Geomeetria on üks keerulisemaid ja segasemaid teadusi. Selles osutub esmapilgul ilmselgena tunduv väga harva õigeks. Poolitajad, kõrgused, mediaanid, projektsioonid, puutujad – tohutu hulk tõeliselt keerulisi termineid, mida on väga lihtne segi ajada.

Tegelikult saate õige soovi korral mõista igasuguse keerukusega teooriat. Kui rääkida poolitajatest, mediaanidest ja kõrgustest, peate mõistma, et need ei ole kolmnurkade jaoks ainulaadsed. Esmapilgul see lihtsad jooned, kuid igaühel neist on oma omadused ja funktsioonid, mille tundmine lihtsustab oluliselt lahendust geomeetrilised probleemid. Niisiis, mis on kolmnurga poolitaja?

Definitsioon

Mõiste "poolitaja" ise tuleneb kombinatsioonist Ladinakeelsed sõnad“kaks” ja “lõigatud”, “lõigatud”, mis viitab juba kaudselt selle omadustele. Tavaliselt, kui lastele seda kiirt tutvustatakse, antakse neile meelde jätmiseks lühike fraas: "Bisector on rott, kes jookseb mööda nurki ja jagab nurga pooleks." Loomulikult ei sobi selline seletus vanematele koolilastele, pealegi küsitakse neilt tavaliselt mitte kivisöe, vaid söe kohta. geomeetriline kujund. Seega on kolmnurga poolitaja kiir, mis ühendab kolmnurga tippu vastaspool, jagades samal ajal nurga kaheks võrdseks osaks. Punkt vastasküljel, kuhu poolitaja tuleb suvaline kolmnurk valitakse juhuslikult.

Põhifunktsioonid ja omadused

Sellel talal on vähe põhiomadusi. Esiteks, kuna kolmnurga poolitaja poolitab nurga, on iga sellel asuv punkt võrdne vahemaaülaosa moodustavatest külgedest. Teiseks saate igas kolmnurgas joonistada kolm poolitajat vastavalt saadaolevate nurkade arvule (seega samas nelinurgas on neid juba neli jne). Punkt, kus kõik kolm kiirt ristuvad, on kolmnurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt.

Omadused muutuvad keerukamaks

Teeme teooriat veidi keerulisemaks. Veel üks huvitav omadus: kolmnurga nurga poolitaja jagab vastaskülje segmentideks, mille suhe on võrdne tipu moodustavate külgede suhtega. Esmapilgul on see keeruline, kuid tegelikult on kõik lihtne: pakutud joonisel RL: LQ = PR: PK. Muide, seda omadust nimetati poolitajate teoreemiks ja see ilmus esmakordselt Vana-Kreeka matemaatiku Eukleidese töödes. Seda mäletati ühes venekeelses õpikus alles XVII sajandi esimesel veerandil.

See on veidi keerulisem. Nelinurgas lõikab poolitaja ära võrdhaarse kolmnurga. Sellel joonisel on kujutatud kõik keskmise AF-i võrdsed nurgad.

Ja nelinurksetes ja trapetsides on ühepoolsete nurkade poolitajad üksteisega risti. Näidatud joonisel on nurk APB 90 kraadi.

Võrdhaarses kolmnurgas

Võrdhaarse kolmnurga poolitaja on palju kasulikum kiir. See ei ole samal ajal mitte ainult nurga jagaja pooleks, vaid ka mediaan ja kõrgus.

Mediaan on segment, mis tuleb mõnest nurgast ja langeb vastaskülje keskele, jagades selle seega võrdseteks osadeks. Kõrgus on risti, mis laskub tipust vastasküljele, selle abil saab mis tahes ülesande taandada lihtsaks ja primitiivseks Pythagorase teoreemiks. Selles olukorras on kolmnurga poolitaja võrdne hüpotenuusi ruudu ja teise jala vahelise erinevuse juurega. Muide, seda omadust kohtab kõige sagedamini geomeetriliste ülesannete puhul.

Konsolideerimiseks: selles kolmnurgas on poolitaja FB mediaan (AB = BC) ja kõrgus (nurgad FBC ja FBA on 90 kraadi).

