Begrebet "ytring" er det primære. I logik forstås et udsagn som erklærende sætning, hvilket kan siges at være sandt eller falsk. Ethvert udsagn er enten sandt eller falsk, og ingen udsagn er både sandt og falsk.
Eksempler på udsagn: ja lige tal", "1 er et primtal." Sandhedsværdien af de to første udsagn er "sandhed", sandhedsværdien af de to sidste
Spørge- og udråbssætninger er ikke udsagn. Definitioner er ikke udsagn. For eksempel er definitionen "et heltal siges at være, selvom det er deleligt med 2" ikke et udsagn. Imidlertid er den deklarative sætning "hvis et heltal er deleligt med 2, så er det lige" et udsagn, og det er sandt. I propositionel logik abstraherer man fra det semantiske indhold af et udsagn, og begrænser sig til at betragte det fra den position, at det enten er sandt eller falsk.
I det følgende vil vi forstå betydningen af et udsagn som dets sandhedsværdi ("sand" eller "falsk"). Vi vil angive udsagn med store bogstaver med latinske bogstaver, og deres betydninger, dvs. "sand" eller "falsk", er repræsenteret med henholdsvis bogstaverne I og L.
Propositionel logik studerer sammenhænge, der er fuldstændigt bestemt af den måde, hvorpå nogle udsagn er bygget op fra andre, kaldet elementære. Elementære udsagn betragtes som helheder, der ikke kan nedbrydes i dele, indre struktur som vi ikke vil være interesserede i.
Logiske operationer på udsagn.
Fra elementære udsagn, ved hjælp af logiske operationer, kan du få nye, mere komplekse udsagn. Sandhedsværdien af et komplekst udsagn afhænger af sandhedsværdierne af de udsagn, der udgør det komplekse udsagn. Denne afhængighed er fastlagt i definitionerne nedenfor og afspejles i sandhedstabellerne. De venstre kolonner i disse tabeller indeholder alle mulige distributioner af sandhedsværdier for udsagn, der direkte udgør det komplekse udsagn, der overvejes. I højre kolonne skal du skrive sandhedsværdierne for det komplekse udsagn i henhold til fordelingen i hver række.
Lad A og B være vilkårlige udsagn, om hvilke vi ikke antager, at deres sandhedsværdier er kendte. Negationen af et udsagn A er et nyt udsagn, der er sandt, hvis og kun hvis A er falsk. Negationen af A er angivet med og lyder "ikke A" eller "det er ikke sandt, at A." Negationsoperationen er fuldstændig bestemt af sandhedstabellen
Eksempel. Udsagnet "det er ikke sandt, at 5 er et lige tal", som har værdien I, er negationen af det falske udsagn "5 er et lige tal."
Ved hjælp af operationen af konjunktion dannes to udsagn til én kompleks udsagn, betegnet A D B. Per definition er udsagnet A D B sandt, hvis og kun hvis begge udsagn er sande. Udsagn A og B kaldes henholdsvis det første og det andet led af konjunktionen A D B. Indgangen "AD B" læses som "L og B". Sandhedstabellen for konjunktionen har formen
Eksempel. Udsagnet "7 er et primtal og 6 er ulige tal"er falsk som en sammensætning af to udsagn, hvoraf den ene er falsk.
Adskillelsen af to udsagn A og B er et udsagn, betegnet med , der er sandt, hvis og kun hvis mindst et af udsagn A og B er sandt.
Følgelig er udsagnet A V B falsk, hvis og kun hvis både A og B er falsk. Udsagn A og B kaldes henholdsvis det første og andet led i disjunktionen A V B. Indgangen A V B læses som "A eller B." Konjunktionen "eller" i I dette tilfælde har en uadskillelig betydning, da udsagnet A V B er sandt, selvom begge udtryk er sande. Disjunktionen har følgende sandhedstabel:
Eksempel. Udsagn "3 Et udsagn, betegnet med , er falsk, hvis og kun hvis A er sandt, og B er falsk, kaldes en implikation med præmis A og konklusion B. Udsagnet A-+ B læses som "hvis A, så 5, " eller "A betyder B", eller "fra A følger B." Sandhedstabellen for implikationen er:
Bemærk, at der muligvis ikke er nogen årsag-virkning-forbindelse mellem præmissen og konklusionen, men dette kan ikke påvirke sandheden eller falskheden af implikationen. For eksempel udsagnet "hvis 5 er et primtal, så halveringslinjen ligesidet trekant er medianen" vil være sandt, selvom det andet i sædvanlig forstand ikke følger af det første. Udsagnet "hvis 2 + 2 = 5, så 6 + 3 = 9" vil også være sandt, da dens konklusion er sand. På denne definition, hvis konklusionen er sand, vil implikationen være sand uanset præmissens sandhedsværdi. Når præmissen er falsk, vil implikationen være sand uanset konklusionens sandhedsværdi. Disse omstændigheder er kort formuleret som følger: "sandhed følger af noget", "alt følger af falsk."
Lektion #2
Algebra af propositioner. Logiske operationer.
(kombineret lektion, inklusive gentagelse af det forrige emne,
introduktion af nyt materiale og konsolidering)
Formålet med lektionen: At danne begreberne i eleverne: logisk udsagn, logiske operationer.
Lektionens mål:
Gentag hovedmaterialet i lektion 1 (former for menneskelig tænkning: koncept, dømmekraft, slutning);
Introducer definitionen af propositionalgebra;
Introducer grundlæggende logiske operationer.
Krav til viden og færdigheder:
Eleverne skal vide:
Hvad studerer propositionalgebra, og hvad er genstand for undersøgelse af propositionalgebra;
Betydninger af begreber: logisk udsagn, logiske operationer;
Sandhedstabeller over logiske operationer.
Eleverne skal kunne:
Giv eksempler på logiske udsagn;
Bestem betydningen af logiske udsagn;
Navngiv logiske operationer og byg sandhedstabeller til dem.
Lektionens trin
JEG. Organisering af tid. At sætte lektionsmålet. 2 minutter.
II. Gentagelse. 7 min.
III. Tjek lektier. 5 minutter.
IV. Introduktion af nyt materiale. 20 minutter.
V. Konsolidering. 7 min.
VI. Opsummering af lektionen. 3 min.
VII. Opsætning af lektier. 1 min.
Under timerne
II. Gentagelse.
1) Gentagelse af grundlæggende definitioner og begreber fra lektion 1:
· Koncept - en form for tænkning, der reflekterer væsentlige egenskaber genstande.
o Begrebets omfang– et sæt objekter, som hver især har egenskaber, der udgør begrebets indhold.
Giv eksempler.
· Dom (udsagn, udsagn) - en form for tænkning, hvor noget bekræftes eller benægtes om objekter, deres egenskaber eller forhold mellem dem.
o Form for dom- dette er dens struktur, måden dens komponenter er forbundet på.
· Inferens - en form for tænkning, hvorigennem vi ud fra en eller flere domme, kaldet præmisser, ifølge visse slutningsregler opnår en dom-konklusion (slutning)
- Bestem, hvilke af følgende sætninger er udsagn og hvorfor?
1. Hvor er det godt at være general!
2.
3. Kend dig selv.
4. Alle bjørne lever i nord.
5. En revolution kan ikke være fredelig og blodløs.
6.
7.
(Eksempler 1 og 3 er ikke udsagn, fordi de er udråbstegn og incitamentstilbud henholdsvis).
- Bestem nu, om forslagene er enkle eller sammensatte.
(Eksempel 5 kan opdeles i to simple udsagn, hvilket betyder, at det er sammensat.)
- Bestem betydningen af udsagnene (sandt eller falsk).
I eksempel 6 er vi overbevist om, at indholdet af et udsagn ofte er et subjektivt kendetegn. Begrundelsen for sandheden eller falskheden af simple udsagn afgøres uden for logikkens videnskab. Fx baseret på din livserfaring, tildeler vi bestemt værdi dom 6.
Russiske ordsprog, som i eksempel 4, vil altid være sande, fordi de er baseret på livserfaring fra hele generationer af mennesker.
I eksempel 7 afgøres udsagnets betydning i et geometrikursus og i udsagn 5 i et historiekursus.
Resultaterne er præsenteret i følgende tabel:
Sætninger | Udsagn | Sandt eller falsk | Simple ordsprog |
1. Hvor er det godt at være general! | |||
2. Du kan ikke fange en fisk fra en dam uden besvær. | |||
3. Kend dig selv. | |||
4. Alle bjørne lever i nord. | |||
5. En revolution kan ikke være fredelig og blodløs. | |||
6. Talent vil altid finde vej. | |||
7. Summen af vinklerne i en trekant er 1800. |
I den sidste lektion sagde vi, at hvert udsagn består af tre elementer:
subjekt, prædikat og bindende. Emne(S) -
koncept om emnet. Prædikat(P)- begrebet en genstands egenskaber og relationer. Link -
forholdet mellem subjekt og prædikat.
Bestem, hvad der er emnet, prædikat og bindende i simple udsagn.
Du kan ikke engang fange en fisk fra en dam uden besvær.
Alle bjørne lever i nord.
Talent vil altid finde vej.
Summen af vinklerne i en trekant er 1800.
III. Tjek hjemmearbejde:
Lektiekort |
1. Ud fra de givne simple udsagn, komponer og skriv ned mindst 3 sammensatte udsagn: 1) Lad os gå til dacha. 2) Godt vejr. 3) Dårligt vejr. 4) Vi tager til stranden. 5) Anton inviterer os i teatret. |
2. Udled, hvis det er muligt, en konklusion fra hvert par af præmisser: EN) Alle fugle er dyr. Alle spurve er fugle. B) Nogle lektioner er svære. Alt, der er svært, kræver opmærksomhed. I) Ingen god gerning er ulovlig. Alt, der er lovligt, kan gøres uden frygt. |
|
EN) De, der er skaldede, har ikke brug for en kam. Ikke en eneste firben har hår. Derfor behøver firben ikke en kam. B) Alle der afslutter 3. kvartal får en computer i gave. Du afsluttede 3. kvartal uden treere. Så gør dig klar til at modtage en computer som gave. |
VI. Forklaring af nyt materiale
Propositionalgebra
Ideen om mulighed matematisering af logik udtrykt tilbage i 1600-tallet. Han forsøgte at skabe universelt sprog, ved hjælp af hvilken hvert begreb og udsagn kunne gives numerisk karakteristik og etablere regler for at arbejde med disse tal, der vil tillade en straks at bestemme, om en given udsagn er sand eller falsk. Det vil sige, at tvister mellem mennesker kunne løses gennem beregninger. Leibniz' idé viste sig at være falsk, da det er umuligt (der er ikke fundet måder) at reducere menneskelig tænkning til en matematisk beregning.
Denne videnskabs reelle fremskridt blev imidlertid opnået i midten af det 19. århundrede, primært takket være J. Booles værker" Matematisk analyse logik." Han overførte love og regler til logik algebraiske operationer, introducerede logiske operationer, foreslog en måde at skrive udsagn på i symbolsk form.
Mange mennesker deltog i udviklingen af matematisk logik fremragende matematikere og logik slutningen af XIX og 20. århundrede, herunder K. Gödel (østrigsk), D. Gilbert (tysk), S. Kleene (amerikansk), E. Post (amerikansk), A. Turing (engelsk), A. Church (amerikansk) og mange andre .
Moderne matematiseret formel logik repræsenterer en omfattende videnskabeligt område, som er meget brugt både inden for matematik (studiet af matematikkens grundlag) og uden for det (syntese og analyse af automatiske enheder, teoretisk kybernetik, især kunstig intelligens).
Objekterne for undersøgelse af logikkens algebra er således udsagn.
Under udmelding (dom) vil vi forstå en deklarativ sætning, om hvilken vi utvetydigt kan sige, om den er sand eller falsk.
Vi vil betegne udsagn med store latinske bogstaver. Hvis udsagn A er sandt, vil vi skrive "A = 1" og sige: "A er sandt." Hvis udsagnet X er falsk, vil vi skrive "X = 0" og sige "X er falsk."
Begrundelsen for sandheden eller falskheden af simple udsagn afgøres uden for logikkens algebra. For eksempel er sandheden eller falskheden af udsagnet "Summen af vinklerne i en trekant er 180°" fastlagt ved geometri, og i Euklids geometri er dette udsagn sandt, og i Lobachevskys geometri er det falsk.
Logikkens algebra er abstraheret fra det semantiske indhold af udsagn. Hun er kun interesseret i én kendsgerning – om et givet udsagn er sandt eller falsk. En sådan interessevurdering gør det muligt at studere udsagn ved hjælp af algebraiske metoder.
Logiske operationer
I logikkens algebra kan forskellige operationer udføres på udsagn (som i algebraen reelle tal operationer med addition, division og eksponentiering over tal defineres). Vi vil kun overveje nogle af de vigtigste af dem:
- Disjunktion (logisk tilføjelse) Implikation (logisk konsekvens) Ækvivalens (logisk lighed)
1) Inversion (logisk negation)
Inversion (logisk negation) er en logisk operation, der forbinder hvert givet udsagn med et nyt udsagn, som er sandt, hvis det givne udsagn er falsk, og falsk, hvis det givne udsagn er sandt.
Logiske operationer er specificeret sandhedstabeller og kan illustreres grafisk vha Euler cirkler , opkaldt efter den store matematiker, fysiker og astronom Leonhard Euler ()
Inversion symbol: ; Ikke EN ; EN; IKKE EN
0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
EN
Dannet af simpelt udsagn ved at tilføje partiklen IKKE til prædikatet eller bruge en talemåde "DET ER IKKE SANDT AT..."
Eksempel: EN = "Det regner udenfor"
= "Det er ikke rigtigt, at det regner udenfor"
Øvelse 1. Giv et eksempel på et udsagn og dets negation.
Bestem sandheden af hver.
Så inversionen af et udsagn er sandt, når udsagnet er falsk.
2) Konjunktion (logisk multiplikation)
sandt, hvis og kun hvis begge originale udsagn er sande.
Konjunktionsnotation: EN&I, EN og I, EN L I, EN I.
Sandhedstabel:
|
||
EN&I
Dannet ved at kombinere to udsagn til ét ved hjælp af en konjunktion "OG"
Eksempel: EN = "Det regner udenfor"
B= "Himlen er blå"
EN&I = "Det regner udenfor, og himlen er blå"
Opgave 2. a) Giv eksempler på to udsagn og få et sammensat udsagn ved at bruge det logiske bindeled "AND".
Så sammensætningen af to udsagn er sand, hvis og kun hvis begge oprindelige udsagn er sande.
3) Disjunktion (logisk tilføjelse) er en logisk operation, der forbinder hver to udsagn med en ny udsagn, som
sandt, hvis og kun hvis mindst et af de to oprindelige udsagn er sandt.
Disjunktionsnotation: EN V I, EN ELLER I, EN+I.
0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
EN V I
Dannet ved at kombinere to udsagn til ét ved hjælp af konjunktionen "ELLER"
Eksempel: EN = "Det regner udenfor"
B= "Himlen er blå"
EN V I = "Regner det udenfor, eller er himlen blå"
Opgave 3. a) Giv eksempler på to udsagn og få en sammensat udsagn ved at bruge "ELLER"-forbindelsen.
Så en adskillelse af to udsagn er sand, hvis og kun hvis mindst en af de to oprindelige udsagn er sand.
4) Implikation (logisk konsekvens) er en logisk operation, der forbinder hver to udsagn med en ny udsagn, som
er falsk, hvis og kun hvis den første sætning (betingelse) er sand og den anden sætning (konsekvens) er falsk.
Disjunktionsnotation: EN ® I.
Sandhedstabel: Euler-diagram:
"HVIS SÅ..."
Hvis en ed afgives, så skal den opfyldes.
Hvis et tal er deleligt med 9, så er det deleligt med 3.
Eksempel: EN = "Det regner udenfor"
B= "Himlen er blå"
EN ® I = "Hvis det regner udenfor, er himlen blå"
Opgave 4. a) Giv eksempler på to udsagn og få en sammensat udsagn ved at bruge bindeleddet "HVIS, SÅ...".
b) Bestem sandheden eller falskheden af hvert af de tre udsagn
Så implikationen af to udsagn er falsk, hvis og kun hvis den første udsagn (betingelse) er sand og den anden udsagn (konsekvens) er falsk.
5) Ækvivalens (logisk lighed) er en logisk operation, der forbinder hver to udsagn med en ny udsagn, som
sandt, hvis og kun hvis begge originale udsagn er sande eller falske samtidigt.
Disjunktionsnotation: EN « B, A = B, A≡B.
Sandhedstabel: Euler-diagram:
Dannet ved at kombinere to udsagn til ét ved hjælp af en talemåde "...SÅ OG KUN NÅR..."
En vinkel kaldes ret, hvis og kun hvis den er lig med 900
Alle love for matematik, fysik, alle definitioner er ækvivalens af udsagn
To linjer er parallelle, hvis og kun hvis de ikke skærer hinanden.
Eksempel: EN = "Det regner udenfor"
B= "Himlen er blå"
EN « I = "Det regner udenfor, hvis og kun hvis himlen er blå"
Opgave 5. a) Giv eksempler på to udsagn og få et sammensat udsagn ved hjælp af bindetalen "...SÅ OG KUN NÅR..."
b) Bestem sandheden eller falskheden af hvert af de tre udsagn.
Så ækvivalensen af de to udsagn er sand hvis og kun hvis begge begyndelsesudsagn er sande eller falske samtidigt.
VI. Konsolidering af det lærte.
1. Forklar hvorfor følgende sætninger ikke er udsagn :
· Hvilken farve er dette hus?
· Antallet X overstiger ikke én.
· Se ud af vinduet.
· Drik tomatjuice!
· Dette emne er kedeligt.
· Har du været i teatret?
2. Forklar, hvorfor udsagnet i en sætning er et udsagn.
3. Giv 2 eksempler på sande og falske udsagn fra matematik, biologi, historie, datalogi, litteratur.
4. Fra følgende sætninger skal du vælge dem, der er udsagn:
- Kolya spurgte: "Hvordan kommer man til Bolshoi Teater? Hvordan kommer jeg til biblioteket? Picassos malerier er for abstrakte. Løsningen af problemet - informationsproces. Tallet 2 er en divisor af tallet 7 i et eller andet talsystem.
5. Vælg de sande udsagn:
· “Tallet 28 er perfekt tal”
· "Du kan ikke fange en fisk op af en dam uden anstrengelse"
· "Talent vil altid finde vej"
· "Nogle dyr tænker"
· "Informatik - videnskaben om algoritmer"
· "2+3*5=30"
· "Alle studerende elsker datalogi"
6.
7. Hvilken logisk operation svarer til denne sandhedstabel?
8. Hvilken logisk operation svarer til denne sandhedstabel?
9. Hvilken logisk operation svarer til denne sandhedstabel?
10. Hvilken logisk operation svarer til denne sandhedstabel?
Lektionsopsummering:
- Du er blevet fortrolig med de grundlæggende begreber i logisk algebra. Vi så på logiske operationer. Vi analyserede sandhedstabellen for hver logisk operation og illustrerede LO ved hjælp af Euler-cirkler.
2. Lær alle definitionerne i din notesbog fra lektionsnoterne.
3. Vælg udsagn for hver logisk operation i eksemplet)
Propositionel logik , også kaldet propositionel logik, er en gren af matematik og logik, der studerer de logiske former for komplekse udsagn konstrueret ud fra simple eller elementære udsagn ved hjælp af logiske operationer.
Propositionel logik abstraherer fra indholdet af udsagn og studerer deres sandhedsværdi, det vil sige om udsagnet er sandt eller falsk.
Billedet ovenfor er en illustration af et fænomen kendt som Løgnerparadokset. Samtidig er sådanne paradokser efter projektets forfatters mening kun mulige i miljøer, der ikke er fri for politiske problemer, hvor nogen på forhånd kan betegnes som en løgner. I den naturlige flerlagsverden emnet "sandhed" eller "falsk", kun individuelle udsagn vurderes . Og senere i denne lektion vil du blive introduceret til mulighed for selv at vurdere mange udsagn om dette emne (og så se på de rigtige svar). Herunder komplekse udsagn, hvor simplere er forbundet med tegn på logiske operationer. Men lad os først overveje disse operationer på selve udsagn.
Propositionel logik bruges i datalogi og programmering i form af at erklære logiske variabler og tildele dem logiske værdier "falsk" eller "sand", som forløbet af den videre udførelse af programmet afhænger af. I små programmer, hvor kun én boolsk variabel er involveret, får den boolske variabel ofte et navn som "flag", og betydningen er "flag er oppe", når variablens værdi er "sand" og "flag er nede." , når værdien af denne variabel er "falsk". I programmer stort volumen, hvor der er flere eller endda mange logiske variabler, skal fagfolk komme med navne på logiske variable, der har form af udsagn og semantisk belastning, der adskiller dem fra andre logiske variable og er forståelige for andre fagfolk, der vil læse teksten til dette program.
En logisk variabel med navnet "UserRegistered" (eller dens engelsksprogede analog) kan således erklæres i form af en erklæring, som kan tildeles den logiske værdi "true", hvis betingelserne er opfyldt for, at registreringsdataene blev sendt af brugeren, og disse data anerkendes som gyldige af programmet. I yderligere beregninger kan værdierne af variablerne ændre sig afhængigt af den logiske værdi (sand eller falsk) af den brugerregistrerede variabel. I andre tilfælde kan en variabel, f.eks. med navnet "Mere end tre dage tilbage før dagen", tildeles værdien "True" før en bestemt blok af beregninger, og under den videre udførelse af programmet kan denne værdi være gemt eller ændret til "falsk", og fremskridtene for yderligere udførelse afhænger af værdien af disse variable programmer.
Hvis et program bruger flere logiske variabler, hvis navne har form af udsagn, og der er bygget mere komplekse udsagn ud fra dem, så er det meget nemmere at udvikle programmet, hvis vi, inden vi udvikler det, nedskriver alle operationerne fra udsagn. i form af formler brugt i udsagnslogik, end vi gør i løbet af denne lektion er, hvad vi vil gøre.
Logiske operationer på udsagn
For matematiske udsagn kan man altid træffe et valg mellem to forskellige alternativer, "sandt" og "falskt", men for udsagn i "verbalt" sprog er begreberne "sandhed" og "falsk" noget mere vage. Dog f.eks verbale former, som "Gå hjem" og "Regner det?" er ikke udsagn. Derfor er det klart, at udsagn er verbale former, hvori noget er angivet . Forhørende eller udråbende sætninger, appeller samt ønsker eller krav er ikke udtalelser. De kan ikke evalueres med værdierne "sand" og "falsk".
Udsagn kan tværtimod betragtes som mængder, der kan antage to betydninger: "sand" og "falsk".
For eksempel gives følgende domme: "en hund er et dyr", "Paris er Italiens hovedstad", "3
Den første af disse udsagn kan evalueres med symbolet "sand", den anden med "falsk", den tredje med "sand" og den fjerde med "falsk". Denne fortolkning af udsagn er genstand for propositionalgebra. Vi vil angive udsagn med store bogstaver EN, B, ..., og deres betydninger, det vil sige henholdsvis sandt og falsk OG Og L. I almindelig tale forbindelser mellem udsagn "og", "eller" og andre bruges.
Disse forbindelser tillader, ved at forbinde forskellige udsagn med hinanden, at danne nye udsagn - komplekse udsagn . For eksempel det forbindende "og". Lad udsagn gives: " π mere end 3" og erklæringen " π mindre end 4". Du kan organisere en ny - kompleks erklæring " π mere end 3 og π mindre end 4". Erklæring "hvis π irrationelt da π ² er også irrationel" fås ved at forbinde to udsagn med bindeleddet "hvis - så". Endelig kan vi fra ethvert udsagn få et nyt - et komplekst udsagn - ved at benægte det oprindelige udsagn.
At betragte udsagn som mængder, der får betydning OG Og L, vil vi definere nærmere logiske operationer på udsagn , som giver os mulighed for at få nye komplekse udsagn fra disse udsagn.
Lad to vilkårlige udsagn gives EN Og B.
