Problem 174tv
a) 3 hvide kugler;
b) mindre end 3 hvide kugler;
c) mindst én hvid kugle.
Problem 176tv
En urne indeholder 6 sorte og 5 hvide kugler. 5 kugler trækkes tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt dem er:
a) 3 hvide kugler;
b) mindre end 3 hvide kugler;
c) mindst én hvid kugle.
Problem 178tv
En urne indeholder 4 sorte og 5 hvide kugler. 4 kugler trækkes tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt dem er:
a) 2 hvide kugler;
b) mindre end 2 hvide kugler;
c) mindst én hvid kugle.
Problem 180tv
En urne indeholder 6 sorte og 7 hvide kugler. 4 kugler trækkes tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt dem er:
a) 4 hvide kugler;
b) mindre end 4 hvide kugler;
c) mindst én hvid kugle.
Problem 184tv
En urne indeholder 8 sorte og 6 hvide kugler. 4 kugler trækkes tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt dem er:
a) 3 hvide kugler;
b) mindre end 3 hvide kugler;
c) mindst én hvid kugle.
Problem 186tv
En urne indeholder 4 sorte og 6 hvide kugler. 4 kugler trækkes tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt dem er:
a) 3 hvide kugler;
b) mindre end 3 hvide kugler;
c) mindst én hvid kugle.
Problem 188tv
En urne indeholder 5 sorte og 6 hvide kugler. 5 kugler trækkes tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt dem er:
a) 4 hvide kugler;
b) mindre end 4 hvide kugler;
c) mindst én hvid kugle.
Job nr. 1
Tilfældige begivenheder
Mulighed 6.
Opgave 1.1. Der kastes tre mønter. Find sandsynligheden for, at kun to mønter vil have et "våbenskjold".
Begivenhed A under undersøgelse – kun to ud af tre mønter vil have et våbenskjold. Mønten har to sider, hvilket betyder, at det samlede antal hændelser ved at kaste tre mønter vil være 8. I tre tilfælde vil kun to mønter have et våbenskjold. Vi beregner sandsynligheden for hændelse A ved hjælp af formlen:
P(A) = m/n = 3/8.
Svar: sandsynlighed 3/8.
Opgave 1.2. Ordet EVENT består af kort, som hver har et bogstav skrevet på sig. Kortene blandes derefter og tages ud et ad gangen uden at returnere. Find sandsynligheden for, at bogstaverne er taget ud i rækkefølgen af det givne ord.
Testen består i at tage kort med bogstaver ud i tilfældig rækkefølge uden at returnere. Den elementære begivenhed er den resulterende rækkefølge af bogstaver. Begivenhed A består i at modtage det rigtige ord BEGIVENHED . Elementære hændelser er permutationer af 7 bogstaver, hvilket betyder, at vi ifølge formlen har n= 7!
Bogstaverne i ordet EVENT gentages ikke, så permutationer er ikke mulige, hvor ordet ikke ændres. Deres nummer er 1.
Dermed,
P(A) = 1/7! = 1/5040.
Svar: P(A) = 1/5040.
Opgave 1.3. Som i tidligere opgave, find den tilsvarende sandsynlighed for tilfældet hvornår givet ord er ordene fra ANTONOV ILYA.
Dette problem er løst på samme måde som det forrige.
n= 11!; M = 2!*2! = 4.
P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
Svar: P(A) = 1/9979200.
Opgave 1.4. En urne indeholder 8 sorte og 6 hvide kugler. 5 kugler trækkes tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt dem er:
a) 3 hvide kugler;
b) mindre end 3 hvide kugler;
c) mindst én hvid kugle.
8 timer Testen vil være tilfældigt at trække 5 bolde. Elementære
6 b begivenheder er alle mulige kombinationer af 5 ud af 14 bolde. Deres antal er lige meget
a) A 1 - blandt de trukne kugler er der 3 hvide. Det betyder, at der blandt de trukne kugler er 3 hvide og 2 sorte. Ved hjælp af multiplikationsreglen får vi
P(A 1) = 560/2002 = 280/1001.b) A 2 - blandt de trukne bolde er der mindre end 3 hvide. Denne hændelse består af tre uforenelige hændelser:
I 1 - blandt de trukne kugler er der kun 2 hvide og 3 sorte kugler,
I 2 - blandt de trukne kugler er der kun en hvid og 4 sorte kugler
I 3 - blandt de trukne bolde er der ikke en eneste hvid bold, alle 5 bolde er sorte:
B 2 B 3.Da hændelser B 1, B 2 og B 3 er uforenelige, kan du bruge formlen:
P(A2) = P(B1) + P(B2) + P(B3);
P(A 2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.
- blandt de trukne kugler er der ikke en eneste hvid. I dette tilfælde:P(A 3) = 1 - P(
) = 1 - 28/1001 = 973/1001.Svar: P(A1) = 280/1001, P(A2) = 483/1001, P(A3) = 973/1001.
Opgave 1.6. Den første urne indeholder 5 hvide og 7 sorte kugler, og den anden urne indeholder 6 hvide og 4 sorte kugler. De tager den ud af den første urne tilfældigt 2 bolde, og fra den anden - 2 bolde. Find sandsynligheden for, at blandt de trukne kugler:
a) alle bolde har samme farve;
b) kun tre hvide kugler;
c) mindst én hvid kugle.
1 urne 2 urne Bolde blev trukket uafhængigt af begge urner. Tests
5 b 6 b trækker to kugler fra den første urne og to kugler
7t 4t fra anden urne. Elementære arrangementer vil være kombinationer
2 eller 2 af henholdsvis 12 eller 10 kugler.
2 2 a) A 1 - alle tegnede kugler er af samme farve, dvs. er de alle hvide?
eller helt sort.
Lad os definere alle mulige begivenheder for hver urne:
I 1 - 2 trækkes hvide kugler fra den første urne;
I 2 - trækkes 1 hvid og 1 sort kugle fra den første urne;
I 3 - 2 trækkes sorte kugler fra den første urne;
C 1 - 2 hvide kugler trækkes fra den anden urne;
C 2 - 1 hvid og 1 sort kugle trækkes fra den anden urne;
Fra den anden urne trækkes 3 - 2 sorte kugler.
Dette betyder A 1 =
, hvorfra vi, under hensyntagen til begivenhedernes uafhængighed og uforenelighed, opnår P(A1) = P(B1) * P(C1) + P(B3) * P(C3).
Lad os finde antallet af elementære begivenheder n 1 og n 2 for henholdsvis første og anden urne. Vi har:
Lad os finde antallet af hvert element af begivenheder, der bestemmer følgende begivenheder:
C1:m21 = C2:m22 = C3:m23=Derfor,
P(A1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.
b) A 2 - blandt de trukne kugler er der kun 3 hvide. I dette tilfælde
C2 (B2C1);P(A 2) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 2) * P(C 2)
P(A2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.
c) A 3 - blandt de trukne kugler er der mindst én hvid.
- blandt de udtrukne kugler er der ikke en eneste hvid kugle. Så) = P(B3) * P(C3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;P(A 3) = 1 - P(
) = 1 - 7/165 = 158/165.Svar: P(A1) = 46/495, P(A2) = 1/3, P(A3) = 158/165.
Opgave 1.7. Urnen indeholder 5 sorte og hvide kugler, 4 hvide kugler er tilføjet til dem. Herefter trækkes 3 kugler tilfældigt fra urnen. Find sandsynligheden for, at alle de trukne kugler er hvide, idet det antages, at alle mulige forslag om det oprindelige indhold af urnen er lige så mulige.
Der er to typer test her: Først indstilles det indledende indhold af urnen, og derefter trækkes den 3. kugle tilfældigt, hvor resultatet af den anden test afhænger af resultatet af den første. Derfor bruges den samlede sandsynlighedsformel.
begivenhed A - 3 hvide kugler trækkes tilfældigt. Sandsynligheden for denne begivenhed afhænger af den oprindelige sammensætning af kuglerne i urnen.
Lad os overveje begivenhederne:
I 1 - var der 5 hvide kugler i urnen;
I 2 - var der 4 hvide og 1 sorte kugler i urnen;
I 3 - var der 3 hvide og 2 sorte kugler i urnen;
I 4 - var der 2 hvide og 3 sorte kugler i urnen;
Klokken 5 - var der 1 hvid og 4 sorte kugler i urnen.
Klokken 6 - var der 5 sorte kugler i urnen;
Samlet antal elementære udfald
Vi finder betingede sandsynligheder begivenheder A under forskellige forhold.
P(A/B 1) = 1. P(A/B 2) = 56/84 = 2/3. P(A/B 3) = 35/84 = 5/12. P(A/B 4) = 5/21. P(A/B 5) = 5/42. P(A/B 6) = 1/21.P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
Opgave 1.10. I installationsværkstedet er en elektrisk motor tilsluttet enheden. Elektriske motorer leveres af tre producenter. På lager er der elektriske motorer fra disse fabrikker, henholdsvis i mængder M 1 = 13, M 2 = 12 og M 3 = 17 stykker, som kan fungere uden fejl indtil udgangen af garantiperioden med sandsynligheder på 0,91, 0,82, og 0,77 hhv. En arbejder tager tilfældigt en elektrisk motor og monterer den på enheden. Find sandsynligheden for, at en elektrisk motor installeret og fungerede uden fejl indtil udløbet af garantiperioden blev leveret af henholdsvis den første, anden eller tredje producent.
Job nr. 1
Tilfældige begivenheder
Mulighed 6.
Opgave 1.1. Der kastes tre mønter. Find sandsynligheden for, at kun to mønter vil have et "våbenskjold".
Begivenhed A under undersøgelse – kun to ud af tre mønter vil have et våbenskjold. Mønten har to sider, hvilket betyder, at det samlede antal hændelser ved at kaste tre mønter vil være 8. I tre tilfælde vil kun to mønter have et våbenskjold. Vi beregner sandsynligheden for hændelse A ved hjælp af formlen:
P(A) = m/n = 3/8.
Svar: sandsynlighed 3/8.
Opgave 1.2. Ordet EVENT består af kort, som hver har et bogstav skrevet på sig. Kortene blandes derefter og tages ud et ad gangen uden at returnere. Find sandsynligheden for, at bogstaverne er taget ud i rækkefølgen af det givne ord.
Testen består i at tage kort med bogstaver ud i tilfældig rækkefølge uden at returnere. Den elementære begivenhed er den resulterende rækkefølge af bogstaver. Hændelse A består af modtagelse af det ønskede ord EVENT . Elementære hændelser er permutationer af 7 bogstaver, hvilket betyder, at vi ifølge formlen har n= 7!
Bogstaverne i ordet EVENT gentages ikke, så permutationer er ikke mulige, hvor ordet ikke ændres. Deres nummer er 1.
Dermed,
P(A) = 1/7! = 1/5040.
Svar: P(A) = 1/5040.
Opgave 1.3. Som i den foregående opgave, find den tilsvarende sandsynlighed for tilfældet, når det givne ord er ordet ANTONOV ILYA.
Dette problem er løst på samme måde som det forrige.
n= 11!; M = 2!*2! = 4.
P(A) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200
Svar: P(A) = 1/9979200.
Opgave 1.4. En urne indeholder 8 sorte og 6 hvide kugler. 5 kugler trækkes tilfældigt. Find sandsynligheden for, at der blandt dem er:
a) 3 hvide kugler;
b) mindre end 3 hvide kugler;
c) mindst én hvid kugle.
8 timer Testen vil være tilfældigt at trække 5 bolde. Elementære
6 b begivenheder er alle mulige kombinationer af 5 ud af 14 bolde. Deres antal er lige meget
a) A 1 - blandt de trukne kugler er der 3 hvide. Det betyder, at der blandt de trukne kugler er 3 hvide og 2 sorte. Ved hjælp af multiplikationsreglen får vi
P(A 1) = 560/2002 = 280/1001.
b) A 2 - blandt de trukne bolde er der mindre end 3 hvide. Denne hændelse består af tre uforenelige hændelser:
I 1 - blandt de trukne kugler er der kun 2 hvide og 3 sorte kugler,
I 2 - blandt de trukne kugler er der kun en hvid og 4 sorte kugler
I 3 - blandt de trukne bolde er der ikke en eneste hvid bold, alle 5 bolde er sorte:
A 2 = B 1 B 2 B 3.
Da hændelser B 1, B 2 og B 3 er uforenelige, kan du bruge formlen:
P(A2) = P(B1) + P(B2) + P(B3);
P(A 2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.
c) - blandt de trukne kugler er der ikke en eneste hvid. I dette tilfælde:
P(A3) = 1 - P() = 1 - 28/1001 = 973/1001.
Svar: P(A1) = 280/1001, P(A2) = 483/1001, P(A3) = 973/1001.
Opgave 1.6. Den første urne indeholder 5 hvide og 7 sorte kugler, og den anden urne indeholder 6 hvide og 4 sorte kugler. 2 kugler trækkes tilfældigt fra den første urne og 2 kugler fra den anden. Find sandsynligheden for, at blandt de trukne kugler:
a) alle bolde har samme farve;
b) kun tre hvide kugler;
c) mindst én hvid kugle.
1 urne 2 urne Bolde blev trukket uafhængigt af begge urner. Tests
5 b 6 b trækker to kugler fra den første urne og to kugler
7t 4t fra anden urne. Elementære arrangementer vil være kombinationer
2 eller 2 af henholdsvis 12 eller 10 kugler.
2 2 a) A 1 - alle tegnede kugler er af samme farve, dvs. er de alle hvide?
eller helt sort.
Lad os definere alle mulige begivenheder for hver urne:
I 1 - 2 trækkes hvide kugler fra den første urne;
I 2 - trækkes 1 hvid og 1 sort kugle fra den første urne;
I 3 - 2 trækkes sorte kugler fra den første urne;
C 1 - 2 hvide kugler trækkes fra den anden urne;
C 2 - 1 hvid og 1 sort kugle trækkes fra den anden urne;
Fra den anden urne trækkes 3 - 2 sorte kugler.
Dette betyder A 1 = 
, hvorfra vi, under hensyntagen til begivenhedernes uafhængighed og uforenelighed, opnår
P(A1) = P(B1) * P(C1) + P(B3) * P(C3).
Lad os finde antallet af elementære begivenheder n 1 og n 2 for henholdsvis første og anden urne. Vi har:
Lad os finde antallet af hvert element af begivenheder, der bestemmer følgende begivenheder:
B1: m11 = C1: m21 =
B 2: m 12 = C 2: m 22 =
B 3: m 13 = C 3: m 23 =
Derfor,
P(A1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.
b) A 2 - blandt de trukne kugler er der kun 3 hvide. I dette tilfælde
A2 = (B1C2 (B2C1);
P(A 2) = P(B 1) * P(C 1) + P(B 2) * P(C 2)
P(A2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.
c) A 3 - blandt de trukne kugler er der mindst én hvid.
Der er ikke en eneste hvid bold blandt de genvundne bolde. Derefter
P() = P(B3) * P(C3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;
P(A3) = 1 - P() = 1 - 7/165 = 158/165.
Svar: P(A1) = 46/495, P(A2) = 1/3, P(A3) = 158/165.
Opgave 1.7. Urnen indeholder 5 sorte og hvide kugler, 4 hvide kugler er tilføjet til dem. Herefter trækkes 3 kugler tilfældigt fra urnen. Find sandsynligheden for, at alle de udtrukne kugler er hvide, idet det antages, at alle mulige forslag om det oprindelige indhold af urnen er lige mulige.
Der er to typer test her: Først indstilles det indledende indhold af urnen, og derefter trækkes den 3. kugle tilfældigt, hvor resultatet af den anden test afhænger af resultatet af den første. Derfor bruges den samlede sandsynlighedsformel.
begivenhed A - 3 hvide kugler trækkes tilfældigt. Sandsynligheden for denne begivenhed afhænger af den oprindelige sammensætning af kuglerne i urnen.
Lad os overveje begivenhederne:
I 1 - var der 5 hvide kugler i urnen;
I 2 - var der 4 hvide og 1 sorte kugler i urnen;
I 3 - var der 3 hvide og 2 sorte kugler i urnen;
I 4 - var der 2 hvide og 3 sorte kugler i urnen;
Klokken 5 - var der 1 hvid og 4 sorte kugler i urnen.
Klokken 6 - var der 5 sorte kugler i urnen;
Samlet antal elementære udfald
Lad os finde de betingede sandsynligheder for begivenhed A under forskellige forhold.
P(A/B 1) = 1.
P(A/B2) = 56/84 = 2/3.
P(A/B 3) = 35/84 = 5/12.
P(A/B 4) = 5/21.
P(A/B 5) = 5/42.
P(A/B 6) = 1/21.
P(A) = 1 * 1/6 + 2/3 * 1/6 + 5/12 * 1/6 + 5/21 * 1/6 + 5/42 * 1/6 + 1/21 * 1/6 = 209/504.
Svar: P(A) = 209/504.
Opgave 1.9. Der er 11 rifler i pyramiden, 3 af dem med optisk sigte. En skytte, der skyder fra en riffel med et optisk sigte, kan ramme målet med en sandsynlighed på 87/100, og skyder fra en riffel uden optisk syn, - med en sandsynlighed på 52/100. Find sandsynligheden for, at en skytte rammer et mål, når han skyder fra en tilfældig riffel.
I betragtning af at riflerne vælges en ad gangen, opnår vi henholdsvis (for B 1) og (for B 2); således P(B 1) = 3/11, P(B 2) = 8/11.
Betingede sandsynligheder er specificeret i problemformuleringen:
P(A/B 1) = 0,87 og P(A.B 2) = 0,52.
Derfor,
P(A) = 0,87 * 3/11 + 0,52 * 8/11 = 0,615.
Svar: P(A) = 0,615.
Opgave 1.10. I installationsværkstedet er en elektrisk motor tilsluttet enheden. Elektriske motorer leveres af tre producenter. På lager er der elektriske motorer fra disse fabrikker, henholdsvis i mængder M 1 = 13, M 2 = 12 og M 3 = 17 stykker, som kan fungere uden fejl indtil udgangen af garantiperioden med sandsynligheder på 0,91, 0,82, og 0,77 hhv. En arbejder tager tilfældigt en elektrisk motor og monterer den på enheden. Find sandsynligheden for, at en elektrisk motor installeret og fungerede uden fejl indtil udløbet af garantiperioden blev leveret af henholdsvis den første, anden eller tredje producent.
Betingede sandsynligheder er angivet i problemformuleringen: P(A/B 1) = 0,91, P(A/B 2) = 0,82, P(A/B 3) = 0,77.
I lighed med det forrige problem, lad os finde sandsynligheden:
P(B1) = 13/42 = 0,3095; P(B2) = 12/42 = 0,2857; P(B3) = 17/42 = 0,4048;
P(A) = 0,91 * 0,3095 + 0,82 * 0,2857 + 0,77 * 0,4048 = 0,8276.
Ved hjælp af Bayes-formlen (1.8.) beregner vi de betingede sandsynligheder for hændelser (hypoteser) B 1:
P(B1/A) = 
P(B2/A) = 
P(B3/A) = 
Svar: P(B1/A) = 0,3403, P(B2/A) = 0,2831, P(B3/A) = 0,3766
Job nr. 2
Tilfældige variable.
6 - mulighed.
