Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Võime teie kohta teavet avaldada ka juhul, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
See artikkel käsitleb paralleelseid sirgeid ja paralleelseid sirgeid. Esmalt esitatakse paralleelsete joonte definitsioon tasapinnal ja ruumis, tutvustatakse tähistusi, tuuakse paralleeljoonte näiteid ja graafilisi illustratsioone. Järgmisena käsitletakse sirgete paralleelsuse märke ja tingimusi. Kokkuvõttes on näidatud sirgete paralleelsuse tõestamise tüüpiliste probleemide lahendused, mis on antud sirge teatud võrranditega tasapinnal ja ruumilises ruumis ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.
Leheküljel navigeerimine.
Rööpjooned – põhiteave.
Definitsioon.
Nimetatakse kahte tasapinna sirget paralleelselt, kui neil pole ühiseid punkte.
Definitsioon.
Nimetatakse kahte joont kolmemõõtmelises ruumis paralleelselt, kui need asuvad samal tasapinnal ja neil pole ühiseid punkte.
Pange tähele, et klausel "kui need asuvad samal tasapinnal" ruumi paralleelsete joonte määratluses on väga oluline. Selgitame seda punkti: kaks sirget kolmemõõtmelises ruumis, millel ei ole ühiseid punkte ja mis ei asu samal tasapinnal, ei ole paralleelsed, vaid lõikuvad.
Siin on mõned paralleelsete joonte näited. Märkmiku lehe vastasservad asuvad paralleelsetel joontel. Sirged jooned, mida mööda maja seina tasapind lõikub lae ja põranda tasapindadega, on paralleelsed. Paralleelsete joontena võib käsitleda ka raudteerööpaid tasasel maal.
Paralleelsete joonte tähistamiseks kasutage sümbolit "". See tähendab, et kui sirged a ja b on paralleelsed, saame lühidalt kirjutada a b.
Pange tähele: kui sirged a ja b on paralleelsed, siis võime öelda, et sirge a on paralleelne sirgega b ja ka sirge b paralleelne sirgega a.
Esitagem väide, mis mängib olulist rolli tasapinna paralleelsete sirgete uurimisel: punktist, mis ei asu antud sirgel, läbib ainus antud sirgega paralleelne sirge. Seda väidet aktsepteeritakse faktina (seda ei saa tõestada teadaolevate planimeetria aksioomide alusel) ja seda nimetatakse paralleelsete sirgete aksioomiks.
Ruumi puhul kehtib teoreem: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda teoreemi on lihtne tõestada ülaltoodud paralleelsete sirgete aksioomi abil (selle tõestuse leiate 10.–11. klasside geomeetriaõpikust, mis on loetletud artikli lõpus kirjanduse loetelus).
Ruumi puhul kehtib teoreem: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda teoreemi saab hõlpsasti tõestada ülaltoodud paralleelse joone aksioomi abil.
Sirgede paralleelsus - paralleelsuse märgid ja tingimused.
Märk sirgete paralleelsusest on piisav tingimus, et sirged oleksid paralleelsed, st tingimus, mille täitmine tagab sirgete paralleelsuse. Teisisõnu, selle tingimuse täitmine on piisav joonte paralleelsuse tuvastamiseks.
Samuti on olemas vajalikud ja piisavad tingimused sirgete paralleelsusele tasapinnal ja ruumilises ruumis.
Selgitagem fraasi "vajalik ja piisav tingimus paralleelsete joonte jaoks" tähendust.
Paralleelsete joonte piisava tingimusega oleme juba tegelenud. Mis on "paralleelsete joonte vajalik tingimus"? Nimetusest “vajalik” selgub, et paralleeljoonte puhul on selle tingimuse täitmine vajalik. Ehk kui paralleelsete sirgete jaoks vajalik tingimus ei ole täidetud, siis pole sirged paralleelsed. Seega paralleelsete joonte jaoks vajalik ja piisav tingimus on tingimus, mille täitmine on paralleelsete sirgete jaoks nii vajalik kui ka piisav. See tähendab, et ühelt poolt on see joonte paralleelsuse märk ja teisest küljest on see omadus, mis paralleelsetel sirgel on.
