Selleks, et teha kindlaks, kas see kujund rööpkülik on mitmeid tunnuseid. Vaatame rööpküliku kolme põhitunnust.
1 rööpkülikumärk
Kui nelinurga kaks külge on võrdsed ja paralleelsed, on see nelinurk rööpkülik.
Tõestus:
Vaatleme nelinurka ABCD. Olgu küljed AB ja CD paralleelsed. Ja olgu AB=CD. Joonistame sellesse diagonaali BD. See jagab selle nelinurga kaheks võrdseks kolmnurgaks: ABD ja CBD.
Need kolmnurgad on kahelt poolt üksteisega võrdsed ja nendevaheline nurk (BD - ühine pool, AB = CD tingimuse järgi, nurk1 = nurk2 kui ristnurgad paralleelsete sirgjoonte AB ja CD ristsuunalise BD-ga.) ja seega nurk3 = nurk4.
Ja need nurgad asetsevad risti, kui sirged BC ja AD ristuvad lõikega BD. Sellest järeldub, et BC ja AD on paralleelsed. Meil on see nelinurgas ABCD vastasküljed on paarikaupa paralleelsed ja seetõttu on nelinurk ABCD rööpkülik.
Paralleelogrammi märk 2
Kui nelinurga vastasküljed on paarikaupa võrdsed, on see nelinurk rööpkülik.
Tõestus:
Vaatleme nelinurka ABCD. Joonistame sellesse diagonaali BD. See jagab selle nelinurga kaheks võrdseks kolmnurgaks: ABD ja CBD.
Need kaks kolmnurka on üksteisega võrdsed kolmel küljel (BD on ühine külg, AB = CD ja BC = AD tingimusel). Sellest saame järeldada, et nurk1 = nurk2. Sellest järeldub, et AB on paralleelne CD-ga. Ja kuna AB = CD ja AB on paralleelne CD-ga, siis rööpküliku esimese kriteeriumi järgi on nelinurk ABCD rööpkülik.
3 rööpkülikumärk
Kui nelinurga diagonaalid lõikuvad ja poolitatakse lõikepunktiga, on see nelinurk rööpkülik.
Vaatleme nelinurka ABCD. Joonistame sellesse kaks diagonaali AC ja BD, mis lõikuvad punktis O ja on selle punktiga poolitatud.
Kolmnurgad AOB ja COD on kolmnurkade esimese võrdsuse märgi järgi üksteisega võrdsed. (AO = OC, BO = OD tingimuse järgi, nurk AOB = nurk COD as vertikaalsed nurgad.) Seega AB = CD ja nurk 1 = nurk 2. Nurkade 1 ja 2 võrdsusest saame, et AB on paralleelne CD-ga. Siis saame, et nelinurga ABCD küljed AB on võrdsed CD-ga ja paralleelsed ning rööpküliku esimese kriteeriumi järgi on nelinurk ABCD rööpkülik.
I. Kui nelinurga kaks vastaskülge on paralleelsed ja võrdsed, siis on nelinurk rööpkülik.
Ülesanne 1. Rööpküliku ABCD tippudest B ja D, milles AB≠ BC ja teravnurk A, tõmmatakse sirgele AC ristid BK ja DM. Tõesta, et nelinurk BMDK on rööpkülik.
Tõestus.
Kuna VC ja DM on risti sama sirgjoonega AC, siis VC II DM. Lisaks on VK ja DM kõrgused sisse tõmmatud võrdsed kolmnurgadΔ ABC ja Δ CDA tippudest võrdsed nurgad∠B ja ∠D samale küljele AC, seega BC = DM. Meil on: nelinurga BMDK kaks külge BC ja DM on paralleelsed ja võrdsed, mis tähendab, et BMDK on rööpkülik, mida oli vaja tõestada.
II. Kui nelinurga vastasküljed on paarides võrdsed, siis on see nelinurk rööpkülik.
2. ülesanne. Nelinurga ABCD külgedel AB, BC, CD ja DA on punktid M, N, P ja Q vastavalt tähistatud nii, et AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Tõesta, et ABCD ja MNPQ on rööpkülikukujulised.
Tõestus.
1. Tingimuse kohaselt koosnevad nelinurga ABCD vastasküljed võrdsed segmendid, seega võrdne, s.t. AD = BC, AB = CD. Seetõttu on ABCD rööpkülik.
2. Vaatleme Δ MBN ja Δ PDQ. BM=DP ja BN=DQ tingimuse järgi. ∠B =∠D vastasnurkadena rööpkülik ABCD. See tähendab, et Δ MBN = Δ PDQ kahel küljel ja nendevaheline nurk (1. kolmnurkade võrdsuse märk). Ja võrdsetes kolmnurkades asuvad võrdsed nurgad võrdsed küljed. Seega MN = PQ. Oleme tõestanud, et nelinurga MNPQ vastasküljed MN ja PQ on võrdsed. Samamoodi järeldub kolmnurkade Δ MAQ ja Δ PCN võrdsusest, et küljed MQ ja PN on võrdsed, mis on nelinurga MNPQ vastasküljed. Meil on: nelinurga MNPQ vastasküljed on paarides võrdsed. Seetõttu on nelinurk MNPQ rööpkülik. Probleem on lahendatud.
III. Kui nelinurga diagonaalid lõikuvad ja poolitatakse lõikepunktiga, siis on nelinurk rööpkülik.
3. ülesanne. Rööpküliku ABCD diagonaalid lõikuvad punktis O. Tõesta, et nelinurk MNPQ, mille tipud on lõikude OA, OB, OC ja OD keskpunktid, on rööpkülik.
Tõestus.
Rööpküliku ABCD diagonaalide omaduse järgi jagatakse selle diagonaalid AC ja BD lõikepunktiga pooleks, s.o. OA=OS ja OB=OD. Nelinurga MNPQ diagonaalid lõikuvad ka punktis O, mis on nende kõigi keskpunkt. Tõepoolest, kuna nelinurga MNPQ tipud on tingimuse järgi lõikude OA, OC, OB ja OD keskpunktid, siis BN=ON=OQ=DQ ja AM=OM=OP=CP. Järelikult on nelinurga MNPQ diagonaalid MP ja NQ lõikumispunktis poolitatud, seega on nelinurk MNPQ rööpkülik, mida oli vaja tõestada.
Tagasi ette
Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete huvitatud see töö, laadige alla täisversioon.
Tunni eesmärk: arvestama rööpküliku tunnuseid ja kinnistama omandatud teadmisi ülesannete lahendamise protsessis.
Ülesanded:
- hariv: rööpküliku tunnuste rakendamise oskuse arendamine ülesannete lahendamisel;
- arendamine: arengut loogiline mõtlemine, tähelepanu, oskused iseseisev töö, enesehinnangu oskused;
- hariv: aine vastu huvi kasvatamine, meeskonnatöö oskus, suhtluskultuur.
Tunni tüüp: uue materjali õppimine, esmane kinnistamine.
Varustus: interaktiivne tahvel, projektor, ülesannete kaardid, esitlus.
Tundide ajal
1. Organisatsioonimoment.
U: Tere pärastlõunast, poisid! Täna tunnis räägime jälle rööpkülikutest. Peame täitma palju ülesandeid, tõestama teoreeme ja õppima neid ülesannete lahendamisel rakendama. Meie tunni motoks on Le Carbusier' sõnad: "Kõik ümberringi on geomeetria."
2. Õpilaste teadmiste täiendamine.
Teoreetiline küsitlus
Andke mõnele õpilasele sellel teemal kaartidel individuaalsed ülesanded rööpküliku omadused(igaüks valib esitlusslaidil hüperlingi kaudu ülesanded iseseisvalt, suunates hiirekursoriga joonisele, aga mitte numbrile), kuulake iga vastaja individuaalselt.
Ülejäänuga - tõestage rööpküliku lisaomadusi. (Kõigepealt arutage tõestust suuliselt, seejärel kontrollige seda interaktiivse tahvliga).
1°. Rööpküliku nurga poolitaja lõikab sellest ära võrdhaarse kolmnurga.
2°. Rööpküliku külgnevate nurkade poolitajad on risti ja poolitajad vastasnurgad on paralleelsed või asuvad samal sirgel.
Pärast ettevalmistamist kuulake tõendeid rööpküliku lisaomaduste kohta.
ABCD - paralleelogramm,
AE on nurga BAD poolitaja.
Tõesta: ABE on võrdhaarne.
Tõestus:
Kuna ABCD on rööpkülik, siis BC || AD, siis nurk EAD = nurk BEA, mis asetseb risti paralleelsete sirgjoontega BC ja AD ning sekant AE. AE on nurga BAD poolitaja, mis tähendab nurk BAE = nurk EAD, seega nurk BAE = nurk BEA.
ABE-s on nurk BAE = nurk BEA, mis tähendab, et ABE on võrdhaarne alusega AE.
Soovituslikud küsimused:
Sõnasta võrdhaarse kolmnurga märk.
Millised nurgad BAE-s võivad olla võrdsed? Miks?
ABCD - paralleelogramm,
BE on nurga CBA poolitaja,
AE on nurga BAD poolitaja.
Soovituslikud küsimused:
Millal on sirged AE ja CK paralleelsed?
Kas nurgad BEA ja<3? Почему?
Millisel juhul langevad AE ja CK kokku?
Ettevalmistus uue materjali õppimiseks
Frontaalne töö klassiga (suuline).
- Mida tähendavad sõnad "omadused" ja "iseloom"? Too näiteid.
- Mis on vastupidine teoreem?
- Kas selle väite vastupidine on alati tõsi? Too näiteid.
3. Uue materjali selgitus.
U.: Igal objektil on oma omadused ja omadused. Palun öelge mulle, kuidas omadused erinevad märkidest.
