Hvad er summen af ​​alle vinkler i en trekant. Trekantvinkelsumsætning

1) Beløb trekantsvinkler lig med 180°.

Bevis

Lad ABC" - vilkårlig trekant. Lad os tegne en linje gennem toppunktet B parallelt med linjen AC (en sådan linje kaldes den euklidiske linje). Lad os markere punkt D på den, så punkt A og D ligger langs forskellige sider ret linje BC Vinkler DBC og ACB er lig med indvendige tværliggende vinkler dannet af den tværgående BC med parallelle rette linjer AC og BD. Derfor er summen af ​​vinklerne i en trekant ved hjørnerne B og C lig med vinkel ABD Summen af ​​alle tre vinkler i en trekant er lig med summen af ​​vinklerne ABD og BAC. Da disse er ensidige indvendige vinkler for parallel AC og BD med sekant AB, er deres sum lig med 180°. Sætningen er blevet bevist.
2) Den ydre vinkel af en trekant ved et givet toppunkt er den vinkel, der støder op til trekantens vinkel ved dette toppunkt.

Sætning: Udvendig vinkel på en trekant lig med summen to vinkler i en trekant, der ikke støder op til den

Bevis. Lad ABC være den givne trekant. Ved sætningen om summen af ​​vinkler i en trekant
∠ ABC + ∠ BCA + ∠ CAB = 180º.
dette indebærer
∠ ABC + ∠ CAB = 180 º - ∠ BCA = ∠ BCD
Sætningen er blevet bevist.

Af sætningen følger:
En udvendig vinkel i en trekant er større end enhver vinkel i trekanten, der ikke støder op til den.
3) Summen af ​​trekantsvinkler = 180 grader. Hvis en af ​​vinklerne er ret (90 grader), er de to andre også 90. Det betyder, at hver af dem er mindre end 90, det vil sige, at de er spidse. hvis en af ​​vinklerne er stump, så er de to andre mindre end 90, det vil sige, at de er tydeligt spidse.
4) stump - mere end 90 grader
akut - mindre end 90 grader
5) a. En trekant, hvor en af ​​vinklerne er 90 grader.
b. Ben og hypotenuse
6) 6°. I hver trekant ligger den større vinkel modsat den større side og omvendt: modsat den større vinkel ligger store side. Ethvert segment har ét og kun ét midtpunkt.
7) Ifølge Pythagoras sætning: kvadratet på hypotenusen er lig med summen af ​​kvadraterne på benene, hvilket betyder at hypotenusen er større end hvert af benene
8) --- samme som 7
9) Summen af ​​vinklerne i en trekant er 180 grader. hvad hvis hver side af trekanten var mere end beløbet de to andre sider, så ville summen af ​​vinklerne være større end 180, hvilket er umuligt. Derfor er hver side af trekanten mindre end summen af ​​de to andre sider.
10) Summen af ​​vinklerne i en trekant er 180 grader.
Da denne trekant er retvinklet, er en af ​​dens vinkler ret, dvs. lig med 90 grader.
Derfor er summen af ​​de to andre skarpe hjørner lig med 180-90=90 grader.
11) 1. overveje en rektangulær trekant ABC hvor vinkel A er en ret vinkel, vinkel B = 30 grader og vinkel C = 60. Lad os knytte en lige stor trekant ABD til trekanten ABC. Vi får trekanter BCD, hvor vinkel B = vinkel D = 60 grader, derfor DC = BC. Men ifølge konstruktionen er AC 1/2 f.Kr., hvilket er det, der skulle bevises.2. Hvis benet retvinklet trekant lig med halvdelen hypotenusen, så er vinklen modsat dette ben lig med 30 grader Lad os bevise dette Lad os betragte en retvinklet trekant ABC, hvis ben AC er lig med halvdelen af ​​hypotenusen AC. Lad os til trekant ABC knytte en lige stor trekant ABD. Får en ligesidet trekant BCD. Vinkler ligesidet trekant lig med hinanden (da modsatte lige sider ligger lige store vinkler), så hver af dem = 60 grader. Men vinkel DBC = 2 vinkel ABC, derfor vinkel ABC = 30 grader, hvilket er det, der skulle bevises.

Efterfølgende fra i går:

Lad os lege med en mosaik baseret på et geometrisk eventyr:

Der var engang trekanter. Så ens, at de bare er kopier af hinanden.
De stod på en eller anden måde side om side i en lige linje. Og da de alle var lige høje -
så var deres toppe på samme niveau under linealen:

Trekanter elskede at tumle og stå på hovedet. De klatrede op på den øverste række og stod på hjørnet som akrobater.
Og vi ved allerede - når de står med deres toppe nøjagtigt på linje,
så følger deres såler også en lineal - for hvis nogen er lige høje, så er de også lige høje på hovedet!

De var ens i alt - den samme højde og de samme såler,
og gliderne på siderne - den ene stejlere, den anden fladere - har samme længde
og de har samme hældning. Nå, bare tvillinger! (kun i forskelligt tøj, hver med deres egen brik i puslespillet).

- Hvor er trekanter identiske sider? Hvor er hjørnerne ens?

Trekanterne stod på hovedet, stod der og besluttede at glide af og lægge sig i nederste række.
De gled og gled ned ad en bakke; men deres slides er de samme!
Så de passer præcis mellem de nederste trekanter, uden mellemrum, og ingen skubbede nogen til side.

Vi kiggede rundt i trekanterne og bemærkede et interessant træk.
Uanset hvor deres vinkler mødes, vil alle tre vinkler helt sikkert mødes:
den største er "hovedvinklen", den mest spidse vinkel og den tredje mellemstørste vinkel.
De bandt endda farvede bånd, så det med det samme ville være tydeligt, hvilken der var hvilken.

Og det viste sig, at trekantens tre vinkler, hvis du kombinerer dem -
udgør en stor vinkel, et "åbent hjørne" - som omslaget på en åben bog,

__________________O ____________________

det kaldes en drejet vinkel.

Enhver trekant er som et pas: tre vinkler tilsammen er lig med den udfoldede vinkel.
Nogen banker på din dør: - bank-bank, jeg er en trekant, lad mig overnatte!
Og du fortæller ham - Vis mig summen af ​​vinklerne i udvidet form!
Og det er umiddelbart klart, om dette er en rigtig trekant eller en bedrager.
Mislykket bekræftelse - Vend om hundrede og firs grader og gå hjem!

Når de siger "drej 180°" betyder det at vende baglæns og
gå i den modsatte retning.

Det samme i mere velkendte udtryk, uden "der var engang":

Lad os gøre det parallel overførsel trekant ABC langs aksen OX
til vektor AB lig med længde AB baser.
Linje DF går gennem hjørnerne C og C 1 i trekanter
parallelt med OX-aksen, på grund af det faktum, at vinkelret på aksenÅh
segmenter h og h 1 (højder lige store trekanter) er lige.
Basen af ​​trekanten A 2 B 2 C 2 er således parallel med basen AB
og lig med den i længden (da toppunktet C 1 er forskudt i forhold til C med mængden AB).
Trekanter A 2 B 2 C 2 og ABC er lige store på tre sider.
Derfor er vinklerne ∠A 1 ∠B ∠C 2, der danner en ret vinkel, lig med vinklerne i trekanten ABC.
=> Summen af ​​vinklerne i en trekant er 180°

Med bevægelser - "oversættelser", er det såkaldte bevis kortere og klarere,
selv et barn kan forstå stykkerne af mosaikken.

Men traditionel skole:

baseret på ligheden af ​​indre tværliggende vinkler afskåret på parallelle linjer

værdifuldt, fordi det giver en idé om, hvorfor det er sådan,
Hvorfor summen af ​​vinklerne i en trekant er lig med den omvendte vinkel?

For ellers ville parallelle linjer ikke have de egenskaber, som vores verden kender.

Sætningerne virker begge veje. Fra aksiomet for parallelle linjer følger det
ligestilling af på tværs liggende og lodrette vinkler, og fra dem - summen af ​​trekantens vinkler.

Men det modsatte er også sandt: så længe vinklerne i en trekant er 180°, er der parallelle linjer
(sådan at man gennem et punkt, der ikke ligger på en linje, kan tegne en unik linje || af den givne).
Hvis der en dag dukker en trekant op i verden, hvis vinkelsum ikke er lig med den udfoldede vinkel -
så holder de parallelle op med at være parallelle, hele verden bliver bøjet og skæv.

Hvis striber med trekantmønstre placeres over hinanden -
du kan dække hele feltet med et gentaget mønster, som et gulv med fliser:


du kan spore forskellige former på sådan et gitter - sekskanter, romber,
stjernepolygoner og få en række forskellige parketgulve


At flisebelægge et fly med parket er ikke kun et sjovt spil, men også et relevant spil. matematisk problem:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Da hver firkant er et rektangel, kvadrat, rombe osv.
kan være sammensat af to trekanter,
henholdsvis summen af ​​vinklerne på en firkant: 180° + 180° = 360°

Identiske ligebenede trekanter er foldet til firkanter på forskellige måder.
En lille firkant på 2 dele. Gennemsnit på 4. Og den største af de 8.
Hvor mange figurer er der på tegningen, bestående af 6 trekanter?

Denne teorem er også formuleret i lærebogen af ​​L.S. Atanasyan. , og i lærebogen af ​​Pogorelov A.V. . Beviserne for dette teorem i disse lærebøger adskiller sig ikke væsentligt, og derfor præsenterer vi dets bevis, for eksempel fra lærebogen af ​​A.V. Pogorelov.

Sætning: Summen af ​​vinklerne i en trekant er 180°

Bevis. Lad ABC være den givne trekant. Lad os tegne en linje gennem toppunktet B parallelt med linjen AC. Lad os markere punkt D på den, så punkt A og D ligger på modsatte sider af den lige linje BC (fig. 6).

Vinklerne DBC og ACB er lig med indre tværliggende, dannet af sekanten BC med parallelle lige linjer AC og BD. Derfor er summen af ​​vinklerne i en trekant ved hjørnerne B og C lig med vinkel ABD. Og summen af ​​alle tre vinkler i en trekant er lig med summen af ​​vinklerne ABD og BAC. Da disse er ensidige indvendige vinkler for parallelle AC og BD og sekant AB, er deres sum 180°. Sætningen er blevet bevist.

Ideen med dette bevis er at udføre parallel linje og betegnelse af lighed af de ønskede vinkler. Lad os rekonstruere ideen om en sådan yderligere konstruktion ved at bevise denne sætning ved hjælp af konceptet om et tankeeksperiment. Bevis for sætningen ved hjælp af et tankeeksperiment. Så emnet for vores tankeeksperiment er vinklerne i en trekant. Lad os placere ham mentalt i forhold, hvor hans essens kan afsløres med særlig sikkerhed (stadie 1).

Sådanne betingelser vil være et sådant arrangement af trekantens hjørner, hvor alle tre af deres hjørner vil blive kombineret på et punkt. En sådan kombination er mulig, hvis vi tillader muligheden for at "flytte" hjørnerne ved at flytte trekantens sider uden at ændre hældningsvinklen (fig. 1). Sådanne bevægelser er i det væsentlige efterfølgende mentale transformationer (stadie 2).

Ved at udpege vinklerne og siderne i en trekant (fig. 2), de vinkler, der opnås ved at "bevæge sig", danner vi derved mentalt miljøet, det system af forbindelser, som vi placerer vores tankeobjekt i (trin 3).

Linje AB, "bevæger sig" langs linjen BC og uden at ændre hældningsvinklen til den, overfører vinkel 1 til vinkel 5, og "bevæger sig" langs linien AC, overfører vinkel 2 til vinkel 4. Da med en sådan "bevægelse" linje AB ikke ændrer hældningsvinklen til linjerne AC og BC, så er konklusionen indlysende: strålerne a og a1 er parallelle med AB og omdannes til hinanden, og strålerne b og b1 er en fortsættelse af henholdsvis siderne BC og AC. Da vinkel 3 og vinklen mellem strålerne b og b1 er lodrette, er de ens. Summen af ​​disse vinkler er lig med den drejede vinkel aa1 - hvilket betyder 180°.

KONKLUSION

I diplomarbejde udført "konstruerede" beviser af en eller anden skole geometriske sætninger, ved hjælp af strukturen af ​​et tankeeksperiment, som bekræftede den formulerede hypotese.

De fremlagte beviser var baseret på sådanne visuelle og sensoriske idealiseringer: "kompression", "strækning", "glidning", som gjorde det muligt at transformere originalen geometrisk objekt og fremhæve dets væsentlige karakteristika, hvilket er typisk for et tankeeksperiment. Hvori tankeeksperiment fungerer som et vist "kreativt værktøj", der bidrager til fremkomsten af ​​geometrisk viden (f.eks. ca. midtlinje trapez eller omkring vinklerne i en trekant). Sådanne idealiseringer gør det muligt at forstå hele ideen om bevis, ideen om at udføre "yderligere konstruktion", som giver os mulighed for at tale om muligheden for en mere bevidst forståelse af skolebørn af processen med formelt deduktivt bevis for geometriske sætninger.

Et tankeeksperiment er et af grundlæggende metoder indhente og opdage geometriske sætninger. Det er nødvendigt at udvikle en metode til at overføre metoden til den studerende. Rester åbent spørgsmål omkring alderen på en elev, der er acceptabel for at "acceptere" metoden, om " bivirkninger» beviserne fremlagt på denne måde.

Disse spørgsmål kræver yderligere undersøgelse. Men under alle omstændigheder er én ting sikkert: Et tankeeksperiment udvikler sig hos skolebørn teoretisk tænkning, er dens grundlag, og derfor skal evnen til mental eksperimentering udvikles.

. (Dias 1)

Lektionstype: lektion om at lære nyt materiale.

Lektionens mål:

  • Pædagogisk:
    • overvej sætningen om summen af ​​vinklerne i en trekant,
    • vise sætningens anvendelse til løsning af opgaver.
  • Pædagogisk:
    • at fremme en positiv holdning hos eleverne til viden,
    • Indgyd eleverne selvtillid gennem undervisningen.
  • Udviklingsmæssige:

Udstyr: interaktiv tavle, præsentation, kort.

UNDER UNDERVISNINGEN

JEG. Organisering af tid

– I dag i klassen vil vi huske definitionerne af retvinklede, ligebenede og ligesidede trekanter. Lad os gentage egenskaberne for trekanters vinkler. Ved hjælp af egenskaberne for indre ensidede og indre tværliggende vinkler vil vi bevise sætningen om summen af ​​vinklerne i en trekant og lære at anvende den, når vi løser problemer.

II. Mundtligt(Dias 2)

1) Find rektangulære, ligebenede, ligesidede trekanter på billederne.
2) Definer disse trekanter.
3) Formuler egenskaberne for ligesidede og ligesidede vinkler ligebenet trekant.

4) På billedet KE II NH. (dias 3)

– Angiv sekanter for disse linjer
– Find indvendige ensidede vinkler, indvendige vinkler liggende på tværs, navngiv deres egenskaber

III. Forklaring af nyt materiale

Sætning. Summen af ​​vinklerne i en trekant er 180°

Ifølge formuleringen af ​​sætningen bygger fyrene en tegning, skriver betingelsen og konklusionen ned. Ved at besvare spørgsmål beviser de selvstændigt sætningen.

Givet:

Bevise:

Bevis:

1. Gennem toppunktet B i trekanten tegner vi en ret linje BD II AC.
2. Angiv sekanter for parallelle linjer.
3. Hvad kan man sige om vinklerne CBD og ACB? (skriv en note)
4. Hvad ved vi om vinkler CAB og ABD? (skriv en note)
5. Udskift vinkel CBD med vinkel ACB
6. Træk en konklusion.

IV. Afslut sætningen.(Dias 4)

1. Summen af ​​vinklerne i en trekant er...
2. I en trekant er en af ​​vinklerne lig, den anden, tredje vinkel i trekanten er lig med...
3. Summen af ​​de spidse vinkler i en retvinklet trekant er...
4. Vinklerne i en ligebenet retvinklet trekant er lige store...
5. Vinklerne i en ligesidet trekant er lige store...
6. Hvis vinklen mellem de laterale sider af en ligebenet trekant er 1000, så er vinklerne ved basen lig...

V. Lidt historie.(Slides 5-7)

Bevis for sætningen om summen af ​​vinkler i en trekant "Sum af indre
vinkler af en trekant lig med to rette vinkler" tilskrives Pythagoras (580-500 f.Kr.)

Den antikke græske videnskabsmand Proclus (410-485 e.Kr.),