Enne joonte paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse sõnastamist on soovitav meelde tuletada mitmeid abidefinitsioone.
Sekantne joon on sirge, mis lõikab kahte etteantud mittekattuvat sirget.
Kui kaks sirget ristuvad põikisuunaga, moodustub kaheksa väljakujunemata. Sirgede paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse sõnastamisel kasutatakse nn risti lamades, vastav Ja ühepoolsed nurgad. Näitame neid joonisel.
Teoreem.
Kui tasapinna kahte sirget lõikub põiki, siis nende paralleelsuse jaoks on vajalik ja piisav, et lõikuvad nurgad on võrdsed või vastavad nurgad on võrdsed või ühepoolsete nurkade summa on võrdne 180 kraadid.
Näitame selle tasapinna sirgete paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse graafilise illustratsiooni.
Tõestused nende sirgete paralleelsuse tingimuste kohta leiate 7.-9.klassi geomeetriaõpikutest.
Pange tähele, et neid tingimusi saab kasutada ka kolmemõõtmelises ruumis – peaasi, et kaks sirget ja sekant asetseksid samal tasapinnal.
Siin on veel mõned teoreemid, mida sageli kasutatakse sirgete paralleelsuse tõestamiseks.
Teoreem.
Kui tasapinna kaks sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed. Selle kriteeriumi tõestus tuleneb paralleelsete sirgete aksioomist.
Sarnane tingimus on paralleelsete joonte jaoks kolmemõõtmelises ruumis.
Teoreem.
Kui kaks sirget ruumis on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed. Selle kriteeriumi tõestusest räägitakse 10. klassi geomeetriatundides.
Illustreerime esitatud teoreeme.
Esitame veel ühe teoreemi, mis võimaldab tõestada sirgete paralleelsust tasapinnal.
Teoreem.
Kui tasapinna kaks sirget on risti kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed.
Sarnane teoreem on ka ruumijoonte kohta.
Teoreem.
Kui kaks sirget kolmemõõtmelises ruumis on sama tasapinnaga risti, siis on nad paralleelsed.
Joonistame nendele teoreemidele vastavad pildid.
Kõik eespool sõnastatud teoreemid, kriteeriumid ning vajalikud ja piisavad tingimused sobivad suurepäraselt sirgete paralleelsuse tõestamiseks geomeetria meetoditega. See tähendab, et kahe antud sirge paralleelsuse tõestamiseks peate näitama, et need on paralleelsed kolmanda sirgega, või näitama risti asetsevate nurkade võrdsust jne. Paljud sarnased ülesanded lahendatakse gümnaasiumi geomeetriatundides. Samas tuleb tähele panna, et paljudel juhtudel on mugav kasutada koordinaatmeetodit sirgete paralleelsuse tõestamiseks tasapinnal või ruumilises ruumis. Sõnastame ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratud sirgete paralleelsuse vajalikud ja piisavad tingimused.
Sirgete paralleelsus ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.
Artikli selles lõigus sõnastame paralleelsete joonte jaoks vajalikud ja piisavad tingimused ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, olenevalt neid sirgeid määratlevate võrrandite tüübist ning pakume ka üksikasjalikke lahendusi iseloomulikele probleemidele.
Alustame kahe sirge paralleelsuse tingimusega tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy. Tema tõestus põhineb sirge suunavektori definitsioonil ja tasapinnal oleva sirge normaalvektori definitsioonil.
Teoreem.
Selleks, et kaks mittekattuvat sirget oleksid tasapinnas paralleelsed, on vajalik ja piisav, et nende sirgete suunavektorid on kollineaarsed või nende sirgete normaalvektorid on kollineaarsed või ühe sirge suunavektor on normaalsega risti teise rea vektor.