Opgave 2.1. I hver af n uafhængige tests Hændelse A indtræffer med en konstant sandsynlighed på 0,36. Beregn alle sandsynligheder p k, k = 0, 1, 2, ..., 11, hvor k er frekvensen af hændelse A. Tegn en graf over sandsynligheder p k. Find den mest sandsynlige frekvens.
Spurgt af: n = 11, p = 0,36, q = 1 - p = 0,64.
Find: p 0, p 1, p 2, ..., p 11 og k.
Bruger Bernoullis formel. Værdien p 0 beregnes ved hjælp af den første af formlerne, og de resterende sandsynligheder p k - ved hjælp af den anden.
For formlen beregner vi den konstante faktor
p/q = 0,36/0,64 = 0,5625, p 0 = *0,36 0 * 0,64 11 = 0,0073787.
Vi skriver resultaterne af beregningerne i tabel 1. Hvis beregningerne er korrekte, så skal ligheden være opfyldt
Ved hjælp af de fundne sandsynlighedsværdier vil vi konstruere deres graf (fig. 1).
Lad os finde den mest sandsynlige frekvens i henhold til de givne forhold:
np - q = 11 * 0,36 - 0,64 = 3,32.np + k = 4,32
Det betyder, at den mest sandsynlige frekvens er k = 4, og som det blev opnået tidligere, er værdien af p 3 maksimum.
tabel 1
| k | (n-k-1)/k | r k | k | (n-k-1)/k | p k |
| - | 0,9926213 |
Figur 1 Sandsynlighedsgraf p k
Opgave 2.2. I hver af n uafhængige forsøg opstår begivenhed A med en konstant sandsynlighed på 0,47. Find sandsynligheden for, at hændelse A indtræffer:
a) nøjagtigt 330 gange;
b) mindre end 330 og mere end 284 gange;
c) mere end 330 gange.
EN) Spurgt af: n = 760, p = 0,47, M = 330.
Find: R 760 (330).
Vi bruger lokal sætning Moivre - Laplace. Vi finder:
Vi finder værdien af funktionen j(x) fra tabellen:
j(1,98) = 0,0562, P 760 (330) = 0,0562/13,76 = 0,00408.
b) Find: R 760 (284 Vi bruger Moivre-Laplace integralsætningen. Vi finder: Vi finder værdien af funktionen Ф(х) fra tabellen: R 760 (284 V) Find: R 760 (330 Vi har: x 1 = -1,98, R 760 (330 Opgave 2.4. På en telefoncentral sker der en forkert forbindelse med en sandsynlighed på 1/800. Find sandsynligheden for, at følgende forekommer blandt 5600 forbindelser: a) nøjagtig 2 forkerte forbindelser; b) mindre end 3 forkerte forbindelser; c) mere end 8 forkerte tilslutninger. a) Givet: n = 5600, p = 1/800, k = 2. Find: R 800 (2). Vi får: l = 5600 * 1/800 = 7. R 800 (2) = b) Sæt k<3. Find: R 200 (k<3). R 800 (k<3) = Р 800
(0) + Р 800
(1) + Р 800
(2) = 0,0223 + 0,0009 + 0,0064 = 0,0296. V) Sæt k > 8. Find: P 800 (k > 8). Dette problem kan løses mere enkelt ved at finde sandsynligheden for den modsatte begivenhed, da der i dette tilfælde skal beregnes færre led. Under hensyntagen til den tidligere sag, har vi Р 800 (k>8) = 1 – Р 800 (k8) = 1 - Р 800 (k<9) = 1 - 0,7291 = 0,2709. Opgave 2.6. Den stokastiske variabel X er givet ved en fordelingsrække. Find fordelingsfunktionen F(x) for den stokastiske variabel X og plot den. Beregn for X dens gennemsnitlige værdi EX, spredning DX og mode Mo. Lad os plotte fordelingsfunktionen F(x) . Den gennemsnitlige EX-værdi beregnes ved hjælp af formlen: EX = 8*0,11 + 12*0,14 + 16*0,5 + 24*0,25 = 16,56. Varians: E(X 2) = 8 2 *0,11 + 12 2 *0,14 + 16 2 *0,5 + 24 2 *0,25 = 299,2 DX = 299,2 – 16,52 2 = 26,2896. Fordelingsfunktionsgraf Opgave 2.7. Den stokastiske variabel X er specificeret af sandsynlighedstæthedsfunktionen f(x) = Find fordelingsfunktionen F(x) for den stokastiske variabel X. Tegn en graf over funktionen f(x) og F(x). Beregn for X dens gennemsnitlige værdi EX, spredning DX, mode Mo og median Me. K = 8, R = 12. Vi finder fordelingsfunktionen F(x) af en kontinuert stokastisk variabel ved hjælp af formlen: Tegn grafer over funktionerne f(x) og F(x). Gennemsnitsværdien af X beregnes ved hjælp af formlen: EX = For at finde variansen af X bruger vi formlerne: E(X 2) = DX = 40,5 – (4,5) 2. Grafen viser, at f(x) når et maksimum i punktet x = 1/2 og derfor Mo = 12. For at finde medianen Me, skal du løse ligningen x 2 / 256 = 1/2 eller x 2 = 128. Vi har x = ± 11,31, Me = 11,31. Graf over fordelingsfunktionen F(x). Job nr. 3. Opgave 3.1 Baseret på prøver A og B Opret en variationsserie; Beregn relative frekvenser (frekvenser) og akkumulerede frekvenser; Konstruer variationsseriegrafer (polygon og histogram); Opret en empirisk distributionsfunktion og plot den; Beregn de numeriske karakteristika for variationsrækken: gennemsnit, spredning, standardafvigelse , median mig. Opgave 3.2. Beregn uvildige estimater af populationsparametrene ,S 2 , Spo prøve A og B (ved hjælp af resultaterne opnået i opgave 3.1.), samt den første kolonne i prøve B. Prøve A6 N = 73 Start af første interval: 0 Intervallængde: 1 Prøve B6 N = 237 Start af første interval: 285 Intervallængde: 7 Problemløsning. Opgave 3.1. Lad os først løse problemet for prøve A. Vi finder: x min = 0 og x max = 11. Området (11 - 0 + 1 = 12) er ret lille, så vi vil kompilere en variationsserie i henhold til værdierne (Tabel 1). tabel 1 Vi beregner alle relative frekvenser med samme nøjagtighed. Når vi konstruerer grafer, afbilder vi på x-aksen værdier fra 0 til 11 og på n i / n-aksen - værdier fra 0 til 0,25 (fig. 1 og 2). Ris. 1. Variationspolygonserie af prøve A Ris. 2. Histogram af variationsrækken af prøve A. Vi finder den empiriske fordelingsfunktion F * (x) ved hjælp af formlen og akkumulerede frekvenser fra tabel. 1. Vi har: Når vi plotter grafen F * (x), plotter vi funktionsværdierne i området fra 0 til 1,2 (fig. 3). Fig.3. Graf over den empiriske fordelingsfunktion af prøve A. Beregningen af summerne for den aritmetiske middelværdi og varians ved hjælp af formler og variationsrækker (se tabel 1) er præsenteret i tabel. 2. Ud fra den maksimale frekvens bestemmer vi c = 7, og tabeltrinet k = 1.
.x
8 12 16 24
R
0,11 0,14 0,50 0,25
4
10
7
6
3
7
8
7
4
7
10
7
3
9
3
1
5
8
10
11
6
5
7
6
3
8
4
3
8
4
10
6
8
7
8
7
7
7
4
6
7
10
4
4
0
5
4
4
8
5
5
10
7
3
8
5
6
6
6
3
5
7
8
5
7
10
9
10
8
2
3
6
9
324
296
313
323
312
321
322
301
337
322
329
307
301
328
312
318
327
315
319
317
309
334
323
340
326
322
314
335
313
322
319
325
312
300
323
335
339
326
298
298
337
322
303
314
315
310
316
321
312
315
331
322
321
336
328
315
338
318
327
323
325
314
297
303
322
314
317
330
318
320
312
333
332
319
325
319
307
305
316
330
318
335
327
321
332
288
322
334
295
318
329
305
310
304
326
319
317
316
316
307
309
309
328
317
317
322
316
304
303
350
309
327
345
329
338
311
316
324
310
306
308
302
315
314
343
320
304
310
345
312
330
324
308
326
313
320
328
309
306
306
308
324
312
309
324
321
313
330
330
315
320
313
302
295
337
346
327
320
307
305
323
331
345
315
318
331
322
315
304
324
317
322
312
314
308
303
333
321
312
323
317
288
317
327
292
316
322
319
313
328
313
309
329
313
334
314
320
301
329
319
332
316
300
300
304
306
314
323
318
337
325
321
322
288
313
314
307
329
302
300
316
321
315
323
331
318
334
316
328
294
288
312
312
315
321
332
319
Standardafvigelse 
Mo-tilstanden er værdien med den maksimale frekvens, dvs. Mo = 7. Medianen Me er den 37. værdi af variationsrækken: Me = 7.
Nu, ved at bruge prøve B, vil vi finde x min = 288 og x max = 350. Området (350 - 288 + 1 = 63) er ret stort, så vi vil sammensætte en variationsserie i henhold til værdiintervallerne ved at bruge begyndelsen af det første interval og længden af intervallet givet under prøveudtagningen (tabel 3).
Tabel 3
Ris. 4. Polygon i variationsrækken af prøve B.
Ris. 5. Histogram af variationsrækken af prøve B.
Når vi konstruerer grafer, plotter vi langs x-akseværdierne fra 285 til 355 og langs n i / n-aksen - værdier fra 0 til 0,3 (fig. 4 og 5).
Dernæst tager vi højde for, at slutningen af hvert interval tages som en repræsentant. Ved at tage enderne af intervallerne og de tilsvarende akkumulerede frekvenser som punkternes koordinater (se tabel 3) og forbinde disse punkter med rette linjer, vil vi konstruere en graf over den empiriske fordelingsfunktion (fig. 6).
Ris. 6. Graf over den empiriske fordelingsfunktion af prøve B.
At beregne det aritmetiske middelværdi og varians ved hjælp af formler og tabeller. 3 definerer vi c = 316 og k = 7. Vi beregner beløbene ved hjælp af tabellen. 4 (tabel 4).
Ved hjælp af formler beregner vi det aritmetiske middelværdi 
og varians 227,8
Vi finder medianen ved hjælp af formlen: Me =.
Opgave 3.2.
Ved at bruge formlen finder vi upartiske estimater af variansen og standardafvigelsen:
n = 73, S-2 = 5,8143, S2 = 73/72 x 5,8143 = 5,8951, S = 2,43.
For prøve B har vi
393,92, = 177,47, n = 237, S2 = 237/236 x 177,47 = 178,222, S = 13,35.
Uvildige estimater for den første kolonne i prøve B opnås på en lignende måde (hvis denne prøve indeholder få gentagne elementer, behøver variationsserien ikke kompileres).
Eksempel 1. I den første urne: tre røde, en hvid kugler. I den anden urne: en rød, tre hvide kugler. En mønt kastes tilfældigt: hvis det er et våbenskjold, vælges den fra den første urne, ellers fra den anden.
Løsning:
a) sandsynligheden for, at en rød kugle blev trukket
A – fik en rød bold
P 1 – våbenskjoldet faldt, P 2 - ellers
b) Den røde kugle er valgt. Find sandsynligheden for, at det er taget fra den første urne fra den anden urne.
B 1 – fra den første urne, B 2 – fra den anden urne
,
Eksempel 2. Der er 4 bolde i en æske. Kan være: kun hvid, kun sort eller hvid og sort. (sammensætning ukendt).
Løsning:
A – sandsynlighed for, at en hvid kugle dukker op
a) Helt hvidt:
(sandsynligheden for, at du har en af de tre muligheder, hvor der er hvide)
(sandsynlighed for, at der dukker en hvid bold op, hvor alle er hvide)
b) Trækket ud hvor alle er sorte
c) trukket muligheden ud, hvor alle er hvide og/eller sorte
- mindst én af dem er hvid
Pa+Pb+Pc=
Eksempel 3. Der er 5 hvide og 4 sorte kugler i en urne. Der tages 2 kugler ud af den i træk. Find sandsynligheden for, at begge kugler er hvide.
Løsning:
5 hvide, 4 sorte kugler
P(A 1) – den hvide kugle blev taget ud
P(A 2) – sandsynlighed for, at den anden kugle også er hvid
P(A) – hvide kugler valgt på række
Eksempel 3a. Pakken indeholder 2 falske og 8 rigtige pengesedler. 2 sedler blev trukket ud af pakken i træk. Find sandsynligheden for, at de begge er falske.
Løsning:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0,022
Eksempel 4. Der er 10 skraldespande. Der er 9 urner med 2 sorte og 2 hvide kugler. Der er 5 hvide og 1 sort i 1 urne. En bold blev trukket fra en urne taget tilfældigt.
Løsning:
P(A) - ? en hvid kugle tages fra en urne indeholdende 5 hvide
B – sandsynlighed for at blive trukket fra en urne indeholdende 5 hvide
, - taget ud fra andre
C 1 – sandsynlighed for, at en hvid bold dukker op på niveau 9.
C 2 – sandsynlighed for at en hvid kugle dukker op, hvor der er 5 af dem
P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)
Eksempel 5. 20 cylindriske ruller og 15 kegleformede. Plukkeren tager 1 rulle, og så en anden.
Løsning:
a) begge ruller er cylindriske
P(C1)=; P(Ts 2)=
C 1 – første cylinder, C 2 – anden cylinder
P(A)=P(Ts 1)P(Ts 2) =
b) Mindst én cylinder
K 1 – første kegleformet.
K 2 - anden kegleformet.
P(B)=P(Ts 1)P(K 2)+P(Ts 2)P(K 1)+P(Ts 1)P(Ts 2)
;
c) den første cylinder, men ikke den anden
P(C)=P(C 1)P(K 2)
e) Ikke en enkelt cylinder.
P(D)=P(K 1)P(K 2)
e) Præcis 1 cylinder
P(E)=P(C1)P(K2)+P(K1)P(K2)
Eksempel 6. Der er 10 standarddele og 5 defekte dele i en æske.
Tre dele er trukket tilfældigt
a) En af dem er defekt
Pn(K)=Cnk·pk·qn-k,
P – sandsynlighed for defekte produkter
q – sandsynlighed for standarddele
n=3, tre dele
b) to ud af tre dele er defekte P(2)
c) mindst én standard
P(0) - ingen defekt
P=P(0)+ P(1)+ P(2) - sandsynlighed for, at mindst én del vil være standard
Eksempel 7. 1. urne indeholder 3 hvide og sorte kugler, og 2. urne indeholder 3 hvide og 4 sorte kugler. 2 bolde overføres fra 1. urne til 2. uden at kigge, og derefter trækkes 2 bolde fra 2.. Hvad er sandsynligheden for, at de har forskellige farver?