1 . Den første logiske operation på disse udsagn - konjunktion - repræsenterer dannelsen af et nyt udsagn, som vi vil betegne EN ∧ B og som er sandt hvis og kun hvis EN Og B er sande. I almindelig tale svarer denne operation til forbindelsen af udsagn med det forbindende "og".
Sandhedstabel for sammenhæng:
| EN | B | EN ∧ B |
| OG | OG | OG |
| OG | L | L |
| L | OG | L |
| L | L | L |
2 . Anden logisk operation på udsagn EN Og B- disjunktion udtrykt som EN ∨ B, defineres som følger: det er sandt, hvis og kun hvis mindst et af de oprindelige udsagn er sandt. I almindelig tale svarer denne operation til at forbinde udsagn med det forbindende "eller". Men her har vi et ikke-delerende "eller", som forstås i betydningen "enten eller", når EN Og B begge dele kan ikke være sande. Ved at definere propositionel logik EN ∨ B sand både hvis kun et af udsagn er sandt, og hvis begge udsagn er sande EN Og B.
Sandhedstabel til disjunktion:
| EN | B | EN ∨ B |
| OG | OG | OG |
| OG | L | OG |
| L | OG | OG |
| L | L | L |
3 . Den tredje logiske operation på udsagn EN Og B, udtrykt som EN → B; den således opnåede erklæring er falsk hvis og kun hvis EN sandt, men B falsk. EN hedder med pakke , B - følge , og erklæringen EN → B - følge , også kaldet implikation. I almindelig tale svarer denne operation til "hvis-så"-forbindelsen: "hvis EN, At B". Men i definitionen af propositionel logik er dette udsagn altid sandt, uanset om udsagnet er sandt eller falsk B. Denne omstændighed kan kort formuleres som følger: "af det falske følger alt." Til gengæld, hvis EN sandt, men B er falsk, så hele udsagnet EN → B falsk. Det vil være sandt, hvis og kun hvis EN, Og B er sande. Kort sagt kan dette formuleres som følger: "falsk kan ikke følge af det sande."
Sandhedstabel til at følge (implikation):
| EN | B | EN → B |
| OG | OG | OG |
| OG | L | L |
| L | OG | OG |
| L | L | OG |
4 . Den fjerde logiske operation på udsagn, mere præcist på ét udsagn, kaldes negationen af et udsagn EN og er betegnet med ~ EN(du kan også finde brugen af ikke symbolet ~, men symbolet ¬, samt en overscore ovenfor EN). ~ EN der er en erklæring, der er falsk, når EN sandt, og sandt hvornår EN falsk.
Sandhedstabel til negation:
| EN | ~ EN |
| L | OG |
| OG | L |
5 . Og endelig kaldes den femte logiske operation på udsagn ækvivalens og betegnes EN ↔ B. Den resulterende udtalelse EN ↔ B et udsagn er sandt, hvis og kun hvis EN Og B begge er sande eller begge er falske.
Sandhedstabel for ækvivalens:
| EN | B | EN → B | B → EN | EN ↔ B |
| OG | OG | OG | OG | OG |
| OG | L | L | OG | L |
| L | OG | OG | L | L |
| L | L | OG | OG | OG |
De fleste programmeringssprog har specielle symboler til at angive de logiske betydninger af udsagn; de er skrevet på næsten alle sprog som sande og falske.
Lad os opsummere ovenstående. Propositionel logik studerer sammenhænge, der er fuldstændigt bestemt af den måde, hvorpå nogle udsagn er bygget op fra andre, kaldet elementære. I dette tilfælde betragtes elementære udsagn som helheder og kan ikke opdeles i dele.
Lad os i tabellen nedenfor systematisere navnene, notationerne og betydningen af logiske operationer på udsagn (vi får snart brug for dem igen for at løse eksempler).
| Flok | Betegnelse | Operations navn |
| Ikke | negation | |
| Og | konjunktion | |
| eller | disjunktion | |
| hvis så... | implikation | |
| dengang og først da | ækvivalens |
Gælder for logiske operationer algebralogikkens love, som kan bruges til at forenkle logiske udtryk. Det skal bemærkes, at man i propositionel logik abstraherer fra det semantiske indhold af et udsagn og begrænser sig til at betragte det fra den position, at det enten er sandt eller falsk.
Eksempel 1.
1) (2 = 2) OG (7 = 7);
2) Ikke(15;
3) ("Fyr" = "Eg") ELLER ("Kirsebær" = "Ahorn");
4) Not("Fyr" = "Eg" );
5) (Ikke(15 20);
6) ("Øjne er givet til at se") Og ("Under tredje sal er anden sal");
7) (6/2 = 3) ELLER (7*5 = 20) .
1) Betydningen af udsagnet i første parentes er "sand", betydningen af udtrykket i anden parentes er også sand. Begge udsagn er forbundet med den logiske operation "AND" (se reglerne for denne operation ovenfor), derfor er den logiske værdi af hele dette udsagn "sand".
2) Betydningen af udsagnet i parentes er "falsk". Før dette udsagn er der en logisk negationsoperation, derfor er den logiske betydning af hele denne udsagn "sand".
3) Betydningen af udsagnet i den første parentes er "falsk", betydningen af udsagnet i den anden parentes er også "falsk". Udsagn er forbundet med den logiske operation "ELLER", og ingen af udsagn har værdien "sand". Derfor er den logiske betydning af hele denne erklæring "falsk".
4) Betydningen af udsagnet i parentes er "falsk". Forud for dette udsagn kommer negationens logiske operation. Derfor er den logiske betydning af hele denne udtalelse "sand".
5) Udsagnet i de indre parenteser negeres i de første parenteser. Denne erklæring i parentes har betydningen "falsk", derfor vil dens negation have den logiske betydning "sand". Udsagnet i den anden parentes betyder "falsk". Disse to udsagn er forbundet med den logiske operation "AND", det vil sige, "sand OG falsk" opnås. Derfor er den logiske betydning af hele denne erklæring "falsk".
6) Betydningen af udsagnet i første parentes er "sandt", betydningen af udsagnet i anden parentes er også "sandt". Disse to udsagn er forbundet med den logiske operation "AND", det vil sige, "sand OG sandhed" opnås. Derfor er den logiske betydning af hele det givne udsagn "sandt".
7) Betydningen af udsagnet i de første parenteser er "sandt". Betydningen af udsagnet i den anden parentes er "falsk". Disse to udsagn er forbundet med den logiske operation "ELLER", det vil sige "sandt ELLER falsk". Derfor er den logiske betydning af hele det givne udsagn "sandt".
Eksempel 2. Skriv følgende komplekse udsagn ved hjælp af logiske operationer:
1) "Brugeren er ikke registreret";
2) "I dag er det søndag, og nogle medarbejdere er på arbejde";
3) "Brugeren er registreret, hvis og kun hvis de data, som brugeren har indsendt, anses for gyldige."
1) s- enkelt sætning "Brugeren er registreret", logisk operation: ;
2) s- enkelt udsagn "I dag er det søndag", q- "Nogle medarbejdere er på arbejde", logisk operation: ;
3) s- enkelt erklæring "Brugeren er registreret", q- "Dataene sendt af brugeren blev fundet gyldige", logisk operation: .
Løs eksempler på propositionel logik selv, og se så på løsningerne
Eksempel 3. Beregn de logiske værdier af følgende udsagn:
1) ("Der er 70 sekunder i et minut") ELLER ("Et kørende ur fortæller tiden");
2) (28 > 7) OG (300/5 = 60);
3) ("TV - elektrisk apparat") Og ("Glas - træ");
4) Ikke((300 > 100) ELLER ("Du kan slukke din tørst med vand"));
5) (75 < 81) → (88 = 88) .
Eksempel 4. Skriv følgende komplekse udsagn ned ved hjælp af logiske operationer og beregn deres logiske værdier:
1) "Hvis uret viser klokkeslættet forkert, kan du komme til undervisningen på det forkerte tidspunkt";
2) "I spejlet kan du se dit spejlbillede og Paris, USA's hovedstad";
Eksempel 5. Bestem den boolske værdi af et udtryk
(s → q) ↔ (r → s) ,
s = "278 > 5" ,
q= "Æble = Orange",
s = "0 = 9" ,
s= "Hatten dækker hovedet".
Propositionelle logiske formler
Begrebet den logiske form af et komplekst udsagn afklares ved hjælp af begrebet propositionelle logiske formler .
I eksempel 1 og 2 lærte vi at skrive komplekse udsagn ved hjælp af logiske operationer. Faktisk kaldes de propositionelle logiske formler.
For at betegne udsagn, som i det nævnte eksempel, vil vi fortsætte med at bruge bogstaverne
s, q, r, ..., s 1 , q 1 , r 1 , ...
Disse bogstaver vil spille rollen som variabler, der tager sandhedsværdierne "sand" og "falsk" som værdier. Disse variabler kaldes også propositionelle variable. Vi vil kalde dem videre elementære formler eller atomer .
For at konstruere propositionelle logiske formler, ud over de bogstaver, der er angivet ovenfor, bruges tegn på logiske operationer
~, ∧, ∨, →, ↔,
samt symboler, der giver mulighed for entydig læsning af formler - venstre og højre parentes.
Koncept propositionelle logiske formler lad os definere det som følger:
1) elementære formler(atomer) er formler for propositionel logik;
2) hvis EN Og B- propositionelle logiske formler, derefter ~ EN , (EN ∧ B) , (EN ∨ B) , (EN → B) , (EN ↔ B) er også formler for propositionel logik;
3) kun de udtryk er propositionelle logiske formler, for hvilke dette følger af 1) og 2).
Definitionen af en propositionel logikformel indeholder en liste over reglerne for dannelsen af disse formler. Ifølge definitionen er enhver propositionel logikformel enten et atom eller dannet af atomer som et resultat konsekvent anvendelse regler 2).
Eksempel 6. Lade s- enkelt udsagn (atom) “Alt rationelle tal er gyldige" q- "Nogle reelle tal er rationelle tal" r- "nogle rationelle tal er rigtige." Oversæt følgende formler for propositionel logik til form af verbale udsagn:
6) 
.
1) "der er ingen reelle tal, der er rationelle";
2) "hvis ikke alle rationelle tal er reelle, så er der ingen rationelle tal, der er reelle";
3) "hvis alle rationelle tal er reelle, så er nogle reelle tal rationelle tal, og nogle rationale tal er reelle";
4) "alle reelle tal er rationelle tal, og nogle reelle tal er rationale tal, og nogle rationale tal er reelle tal";
5) "alle rationelle tal er reelle, hvis og kun hvis det ikke er tilfældet, at ikke alle rationelle tal er reelle";
6) "det er ikke sådan, at det ikke er sådan, at ikke alle rationelle tal er reelle, og der er ingen reelle tal, der er rationelle, eller der er ingen rationelle tal, der er reelle."
Eksempel 7. Opret en sandhedstabel for den propositionelle logikformel 
, som i tabellen kan betegnes f
.
Løsning. Vi begynder at kompilere en sandhedstabel ved at registrere værdier ("sand" eller "falsk") for enkelte udsagn (atomer) s , q Og r. Alle mulige værdier er skrevet i otte rækker af tabellen. Yderligere, når vi bestemmer værdierne for implikationsoperationen og flytter til højre i tabellen, husker vi, at værdien er lig med "falsk", når "falsk" følger af "sand".
| s | q | r | f | ||||
| OG | OG | OG | OG | OG | OG | OG | OG |
| OG | OG | L | OG | OG | OG | L | OG |
| OG | L | OG | OG | L | L | L | L |
| OG | L | L | OG | L | L | OG | OG |
| L | OG | OG | L | OG | L | OG | OG |
| L | OG | L | L | OG | L | OG | L |
| L | L | OG | OG | OG | OG | OG | OG |
| L | L | L | OG | OG | OG | L | OG |
Bemærk, at intet atom har formen ~ EN , (EN ∧ B) , (EN ∨ B) , (EN → B) , (EN ↔ B). Komplekse formler har denne type.
Antallet af parenteser i propositionelle logiske formler kan reduceres, hvis vi accepterer det
1) i kompleks formel vi vil udelade det ydre par beslag;
2) lad os arrangere tegnene på logiske operationer "i rækkefølge":
↔, →, ∨, ∧, ~ .
På denne liste har ↔-tegnet flest stort område handlinger, og ~-tegnet er det mindste. Omfanget af et operationstegn refererer til de dele af formlen for propositionel logik, som forekomsten af dette pågældende tegn anvendes på (som det virker på). Det er således muligt i enhver formel at udelade de par af parenteser, der kan gendannes, under hensyntagen til "prioritetsrækkefølgen". Og når parenteser gendannes, placeres først alle parenteser relateret til alle forekomster af tegnet ~ (vi flytter fra venstre mod højre), derefter til alle forekomster af tegnet ∧, og så videre.
Eksempel 8. Gendan parenteserne i den propositionelle logiske formel B ↔ ~ C ∨ D ∧ EN .
Løsning. Beslagene gendannes trin for trin som følger:
B ↔ (~ C) ∨ D ∧ EN
B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ EN)
B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ EN))
(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ EN)))
Ikke enhver propositionel logikformel kan skrives uden parentes. For eksempel i formler EN → (B → C) og ~( EN → B) yderligere udelukkelse af parenteser er ikke mulig.
Tautologier og modsigelser
Logiske tautologier (eller blot tautologier) er formler for propositionel logik, således at hvis bogstaver vilkårligt erstattes af udsagn (sandt eller falsk), vil resultatet altid være et sandt udsagn.
Da sandheden eller falskheden af komplekse udsagn kun afhænger af betydningerne og ikke af indholdet af udsagn, som hver især svarer til et bestemt bogstav, kan det kontrolleres, om et givet udsagn er en tautologi, på følgende måde. I det undersøgte udtryk er værdierne 1 og 0 (henholdsvis "sand" og "falsk") erstattet af bogstaverne på alle mulige måder, og de logiske værdier af udtrykkene beregnes ved hjælp af logiske operationer. Hvis alle disse værdier er lig med 1, så er udtrykket under undersøgelse en tautologi, og hvis mindst en substitution giver 0, så er det ikke en tautologi.
Således kaldes en propositionel logisk formel, der tager værdien "sand" for enhver fordeling af værdierne af atomerne inkluderet i denne formel identisk med den sande formel eller tautologi .
Den modsatte betydning er en logisk modsigelse. Hvis alle værdierne af udsagn er lig med 0, er udtrykket en logisk modsigelse.
Således kaldes en propositionel logisk formel, der tager værdien "falsk" for enhver fordeling af værdierne af atomerne inkluderet i denne formel identisk falsk formel eller modsigelse .
Ud over tautologier og logiske modsigelser er der formler for propositionel logik, der hverken er tautologier eller modsigelser.
Eksempel 9. Konstruer en sandhedstabel for en propositionel logikformel og afgør, om det er en tautologi, en modsigelse eller ingen af delene.
Løsning. Lad os lave en sandhedstabel:
| OG | OG | OG | OG | OG |
| OG | L | L | L | OG |
| L | OG | L | OG | OG |
| L | L | L | L | OG |
I betydningen af implikationen finder vi ikke en linje, hvor "sand" betyder "falsk". Alle værdier af den oprindelige erklæring er lig med "sand". Derfor, denne formel propositionel logik er en tautologi.
Algebra i i bred forstand dette ord er videnskaben om generelle operationer, svarende til addition og multiplikation, som kan udføres på en række matematiske objekter.
Mange matematiske objekter(heltal og rationelle tal, polynomier, vektorer, mængder) læser du på et skolealgebrakursus, hvor du stifter bekendtskab med grene af matematikken som tallenes algebra, polynomiers algebra, algebraen af mængder osv. Til datalogi , det afsnit af matematik, der kaldes logikkens algebra, er vigtigt; logikkens algebras objekter er propositioner.
En ytring er en sætning på ethvert sprog, hvis indhold utvetydigt kan bestemmes som sandt eller falsk.
Eksempel:
For eksempel med hensyn til sætningerne "Den store russiske videnskabsmand M.V. Lomonosov blev født i \(1711\)" og "To plus seks er otte" kan vi helt sikkert sige, at de er sande. Sætningen "Sparrows hibernate in winter" er falsk. Derfor er disse sætninger udsagn.
På russisk udtrykkes udsagn ved deklarative sætninger.
Vær opmærksom!
Men ikke alle deklarative sætninger er et udsagn.
Eksempel:
For eksempel er sætningen "Denne sætning er falsk" ikke et udsagn, fordi det ikke kan siges, om det er sandt eller falsk uden at forårsage en modsigelse. Faktisk, hvis vi accepterer, at sætningen er sand, så modsiger dette det, der blev sagt. Hvis vi accepterer, at sætningen er falsk, så følger det, at den er sand.
Incitament og spørgende sætninger er ikke udsagn.
For eksempel sætninger som: "Skriv ned lektier", "Hvordan kommer man til biblioteket?", "Hvem kom til os?"
Udsagn kan konstrueres ved hjælp af tegn på forskellige formelle sprog- matematik, fysik, kemi mv.
Eksempler på udsagn kunne være:
"Na er metal" (sandt udsagn);
"Newtons anden lov er udtrykt ved formlen \(F = ma\) (sandt udsagn);
"Omkredsen af et rektangel med sidelængder \(a\) og \(b\) er lig med \(ab\)" (falsk udsagn).
Numeriske udtryk er ikke udsagn, men fra to numeriske udtryk Du kan udtale dig ved at forbinde dem med ligheds- eller ulighedstegn. For eksempel:
- 3 + 5 = 2 ⋅ 4 (sandt udsagn);
- "II + VI > VIII" (falsk udsagn).
Ligheder og uligheder, der indeholder variabler, er heller ikke udsagn.
For eksempel sætningen \("x< 12»\) становится высказыванием только при замене переменной каким-либо specifik betydning:\("5< 12»\) - истинное высказывание; \(«12 < 12»\) - ложное высказывание.
Begrundelsen for sandheden eller falskheden af udsagn afgøres af de videnskaber, de tilhører. Logikkens algebra er abstraheret fra det semantiske indhold af udsagn. Hun er kun interesseret i, om et givet udsagn er sandt eller falsk. I logisk algebra betegnes udsagn med bogstaver og kaldes logiske variable. Desuden, hvis udsagnet er sandt, er værdien af den tilsvarende logiske variabel angivet med en \((A = 1)\), og hvis falsk - med nul \((B = 0)\).
\(0\) og \(1\), der angiver værdierne af logiske variabler, kaldes logiske værdier.
Emne: Logiske udsagn og logiske operationer.
Lektionens mål:
Formkoncepter: logisk udsagn, logiske størrelser, logiske operationer.
Eleverne skal vide: betydning af begreber: logisk udsagn, logiske størrelser, logiske operationer.
Eleverne skal kunne:
- give eksempler på logiske udsagn;
- navngiv logiske størrelser, logiske operationer.
Under timerne
Lektionen er ledsaget computerpræsentation. (Ansøgning)
I. Organisatorisk øjeblik
I den sidste lektion talte vi om videnskaben om logik. Vi ved allerede, at videnskaben om logik har flere sektioner. Et af afsnittene - Algebra af propositioner.
Lad os skrive titlen: Algebra af propositioner.
II. Forklaring af nyt materiale
(Dias 1)
EN UDTALELSE er en deklarativ sætning, der kan siges at være enten sand eller falsk.
For eksempel:
Jorden solsystem. (Rigtigt.)
2 + 8 < 5 (Falsk.)
5 5 = 25 (Rigtigt.)
Hvert kvadrat er et parallelogram. (Rigtigt.)
Hvert parallelogram er et kvadrat. (Falsk.)
2 2 = 5 (Falsk.)
Ikke hver sætning er et udsagn.
1) Udråbs- og spørgende sætninger er ikke udsagn.
- "Hvilken farve er dette hus?"
- "Drik tomatjuice!"
2) Definitioner og udsagn er ikke udsagn.
"Lad os kalde en median det segment, der forbinder toppunktet af en trekant med midtpunktet af den modsatte side."
Definitioner er ikke sande eller falske, de registrerer blot den accepterede brug af udtryk.
3) Sætninger som "Han er en gråøjet mand" eller " x- 4x + 3=0"- de angiver ikke hvilken manden går tale eller for hvilket nummer x lighed er sandt. Sådanne forslag kaldes ekspressive former.
Udtryksform er en deklarativ sætning, der direkte eller indirekte indeholder mindst én variabel og bliver til et udsagn, når alle variabler erstattes af deres værdier.
(Dias 2)
I matematisk logik Det specifikke indhold af udsagnet tages ikke i betragtning, kun om det er sandt eller falsk er vigtigt. Derfor udsagnet kan repræsenteres af nogle variabel, hvis værdi kun kan være 0 eller 1 . Hvis udsagnet er sandt, er dets værdi 1, hvis falsk - 0.
Simple udtalelser kaldet logiske variable og for at lette registreringen er de angivet med latinske bogstaver: A, B, C...
Månen er jordens satellit. A = 1
Moskva er hovedstaden i Tyskland. B = 0
Komplekse udsagn kaldes logiske funktioner . Værdierne af en logisk funktion kan også kun tage værdierne 0 eller 1.
Lad os skrive titlen:
GRUNDLÆGGENDE LOGISKE FUNKTIONER
(Slide 3)
I propositionalgebra, som i almindelig algebra, introduceres en række operationer. Logiske forbindelser OG, ELLER og IKKE erstattes af logiske operatorer: konjunktion, disjunktion og inversion . Dette er de grundlæggende logiske operationer, hvormed du kan skrive enhver logisk funktion.
(Dias 4)
HVORNÅR VIL VAND FLØDE UD AF RØRET?
(Dias 5)
LOGISK MULTIPLIKATION
Lad os betegne hvert af udsagn med latinske bogstaver.
A - "Solen skinner i dag."
B - "Det regner i dag."
Lad os oprette forbindelse ved hjælp af en fagforening OG , får vi et komplekst udsagn. Dette vil være logisk multiplikation.
Lad os skrive definitionen ned: Logisk multiplikation (konjunktion) dannes ved at kombinere to (eller flere) udsagn til én ved at bruge konjunktionen "og".
Lad os lave en sandhedstabel.(Dias 6)
Betegnelse: &, ^, *.
Union i naturligt sprog: Og.
Lad os angive alle muligheder i tabellen, når udsagn enten kan være sande - 1 eller falske - 0. Lad os nu se, hvad vi får til sidst?
Lad os overveje en anden mulighed: HVORNÅR FLØDER VAND FRA RØRET?
(Dias 7)
(Dias 8) LOGISK TILFØJELSE
A – Der er en Mercedes på parkeringspladsen.
B – Der er en Zhiguli på parkeringspladsen.
Lad os oprette forbindelse ved hjælp af en fagforening ELLER , får vi et komplekst udsagn. Dette vil være en logisk tilføjelse.
Lad os skrive definitionen ned: Logisk addition (disjunktion) dannes ved at kombinere to (eller flere) udsagn til én ved at bruge konjunktionen "eller".
Lad os lave en sandhedstabel. (Dias 9)
Betegnelse: +, V.
Konjunktion i naturligt sprog: eller.
(Slide 10)
Se hvor nemmere det er at huske disjunktion og konjunktion.
Ordet disjunktion har to bogstaver I, som betyder ELLER, og ordet konjunktion har et bogstav I, som betyder I.
Næste operation: LOGISK NEGATION. (Dias 11)
Lad os igen betegne hvert af udsagn med latinske bogstaver.
Lad os skrive definitionen ned: Logisk negation (inversion) dannes ud fra et udsagn ved at tilføje partiklen "ikke" til prædikatet eller bruge talemåden "det er ikke sandt, at...".
Lad os lave en sandhedstabel. (Slide 12)
Betegnelse: ¬.
Konjunktion i naturligt sprog: ikke; Det er ikke rigtigt...
Næste operation: LOGISK FØLGENDE. (Slide 13)
Betegnelse: →.
Konjunktion i naturligt sprog: hvis..., så....
Lad os skrive definitionen ned: Logisk konsekvens (implikation) dannes ved at kombinere to udsagn til ét ved hjælp af talemåden "hvis..., så...".
Lad os lave en sandhedstabel. (Slide 14)
III. Lektionsopsummering
I dag så vi på logiske udsagn og logiske operationer. Er der nogen der har spørgsmål om dette emne?