Proovime seda probleemi lihtsa näite abil mõista. Antud objekt on sügis. Nimetage selle omadused: Selle omadused:
- Millised väited on objekti omadus ja atribuut üksteise suhtes? (vastus: vastupidine)
- Milliseid omadusi oleme juba geomeetria kursusel uurinud? Nimetage need. (nimetage mõned)
Kas mis tahes omaduse kohta on võimalik koostada tõene vastupidine väide? (erinevad vastused).
Kontrollime seda järgmiste atribuutide puhul:
Järeldus: kas mis tahes omaduse kohta on võimalik koostada tõene vastupidine väide? (ei, mitte kellelegi)
Nüüd pöördume tagasi oma nelinurga juurde, jätame meelde selle omadused ja sõnastame nende vastupidised väited, st:.. (vastus - rööpküliku omadused). Seega on tänase tunni teemaks: “Rööpküliku märgid”.
Niisiis, nimeta rööpküliku omadused.
Sõnastage laused, mis on omadustele pöördvõrdelised. (õpilased sõnastavad märgid, õpetaja parandab need ja sõnastab uuesti)
Tõestame neid märke. Esimene märk on üksikasjalik, teine on lühike, kolmas on omaette kodus.
4. Õpitud materjali koondamine.
Töö töövihikutes: lahenda interaktiivsel tahvlil ülesanne nr 11, kutsu tahvlile vähem ettevalmistatud õpilane.
Ülesande nr 379 lahendus (kirjuta lahendus interaktiivsele tahvlile). Rööpküliku ABCD tippudest B ja D, milles AB BC ja A on teravad, tõmmatakse sirgele AC ristid BC ja DM. Tõesta, et nelinurk BMDK on rööpkülik.
I. Kui nelinurga kaks vastaskülge on paralleelsed ja võrdsed, siis on nelinurk rööpkülik.
Ülesanne 1. Rööpküliku ABCD tippudest B ja D, milles AB≠ BC ja teravnurk A, tõmmatakse sirgele AC ristid BK ja DM. Tõesta, et nelinurk BMDK on rööpkülik.
Tõestus.
Kuna VC ja DM on risti sama sirgjoonega AC, siis VC II DM. Lisaks on BC ja DM kõrgused, mis on tõmmatud võrdsetes kolmnurkades Δ ABC ja Δ CDA võrdsete nurkade ∠B ja ∠D tippudest samale küljele AC, seega BC = DM. Meil on: nelinurga BMDK kaks külge BC ja DM on paralleelsed ja võrdsed, mis tähendab, et BMDK on rööpkülik, mida oli vaja tõestada.
II. Kui nelinurga vastasküljed on paarides võrdsed, siis on see nelinurk rööpkülik.
2. ülesanne. Nelinurga ABCD külgedel AB, BC, CD ja DA on punktid M, N, P ja Q vastavalt tähistatud nii, et AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Tõesta, et ABCD ja MNPQ on rööpkülikukujulised.
Tõestus.
1. Tingimuse järgi koosnevad nelinurgas ABCD vastasküljed võrdsetest lõikudest, seetõttu on nad võrdsed, s.t. AD = BC, AB = CD. Seetõttu on ABCD rööpkülik.
2. Vaatleme Δ MBN ja Δ PDQ. BM=DP ja BN=DQ tingimuse järgi. ∠B =∠D rööpküliku ABCD vastasnurkadena. See tähendab, et Δ MBN = Δ PDQ kahel küljel ja nendevaheline nurk (1. kolmnurkade võrdsuse märk). Ja võrdsetes kolmnurkades asuvad võrdsed küljed võrdsete nurkade vastas. Seega MN=PQ. Oleme tõestanud, et nelinurga MNPQ vastasküljed MN ja PQ on võrdsed. Samamoodi järeldub kolmnurkade Δ MAQ ja Δ PCN võrdsusest, et küljed MQ ja PN on võrdsed, mis on nelinurga MNPQ vastasküljed. Meil on: nelinurga MNPQ vastasküljed on paarides võrdsed. Seetõttu on nelinurk MNPQ rööpkülik. Probleem on lahendatud.
III. Kui nelinurga diagonaalid lõikuvad ja poolitatakse lõikepunktiga, siis on nelinurk rööpkülik.
3. ülesanne. Rööpküliku ABCD diagonaalid lõikuvad punktis O. Tõesta, et nelinurk MNPQ, mille tipud on lõikude OA, OB, OC ja OD keskpunktid, on rööpkülik.
Tõestus.
Rööpküliku ABCD diagonaalide omaduse järgi jagatakse selle diagonaalid AC ja BD lõikepunktiga pooleks, s.o. OA=OS ja OB=OD. Nelinurga MNPQ diagonaalid lõikuvad ka punktis O, mis on nende kõigi keskpunkt. Tõepoolest, kuna nelinurga MNPQ tipud on tingimuse järgi lõikude OA, OC, OB ja OD keskpunktid, siis BN=ON=OQ=DQ ja AM=OM=OP=CP. Järelikult on nelinurga MNPQ diagonaalid MP ja NQ lõikumispunktis poolitatud, seega on nelinurk MNPQ rööpkülik, mida oli vaja tõestada.