Kontuuris

Mida peate siis meeles pidama? Kolmnurga poolitaja on kiir, mis poolitab selle tipu. Kolme kiire ristumiskohas on sisse kirjutatud ringi keskpunkt antud kolmnurk(selle omaduse ainsaks puuduseks on see, et sellel puudub praktiline väärtus ja see on mõeldud ainult joonise pädevaks täitmiseks). Samuti jagab see vastaskülje segmentideks, mille suhe on võrdne nende külgede suhtega, mille vahel see kiir läbis. Nelinurgas muutuvad omadused veidi keerulisemaks, kuid tõsi, et probleeme ei esine praktiliselt kunagi kooli tasemel, mistõttu neid programmis tavaliselt ei puudutata.

Võrdhaarse kolmnurga poolitaja on iga koolilapse ülim unistus. See on nii mediaan (st jagab vastaskülje pooleks) kui ka kõrgus (selle poolega risti). Ülesannete lahendamine sellise poolitaja abil taandub Pythagorase teoreemile.

Teadmised põhifunktsioonid poolitaja, aga ka selle põhiomadused, on vajalik nii keskmise kui ka geomeetriliste ülesannete lahendamiseks kõrge tase raskusi. Tegelikult leidub seda kiirt ainult planimeetrias, seega ei saa öelda, et selle teabe meeldejätmine võimaldab teil toime tulla igat tüüpi ülesannetega.

Kolmnurga poolitaja on segment, mis jagab kolmnurga nurga kaheks võrdsed nurgad. Näiteks kui kolmnurga nurk on 120 0, siis poolitaja joonestamisel konstrueerime kaks nurka, kumbki 60 0.

Ja kuna kolmnurgas on kolm nurka, saab tõmmata kolm poolitajat. Neil kõigil on üks piirpunkt. See punkt on kolmnurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt. Teisel viisil nimetatakse seda lõikepunkti kolmnurga keskpunktiks.

Kui kaks poolitajat sise- ja välisnurk, nurk on 90 0. Kolmnurga välisnurk on nurk, mis külgneb kolmnurga sisenurgaga.

Riis. 1. Kolmnurk, mis sisaldab 3 poolitajat

Poolitaja jagab vastaskülg kaheks segmendiks, mis on külgedega ühendatud:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Poolitajapunktid on nurga külgedest võrdsel kaugusel, mis tähendab, et nad on nurga külgedest samal kaugusel. See tähendab, et kui poolitaja mis tahes punktist kukutame kolmnurga nurga mõlemale küljele risti, siis on need ristnurgad võrdsed.

Kui joonistate ühest tipust mediaani, poolitaja ja kõrguse, on mediaan pikim lõik ja kõrgus kõige lühem.

Mõned poolitaja omadused

IN teatud tüübid kolmnurgad, poolitaja on erilised omadused. See kehtib peamiselt võrdhaarse kolmnurga kohta. Sellel joonisel on kaks identset küljed, ja kolmandat nimetatakse baasiks.

Kui joonistada poolitaja võrdhaarse kolmnurga nurga tipust aluse suhtes, on sellel nii kõrguse kui ka mediaani omadused. Vastavalt sellele kattub poolitaja pikkus mediaani ja kõrgusega.

Määratlused:

• Kõrgus- kolmnurga tipust vastasküljele tõmmatud risti.
• Mediaan– segment, mis ühendab kolmnurga tippu ja vastaskülje keskosa.

Riis. 2. Poolitaja võrdhaarses kolmnurgas

See kehtib ka Võrdkülgne kolmnurk, see tähendab kolmnurka, mille kõik kolm külge on võrdsed.

Näidisülesanne

Kolmnurgas ABC: BR on poolitaja, kus AB = 6 cm, BC = 4 cm ja RC = 2 cm. Lahutage kolmanda külje pikkus.

Riis. 3. Poolitaja kolmnurgas

Lahendus:

Poolitaja jagab kolmnurga külje teatud proportsioonis. Kasutame seda proportsiooni ja väljendame AR-i. Seejärel leiame kolmanda külje pikkuse nende lõikude summana, milleks see külg poolitajaga jagati.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Siis kogu segment AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Kokku saadud hinnanguid: 107.

Keskmine tase

Kolmnurga poolitaja. Üksikasjalik teooria koos näidetega (2019)

Kolmnurga poolitaja ja selle omadused

Kas teate, mis on lõigu keskpunkt? Muidugi teete. Aga ringi keskpunkt? Sama. Mis on nurga keskpunkt? Võib öelda, et seda ei juhtu. Aga miks saab lõiku pooleks jagada, nurka aga mitte? See on täiesti võimalik – lihtsalt mitte täpp, aga…. rida.

Kas mäletate nalja: poolitaja on rott, kes jookseb mööda nurki ja jagab nurga pooleks. Seega on poolitaja tegelik määratlus selle naljaga väga sarnane:

Kolmnurga poolitaja- see on kolmnurga nurga poolitaja segment, mis ühendab selle nurga tippu vastasküljel asuva punktiga.

Kunagi ammu avastasid iidsed astronoomid ja matemaatikud palju huvitavad omadused poolitajad. Need teadmised on inimeste elu oluliselt lihtsustanud. Lihtsamaks on muutunud ehitamine, kauguste arvestamine, isegi suurtükkide tulistamise reguleerimine... Nende omaduste tundmine aitab meil lahendada mõningaid GIA ja ühtse riigieksami ülesandeid!

Esimesed teadmised, mis selle vastu aitavad, on võrdhaarse kolmnurga poolitaja.

Muide, kas mäletate kõiki neid termineid? Kas mäletate, kuidas need üksteisest erinevad? Ei? Pole hirmutav. Mõtleme selle nüüd välja.

Niisiis, võrdhaarse kolmnurga alus- see on pool, mis ei võrdu ühegi teisega. Vaata pilti, mis pool see sinu arvates on? Täpselt nii – see on pool.

Mediaan on kolmnurga tipust tõmmatud joon, mis jagab vastaskülje (see on jällegi) pooleks.

Pange tähele, et me ei ütle: "Võrdhaarse kolmnurga mediaan". Kas sa tead, miks? Sest kolmnurga tipust tõmmatud mediaan poolitab SUGU kolmnurga vastaskülje.

Noh, kõrgus on ülalt tõmmatud joon, mis on risti alusega. Kas märkasid? Me räägime jälle mis tahes kolmnurgast, mitte ainult võrdhaarsest. KÕRGUS IGAS kolmnurgas on alati alusega risti.

Niisiis, kas olete sellest aru saanud? Peaaegu. Et veelgi paremini mõista ja igaveseks meeles pidada, mis on poolitaja, mediaan ja kõrgus, peate neid omavahel võrdlema ja mõistma, kuidas need on sarnased ja kuidas need üksteisest erinevad. Samal ajal, et paremini meelde jätta, on parem kõike kirjeldada " inimkeel" Siis tegutsed kergesti matemaatika keeles, aga algul ei saa sa sellest keelest aru ja pead kõike oma keeles aru saama.

Niisiis, kuidas nad on sarnased? Poolitaja, mediaan ja kõrgus – need kõik “tulevad välja” kolmnurga tipust ja toetuvad vastasküljele ning “teevad midagi” kas nurgaga, kust välja tulevad, või vastasküljega. Ma arvan, et see on lihtne, kas pole?

Mille poolest need erinevad?

• Poolitaja jagab nurga, millest see väljub, pooleks.
• Mediaan jagab vastaskülje pooleks.
• Kõrgus on alati vastasküljega risti.

See on kõik. Seda on lihtne mõista. Ja kui olete aru saanud, võite meeles pidada.

Nüüd järgmine küsimus. Miks juhul võrdhaarne kolmnurk Kas poolitaja on nii mediaan kui ka kõrgus?

Võite lihtsalt vaadata joonist ja veenduda, et mediaan jaguneb absoluutselt kaheks võrdne kolmnurk. See on kõik! Kuid matemaatikutele ei meeldi oma silmi uskuda. Nad peavad kõike tõestama. Hirmutav sõna? Mitte midagi sellist – see on lihtne! Vaata: mõlemal on võrdsed küljed ja üldiselt on neil ühine pool ja. (- poolitaja!) Ja nii selgub, et kahel kolmnurgal on kaks võrdsed küljed ja nendevaheline nurk. Meenutame esimest kolmnurkade võrdsuse märki (kui te ei mäleta, vaadake teemat) ja järeldame, et ja seetõttu = ja.

See on juba hea – see tähendab, et see osutus mediaaniks.

Aga mis see on?

Vaatame pilti - . Ja saime kätte. Nii ka! Lõpuks, hurraa! Ja.

Kas see tõend oli teile raske? Vaata pilti – kaks identsed kolmnurgad räägi enda eest.

Igal juhul pidage meeles:

Nüüd on see keerulisem: me loeme poolitajate vaheline nurk mis tahes kolmnurgas!Ärge kartke, see pole nii keeruline. Vaata pilti:

Loeme kokku. Kas mäletate seda kolmnurga nurkade summa on?

Rakendame seda hämmastavat fakti.

Ühelt poolt alates:

See on.

Nüüd vaatame:

Aga poolitajad, poolitajad!

Tuletame meelde:

Nüüd läbi tähtede

\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

Kas pole üllatav? Selgus, et kahe nurga poolitajate vaheline nurk sõltub ainult kolmandast nurgast!

Noh, me vaatasime kahte poolitajat. Aga kui neid on kolm??!! Kas nad kõik ristuvad ühel hetkel?

Või saab see nii olema?

Kuidas sa arvad? Nii et matemaatikud mõtlesid ja mõtlesid ning tõestasid:

Kas pole suurepärane?

Kas soovite teada, miks see juhtub?

Niisiis...kaks täisnurkset kolmnurka: ja. Neil on:

• Üldine hüpotenuus.
• (sest see on poolitaja!)

See tähendab - nurga ja hüpotenuusi järgi. Seetõttu on nende kolmnurkade vastavad jalad võrdsed! See on.

Tõestasime, et punkt on nurga külgedest võrdselt (või võrdselt) kaugel. Punkti 1 käsitletakse. Liigume nüüd punkti 2 juurde.

Miks on 2 tõsi?

Ja ühendame punktid ja.

See tähendab, et see asub poolitaja peal!

See on kõik!

Kuidas seda kõike probleemide lahendamisel rakendada? Näiteks on ülesannetes sageli järgmine lause: “Ring puudutab nurga külgi...”. Noh, sa pead midagi leidma.

Siis saad sellest kiiresti aru

Ja võite kasutada võrdsust.

3. Kolmnurga kolm poolitajat ristuvad ühes punktis

Poolitaja omadusest olla lookus nurga külgedest võrdsel kaugusel asuvates punktides on järgmine väide:

Kuidas see täpselt välja tuleb? Aga vaata: kaks poolitajat ristuvad kindlasti, eks?

Ja kolmas poolitaja võiks olla järgmine:

Kuid tegelikult on kõik palju parem!

Vaatame kahe poolitaja ristumispunkti. Nimetagem seda.

Mida me siin mõlemal korral kasutasime? Jah lõige 1, muidugi! Kui punkt asub poolitajal, siis on see nurga külgedest võrdsel kaugusel.

Ja nii see juhtuski.

Kuid vaadake hoolikalt neid kahte võrdsust! Neist ju järeldub, et ja seega .

Ja nüüd tuleb see mängu punkt 2: kui nurga külgede kaugused on võrdsed, siis asub punkt poolitajal...mis nurk? Vaata pilti uuesti:

ja on kaugused nurga külgede vahel ja need on võrdsed, mis tähendab, et punkt asub nurga poolitajal. Kolmas poolitaja läbis sama punkti! Kõik kolm poolitajat lõikuvad ühes punktis! Ja lisakingitusena -

Raadii sisse kirjutatud ringid.

(Selleks, et olla kindel, vaata mõnda teist teemat).

Noh, nüüd ei unusta te kunagi:

Kolmnurga poolitajate lõikepunkt on sellesse kantud ringi keskpunkt.

