Snit i en terning. "Udsnit af en terning ved et fly og deres praktiske anvendelse i problemer"

Opgaver om at konstruere sektioner af en terning D1
C1
E
A1
B1
D
EN
F
B
MED

Verifikationsarbejde.

1 mulighed
Mulighed 2
1. tetraeder
1. parallelepipedum
2. Egenskaber ved et parallelepipedum

Et skæreplan af en terning er et hvilket som helst plan på begge sider, hvor der er punkter af en given terning.

Sekant
flyet skærer terningens flader langs
segmenter.
En polygon, hvis sider er
Disse segmenter kaldes en sektion af terningen.
Sektionerne af en terning kan være trekanter,
firkanter, femkanter og
sekskanter.
Når man bygger sektioner, bør man tage højde for det
faktum, at hvis et skærende plan skærer to
modsatte flader langs nogle segmenter, altså
disse segmenter er parallelle. (Forklar hvorfor).

B1
C1
D1
A1
M
K
VIGTIG!
B
MED
D
Hvis skæreplanet skærer hinanden
modsatte kanter, så det
K DCC1
skærer dem parallelt
M BCC1
segmenter.

tre givne punkter, der er midtpunkterne på kanterne. Find omkredsen af ​​sektionen, hvis kanten

Konstruer en sektion af terningen med et plan der går igennem
tre givne punkter, der er midtpunkterne på kanterne.
Find omkredsen af ​​sektionen, hvis kanten af ​​terningen er lig med a.
D1
N
K
A1
D
EN
C1
B1
M
MED
B

Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem tre givne punkter, som er dens hjørner. Find omkredsen af ​​sektionen, hvis kanten af ​​terningen

Konstruer en sektion af terningen med et plan der går igennem
tre givne punkter, der er dens toppunkter. Find
omkredsen af ​​sektionen, hvis kanten af ​​terningen er lig med a.
D1
C1
A1
B1
D
EN
MED
B

D1
C1
A1
M
B1
D
EN
MED
B

Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem tre givne punkter. Find omkredsen af ​​sektionen, hvis kanten af ​​terningen er lig med a.

D1
C1
A1
B1
N
D
EN
MED
B

Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem tre givne punkter, som er midtpunkterne på dens kanter.

C1
D1
B1
A1
K
D
MED
N
E
EN
M
B

Lektionens mål

• Dannelse af elevernes færdigheder i at løse problemer, der involverer opbygning af sektioner.
• Dannelse og udvikling af rumlig fantasi hos elever.
• Udvikling af grafisk kultur og matematisk tale.
• Udvikling af evnen til at arbejde individuelt og i team.

Lektionstype: lektion i dannelse og forbedring af viden.

Former for organisering af uddannelsesaktiviteter: gruppe, individuel, kollektiv.

Lektion teknisk support: computer, multimedieprojektor, lærred, sæt geometriske legemer (terning, parallelepipedum, tetraeder).

UNDER UNDERVISNINGEN

1. Organisatorisk øjeblik

Klassen er opdelt i 3 grupper á 5-6 personer. På hvert bord er der individuelle og gruppeopgaver til at konstruere en sektion, et sæt kroppe. Introduktion af eleverne til emnet og målene for lektionen.

2. Opdatering baggrundsviden

Afstemningsteori:

– Stereometriens aksiomer.
– Begrebet parallelle linjer i rummet.
– Sætning om parallelle linjer.
– Parallelisme af tre lige linjer.
– Den relative position af en ret linje og et plan i rummet.
– Et tegn på parallelitet mellem en linje og et plan.
– Bestemmelse af parallelitet af planer.
– Tegn på parallelitet af to planer.
– Egenskaber ved parallelle planer.
– Tetraeder. Parallelepiped. Egenskaber ved et parallelepipedum.

3. At lære nyt stof

Lærerens ord: Når man løser mange stereometriske problemer, bruges et udsnit af et polyeder ved et plan. Lad os kalde et sekantplan af et polyeder et hvilket som helst plan på begge sider, hvor der er punkter af det givne polyeder.
Skæreplanet skærer fladerne langs segmenter. Polygonen, hvis sider er disse segmenter, kaldes en sektion af polyederet.
Lad os ved hjælp af figur 38-39 finde ud af: Hvor mange sider kan et tværsnit af et tetraeder og et parallelepipedum have?

Studerende analysere billederne og drage konklusioner. Lærer retter elevernes svar og påpeger det faktum, at hvis et skærende plan skærer to modstående flader af et parallelepipedum langs nogle segmenter, så er disse segmenter parallelle.

Analyse løsning af opgave 1, 2, 3 givet i lærebogen (mundtligt gruppearbejde).

4. Konsolidering af det undersøgte materiale(efter grupper)

1 gruppe: forklar, hvordan man konstruerer et udsnit af et tetraeder med et plan, der går gennem givne punkter M, N, K og i opgave 1-3 find perimeteren af ​​snittet, hvis M, N, K er midtpunkterne på kanterne og hver kant af tetraeder er lig EN.

Gruppe 2: forklare, hvordan man konstruerer et udsnit af en terning med et plan, der går gennem tre givne punkter, som enten er hjørnerne af terningen eller midtpunkterne på dens kanter (de tre givne punkter er fremhævet i figurerne i opgave 1-4 og). 6, find omkredsen af ​​sektionen, hvis kanten af ​​terningen er lig med EN. i opgave 5 bevis, at AE = EN/3

Gruppe 3: konstruere et tværsnit af et parallelepipedum ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 fly, der passerer gennem punkterne:

Gruppen forsvarer alle udførte opgaver på tavlen ved hjælp af slides.

5. Selvstændigt arbejde № 85, № 105.

6. Opsummering af lektionen

Vurdering af elevernes arbejde i klassen.

7. Lektier: individuelle kort.

Opgaver om at konstruere sektioner af en terning D1
C1
E
A1
B1
D
EN
F
B
MED

Verifikationsarbejde.

1 mulighed
Mulighed 2
1. tetraeder
1. parallelepipedum
2. Egenskaber ved et parallelepipedum

Et skæreplan af en terning er et hvilket som helst plan på begge sider, hvor der er punkter af en given terning.

Sekant
flyet skærer terningens flader langs
segmenter.
En polygon, hvis sider er
Disse segmenter kaldes en sektion af terningen.
Sektionerne af en terning kan være trekanter,
firkanter, femkanter og
sekskanter.
Når man bygger sektioner, bør man tage højde for det
faktum, at hvis et skærende plan skærer to
modsatte flader langs nogle segmenter, altså
disse segmenter er parallelle. (Forklar hvorfor).

B1
C1
D1
A1
M
K
VIGTIG!
B
MED
D
Hvis skæreplanet skærer hinanden
modsatte kanter, så det
K DCC1
skærer dem parallelt
M BCC1
segmenter.

tre givne punkter, der er midtpunkterne på kanterne. Find omkredsen af ​​sektionen, hvis kanten

Konstruer en sektion af terningen med et plan der går igennem
tre givne punkter, der er midtpunkterne på kanterne.
Find omkredsen af ​​sektionen, hvis kanten af ​​terningen er lig med a.
D1
N
K
A1
D
EN
C1
B1
M
MED
B

Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem tre givne punkter, som er dens hjørner. Find omkredsen af ​​sektionen, hvis kanten af ​​terningen

Konstruer en sektion af terningen med et plan der går igennem
tre givne punkter, der er dens toppunkter. Find
omkredsen af ​​sektionen, hvis kanten af ​​terningen er lig med a.
D1
C1
A1
B1
D
EN
MED
B

D1
C1
A1
M
B1
D
EN
MED
B

Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem tre givne punkter. Find omkredsen af ​​sektionen, hvis kanten af ​​terningen er lig med a.

D1
C1
A1
B1
N
D
EN
MED
B

Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem tre givne punkter, som er midtpunkterne på dens kanter.

C1
D1
B1
A1
K
D
MED
N
E
EN
M
B

Lektionstype: Kombineret lektion.

Mål og mål:

• pædagogisk – dannelse og udvikling af rumlige begreber hos elever; udvikle færdigheder i at løse problemer, der involverer konstruktion af sektioner af de enkleste polyedre;
• pædagogisk - dyrke viljen og udholdenheden for at opnå endelige resultater, når du konstruerer sektioner af de enkleste polyedre; Fremme en kærlighed og interesse for at lære matematik.
• udvikler sig – elevernes udvikling logisk tænkning, rumlige repræsentationer, udvikling af selvkontrolfærdigheder.

Udstyr: computere med et specialudviklet program, uddelinger i formularen færdige tegninger med opgaver, solids af polyeder, individuelle kort med hjemmearbejde.

Lektionens struktur:

1. Angiv emnet og formålet med lektionen (2 min).
2. Vejledning i, hvordan du udfører opgaver på en computer (2 min.).
3. Opdatering af elevernes grundlæggende viden og færdigheder (4 min).
4. Selvtest (3 min).
5. Løsning af opgaver med forklaring af løsningen af ​​læreren (15 min.).
6. Selvstændigt arbejde med selvtest (10 min).
7. Opsætning af lektier (2 min).
8. Opsummering (2 min).

Under timerne

1. Formidling af emnet og formålet med lektionen

Efter at have kontrolleret klassens parathed til lektionen, rapporterer læreren, at der i dag er en lektion om emnet "Konstruktion af sektioner af polyedre" vil blive overvejet problemer med at konstruere sektioner af nogle simple polyedre med planer, der passerer gennem tre punkter, der tilhører kanterne af; polyedrene. Lektionen vil blive undervist ved hjælp af en computerpræsentation lavet i Power Point.

2. Sikkerhedsinstruktioner ved arbejde i et computerrum

Lærer. Jeg gør opmærksom på, at du begynder at arbejde i en computerklasse, og du skal følge ordensreglerne og arbejde ved computeren. Fastgør udtrækkelige bordplader og sørg for korrekt pasform.

3. Opdatering af elevernes grundlæggende viden og færdigheder

Lærer. For at løse mange geometriske problemer relateret til polyedre er det nyttigt at kunne konstruere deres snit i en tegning ved hjælp af forskellige planer, finde skæringspunktet for en given linje med en given plan og finde skæringslinjen for to givne planer . I tidligere lektioner har vi set på sektioner af polyedre efter planer parallelt med polyedres kanter og flader. I denne lektion vil vi se på problemer, der involverer at konstruere sektioner med et plan, der passerer gennem tre punkter placeret på kanterne af polyedre. For at gøre dette skal du overveje de enkleste polyedre. Hvad er disse polyedre? (Modeller af en terning, tetraeder, regulær firkantet pyramide, lige trekantet prisme).

Eleverne skal bestemme typen af ​​polyeder.

Lærer. Lad os se, hvordan de ser ud på skærmen. Vi flytter fra billede til billede ved at trykke på venstre museknap.

Billeder af de navngivne polyedre vises på skærmen efter hinanden.

Lærer. Lad os huske, hvad der kaldes en sektion af et polyeder.

Studerende. En polygon, hvis sider er segmenter, der tilhører polyederens flader, med ender på polyederens kanter, opnået ved at skære polyhedronen med et vilkårligt skæreplan.

Lærer. Hvilke polygoner kan være sektioner af disse polyedre.

Studerende. Sektioner af en terning: tre - sekskanter. Sektioner af et tetraeder: trekanter, firkanter. Sektioner af en firkantet pyramide og et trekantet prisme: tre - femkanter.

4. Selvtest

Lærer. I overensstemmelse med begrebet sektioner af polyedre, viden om stereometriens aksiomer og den relative position af linjer og planer i rummet, bliver du bedt om at besvare testspørgsmålene. Computeren vil sætte pris på dig. Maksimal score 3 point - for 3 rigtige svar. På hvert dias skal du klikke på knappen med nummeret på det rigtige svar. I arbejder i par, så hver af jer vil modtage det samme computer-specificerede antal point. Klik på næste slide-indikator. Du har 3 minutter til at udføre opgaven.

I. Hvilken figur viser et udsnit af en terning ved et fly ABC?

II. Hvilken figur viser et tværsnit af en pyramide med et plan, der går gennem basens diagonal? BD parallelt med kanten S.A.?

III. Hvilken figur viser et tværsnit af et tetraeder, der passerer gennem et punkt M parallelt med flyet ABS?

5. Løsning af opgaver med en forklaring af løsningen af ​​læreren

Lærer. Lad os gå direkte videre til at løse problemer. Klik på næste slide-indikator.

Opgave 1 Denne opgave Lad os se på det mundtligt med en trin-for-trin demonstration af konstruktionen på monitorskærmen. Overgangen udføres ved at klikke med musen.

Givet en terning ABCDAA 1 B 1 C 1 D 1 . På hans kant BB 1 givet point M. Find skæringspunktet for en linje C 1 M med terningfladens plan ABCD.

Overvej billedet af en terning ABCDAA 1 B 1 C 1 D 1 med en prik M på kanten BB 1 point M Og MED 1 hører til flyet BB 1 MED 1 Hvad kan man sige om den rette linje C 1 M ?

Studerende. Lige C 1 M hører til flyet BB 1 MED 1

Lærer. Søgte punkt x hører til linjen C 1 M, og derfor fly BB 1 MED 1 . Hvad er det ligesom gensidig ordning fly BB 1 MED 1 og ABC?

Studerende. Disse planer skærer hinanden i en lige linje B.C..

Lærer. Det betyder alt fælles punkter fly BB 1 MED 1 og ABC hører til linjen B.C.. Søgte punkt x skal samtidigt tilhøre planerne af to ansigter: ABCD Og BB 1 C 1 C; heraf følger, at punktet X skal ligge på linjen for deres skæringspunkt, dvs. på den rette linje Sol. Det betyder, at punktet X skal ligge på to rette linjer samtidigt: MED 1 M Og Sol og derfor er deres skæringspunkt. Konstruktion det ønskede punkt se det på skærmen. Du vil se byggesekvensen ved at trykke på venstre museknap: fortsæt MED 1 M Og Sol til krydset ved punktet x, som er det ønskede skæringspunkt for linjen MED 1 M med ansigtsplan ABCD.

Lærer. For at gå til næste opgave skal du bruge den næste slide-indikator. Lad os overveje dette problem med en kort beskrivelse af konstruktionen.

EN) Konstruer et udsnit af en terning med et plan, der går gennem punkterne EN 1 , MD 1 C 1 og NDD 1 og b) Find skæringslinjen for skæreplanet med planet for den nederste bund af kuben.

Løsning. I. Skæreplanet har et ansigt EN 1 B 1 C 1 D 1 to fælles punkter EN 1 og M og skærer derfor med den langs en lige linje, der går gennem disse punkter. Forbindelse af prikkerne EN 1 og M lige linjestykke, finder vi skæringslinjen for det fremtidige snits plan og planet øverste kant. Vi vil registrere dette faktum på følgende måde: EN 1 M. Tryk på venstre museknap, tryk igen vil konstruere denne lige linje.

På samme måde finder vi skæringslinjerne mellem skæreplanet og fladerne AA 1 D 1 D Og DD 1 MED 1 MED. Ved at klikke på museknappen vil du se en kort optagelse og konstruktionsforløb.

Dermed, EN 1 NM? det ønskede afsnit.

Lad os gå videre til den anden del af problemet. Lad os finde skæringslinjen mellem skæreplanet og planet for den nederste bund af terningen.

II. Skæreplanet skærer med planet af bunden af ​​kuben i en lige linje. For at skildre denne linje er det nok at finde to punkter, der hører til denne linje, dvs. fælles punkter for skæreplanet og frontplanet ABCD. Stole på tidligere opgave sådanne punkter vil være: punkt x=. Tryk på tasten, du vil se en kort optagelse og konstruktion. Og punktum Y, hvad synes I, hvordan får man det?

Studerende. Y =

Lærer. Lad os se på dens konstruktion på skærmen. Klik på museknappen. Forbindelse af prikkerne x Og Y(Optage x-Y), opnår vi den ønskede lige linje - skæringslinjen mellem skæreplanet og planet for den nederste base af kuben. Tryk på venstre museknap - kort optagelse og konstruktion.

Opgave 3 Konstruer et udsnit af terningen med et plan, der går gennem punkterne:

Ved at trykke på museknappen vil du også se konstruktionens fremskridt og en kort optagelse på monitorskærmen. Baseret på konceptet om et snit er det nok for os at finde to punkter i planet af hver flade for at konstruere skæringslinjen mellem skæreplanet og planet for hver flade af terningen. Points M Og N hører til flyet EN 1 I 1 MED 1 . Ved at forbinde dem får vi skæringslinjen mellem skæreplanet og planet for kubens overside (tryk på museknappen). Lad os fortsætte de lige linjer MN Og D 1 C 1 før krydset. Lad os få en pointe x, der tilhører både flyet EN 1 I 1 MED 1 og fly DD 1 C 1 (klik med musen). Points N Og TIL hører til flyet BB 1 MED 1 . Ved at forbinde dem får vi skæringslinjen mellem skæreplanet og ansigtet BB 1 MED 1 MED. (klik med musen). Forbindelse af prikkerne x Og TIL, og fortsæt ligeud HC til krydset med linjen DC. Lad os få en pointe R og segment KR – skæringslinjen mellem skæreplanet og ansigtet DD 1 C 1 C. (klik med musen). Fortsætter ligeud KR Og DD 1 før krydset får vi et point Y, der hører til flyet AA 1 D 1 . (klik med musen). I dette ansigts plan har vi brug for et punkt mere, som vi opnår som et resultat af skæringen af ​​linjer MN Og EN 1 D 1 . Dette er pointen . (klik med musen). Forbindelse af prikkerne Y Og Z, vi får Og . (klik med musen). Ved at forbinde Q Og R, R Og M, får vi det? det ønskede afsnit.

Kort beskrivelse af byggeriet:

2) ;

6) ;

7) ;

13) ? det ønskede afsnit.

Lektionens emne: Opgaver om at konstruere sektioner.

Formålet med lektionen:

Udvikle færdigheder i at løse problemer, der involverer konstruktion af sektioner af et tetraeder og parallelogram.

Under timerne

I. Organisatorisk øjeblik.

II. Tjek lektier

Svar på spørgsmål 14, 15.

14. Er der et tetraeder med fem rette vinkler på dens flader?

(Svar: nej, for der er kun 4 flader, de er trekanter, og en trekant med to rette vinkler eksisterer ikke.)

15. Er der et parallelepipedum, der har: a) kun én side - et rektangel;

b) kun to tilstødende rombeflader; c) alle hjørner af ansigterne er skarpe; d) alle vinkler af flader er rette; e) antallet af alle skarpe kanter er ikke lig med antallet af alle stumpe vinkler på fladerne?

(Svar: a) nej (modsatte sider er lige store); b) nej (af samme grund); c) nej (sådanne parallelogrammer findes ikke); d) ja ( cuboid); e) nej (hvert ansigt har to skarpe og to stumpe vinkler eller alle lige linjer).

III. At lære nyt stof

Teoretisk del. Praktisk del. Teoretisk del.

At løse mange geometriske problemer forbundet med et tetraeder og et parallelepipedum, er det nyttigt at kunne tegne deres snit i forskellige planer i en tegning. Med sektion mener vi ethvert plan (lad os kalde det et skærende plan), på begge sider af hvilket der er punkter af en given figur (det vil sige et tetraeder eller parallelepipedum). Skæreplanet skærer tetraederet (parallellepipedum) langs segmenter. Polygonen, der vil blive dannet af disse segmenter, er figurens tværsnit. Da et tetraeder har fire flader, kan dets tværsnit være trekanter og firkanter. Parallepipedet har seks flader. Dens tværsnit kan være trekanter, firkanter, femkanter, sekskanter.

Når vi konstruerer en sektion af et parallelepipedum, tager vi højde for det faktum, at hvis et skæreplan skærer to modstående flader langs nogle segmenter, så er disse segmenter parallelle (egenskab 1, afsnit 11: Hvis to parallelle planer krydses af den tredje, så er linjerne i deres skæringspunkt parallelle).

For at konstruere en sektion er det nok at konstruere skæringspunkterne for skæreplanet med kanterne af tetraederet (parallellepipedum), og derefter tegne segmenter, der forbinder hver to konstruerede punkter, der ligger på samme flade.

Kan et tetraeder skæres af et plan ind i firkanten vist på figuren?

https://pandia.ru/text/78/630/images/image002_130.gif" width="626" height="287 src=">

2.2. Konstruer et udsnit af en terning med et plan, der går gennem punkterne E, F, G, liggende på kanterne af terningen.

E, F, G,

lad os lave en direkte E.F. og betegne P dets skæringspunkt med AD.

Lad os betegne Q skæringspunktet mellem linjer PG Og AB.

Lad os forbinde prikkerne E Og Q, F Og G.

Den resulterende trapez EFGQ vil være det ønskede afsnit.

https://pandia.ru/text/78/630/images/image004_91.gif" width="624" height="287">

2.4. Konstruer et udsnit af en terning med et plan, der går gennem punkterne E, F, liggende på kanterne af terningen og toppunktet B.

Løsning. At konstruere et udsnit af en terning, der går gennem punkter E, F og toppen B,

Lad os forbinde punkterne med segmenter E Og B, F Og B.

Gennem prikker E Og F lad os tegne parallelle linjer B.F. Og VÆRE, henholdsvis.

Det resulterende parallelogram BFGE vil være det ønskede afsnit.

2.5. Konstruer et udsnit af en terning med et plan, der går gennem punkterne E, F, G, liggende på kanterne af terningen.

Løsning. At konstruere et udsnit af en terning, der går gennem punkter E, F, G,

lad os lave en direkte E.F. og betegne P dets skæringspunkt med AD.

Lad os betegne Q,R linjeskæringspunkter PG Med AB Og DC.

Lad os betegne S skæringspunkt FR c SS 1.

Lad os forbinde prikkerne E Og Q, G Og S.

Den resulterende femkant EFSGQ vil være det ønskede afsnit.

2.6. Konstruer et udsnit af en terning med et plan, der går gennem punkterne E, F, G, liggende på kanterne af terningen.

Løsning. At konstruere et udsnit af en terning, der går gennem punkter E, F, G,

lad os finde et punkt P skæringspunktet mellem en ret linje E.F. og ansigtsplan ABCD.

Lad os betegne Q, R linjeskæringspunkter PG Med AB Og CD.

Lad os lave en direkte RF og betegne S, T dens skæringspunkter med CC 1 og DD 1.

Lad os lave en direkte T.E. og betegne U dets skæringspunkt med EN 1D 1.

Lad os forbinde prikkerne E Og Q, G Og S, F og U.

Den resulterende sekskant EUFSGQ vil være det ønskede afsnit.

2.7. Konstruer et tværsnit af et tetraeder ABCD AD og passerer gennem punkterne E, F.

Løsning. Lad os forbinde prikkerne E Og F. Gennem punktetF lad os tegne en ret linjeFG, parallelA.D.

Lad os forbinde prikkerne G Og E.

Den resulterende trekant EFG vil være det ønskede afsnit.

2.8. Konstruer et tværsnit af et tetraeder ABCD flad, parallelt med kanten CD og passerer gennem punkterne E, F .

Løsning. Gennem prikker E Og F lad os tegne lige linjer F.EKS. Og FH, parallel CD.

Lad os forbinde prikkerne G Og F, E Og H.

Den resulterende trekant EFG vil være det ønskede afsnit.

2.9. Konstruer et tværsnit af et tetraeder ABCD fly, der passerer gennem punkterne E, F, G.

Løsning. At konstruere et udsnit af et tetraeder, der går gennem punkter E, F, G,

lad os lave en direkte E.F. og betegne P dets skæringspunkt med BD.

Lad os betegne Q skæringspunktet mellem linjer PG Og CD.

Lad os forbinde prikkerne F Og Q, E Og G.

Den resulterende firkant EFQG vil være det ønskede afsnit.

IV. Lektionsopsummering.

V. Hjemmearbejde s.14, s.27 Nr. 000 – mulighed 1, 2.