendab, et kui - par-ral-le-lo-gram, siis 
(vt joonis 1).
Paralleel-le-lo-grammil on mitmeid omadusi: vastasnurgad on võrdsed (), vastasnurgad -me oleme võrdsed ( 
). Lisaks jagatakse dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram re-se-che-niya punktis vastavalt nurkade summale, mis tahes külje poole surudes. -ral-le-lo-gram-ma, võrdne jne.
Kuid selleks, et kõiki neid omadusi ära kasutada, on vaja olla täiesti kindel, et ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. Selleks on par-ral-le-lo-grami märgid: need faktid, millest saab teha üheväärtusliku järelduse, et what-you-rekh-coal-nick on par-ral- le-lo-gram-emme. Eelmises tunnis vaatasime juba kahte märki. Nüüd vaatame kolmandat korda.
6. Rööpküliku kolmas märk ja selle tõestus
Kui neljasöes on re-se-che-niya punktis dia-go-on, mida nad teevad-by-lams, siis antud nelja-teie Roh-coal-nick on pa-ral-le -lo-gram-ema.
Arvestades:
Mis-süsi-nick; ; .
Tõesta:
Parallelogramm.
Tõestus:
Selle fakti tõestamiseks on vaja näidata osapoolte paralleelsust par-le-lo-grammiga. Ja sirgjoonte paralleelsus saavutatakse kõige sagedamini sisemiste ristnurkade võrdsuse kaudu nendel täisnurkadel. Seega on järgmine meetod par-ral -le-lo-gram-ma kolmanda märgi saamiseks: kolmnurkade võrdsuse kaudu 
.
Vaatame, kuidas need kolmnurgad on võrdsed. Tõepoolest, tingimusest järeldub: . Lisaks, kuna nurgad on vertikaalsed, on need võrdsed. See on:
(esimene võrdõiguslikkuse märktri-coal-ni-cov- mööda kahte külge ja nende vahelist nurka).
Kolmnurkade võrdsusest: (kuna nende sirgjoonte ja eraldajate sisemised ristnurgad on võrdsed). Lisaks sellele järeldub kolmnurkade võrdsusest, et . See tähendab, et me mõistame, et neljasöes on kakssada võrdsed ja paralleelsed. Esimese märgi järgi pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-but.
7. Rööpküliku kolmanda märgi ülesande näide ja üldistus
Vaatame pa-ral-le-lo-grami kolmanda märgi kasutamise näidet.
Näide 1
Arvestades:
- rööpkülik; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (vt joon. 2).
Tõesta:- pa-ral-le-lo-gram.
Tõestus:
See tähendab, et nelja-söe-no-dia-go-on-kas punktis re-se-che-niya nad teevad-by-lam. Pa-ral-le-lo-grammi kolmanda märgi järgi järeldub sellest, et - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-but.
Kui analüüsite pa-ral-le-lo-grammi kolmandat märki, võite märgata, et see märk on koos-vet- omab par-ral-le-lo-grammi omadust. See tähendab asjaolu, et dia-go-na-li de-la-xia ei ole ainult par-le-lo-grami omadus, vaid selle eristav kha-rak-te-ri-sti-che- omadus, mille järgi saab seda eristada hulgast what-you-rekh-coal-ni-cov.
ALLIKAS
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed paarikaupa paralleelselt. See määratlus on juba piisav, kuna sellest tulenevad rööpküliku ülejäänud omadused ja need on tõestatud teoreemide kujul.
Rööpküliku peamised omadused on järgmised:
- rööpkülik on kumer nelinurk;
- Rööpkülikul on vastasküljed, mis on paarides võrdsed;
- rööpküliku juures vastasnurgad paarikaupa võrdne;
- Rööpküliku diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks.
Parallelogramm – kumer nelinurk
Tõestame esmalt teoreemi, et rööpkülik on kumer nelinurk. Hulknurk on kumer, kui ükskõik kumba külge pikendatakse sirgjooneni, jäävad kõik hulknurga ülejäänud küljed selle sirgjoonega samale poole.
Las see antakse rööpkülik ABCD, milles AB on CD vastaskülg ja BC on AD vastaskülg. Siis rööpküliku definitsioonist järeldub, et AB || CD, BC || A.D.
U paralleelsed segmendid Ei ühised punktid, need ei ristu. See tähendab, et CD asub AB ühel küljel. Kuna lõik BC ühendab lõigu AB punkti B lõigu CD punktiga C ja lõik AD ühendab teisi punkte AB ja CD, asuvad lõigud BC ja AD samuti samal pool sirget AB, kus asub CD. Seega asuvad kõik kolm külge - CD, BC, AD - AB samal küljel.