Liigume edasi järgmise omaduse juurde... Vau, poolitajal on palju omadusi, eks? Ja see on suurepärane, sest rohkem omadusi, seda rohkem tööriistu poolitajaülesannete lahendamiseks.

4. Poolitaja ja paralleelsus, külgnevate nurkade poolitajad

See, et poolitaja jagab nurga mõnel juhul pooleks, viib täiesti ootamatute tulemusteni. Näiteks,

Juhtum 1

Suurepärane, eks? Mõistame, miks see nii on.

Ühelt poolt joonistame poolitaja!

Kuid teisest küljest on nurki, mis asetsevad risti (pidage meeles teemat).

Ja nüüd selgub, et; visake keskelt välja: ! - võrdhaarne!

Juhtum 2

Kujutage ette kolmnurka (või vaadake pilti)

Jätkame punktist kaugemale jäävat külge. Nüüd on meil kaks nurka:

• - sisemine nurk
• - välisnurk on väljas, eks?

Niisiis, nüüd tahtis keegi joonistada mitte ühe, vaid kaks poolitajat korraga: nii eest kui ka poolt. Mis juhtub?

Kas see õnnestub? ristkülikukujuline!

Üllataval kombel on see täpselt nii.

Selgitame välja.

Mis summa teie arvates on?

Muidugi - lõppude lõpuks teevad nad kõik koos sellise nurga, et see osutub sirgjooneks.

Nüüd pidage meeles, et need on poolitajad ja vaadake, et nurga sees on täpselt pool kõigi nelja nurga summast: ja - - see tähendab täpselt. Võite selle kirjutada ka võrrandina:

Nii et uskumatu, kuid tõsi:

Kolmnurga sise- ja välisnurga poolitajate vaheline nurk on võrdne.

Juhtum 3

Kas näete, et siin on kõik sama, mis sise- ja välisnurkade puhul?

Või mõelgem uuesti, miks see nii juhtub?

Jällegi, mis puutub külgnevad nurgad,

(vastavalt paralleelsetele alustele).

Ja jälle lepivad ära täpselt pool summast

Järeldus: Kui probleem sisaldab poolitajaid külgnevad nurgad või poolitajad asjakohane rööpküliku või trapetsi nurgad, siis selles ülesandes kindlasti osaleb täisnurkne kolmnurk ja võib-olla isegi terve ristküliku.

5. Poolitaja ja vastaskülg

Selgub, et kolmnurga nurga poolitaja jagab vastaskülje mitte ainult mingil moel, vaid erilisel ja väga huvitaval viisil:

See on:

Hämmastav fakt, kas pole?

Nüüd me tõestame seda fakti, kuid olge valmis: see saab olema veidi keerulisem kui varem.

Jällegi - väljumine "kosmosesse" - täiendav moodustumine!

Lähme otse.

Milleks? Vaatame nüüd.

Jätkame poolitajat, kuni see lõikub sirgega.

Kas see on tuttav pilt? Jah, jah, jah, täpselt sama, mis punktis 4, juhtum 1 - selgub, et (- poolitaja)

Lamades risti

Nii et ka see.

Nüüd vaatame kolmnurki ja.

Mida saate nende kohta öelda?

Nad on sarnased. No jah, nende nurgad on vertikaalsete omadega võrdsed. Niisiis, kahes nurgas.

Nüüd on meil õigus kirjutada asjaomaste osapoolte suhted.

Ja nüüd lühidalt:

Oh! Meenutab mulle midagi, eks? Kas me ei tahtnud seda tõestada? Jah, jah, täpselt nii!

Näete, kui suurepäraseks osutus "kosmosekõnd" - täiendava sirge rajamine - ilma selleta poleks midagi juhtunud! Ja nii, me oleme seda tõestanud

Nüüd saate seda ohutult kasutada! Vaatame veel ühte kolmnurga nurkade poolitajate omadust - ärge kartke, nüüd on raskeim osa möödas - see läheb lihtsamaks.

Me saame sellest aru

1. teoreem:

2. teoreem:

3. teoreem:

4. teoreem:

5. teoreem:

6. teoreem: