Denne artikel giver et overblik egenskaber ved operationer med rationelle tal. Først annonceres de basisejendomme, som alle andre ejendomme er baseret på. Herefter gives nogle andre hyppigt anvendte egenskaber for operationer med rationelle tal.
Sidenavigation.
Lad os liste grundlæggende egenskaber ved operationer med rationelle tal(a, b og c er vilkårlige rationale tal):
- Kommutativ egenskab ved addition a+b=b+a.
- Matchende ejendom addition (a+b)+c=a+(b+c) .
- Eksistensen af et neutralt element ved addition - nul, hvis tilføjelse med et hvilket som helst tal ikke ændrer dette tal, det vil sige a+0=a.
- For hvert rationelt tal a er der et modsat tal −a, således at a+(−a)=0.
- Kommutativ egenskab ved multiplikation af rationelle tal a·b=b·a.
- Kombinationsegenskab ved multiplikation (a·b)·c=a·(b·c) .
- Eksistensen af et neutralt element til multiplikation er en enhed, multiplikation, hvormed ethvert tal ikke ændrer dette tal, det vil sige a·1=a.
- For hvert rationelt tal a, der ikke er nul, er der et omvendt tal a −1, således at a·a −1 =1 .
- Endelig er addition og multiplikation af rationelle tal forbundet med multiplikationens fordelingsegenskab i forhold til addition: a·(b+c)=a·b+a·c.
De anførte egenskaber for operationer med rationelle tal er grundlæggende, da alle andre egenskaber kan opnås fra dem.
Andre vigtige egenskaber
Ud over de ni anførte grundegenskaber ved operationer med rationelle tal er der en række meget udbredte egenskaber. Lad os give dem et kort overblik.
Lad os starte med egenskaben, som er skrevet med bogstaver som a·(−b)=−(a·b) eller i kraft af den kommutative egenskab multiplikation som (−a) b=−(a b). Reglen for multiplikation af rationelle tal med forskellige fortegn følger direkte af denne egenskab, dens bevis er også givet i denne artikel. Specificeret ejendom forklarer reglen "plus ganget med minus er minus, og minus ganget med plus er minus."
Her er følgende ejendom: (−a)·(−b)=a·b. Det følger reglen for multiplikation af negative rationelle tal i denne artikel finder du også et bevis på ovenstående lighed. Denne egenskab svarer til multiplikationsreglen "minus gange minus er plus."
Det er uden tvivl værd at fokusere på at gange et vilkårligt rationelt tal a med nul: a·0=0 eller 0 a=0. Lad os bevise denne egenskab. Vi ved, at 0=d+(−d) for enhver rationel d, så a·0=a·(d+(−d)) . Fordelingsegenskaben gør det muligt at omskrive det resulterende udtryk som a·d+a·(−d) , og da a·(−d)=−(a·d) , så a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Så vi kom til summen af to modsatte tal, lig med a·d og −(a·d), deres sum giver nul, hvilket beviser ligheden a·0=0.
Det er let at bemærke, at vi ovenfor kun har nævnt egenskaberne addition og multiplikation, mens der ikke blev sagt et ord om egenskaberne ved subtraktion og division. Dette skyldes det faktum, at på sættet af rationelle tal er handlingerne af subtraktion og division specificeret som invers af henholdsvis addition og multiplikation. Det vil sige, at forskellen a−b er summen af a+(−b), og kvotienten a:b er produktet a·b−1 (b≠0).
Givet disse definitioner af subtraktion og division, såvel som de grundlæggende egenskaber ved addition og multiplikation, er det muligt at bevise alle egenskaber ved operationer med rationelle tal.
Lad os som et eksempel bevise fordelingsegenskaben ved multiplikation i forhold til subtraktion: a·(b−c)=a·b−a·c. Følgende kæde af ligheder gælder: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, hvilket er beviset.
Copyright af cleverstudents
Alle rettigheder forbeholdes.
Beskyttet af lov om ophavsret. Ingen del af www.webstedet, inklusive interne materialer og udseende, må gengives i nogen form eller bruges uden forudgående skriftlig tilladelse fra indehaveren af ophavsretten.
Badamshinskaya Gymnasium №2
matematik
i 6. klasse
"Handlinger med rationelle tal"
forberedt
matematiklærer
Babenko Larisa Grigorievna
Med. Badamsha
2014
Lektionens emne:« Operationer med rationelle tal».
Lektionstype :
Lektion af generalisering og systematisering af viden.
Lektionens mål:
pædagogisk:
Opsummere og systematisere elevernes viden om reglerne for drift med positive og negative tal;
Styrke evnen til at anvende regler under øvelser;
Udvikle selvstændige arbejdsevner;
udvikler:
Udvikle logisk tænkning, matematik tale, computerfærdigheder; - udvikle evnen til at anvende erhvervet viden til løsninger anvendte problemer; - udvide din horisont;
hæve:
Opdragelse kognitiv interesse til emnet.
Udstyr:
Ark med tekster af opgaver, opgaver til hver elev;
Matematik. Lærebog for 6 klasse uddannelsesinstitutioner/
N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. – M., 2010.
Lektionsplan:
Organisering af tid.
Arbejd mundtligt
Gennemgang af reglerne for at addere og trække tal med forskellige tegn. Opdatering af viden.
Løsning af opgaver efter lærebogen
Kører testen
Opsummering af lektionen. Opsætning af lektier
Afspejling
Under timerne
Organisering af tid.
Hilsen fra lærer og elever.
Rapportér emnet for lektionen, arbejdsplanen for lektionen.
I dag har vi usædvanlig lektion. I denne lektion vil vi huske alle reglerne for operationer med rationelle tal og evnen til at udføre addition, subtraktion, multiplikation og division.
Mottoet for vores lektion vil være en kinesisk lignelse:
“Sig mig, og jeg vil glemme;
Vis mig, og jeg vil huske;
Lad mig gøre det, så forstår jeg det."
Jeg vil invitere dig med på en rejse.
Midt i rummet, hvor solopgangen var tydeligt at se, strakte sig et smalt, ubeboet land - en tallinje. Det er uvist, hvor det begyndte, og det er uvist, hvor det sluttede. Og de første til at befolke dette land var naturlige tal. Hvilke tal kaldes naturlige tal, og hvordan betegnes de?
Svar:
Tallene 1, 2, 3, 4,…..bruges til at tælle objekter eller til at angive serienummer en eller anden vare blandt homogene genstande kaldes naturlige (N ).
Verbal optælling
88-19 72:8 200-60
Svar: 134; 61; 2180.
Der var et uendeligt antal af dem, men landet var, selv om det var lille i bredden, uendeligt i længden, så alt fra en til uendelig passede ind og dannede den første tilstand, et sæt naturlige tal.
Arbejder på en opgave.
Landet var usædvanligt smukt. Storslåede haver var placeret på hele dets område. Disse er kirsebær, æble, fersken. Vi tager et kig på en af dem nu.
Der er 20 procent flere modne kirsebær hver tredje dag. Hvor mange modne frugter vil dette kirsebær have efter 9 dage, hvis der i begyndelsen af observationen var 250 modne kirsebær på det?
Svar: 432 modne frugter vil være på dette kirsebær om 9 dage (300; 360; 432).
Nogle nye tal begyndte at slå sig ned på den første stats territorium, og disse tal dannede sammen med de naturlige en ny stat, hvilket vi vil finde ud af ved at løse opgaven.
Eleverne har to ark papir på deres skriveborde:
1. Beregn:
1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4x(-15)
1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12
1)48-54 2)37-(-37) 3)-52,7+42,7 4)-6x1/3
1)-12x(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)
Dyrke motion: Forbind alle de naturlige tal i rækkefølge uden at løfte hånden og navngiv det resulterende bogstav.
Svar på testen:
5 68 15 60
72 6 20 16
Spørgsmål: Hvad betyder dette symbol? Hvilke tal kaldes heltal?
Svar: 1) Til venstre, fra den første stats territorium, slog tallet 0 sig ned, til venstre for det -1, endnu længere til venstre -2 osv. til evighed. Disse tal dannede sammen med de naturlige tal en ny udvidet tilstand, sættet af heltal.
2) Naturlige tal, deres modsatte tal og nul kaldes heltal ( Z ).
Gentagelse af det lærte.
1) Næste side i vores eventyr er fortryllet. Lad os fortrylle det og rette fejl.
27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0
63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124
50 · 8 27 -18: (-2)
Svar:
-27 4 27 0 (-27) = 0
-50 8 4 -36: 6
2) Lad os fortsætte med at lytte til historien.
På ledige pladser brøker 2/5 blev tilføjet til tallinjen; −4/5; 3,6; −2,2;... Brøker dannede sammen med de første nybyggere den næste udvidede tilstand - et sæt rationelle tal. ( Q)
1) Hvilke tal kaldes rationelle?
2) Er ethvert heltal, decimalbrøk et rationelt tal?
3) Vis, at ethvert heltal, enhver decimalbrøk er et rationelt tal.
Opgave i bestyrelsen: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .
Svar:
1) Et tal, der kan skrives som et forhold , hvor a er et heltal og n er et naturligt tal, kaldes et rationelt tal .
2) Ja.
3) .
Du kender nu heltal og brøker, positive og negative tal, og også tallet nul. Alle disse tal kaldes rationelle, som oversat til russisk betyder " underlagt sindet."
positiv nul negativ
hel brøk hel brøk
For i fremtiden at kunne studere matematik (og ikke kun matematik) med succes, skal du have et godt kendskab til reglerne for regneoperationer med rationelle tal, herunder reglerne for tegn. Og de er så forskellige! Det tager ikke lang tid at blive forvirret.
Idrætsminut.
Dynamisk pause.
Lærer: Ethvert arbejde kræver en pause. Lad os hvile!
Lad os lave restitutionsøvelser:
1) En, to, tre, fire, fem -
Enkelt gang! Rejs dig op, træk dig op,
To! Bøj dig, ret dig op,
Tre! Tre klap med dine hænder,
Tre nik med hovedet.
Fire betyder bredere hænder.
Fem - sving med armene. Seks - sæt dig stille ved dit skrivebord.
(Børn udfører bevægelser efter læreren i henhold til tekstens indhold.)
2) Blink hurtigt, luk øjnene og sæt dig der i en optælling til fem. Gentag 5 gange.
3) Luk øjnene tæt, tæl til tre, åbn dem og kig i det fjerne, tæl til fem. Gentag 5 gange.
Historisk side.
I livet, som i eventyr, "opdagede" folk rationelle tal gradvist. Først, når man tæller objekter, opstod naturlige tal. Først var der få af dem. Først opstod kun tallene 1 og 2. Ordene "solist", "sol", "solidaritet" kommer fra det latinske "solus" (en). Mange stammer havde ikke andre tal. I stedet for "3" sagde de "en-to", i stedet for "4" sagde de "to-to". Og så videre indtil seks. Og så kom der "meget". Folk stødte på brøkdele ved opdeling af bytte og ved måling af mængder. For at gøre det lettere at arbejde med brøker blev de opfundet decimaler. De blev introduceret i Europa i 1585 af en hollandsk matematiker.
Arbejder med ligninger
Du finder ud af navnet på en matematiker ved at løse ligninger og bruge koordinatlinjen til at finde det bogstav, der svarer til en given koordinat.
1) -2,5 + x = 3,5 2) -0,3 x = 0,6 3) y – 3,4 = -7,4
4) – 0,8: x = -0,4 5)a · (-8) =0 6)m + (- )=
E A T M I O V R N U S
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Svar:
6 (C) 4)2 (B)
-2 (T) 5) 0 (I)
-4(E) 6)4(H)
STEVIN - hollandsk matematiker og ingeniør (Simon Stevin)
Historisk side.
Lærer:
Uden at kende fortiden i videnskabens udvikling er det umuligt at forstå dens nutid. Folk lærte at udføre operationer med negative tal allerede før vores tidsregning. Indiske matematikere tænkte på positive tal som "egenskaber" og negative tal som "gæld". Sådan opstillede den indiske matematiker Brahmagupta (7. århundrede) nogle regler for at udføre operationer med positive og negative tal:
"Summen af to ejendomme er ejendom"
"Summen af to gæld er en gæld"
"Summen af ejendom og gæld er lig med deres forskel"
"Produktet af to aktiver eller to gæld er ejendom," "Produktet af aktiver og gæld er gæld."
Gutter, oversæt venligst de gamle indiske regler til moderne sprog.
Lærerens besked:
Hvordan kan der ikke være noget liv uden solvarme,
Uden vintersne og uden blomsterblade,
Der er ingen operationer uden tegn i matematik!
Børnene bliver bedt om at gætte, hvilket handlingsskilt der mangler.
Dyrke motion. Udfyld det manglende tegn.
− 1,2 1,4 = − 2,6
3,2 (− 8) = − 0,4
1 (− 1,7) = 2,7
− 4,5 (− 0,5) = 9
− 1,3 2,8 = 1,5
Svar: 1) + 2) ∙ 3) − 4) : 5) − 6) :
Selvstændigt arbejde(skriv svarene på opgaverne ned på arket):
Sammenlign tal
finde deres moduler
sammenligne med nul
finde deres sum
finde deres forskel
finde arbejdet
find kvotienten
skriv tallene ud for dem
find afstanden mellem disse tal
10) hvor mange heltal der er placeret imellem dem
11) find summen af alle heltal placeret mellem dem.
Evalueringskriterier: alt blev løst korrekt – “5”
1-2 fejl - "4"
3-4 fejl - "3"
mere end 4 fejl - "2"
Individuelt arbejde med kort(yderligere).
Kort 1. Løs ligningen: 8,4 – (x – 3,6) = 18
Kort 2. Løs ligningen: -0,2x · (-4) = -0,8
Kort 3. Løs ligningen: =
Svar på kort :
1) 6; 2) -1; 3) 4/15.
Spil "Eksamen".
Indbyggerne i landet levede lykkelige, spillede spil, løste problemer, ligninger og inviterede os til at lege for at opsummere resultaterne.
Eleverne går hen til tavlen, tager et kort og besvarer spørgsmålet skrevet på bagsiden.
Spørgsmål:
1. Hvilket af to negative tal anses for at være større?
2. Formuler reglen for at dividere negative tal.
3. Formuler reglen for at gange negative tal.
4. Formuler en regel for at gange tal med forskellige fortegn.
5. Formuler en regel for at dividere tal med forskellige fortegn.
6. Formuler reglen for tilføjelse af negative tal.
7. Formuler en regel for tilføjelse af tal med forskellige fortegn.
8.Hvordan finder man længden af et segment på en koordinatlinje?
9.Hvilke tal kaldes heltal?
10. Hvilke tal kaldes rationelle?
Opsummerende.
Lærer: I dag lektier vil være kreativ:
Forbered en besked "Positive og negative tal omkring os" eller komponer et eventyr.
« Tak for lektionen!!!"
Tegning. Aritmetiske operationer over rationelle tal.
Tekst:
Regler for at arbejde med rationelle tal:
. når man tilføjer tal med identiske tegn det er nødvendigt at lægge deres moduler sammen og sætte dem foran summen generelt tegn;
. når du tilføjer to tal med forskellige fortegn, fra tallet med et større modul, skal du trække tallet med et mindre modul fra og sætte tegnet for tallet med et større modul foran den resulterende forskel;
. Når du trækker et tal fra et andet, skal du tilføje til minuenden tallet modsat det, der trækkes fra: a - b = a + (-b)
. når du multiplicerer to tal med de samme tegn, multipliceres deres moduler, og et plustegn placeres foran det resulterende produkt;
. når du multiplicerer to tal med forskellige fortegn, multipliceres deres moduler, og et minustegn placeres foran det resulterende produkt;
. når man dividerer tal med de samme fortegn, divideres udbyttemodulet med divisormodulet, og et plustegn placeres foran den resulterende kvotient;
. når man dividerer tal med forskellige fortegn, divideres udbyttemodulet med divisormodulet, og et minustegn placeres foran den resulterende kvotient;
. Når du dividerer og multiplicerer nul med et hvilket som helst tal, skal du lade være lig med nul, viser det sig nul:
. Du kan ikke dividere med nul.
I denne lektion vil vi huske de grundlæggende egenskaber ved operationer med tal. Vi vil ikke kun gennemgå de grundlæggende egenskaber, men også lære at anvende dem på rationelle tal. Vi vil konsolidere al den viden opnået ved at løse eksempler.
Grundlæggende egenskaber ved operationer med tal:
De to første egenskaber er egenskaber ved addition, de næste to er egenskaber ved multiplikation. Den femte egenskab gælder for begge operationer.
Der er intet nyt i disse ejendomme. De var gyldige for både naturlige tal og heltal. De er også sande for rationelle tal og vil være sande for de tal, vi vil studere næste gang (for eksempel irrationelle tal).
Permutationsegenskaber:
Omarrangering af vilkårene eller faktorerne ændrer ikke resultatet.
Kombinationsegenskaber:, .
Tilføjelse eller multiplikation af flere tal kan gøres i enhver rækkefølge.
Distributionsejendom:.
Egenskaben forbinder begge operationer - addition og multiplikation. Også, hvis du læser det fra venstre mod højre, så kaldes det reglen for åbning af parenteser, og hvis i modsatte side- domsregel fælles multiplikator uden for parentes.
De følgende to egenskaber beskriver neutrale elementer til addition og multiplikation: Tilføjelse af nul og gange med én ændrer ikke det oprindelige tal.
Yderligere to egenskaber, der beskriver symmetriske elementer for addition og multiplikation er summen af modsatte tal nul; arbejde gensidige tal er lig med en.
Næste ejendom: . Hvis et tal ganges med nul, vil resultatet altid være nul.
Den sidste egenskab vi vil se på er: .
Ganger vi et tal med , får vi det modsatte tal. Denne ejendom har en særlig funktion. Alle andre vurderede egenskaber kunne ikke bevises med de andre. Den samme egenskab kan bevises ved hjælp af de tidligere.
Multiplicer med
Lad os bevise, at hvis vi gange et tal med , får vi det modsatte tal. Til dette bruger vi distributionsegenskaben: .
Dette gælder for alle tal. Lad os erstatte og i stedet for nummeret:
Til venstre i parentes er summen af indbyrdes modsatte tal. Deres sum er nul (vi har sådan en egenskab). Til venstre nu. Til højre får vi: 
.
Nu har vi nul til venstre, og summen af to tal til højre. Men hvis summen af to tal er nul, så er disse tal indbyrdes modsatte. Men tallet har kun ét modsat tal: . Så dette er hvad det er: .
Ejendommen er bevist.
En sådan egenskab, som kan bevises ved hjælp af tidligere egenskaber, kaldes teorem
Hvorfor er der ingen subtraktions- og divisionsegenskaber her? For eksempel kunne man skrive fordelingsegenskaben til subtraktion: .
Men siden:
- At trække et hvilket som helst tal fra kan på samme måde skrives som addition ved at erstatte tallet med dets modsætning:
- Division kan skrives som multiplikation med dens gensidige:
Det betyder, at egenskaberne addition og multiplikation kan anvendes til subtraktion og division. Som følge heraf er listen over egenskaber, der skal huskes, kortere.
Alle de egenskaber, vi har overvejet, er ikke udelukkende egenskaber for rationelle tal. Andre numre, for eksempel irrationelle, overholder også alle disse regler. For eksempel er summen af dets modsatte tal nul: .
Nu vil vi gå videre til den praktiske del og løse flere eksempler.
Rationelle tal i livet
De egenskaber ved objekter, som vi kan beskrive kvantitativt, betegne med et eller andet tal, kaldes værdier: længde, vægt, temperatur, mængde.
Den samme mængde kan betegnes med både et heltal og et brøktal, positivt eller negativt.
For eksempel er din højde m - et brøktal. Men vi kan sige, at det er lig med cm - dette er allerede et heltal (fig. 1).
Ris. 1. Illustration f.eks
Endnu et eksempel. En negativ temperatur på Celsius-skalaen vil være positiv på Kelvin-skalaen (fig. 2).
Ris. 2. Illustration f.eks
Når man bygger en væg i et hus, kan én person måle bredden og højden i meter. Det lykkes ham brøkværdier. Han vil udføre alle yderligere beregninger med fraktionelle (rationelle) tal. En anden person kan måle alt i antallet af klodser i bredden og højden. Efter kun at have modtaget heltalsværdier, vil han udføre beregninger med heltal.
Selve størrelserne er hverken heltal eller brøk, hverken negative eller positive. Men det tal, som vi beskriver værdien af en mængde med, er allerede ret specifik (for eksempel negativ og brøk). Det afhænger af måleskalaen. Og når vi bevæger os fra rigtige værdier til matematisk model, så arbejder vi med en bestemt type tal
Lad os starte med tilføjelse. Vilkårene kan omarrangeres på enhver måde, der er praktisk for os, og handlingerne kan udføres i enhver rækkefølge. Hvis termer for forskellige tegn ender på det samme ciffer, er det praktisk at udføre operationer med dem først. For at gøre dette, lad os bytte vilkårene. For eksempel:
Almindelige brøker med samme nævnere let at folde.
Modsatte tal summeres til nul. Tal med samme decimalhaler er nemme at trække fra. Ved at bruge disse egenskaber, samt den kommutative additionslov, kan du gøre det lettere at beregne værdien af f.eks. følgende udtryk:
Tal med komplementære decimalhaler er nemme at tilføje. Med hele og i brøkdele blandede tal praktisk at arbejde separat. Vi bruger disse egenskaber, når vi beregner værdien af følgende udtryk:
Lad os gå videre til multiplikation. Der er talpar, som er nemme at gange. Ved hjælp af den kommutative egenskab kan du omarrangere faktorerne, så de er tilstødende. Antallet af minusser i et produkt kan tælles med det samme, og der kan drages en konklusion om resultatets tegn.
Overvej dette eksempel:
Hvis fra faktorerne lig med nul, så er produktet lig nul, for eksempel: .
Produktet af gensidige tal er lig med én, og multiplikation med én ændrer ikke værdien af produktet. Overvej dette eksempel:
Lad os se på et eksempel med fordelingsegenskaben. Hvis du åbner parenteserne, så er hver multiplikation let.