Samamoodi on tõestatud, et rööpküliku teiste külgede suhtes asuvad ülejäänud kolm külge samal küljel.
Vastasküljed ja nurgad on võrdsed
Rööpküliku üks omadusi on see Rööpkülikukujul on vastasküljed ja vastasnurgad paarikaupa võrdsed. Näiteks kui on antud rööpkülik ABCD, siis on sellel AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. See teoreem on tõestatud järgmiselt.
Rööpkülik on nelinurk. See tähendab, et sellel on kaks diagonaali. Kuna rööpkülik on kumer nelinurk, jagab ükskõik milline neist selle kaheks kolmnurgaks. Vaatleme rööpkülikul ABCD diagonaali AC joonestamisel saadud kolmnurki ABC ja ADC.
Nendel kolmnurkadel on üks ühine külg – AC. Nurk BCA võrdne nurgaga CAD on vertikaalne paralleelse BC ja AD-ga. Nurgad BAC ja ACD on samuti võrdsed vertikaalnurkadega, kui AB ja CD on paralleelsed. Seetõttu on ∆ABC = ∆ADC kahe nurga ja nendevahelise külje all.
Nendes kolmnurkades vastab külg AB küljele CD ja külg BC vastab AD. Seetõttu AB = CD ja BC = AD.
Nurk B vastab nurgale D, st ∠B = ∠D. Rööpküliku nurk A on kahe nurga – ∠BAC ja ∠CAD – summa. Nurk C on võrdne ∠BCA ja ∠ACD-ga. Kuna nurgapaarid on üksteisega võrdsed, siis ∠A = ∠C.
Seega on tõestatud, et rööpküliku vastasküljed ja nurgad on võrdsed.
Diagonaalid jagatakse pooleks
Kuna rööpkülik on kumer nelinurk, on sellel kaks diagonaali ja need lõikuvad. Olgu antud rööpkülik ABCD, mille diagonaalid AC ja BD lõikuvad punktis E. Vaatleme nende moodustatud kolmnurki ABE ja CDE.
Nende kolmnurkade küljed AB ja CD on võrdsed rööpküliku vastaskülgedega. Nurk ABE on võrdne nurgaga CDE, mis asetseb risti paralleelsete joontega AB ja CD. Samal põhjusel ∠BAE = ∠DCE. See tähendab ∆ABE = ∆CDE kahe nurga ja nendevahelise külje all.
Samuti võite märgata, et nurgad AEB ja CED on vertikaalsed ja seega ka üksteisega võrdsed.
Kuna kolmnurgad ABE ja CDE on üksteisega võrdsed, siis on kõik neile vastavad elemendid võrdsed. Esimese kolmnurga külg AE vastab teise küljele CE, mis tähendab, et AE = CE. Samamoodi BE = DE. Iga paar võrdsed segmendid on rööpküliku diagonaal. Seega on tõestatud, et Rööpküliku diagonaalid poolitatakse nende lõikepunktiga.
Selleks, et teha kindlaks, kas see kujund rööpkülik on mitmeid tunnuseid. Vaatame rööpküliku kolme põhitunnust.
1 rööpkülikumärk
Kui nelinurga kaks külge on võrdsed ja paralleelsed, on see nelinurk rööpkülik.
Tõestus:
Vaatleme nelinurka ABCD. Olgu küljed AB ja CD paralleelsed. Ja olgu AB=CD. Joonistame sellesse diagonaali BD. See jagab antud nelinurga kaheks võrdne kolmnurk: ABD ja CBD.
Need kolmnurgad on kahelt poolt üksteisega võrdsed ja nendevaheline nurk (BD - ühine pool, AB = tingimuse järgi CD, nurk1 = nurk2 kui ristnurgad paralleelsete sirgete AB ja CD ristsuunalise BD-ga.) ja seega nurk3 = nurk4.
Ja need nurgad asetsevad risti, kui sirged BC ja AD ristuvad lõikega BD. Sellest järeldub, et BC ja AD on paralleelsed. Meil on, et nelinurga ABCD vastasküljed on paarikaupa paralleelsed ja seetõttu on nelinurk ABCD rööpkülik.
Paralleelogrammi märk 2
Kui nelinurga vastasküljed on paarikaupa võrdsed, on see nelinurk rööpkülik.
Tõestus:
Vaatleme nelinurka ABCD. Joonistame sellesse diagonaali BD. See jagab selle nelinurga kaheks võrdseks kolmnurgaks: ABD ja CBD.
Need kaks kolmnurka on üksteisega võrdsed kolmel küljel (BD on ühine külg, AB = CD ja BC = AD tingimusel). Sellest võime järeldada, et nurk1 = nurk2. Sellest järeldub, et AB on paralleelne CD-ga. Ja kuna AB = CD ja AB on paralleelsed CD-ga, siis rööpküliku esimese kriteeriumi kohaselt on nelinurk ABCD rööpkülik.
3 rööpkülikumärk
Kui nelinurga diagonaalid lõikuvad ja poolitatakse lõikepunktiga, on see nelinurk rööpkülik.
Vaatleme nelinurka ABCD. Joonistame sellesse kaks diagonaali AC ja BD, mis lõikuvad punktis O ja on selle punktiga poolitatud.
Kolmnurgad AOB ja COD on kolmnurkade esimese võrdsuse märgi järgi üksteisega võrdsed. (AO = OC, BO = OD tingimuse järgi, nurk AOB = nurk COD as vertikaalsed nurgad.) Seega AB = CD ja nurk 1 = nurk 2. Nurkade 1 ja 2 võrdsusest saame, et AB on paralleelne CD-ga. Siis saame, et nelinurga ABCD küljed AB on võrdsed CD-ga ja paralleelsed ning rööpküliku esimese kriteeriumi järgi on nelinurk ABCD rööpkülik.
Nelinurk ABCD on kujund, mis koosneb neljast punktist A, B, C, D, igast kolmest, mis ei asu samal sirgel, ja neljast neid punkte ühendavast lõigust AB, BC, CD ja AD.
Piltidel on nelinurgad.
Nimetatakse punkte A, B, C ja D nelinurga tipud, ja segmendid AB, BC, CD ja AD - peod. Nimetatakse tippe A ja C, B ja D vastassuunalised tipud. Kutsutakse pooli AB ja CD, BC ja AD vastaspooled .
Seal on nelinurgad kumer(pildil vasakul) ja mittekumer(pildil - paremal).
Iga diagonaal kumer nelinurk jagab selle kaheks kolmnurgaks(diagonaal AC jagab ABCD kaheks kolmnurk ABC ja ACD; diagonaal BD - BCD-l ja BAD-il). U mittekumer nelinurk ainult üks diagonaalidest jagab selle kaheks kolmnurgaks(diagonaal AC jagab ABCD kaheks kolmnurgaks ABC ja ACD; diagonaal BD mitte).
Mõelgem nelinurksete põhitüübid, nende omadused, pindalavalemid:
Paralleelogramm
Paralleelogramm on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.
Omadused:
Rööpküliku märgid:
1. Kui nelinurga kaks külge on võrdsed ja paralleelsed, siis on see nelinurk rööpkülik.
2. Kui nelinurga vastasküljed on paarikaupa võrdsed, siis on see nelinurk rööpkülik.
3. Kui nelinurgas lõikuvad diagonaalid ja jagatakse lõikepunktiga pooleks, siis on see nelinurk rööpkülik.
Rööpküliku pindala:
Trapetsikujuline
Trapets Nelinurka nimetatakse nelinurgaks, mille kaks külge on paralleelsed ja ülejäänud kaks külge ei ole paralleelsed.
Põhjused kutsutakse paralleelsed küljed, ja ülejäänud kaks külge on küljed.
Keskmine joon Trapets on segment, mis ühendab selle külgede keskpunkte.
TEOREEM.
keskmine joon trapets on alustega paralleelne ja võrdne nende poolsummaga.
Trapetsi pindala:
Romb
Teemant nimetatakse rööpkülikuks, mille kõik küljed on võrdsed.
Omadused:
Rombi piirkond:
Ristkülik
Ristkülik nimetatakse rööpkülikuks, mille kõik nurgad on võrdsed.
Omadused:
Ristküliku märk:
Kui rööpküliku diagonaalid on võrdsed, siis on see rööpkülik ristkülik.
Ristküliku ala:
Ruut
Ruut nimetatakse ristkülikuks, mille kõik küljed on võrdsed.
Omadused:
Ruudul on kõik ristküliku ja rombi omadused (ristkülik on rööpkülik, seega ruut on rööpkülik, mille kõik küljed on võrdsed, s.t romb).
Ruudu pindala: