Reaalne logaritm
Reaalarvu logi logaritm a b on mõistlik src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.
Kõige laialdasemalt kasutatavad logaritmitüübid on:
Kui arvestada muutujaks logaritmilist arvu, saame logaritmiline funktsioon, Näiteks: . See funktsioon on määratletud numbrirea paremal küljel: x> 0, on seal pidev ja diferentseeruv (vt joonis 1).
Omadused
Looduslikud logaritmid
Kui võrdsus on tõsi
| (1) |
Eriti,
See jada koondub kiiremini ja lisaks saab valemi vasak pool nüüd väljendada mis tahes positiivse arvu logaritmi.
Seos kümnendlogaritmiga: .
Kümnendlogaritmid
Riis. 2. Logaritmiline skaala
Logaritmid 10 aluseni (sümbol: lg a) enne kalkulaatorite leiutamist kasutati arvutuste tegemiseks laialdaselt. Kümnendlogaritmide ebaühtlane skaala on tavaliselt märgitud ka slaidireeglitele. Sarnast skaalat kasutatakse laialdaselt erinevates teadusvaldkondades, näiteks:
- Keemia - vesinikioonide aktiivsus ().
- Muusikateooria - nootide skaala, mis on seotud nootide sagedustega.
Logaritmilist skaalat kasutatakse laialdaselt ka astendaja tuvastamiseks võimusuhetes ja koefitsiendi astendajas. Sel juhul on logaritmilisel skaalal piki ühte või kahte telge koostatud graafik sirge kuju, mida on lihtsam uurida.
Kompleksne logaritm
Mitme väärtusega funktsioon
Riemanni pind
Kompleksne logaritmiline funktsioon on Riemanni pinna näide; selle mõtteline osa (joonis 3) koosneb lõpmatust arvust spiraalina keerdunud okstest. See pind on lihtsalt ühendatud; selle ainus null (esimest järku) saadakse juures z= 1, ainsuse punktid: z= 0 ja (lõpmatut järku hargnemispunktid).
Logaritmi Riemanni pind on komplekstasandi universaalne kate ilma punktita 0.
Ajalooline sketš
Reaalne logaritm
Vajadus keeruliste arvutuste järele kasvas kiiresti 16. sajandil ning suur osa raskustest oli seotud mitmekohaliste arvude korrutamise ja jagamisega. Sajandi lõpus tulid mitmed matemaatikud peaaegu üheaegselt välja ideega: asendada töömahukas korrutamine lihtsa liitmisega, kasutades selleks spetsiaalseid tabeleid geomeetriliste ja aritmeetiliste progressioonide võrdlemiseks, kusjuures geomeetriline on algne. Seejärel asendatakse jagamine automaatselt mõõtmatult lihtsama ja usaldusväärsema lahutamisega. Ta oli esimene, kes avaldas selle idee oma raamatus " Aritmeetika integra«Michael Stiefel, kes aga oma idee elluviimiseks tõsiselt ei pingutanud.
1620. aastatel leiutasid Edmund Wingate ja William Oughtred esimese slaidireegli, enne taskukalkulaatorite tulekut – asendamatu inseneri tööriist.
Kaasaegsele lähedane arusaam logaritmeerimisest – kui võimule tõstmise pöördoperatsioonist – ilmus esmakordselt Wallise ja Johann Bernoulli juures ning lõpuks seadustas Euler 18. sajandil. Raamatus “Sissejuhatus lõpmatute analüüsimisse” () andis Euler nii eksponentsiaalsete kui ka logaritmiliste funktsioonide kaasaegsed määratlused, laiendas need astmeridadeks ja märkis eriti naturaallogaritmi rolli.
Eulerit tunnustatakse ka logaritmilise funktsiooni laiendamise eest keerukale domeenile.
Kompleksne logaritm
Esimesed katsed laiendada logaritme kompleksarvudele tegid 17.–18. sajandi vahetusel Leibniz ja Johann Bernoulli, kuid neil ei õnnestunud luua terviklikku teooriat eelkõige seetõttu, et logaritmi mõiste ei olnud veel selgelt määratletud. Arutelu sellel teemal toimus esmalt Leibnizi ja Bernoulli vahel ning 18. sajandi keskel - d'Alemberti ja Euleri vahel. Bernoulli ja d'Alembert uskusid, et see tuleks kindlaks teha log(-x) = log(x). Täieliku negatiivsete ja kompleksarvude logaritmide teooria avaldas Euler aastatel 1747–1751 ja see ei erine sisuliselt tänapäevasest.
Kuigi vaidlus jätkus (D'Alembert kaitses oma seisukohta ja argumenteeris seda üksikasjalikult oma Encyclopedia artiklis ja teistes teostes), saavutas Euleri seisukoht kiiresti üldise tunnustuse.
Logaritmitabelid
Logaritmitabelid
Logaritmi omadustest järeldub, et mitmekohaliste arvude töömahuka korrutamise asemel piisab nende logaritmide leidmisest (tabelitest) ja liitmisest ning seejärel samade tabelite abil potentseerimisest ehk leidmisest tulemuse väärtus selle logaritmi järgi. Jagamine erineb ainult selle poolest, et logaritmid lahutatakse. Laplace ütles, et logaritmide leiutamine "pikendas astronoomide eluiga", kiirendades oluliselt arvutusprotsessi.
Kui liigutate arvus koma kohta n numbrit, muutub selle arvu kümnendlogaritmi väärtuseks n. Näiteks log8314.63 = log8.31463 + 3. Sellest järeldub, et piisab kümnendlogaritmide tabeli koostamisest numbrite jaoks vahemikus 1 kuni 10.
Esimesed logaritmitabelid avaldas John Napier () ja need sisaldasid ainult trigonomeetriliste funktsioonide logaritme ja vigadega. Temast sõltumatult avaldas Kepleri sõber Joost Bürgi () tema tabeleid. 1617. aastal avaldas Oxfordi matemaatikaprofessor Henry Briggs tabelid, mis sisaldasid juba arvude endi kümnendlogaritme 1 kuni 1000, 8 (hiljem 14) numbriga. Kuid Briggsi tabelites oli ka vigu. Esimene Vega tabelitel () põhinev vigadeta väljaanne ilmus alles 1857. aastal Berliinis (Bremiweri tabelid).
Venemaal avaldati L. F. Magnitski osalusel esimesed logaritmitabelid 1703. aastal. NSV Liidus ilmus mitu logaritmitabelite kogu.
- Bradis V.M. Neljakohalised matemaatikatabelid. 44. trükk, M., 1973.
Koolikursusel “Matemaatiline analüüs” on suure tähtsusega logaritmide osa. Logaritmiliste funktsioonide ülesanded põhinevad erinevatel põhimõtetel kui võrratuste ja võrrandite ülesanded. Logaritmi ja logaritmi funktsiooni mõistete definitsioonide ja põhiomaduste tundmine tagab tüüpiliste USE probleemide eduka lahendamise.
Enne kui hakkame selgitama, mis on logaritmiline funktsioon, tasub vaadata logaritmi definitsiooni.
Vaatame konkreetset näidet: log a x = x, kus a › 0, a ≠ 1.
Logaritmide peamised omadused võib loetleda mitmes punktis:
Logaritm
Logaritmeerimine on matemaatiline tehe, mis võimaldab kontseptsiooni omadusi kasutades leida arvu või avaldise logaritmi.
Näited:
Logaritmfunktsioon ja selle omadused
Logaritmilisel funktsioonil on vorm
Märgime kohe, et funktsiooni graafik võib olla kasvav, kui a › 1 ja kahanev, kui 0 ‹ a ‹ 1. Olenevalt sellest on funktsioonikõver ühel või teisel kujul.
Siin on logaritmide joonistamise omadused ja meetod:
- f(x) domeen on kõigi positiivsete arvude hulk, st. x võib võtta mis tahes väärtuse vahemikust (0; + ∞);
- ODZ funktsioon on kõigi reaalarvude hulk, st. y võib olla võrdne mis tahes arvuga vahemikust (— ∞; +∞);
- kui logaritmi alus a › 1, siis f(x) suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses;
- kui logaritmi alus on 0 ‹ a ‹ 1, siis F on kahanev;
- logaritmiline funktsioon ei ole paaris ega paaritu;
- graafiku kõver läbib alati punkti koordinaatidega (1;0).
Mõlemat tüüpi graafikuid on väga lihtne koostada; vaatame protsessi näite abil
Kõigepealt peate meeles pidama lihtsa logaritmi omadused ja selle funktsioonid. Nende abiga peate koostama tabeli x ja y konkreetsete väärtuste jaoks. Seejärel peaksite märgistama saadud punktid koordinaatide teljele ja ühendama need sujuva joonega. See kõver on vajalik graafik.
Logaritmiline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördväärtus, mille annab y= a x. Selle kontrollimiseks piisab, kui joonistada mõlemad kõverad samale koordinaatteljele.
On ilmne, et mõlemad jooned on teineteise peegelpildid. Ehitades sirge y = x, näete sümmeetriatelge.
Probleemile vastuse kiireks leidmiseks peate arvutama punktide väärtused y = log 2 x jaoks ja seejärel lihtsalt nihutama koordinaatpunkti alguspunkti kolm jaotust mööda OY telge ja 2 jaotust allapoole. vasakule piki OX-telge.
Tõestuseks koostame graafiku y = log 2 (x+2)-3 punktide arvutustabeli ja võrdleme saadud väärtusi joonisega.
Nagu näete, langevad tabeli koordinaadid ja graafiku punktid kokku, seetõttu viidi mööda telgesid ülekanne õigesti.
Näited tüüpiliste ühtse riigieksami ülesannete lahendamisest
Enamus testülesandeid võib jagada kaheks: definitsioonipiirkonna otsimine, funktsiooni tüübi näitamine graafiku joonise põhjal, funktsiooni suurenemise/kahanemise määramine.
Ülesannetele kiireks vastamiseks on vaja selgelt aru saada, et f(x) suureneb, kui logaritmi astendaja a › 1 ja väheneb, kui 0 ‹ a ‹ 1. Kuid mitte ainult alus, vaid ka argument võib kujundit oluliselt mõjutada funktsiooni kõverast.
linnukesega märgitud F(x) on õiged vastused. Sel juhul tekitavad kahtlusi näited 2 ja 3. Logi ees olev “-” märk muutub kasvades kahanevaks ja vastupidi.
Seetõttu graafik y=-log 3 x väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses ja y= -log (1/3) x suureneb, hoolimata asjaolust, et alus 0 ‹ a ‹ 1.
Vastus: 3,4,5.
Vastus: 4.
Seda tüüpi ülesandeid peetakse lihtsaks ja neile antakse 1–2 punkti.
3. ülesanne.
Määrake, kas funktsioon on kahanev või kasvav, ja märkige selle definitsioonipiirkond.
Y = log 0,7 (0,1 x 5)
Kuna logaritmi alus on väiksem kui üks, kuid suurem kui null, siis x funktsioon väheneb. Vastavalt logaritmi omadustele peab ka argument olema suurem kui null. Lahendame ebavõrdsuse:
Vastus: definitsioonipiirkond D(x) – intervall (50; + ∞).
Vastus: 3, 1, OX telg, parem.
Sellised ülesanded on klassifitseeritud keskmiseks ja hinnatakse 3–4 punkti.
5. ülesanne. Leidke funktsiooni väärtuste vahemik:
Logaritmi omaduste põhjal on teada, et argument saab olla ainult positiivne. Seetõttu arvutame funktsiooni vastuvõetavate väärtuste vahemiku. Selleks peate lahendama kahe ebavõrdsuse süsteemi.
Antakse logaritmi põhiomadused, logaritmgraaf, definitsioonipiirkond, väärtuste hulk, põhivalemid, suurenemine ja kahanemine. Vaadeldakse logaritmi tuletise leidmist. Nagu ka integraal, astmeridade laiendamine ja esitamine kompleksarvude abil.
Logaritmi definitsioon
Logaritm alusega a on y funktsioon (x) = log a x, pöördvõrdeline eksponentsiaalfunktsioonile alusega a: x (y) = a y.
Kümnendlogaritm on arvu aluse logaritm 10 : log x ≡ log 10 x.
Naturaalne logaritm on e aluse logaritm: ln x ≡ log e x.
2,718281828459045...
;
.
Logaritmi graafik saadakse eksponentsiaalfunktsiooni graafikust, peegeldades seda sirge y = x suhtes. Vasakul on funktsiooni y graafikud (x) = log a x nelja väärtuse jaoks logaritmi alused: a = 2
, a = 8
, a = 1/2
ja a = 1/8
. Graafik näitab, et kui a > 1
logaritm suureneb monotoonselt. Kui x suureneb, aeglustub kasv oluliselt. Kell 0
< a < 1
logaritm väheneb monotoonselt.
Logaritmi omadused
Domeen, väärtuste kogum, kasvav, kahanev
Logaritm on monotoonne funktsioon, seega pole sellel äärmusi. Logaritmi peamised omadused on toodud tabelis.
| Domeen | 0 < x < + ∞ | 0 < x < + ∞ |
| Väärtuste vahemik | - ∞ < y < + ∞ | - ∞ < y < + ∞ |
| Monotoonne | monotoonselt suureneb | monotoonselt väheneb |
| Nullid, y = 0 | x = 1 | x = 1 |
| Lõikepunktid ordinaatteljega, x = 0 | Ei | Ei |
| + ∞ | - ∞ | |
| - ∞ | + ∞ |
Privaatsed väärtused
Nimetatakse logaritm aluse 10ni kümnendlogaritm ja on tähistatud järgmiselt:
Logaritm baasini e helistas naturaallogaritm:
Logaritmide põhivalemid
Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad logaritmi omadused:
Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed
Aluse asendamise valem
Logaritm on logaritmi võtmise matemaatiline tehe. Logaritmide võtmisel teisendatakse tegurite korrutised liigeste summadeks.
Potentsieerimine on logaritmi pöördtehte matemaatiline tehe. Potentsieerimise ajal tõstetakse antud alust ekspressiooniastmeni, mille üle potentseerimine sooritatakse. Sel juhul muudetakse terminite summad tegurite korrutisteks.
Logaritmide põhivalemite tõestus
Logaritmidega seotud valemid tulenevad eksponentsiaalfunktsioonide valemitest ja pöördfunktsiooni definitsioonist.
Vaatleme eksponentsiaalfunktsiooni omadust
.
Siis
.
Rakendame eksponentsiaalfunktsiooni omadust
:
.
Tõestame baasi asendamise valemit.
;
.
Eeldades, et c = b, on meil:
Pöördfunktsioon
Logaritmi pöördväärtus baasile a on eksponentsiaalne funktsioon, mille astendaja on a.
Kui siis
Kui siis
Logaritmi tuletis
Mooduli x logaritmi tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>
Logaritmi tuletise leidmiseks tuleb see taandada alusele e.
;
.
Integraalne
Logaritmi integraal arvutatakse osade kaupa integreerimisel: .
Niisiis,
Kompleksarve kasutavad avaldised
Mõelge kompleksarvu funktsioonile z:
.
Avaldame kompleksarvu z mooduli kaudu r ja argument φ
:
.
Seejärel, kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või
Siiski argument φ
ei ole üheselt määratletud. Kui paned
, kus n on täisarv,
siis on see erinevate jaoks sama number n.
Seetõttu ei ole logaritm kui kompleksmuutuja funktsioon ühe väärtusega funktsioon.
Jõuseeria laiendamine
Kui laienemine toimub:
Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, matemaatika käsiraamat inseneridele ja üliõpilastele, “Lan”, 2009.
Algebratund 10. klassis
Teema: "Logaritmiline funktsioon, selle omadused ja graafik"
Eesmärgid:
Hariduslik: Tutvustage varasemat kogemust kasutades logaritmilise funktsiooni mõistet, andke definitsioon. Uurige logaritmilise funktsiooni põhiomadusi. Arendada oskust koostada logaritmilise funktsiooni graafik.
Arenguline: Arendage oskust põhilist esile tõsta, võrrelda, üldistada. Kujundada õpilaste seas graafilist kultuuri.
Hariduslik: Näidake matemaatika ja ümbritseva reaalsuse vahelist seost. Arendada suhtlemisoskust, dialoogi ja meeskonnatöö oskust.
Tunni tüüp: Kombineeritud
Õppemeetodid: Osaliselt otsing, interaktiivne.
Tundide ajal.
1. Varasema kogemuse värskendamine:
Õpilastele pakutakse suulisi harjutusi, kasutades logaritmi määratlust, selle omadusi, valemeid uuele alusele liikumiseks, lihtsaimate logaritmiliste ja eksponentsiaalvõrrandite lahendamist, näiteid logaritmiliste avaldiste vastuvõetavate väärtuste vahemiku leidmisest.
Suulised harjutusedSuuline töö.
1) Arvutage logaritmi definitsiooni abil: logi 2 8; logi 4 16;.
2) Arvutage põhilogaritmilise identiteedi abil:
3) Lahendage võrrand definitsiooni abil:
4) Uurige, millistel x väärtustel on avaldis mõttekas:
5) Leidke avaldise väärtus logaritmide omaduste abil:
2. Uurige teemat.Õpilastel palutakse lahendada eksponentsiaalvõrrandid: 2 x =y; () x = y. väljendades muutujat x muutuja y kaudu. Selle töö tulemusena saadakse valemid, mis defineerivad õpilastele võõraid funktsioone. ,. küsimus : "Kuidas te seda funktsiooni nimetaksite?" õpilased ütlevad, et see on logaritmiline, kuna muutuja asub logaritmi märgi all: .
küsimus . Määratlege funktsioon. Definitsioon: funktsioon, mis on antud valemiga y=log a x nimetatakse logaritmiliseks alusega a (a>0, a 1)
III. Funktsiooniuuring y=log a x
Hiljuti võtsime kasutusele positiivse arvu logaritmi kontseptsiooni positiivsele ja mitte-1 baasile a. Iga positiivse arvu korral saate leida antud baasi logaritmi. Kuid siis peaksite mõtlema funktsioonile kujul y=log kirves, ning selle graafika ja omaduste kohta.Funktsioon, mis on antud valemiga y=log a x nimetatakse logaritmiliseks alusega a (a>0, a 1)
Logaritmifunktsiooni põhiomadused:
1. Logaritmilise funktsiooni määratluspiirkond on terve positiivsete reaalarvude komplekt. Lühiduse mõttes nimetatakse seda kaR+. Ilmne omadus, kuna igal positiivsel arvul on logaritm a-aluseks.D(f)=R+
2. Logaritmilise funktsiooni vahemik on kogu reaalarvude komplekt.E(f)= (-∞; +∞)
3 . Logaritmilise funktsiooni graafik läbib alati punkti (1;0).
4 . Lvanuse logaritmiline funktsioonei kell a>1 ja väheneb kell 0<х<1.
5 . Funktsioon ei ole paaris ega paaritu. Logaritmiline funktsioon – üldfunktsioonA.
6 . Funktsioonil ei ole maksimum- ega miinimumpunkte, on määratlusvaldkonnas pidev.
Järgmisel joonisel on kujutatud kahaneva logaritmilise funktsiooni graafik - (0
Kui konstrueerida eksponentsiaal- ja logaritmfunktsioonid samade alustega samal koordinaatteljel, on nende funktsioonide graafikud sirge y = x suhtes sümmeetrilised. See väide on näidatud järgmisel joonisel.
Ülaltoodud väide kehtib nii kasvavate kui ka kahanevate logaritmiliste ja eksponentsiaalsete funktsioonide puhul.
Vaatleme näidet: leidke logaritmilise funktsiooni f(x) = log definitsioonipiirkond 8 (4-5x).
Logaritmilise funktsiooni omaduste põhjal on definitsioonipiirkond positiivsete reaalarvude kogum R+. Seejärel defineeritakse antud funktsioon sellisele x-ile, mille puhul 4 - 5x>0. Lahendame selle võrratuse ja saame x<0.8. Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log 8 (4 - 5*x) on intervall (-∞;0,8)
GeoGebra logaritmilise funktsiooni graafikud
Logaritmilised funktsioonigraafikud
1) naturaallogaritm y = ln (x)
2) kümnendlogaritm y = log(x)
3) 2. aluse logaritm y = ld (x)
V. Teema tugevdamine
Kasutades saadud logaritmifunktsiooni omadusi, lahendame järgmised ülesanded:
1. Leidke funktsiooni domeen: y=log 8 (4-5x);y = log 0,5 (2x+8);.
3. Koostage skemaatiliselt funktsioonide graafikud: y=log 2 (x+2) -3 y= log 2 (x) +2
Tšuvaši Vabariigi haridus- ja noorsoopoliitika ministeerium
Riigi autonoomne professionaal
Tšuvaši Vabariigi õppeasutus
"Tšeboksary transpordi- ja ehitustehnoloogia kolledž"
(GAPOU "Cheboksary Technical School TransStroyTech"
Tšuvašia haridusministeerium)
Metoodiline arendus
ODP. 01 Matemaatika
"Logaritmiline funktsioon. Omadused ja ajakava"
Cheboksary - 2016
Selgitav märkus………………................................................ ........ ......……………………………
Teoreetiline põhjendus ja metoodiline teostus……………………................................4-10
Järeldus …………………………………………………………… .............................................................. üksteist
Taotlused……………………………………………………………………………………… ..............................................................13
Selgitav märkus
Tunnimooduli metoodiline arendus erialal „Matemaatika“ teemal „Logaritmiline funktsioon. Omadused ja graafik" rubriigist "Juured, astmed ja logaritmid" on koostatud matemaatika tööprogrammi ja kalender-teemaplaani alusel. Tunni teemad on omavahel seotud sisu ja põhisätete poolest.
Selle teema õppimise eesmärk on õppida logaritmilise funktsiooni mõistet, uurida selle põhiomadusi, õppida koostama logaritmilise funktsiooni graafikut ja õppida nägema logaritmilist spiraali meid ümbritsevas maailmas.
Selle tunni programmimaterjal põhineb matemaatikateadmistel. Tunnimooduli metoodiline arendus koostati teoreetiliste tundide läbiviimiseks teemal: „Logaritmiline funktsioon. Omadused ja ajakava" -1 tund. Praktilises tunnis kinnistavad õpilased oma omandatud teadmisi: funktsioonide definitsioonid, nende omadused ja graafikud, graafikute teisendused, pidevad ja perioodilised funktsioonid, pöördfunktsioonid ja nende graafikud, logaritmfunktsioonid.
Metoodilise arenduse eesmärk on anda õpilastele metoodilist abi tunnimooduli õppimisel teemal „Logaritmiline funktsioon. Omadused ja ajakava". Õppekavavälise iseseisva tööna saavad õpilased lisaallikate abil koostada sõnumi teemal “Logaritmid ja nende rakendamine looduses ja tehnikas”, ristsõnu ja mõistatusi. Teema „Logaritmfunktsioonid, nende omadused ja graafikud“ õppimisel omandatud haridusteadmisi ja erialaseid pädevusi rakendatakse järgmiste osade „Võrrandid ja võrratused“ ning „Matemaatilise analüüsi põhimõtted“ uurimisel.
Tunni didaktiline ülesehitus:
Teema:« Logaritmiline funktsioon. Omadused ja graafik »
Tegevuse tüüp: kombineeritud.
Tunni eesmärgid:
Hariduslik- teadmiste kujundamine logaritmilise funktsiooni mõiste valdamisel, logaritmilise funktsiooni omadused; kasutada probleemide lahendamiseks graafikuid.
Arendav- vaimsete operatsioonide arendamine läbi konkretiseerimise, visuaalse mälu arendamine, eneseharimise vajadus, kognitiivsete protsesside arengu soodustamine.
Hariduslik- tunnetusliku tegevuse, vastutustunde, üksteise austamise, vastastikuse mõistmise, enesekindluse edendamine; suhtluskultuuri edendamine; teadliku suhtumise ja õpihuvi edendamine.
Haridusvahendid:
Teema metoodiline arendus;
Personaalarvuti;
Sh.A Alimovi õpik “Algebra ja analüüsi algus” 10.-11.klass. Kirjastus "Prosveštšenje".
Subjektisisesed ühendused: eksponentsiaalfunktsioon ja logaritmiline funktsioon.
Interdistsiplinaarsed sidemed: algebra ja matemaatiline analüüs.
Üliõpilanepeab teadma:
logaritmilise funktsiooni määratlus;
logaritmilise funktsiooni omadused;
logaritmilise funktsiooni graafik.
Üliõpilanepeaks suutma:
sooritada logaritme sisaldavate avaldiste teisendusi;
leida arvu logaritm, rakendada logaritmide võtmisel logaritmide omadusi;
määrata punkti asukoht graafikul selle koordinaatide järgi ja vastupidi;
rakendada graafide koostamisel logaritmilise funktsiooni omadusi;
Tehke graafikute teisendusi.
Tunniplaan
1. Organisatsioonimoment (1 min).
2. Tunni eesmärkide ja eesmärkide püstitamine. Õpilaste õppetegevuse motivatsioon (1 min).
3. Algteadmiste ja -oskuste täiendamise etapp (3 min).
4. Kodutööde kontrollimine (2 min).
5. Uute teadmiste omastamise etapp (10 min).
6. Uute teadmiste kinnistamise etapp (15 min).
7. Tunnis õpitud materjali jälgimine (10 min).
8. Kokkuvõtete tegemine (2 min).
9. Õpilaste kodutöödest teavitamise etapp (1 min).
Tundide ajal:
1. Organisatsioonimoment.
Sisaldab õpetaja klassi tervitamist, ruumi ettevalmistamist tunniks ja puudujate kontrollimist.
2. Tunni eesmärkide ja eesmärkide seadmine.
Täna räägime logaritmilise funktsiooni mõistest, joonistame funktsiooni graafiku ja uurime selle omadusi.
3. Põhiteadmiste ja oskuste uuendamise etapp.
See viiakse läbi klassiga frontaalse töö vormis.
Mis oli viimane funktsioon, mida uurisime? Joonista skemaatiliselt tahvlile.
Andke eksponentsiaalfunktsiooni definitsioon.
Mis on eksponentsiaalvõrrandi juur?
Logaritmi defineerimine?
Millised on logaritmide omadused?
Mis on peamine logaritmiline identiteet?
4. Kodutööde kontrollimine.
Õpilased avavad vihikud ja näitavad lahendatud ülesandeid. Esitage küsimusi, mis tekkisid kodutööde tegemisel.
5. Uute teadmiste assimilatsiooni etapp.
Õpetaja: Avage märkmikud, kirjutage üles tänane kuupäev ja tunni teema "Logaritmiline funktsioon, selle omadused ja graafik".
Definitsioon: Logaritmiline funktsioon on vormi funktsioon
Kus on antud arv, .
Vaatame selle funktsiooni graafiku koostamist konkreetse näite abil.
Koostame funktsioonide ja graafikud.
| |
|
| |
|
Märkus 1: Logaritmiline funktsioon on eksponentsiaalfunktsiooni pöördväärtus, kus 
. Seetõttu on nende graafikud sümmeetrilised koordinaatnurkade I ja III poolitaja suhtes (joonis 1).
Tuginedes logaritmi määratlusele ja graafikute tüübile, teeme kindlaks logaritmilise funktsiooni omadused:
1) Määratluse ulatus: , sest logaritmi definitsiooni järgi x>0.
2) Funktsioonide ulatus: .
3) Ühe logaritm võrdub nulliga, aluse logaritm on võrdne ühega: , .
4) Funktsioon , intervalli suurenemine (joonis 1).
5) Funktsioon , intervalli vähenemine (joonis 1).
6) märkide püsivuse intervallid:
Kui , siis kell ; kell ;
Kui , siis kell ;
Märkus 2. Iga logaritmilise funktsiooni graafik läbib alati punkti (1; 0).
Teoreem: Kui 
, kus , siis .
6. Uute teadmiste kinnistamise etapp.
Õpetaja: Lahendame ülesandeid nr 318 - nr 322 (paaritu) (§18 Alimov Sh.A. “Algebra ja analüüsi alged” 10-11 klass).
1) 
sest funktsioon suureneb.
3), kuna funktsioon väheneb.
1), sest ja .
3), sest ja .
1) , sest , , siis .
3) , sest 10> 1, siis .
1) väheneb
3) suureneb.
7. Kokkuvõtete tegemine.
- Täna tegime klassis head tööd! Mida uut sa täna tunnis õppisid?
(Uut tüüpi funktsioon – logaritmiline funktsioon)
Esitage logaritmilise funktsiooni definitsioon.
(Funktsiooni y = logax, (a > 0, a ≠ 1) nimetatakse logaritmiliseks funktsiooniks)
Hästi tehtud! Õige! Nimeta logaritmilise funktsiooni omadused.
(funktsiooni määratluspiirkond, funktsiooni väärtuste hulk, monotoonsus, märgi püsivus)
8. Tunnis õpitava materjali kontroll.
Õpetaja: Uurime, kui hästi olete valdanud teemat „Logaritmiline funktsioon. Omadused ja ajakava". Selleks kirjutame kontrolltöö (lisa 1). Töö koosneb neljast ülesandest, mis tuleb lahendada logaritmilise funktsiooni omadusi kasutades. Testi täitmiseks antakse teile 10 minutit.
9. Õpilaste kodutöödest teavitamise etapp.
Tahvlile ja päevikutesse kirjutamine: Alimov Sh.A. “Algebra ja analüüsi algus” 10-11 klass. §18 nr 318 - nr 322 (paaris)
Järeldus
Metoodilise arenduse kasutamise käigus saavutasime kõik oma eesmärgid ja eesmärgid. Selles metoodilises arenduses võeti arvesse kõiki logaritmifunktsiooni omadusi, tänu millele õppisid õpilased teisendama logaritme sisaldavaid avaldisi ja koostama logaritmiliste funktsioonide graafikuid. Praktiliste ülesannete täitmine aitab kinnistada õpitud materjali ning teadmiste ja oskuste kontrollimise jälgimine aitab õpetajatel ja õpilastel teada saada, kui tulemuslik oli nende töö tunnis. Metoodiline arendus võimaldab õpilastel saada teema kohta huvitavat ja harivat teavet, üldistada ja süstematiseerida teadmisi, rakendada logaritmide ja logaritmiliste funktsioonide omadusi erinevate logaritmivõrrandite ja võrratuste lahendamisel.
Alimov Sh. A., Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V., Fedorova N. E., Shabunin M. I. akadeemik Tihhonov A. N. teaduslikul juhendamisel Algebra ja matemaatilise analüüsi algus 10-11 klassid. - M. Haridus, 2011.
Nikolsky S. M., Potapov M. K., Reshetnikov N. N. jt Algebra ja matemaatilise analüüsi algus (põhi- ja profiilitasemed). 10 klassi - M., 2006.
Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Federova N.E. ja teised, toim. Žižtšenko A.B. Algebra ja matemaatilise analüüsi algus (põhi- ja erialatase). 10 klassi - M., 2005.
Lisichkin V. T. Matemaatika lahendustega ülesannetes: õpik / V. T. Lisichkin, I. L. Soloveychik. - 3. väljaanne, kustutatud. - Peterburi. [ja teised]: Lan, 2011 (Arhangelsk). - 464 s.
Interneti-ressursid:
http://school-collection.edu.ru - Elektrooniline õpik “Matemaatika in
kool, XXI sajand."
http://fcior.edu.ru - teabe-, koolitus- ja kontrollimaterjalid.
www.school-collection.edu.ru – digitaalsete haridusressursside ühtne kogu.
Rakendused
Valik 1.
2. variant.
Hindamiskriteeriumid:
Iga 2 õigesti täidetud näite puhul antakse hind 3 (rahuldav).
Hinde “4” (hea) antakse, kui mõni 3 näidet on õigesti täidetud.
Hinne “5” (suurepärane) antakse kõigile 4 õigesti täidetud näitele.