Ilmselgelt taandatakse tasapinna kahe sirge paralleelsuse tingimuseks (joonte suunavektorid või joonte normaalvektorid) või (ühe sirge suunavektor ja teise sirge normaalvektor). Seega, kui ja on sirge a ja b suunavektorid ja 
Ja 
on vastavalt sirgete a ja b normaalvektorid, siis kirjutatakse sirgete a ja b paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus 
, või 
, või , kus t on mõni reaalarv. Sirgete a ja b juhikute ja (või) normaalvektorite koordinaadid omakorda leitakse teadaolevate sirge võrrandite abil.
Eelkõige siis, kui tasapinnal olev sirge a ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy määratleb üldise sirgjoone võrrandi kujul 
ja sirgjoon b - 
, siis on nende sirgete normaalvektoritel vastavalt koordinaadid ja ning sirgete a ja b paralleelsuse tingimus kirjutatakse kujul .
Kui sirgele a vastab kuju nurkkoefitsiendiga sirge võrrand ja sirgele b-, siis nende sirgete normaalvektoritel on koordinaadid ja ning nende sirgete paralleelsuse tingimus on kujul 
. Järelikult, kui ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal olevad sirged on paralleelsed ja neid saab määrata nurkkoefitsientidega sirgete võrranditega, siis on sirgete nurkkoefitsiendid võrdsed. Ja vastupidi: kui ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal olevad mittekattuvad sirged saab määrata võrdsete nurkkoefitsientidega sirge võrranditega, siis on sellised sirged paralleelsed.
Kui sirge a ja sirge b ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on määratud vormi tasapinnal oleva sirge kanooniliste võrranditega 
Ja 
, või sirge parameetrilised võrrandid vormi tasapinnal 
Ja 
vastavalt on nende sirgete suunavektoritel koordinaadid ja ning sirgete a ja b paralleelsuse tingimus on kirjutatud kujul .
Vaatame mitme näite lahendusi.
Näide.
Kas jooned on paralleelsed? 
Ja ?
Lahendus.
Kirjutame sirge võrrandi lõikude kaupa ümber sirge üldvõrrandi kujul: 
. Nüüd näeme, et see on joone normaalne vektor , a on sirge normaalvektor. Need vektorid ei ole kollineaarsed, kuna pole olemas reaalarvu t, mille jaoks võrdus ( 
). Järelikult ei ole täidetud tasapinna sirgete paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, mistõttu antud sirged ei ole paralleelsed.
Vastus:
Ei, jooned ei ole paralleelsed.
Näide.
Kas sirged ja paralleelsed?
Lahendus.
Taandagem sirge kanooniline võrrand nurkkoefitsiendiga sirge võrrandiks: . Ilmselgelt ei ole sirgete ja võrrandid samad (sel juhul oleksid antud sirged samad) ja sirgete nurkkoefitsiendid on võrdsed, seega on algsed sirged paralleelsed.
Need ei ristu, olenemata sellest, kui kaua neid jätkatakse. Sirgete paralleelsust kirjas tähistatakse järgmiselt: AB|| KOOSE
Selliste sirgete olemasolu võimalikkust tõestab teoreem.
Teoreem.
Läbi mis tahes punkti, mis on võetud antud sirgest väljapoole, saab tõmmata selle sirgega paralleelse punkti.
Lase AB see sirgjoon ja KOOS mingi punkt sellest väljapoole võetud. Seda tuleb läbi tõestada KOOS saate tõmmata sirge joone paralleelseltAB. Laseme selle alla AB punktist KOOS ristiKOOSD ja siis me dirigeerime KOOSE^ KOOSD, mis on võimalik. Otse C.E. paralleelselt AB.
Selle tõestamiseks oletagem vastupidist, st seda C.E. ristub AB mingil hetkel M. Siis punktist M sirgjoonele KOOSD meil oleks kaks erinevat risti MD Ja PRL, mis on võimatu. Tähendab, C.E. ei saa ületada AB, st. KOOSE paralleelselt AB.
Tagajärg.
Kaks risti (CEJaD.B.) ühele sirgele (CD) on paralleelsed.
Paralleelsete sirgete aksioom.
Sama punkti kaudu on võimatu tõmmata kahte erinevat joont paralleelselt sama joonega.
Seega, kui otse KOOSD, tõmmatud läbi punkti KOOS joonega paralleelne AB, siis igal teisel real KOOSE, tõmmatud läbi sama punkti KOOS, ei saa olla paralleelne AB, st. ta jätkab ristuvad Koos AB.
Selle mitte täiesti ilmse tõe tõestamine osutub võimatuks. Seda aktsepteeritakse ilma tõestuseta, kui vajalik eeldus (postulatum).
Tagajärjed.
1. Kui sirge(KOOSE) lõikub ühega paralleelselt(NE), siis lõikub teisega ( AB), sest muidu sama punkti kaudu KOOS paralleelselt läbiks kaks erinevat sirget AB, mis on võimatu.
2. Kui kumbki kahest otsene (AJaB) on paralleelsed sama kolmanda reaga ( KOOS) , siis nad paralleelselt omavahel.
Tõepoolest, kui me seda eeldame A Ja B ristuvad mingil hetkel M, siis läbiksid selle punktiga paralleelsed kaks erinevat sirget KOOS, mis on võimatu.
Teoreem.
Kui joon on ristiühele paralleelsetest sirgest, siis on see teisega risti paralleelselt.
Lase AB || KOOSD Ja E.F. ^ AB.Seda nõutakse tõestama E.F. ^ KOOSD.
PerpendikulaarneEF, ristuvad AB, kindlasti ületab ja KOOSD. Olgu ristumispunkt H.
Oletame nüüd seda KOOSD mitte risti E.H.. Siis mingi muu sirge näiteks H.K., on sellega risti E.H. ja seega läbi sama punkti H tuleb kaks sirge paralleel AB: üks KOOSD, tingimuse ja muu H.K. nagu varem tõestatud. Kuna see on võimatu, ei saa seda eeldada NE ei olnud sellega risti E.H..
Juhised
Enne tõestamise alustamist veendu, et jooned asetseksid samas tasapinnas ja oleksid sellele joonistatavad. Lihtsaim viis seda tõestada on joonlauaga mõõtmine. Selleks mõõtke joonlauaga sirgjoonte vaheline kaugus mitmest kohast võimalikult kaugel. Kui kaugus jääb muutumatuks, on antud sirged paralleelsed. Kuid see meetod ei ole piisavalt täpne, seetõttu on parem kasutada muid meetodeid.
Joonistage kolmas sirge nii, et see lõikub mõlema paralleelse sirgega. See moodustab nendega neli välimist ja neli sisenurka. Mõelge sisenurkadele. Neid, mis asuvad läbi sekantsi joone, nimetatakse ristlamamiseks. Neid, mis asuvad ühel küljel, nimetatakse ühepoolseteks. Mõõtke nurgamõõturi abil kaks sisemist ristuvat nurka. Kui need on üksteisega võrdsed, on jooned paralleelsed. Kahtluse korral mõõtke ühepoolsed sisenurgad ja lisage saadud väärtused. Jooned on paralleelsed, kui ühepoolsete sisenurkade summa on 180º.
Kui teil pole kraadiklaasi, kasutage 90º ruutu. Kasutage seda ühe joonega risti konstrueerimiseks. Pärast seda jätkake seda risti nii, et see lõikub teise sirgega. Sama ruudu abil kontrollige, millise nurga all see risti sellega lõikub. Kui see nurk on samuti 90º, on jooned üksteisega paralleelsed.
Kui sirged on antud Descartes'i koordinaatsüsteemis, leidke nende suund või normaalvektorid. Kui need vektorid on vastavalt üksteisega kollineaarsed, siis on sirged paralleelsed. Taandage joonte võrrand üldkujule ja leidke iga sirge normaalvektori koordinaadid. Selle koordinaadid on võrdsed koefitsientidega A ja B. Kui normaalvektorite vastavate koordinaatide suhe on sama, on need kollineaarsed ja sirged paralleelsed.
Näiteks sirgjooned on antud võrranditega 4x-2y+1=0 ja x/1=(y-4)/2. Esimene võrrand on üldkujuline, teine on kanooniline. Viige teine võrrand selle üldkujule. Kasutage selleks proportsioonide teisendamise reeglit, tulemuseks on 2x=y-4. Pärast taandamist üldvormile saad 2x-y+4=0. Kuna suvalise rea üldvõrrand on kirjutatud Ax+By+C=0, siis esimese rea jaoks: A=4, B=2 ja teise rea jaoks A=2, B=1. Normaalvektori esimese otsekoordinaadi jaoks (4;2) ja teise jaoks – (2;1). Leia normaalvektorite vastavate koordinaatide suhe 4/2=2 ja 2/1=2. Need arvud on võrdsed, mis tähendab, et vektorid on kollineaarsed. Kuna vektorid on kollineaarsed, on sirged paralleelsed.
Paralleelsed sirged on sirged, mis asuvad samal tasapinnal ja millel ei ole ühiseid punkte. Teisisõnu, need on jooned, mis kunagi ei ristu. Paralleelsuse näiteid on meie maailmas palju: need on raudteerööpad, kitarri keeled ja kõrgepingeliini juhtmed. Seda loetelu võib lõputult jätkata. Mõne osa valmistamisel on paralleelsuse säilitamine väga oluline, seega on meile kasulik teada, kuidas tõestada, et segmendid on paralleelsed.
Mõned võivad olla nördinud: "Kuidas saate tõestada lõikude paralleelsust, kui on teada ainult sirgete paralleelsuse märgid?" Vastus sellele küsimusele on väga lihtne: mis tahes segmenti saab pikendada mõlemalt poolt, säilitades samal ajal suunda, saades seeläbi sirge. Seejärel tõesta juba saadud sirgete paralleelsus ja sellest järgneb lõikude paralleelsus. Sirgede paralleelsuse tõestamine on sarnane lõigu keskpunkti ordinaate leidmisega - seda tehakse ühe või kahe sammuga ja seda saab teha iga koolilaps.
Esimene, lihtsaim ja visuaalseim tõestus on täisnurkse kolmnurga kasutamine ühe joonega risti oleva joone tõmbamiseks. Kui tõmmatud joon on samuti risti teise sirgega, siis on need sirged paralleelsed. Perpendikulaarsust saab kontrollida, rakendades sirge ja põiki ristumiskohale täisnurka. Teades, kuidas segment pooleks jagada, saate ühendada nende otsad ja keskkohad. Kui saate paralleelsed jooned, on algsed lõigud paralleelsed.
Klassikaline tõestus on kontrollida, kas järgmise teoreemi tingimused on täidetud: "Kui kaks sirget ristuvad ristiga, on ühepoolsete nurkade summa 180 kraadi, siis on sirged paralleelsed." Kuid selleks peate hankima kraadiklaasi, võtma täpsed mõõtmised ja vältima vigu. Neile, kes teavad, kuidas konstrueerida antud lõiguga võrdset lõiku, on olemas keerulisem tõestusviis.
Segment tuleb konstrueerida nii, et selle algus langeb kokku esimese segmendi algusega ja lõpp teise lõigu lõpuga. Järgmiseks tuleks konstrueerida sellega võrdne segment ja kontrollida, kas esimese lõppu sobib ühendada teise algusega. Kui see tingimus on täidetud, on segmendid paralleelsed. Kindlasti tuleb arvestada, et see meetod töötab ainult paralleelsete ja võrdse pikkusega segmentide puhul.
Sarnaselt lõigule kuuluvate juurte leidmisega saate tõestada lõikude paralleelsust abijoone või lõigu kaudu. Peate teadma järgmist teoreemi: kaks sirget, mis on mõlemad paralleelsed kolmandikuga, on paralleelsed ka üksteisega. Meetod on hea nendel juhtudel, kui sekanti pole võimalik joonistada või pole kraadiklaasi.