Løsning:
Når du flytter bolde fra den første urne, er følgende muligheder mulige:
a) tog 2 hvide kugler ud i træk
P BB 1 =
I det andet trin vil der altid være en bold mindre, da den ene bold allerede var taget ud i det første trin.
b) tog en hvid og en sort kugle ud
Situationen, hvor den hvide kugle trækkes først, og derefter den sorte
P sprænghoved =
Situationen, hvor den sorte kugle blev trukket først, og derefter den hvide
P BW =
I alt: P sprænghoved 1 =
c) tog 2 sorte kugler ud i træk
P HH1 =
Da der blev overført 2 bolde fra den første urne til den anden urne, vil det samlede antal bolde i den anden urne være 9 (7 + 2). Derfor vil vi se efter alle mulige muligheder:
a) først blev der taget en hvid og derefter en sort kugle fra den anden urne
P BB 2 P BB 1 - betyder sandsynligheden for, at der først blev trukket en hvid bold, derefter en sort bold, forudsat at der blev trukket 2 hvide bolde fra den første urne i træk. Derfor er antallet af hvide kugler i dette tilfælde 5 (3+2).
P BC 2 P BC 1 - betyder sandsynligheden for, at der først blev trukket en hvid kugle, derefter en sort kugle, forudsat at der blev trukket hvide og sorte kugler fra den første urne. Derfor er antallet af hvide kugler i dette tilfælde 4 (3+1), og antallet af sorte kugler er fem (4+1).
P BC 2 P BC 1 - betyder sandsynligheden for, at der først blev trukket en hvid bold, derefter en sort bold, forudsat at begge sorte bolde blev trukket fra den første urne i træk. Derfor er antallet af sorte kugler i dette tilfælde 6 (4+2).
Sandsynligheden for, at 2 trukket bolde vil have forskellige farver er lig med:
Svar: P = 0,54
Eksempel 7a. Fra 1. urne indeholdende 5 hvide og 3 sorte kugler, blev 2 kugler tilfældigt overført til 2. urne indeholdende 2 hvide og 6 sorte kugler. Derefter blev der trukket 1 kugle tilfældigt fra 2. urne.
1) Hvad er sandsynligheden for, at kuglen, der trækkes fra 2. urne, viser sig at være hvid?
2) Kuglen taget fra 2. urne viste sig at være hvid. Beregn sandsynligheden for, at kugler af forskellig farve blev flyttet fra 1. urne til 2. urne.
Løsning.
1) Begivenhed A - bolden trukket fra 2. urne viser sig at være hvid. Lad os overveje følgende muligheder for forekomsten af denne begivenhed.
a) To hvide kugler blev placeret fra den første urne til den anden: P1(bb) = 5/8*4/7 = 20/56.
Der er i alt 4 hvide kugler i den anden urne. Så er sandsynligheden for at trække en hvid kugle fra den anden urne P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
b) Hvide og sorte kugler blev placeret fra den første urne til den anden: P1(bch) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Der er i alt 3 hvide kugler i den anden urne. Så er sandsynligheden for at trække en hvid kugle fra den anden urne P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
c) To sorte kugler blev placeret fra den første urne til den anden: P1(hh) = 3/8*2/7 = 6/56.
Der er i alt 2 hvide kugler i den anden urne. Så er sandsynligheden for at trække en hvid kugle fra den anden urne P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Så er sandsynligheden for, at bolden trukket fra 2. urne viser sig at være hvid:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32
2) Kuglen taget fra 2. urne viste sig at være hvid, dvs. den samlede sandsynlighed er P(A)=13/32.
Sandsynlighed for, at kugler i forskellige farver (sort og hvid) blev placeret i den anden urne og hvid blev valgt: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91
Eksempel 7b. Den første urne indeholder 8 hvide og 3 sorte kugler, den anden urne indeholder 5 hvide og 3 sorte kugler. En bold vælges tilfældigt fra den første og to bolde fra den anden. Herefter tages en bold tilfældigt fra de valgte tre bolde. Denne sidste kugle viste sig at være sort. Find sandsynligheden for, at der trækkes en hvid kugle fra den første urne.
Løsning.
Lad os overveje alle varianter af begivenhed A - ud af tre bolde viser den trukket bold sig at være sort. Hvordan kunne det ske, at der blandt de tre bolde var en sort?
a) En sort kugle blev taget fra den første urne, og to hvide kugler blev taget fra den anden urne.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
b) En sort kugle blev taget fra den første urne, to sorte kugler blev taget fra den anden urne.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
c) En sort kugle blev taget fra den første urne, en hvid og en sort kugle blev taget fra den anden urne.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
d) En hvid kugle blev taget fra den første urne, og to sorte kugler blev taget fra den anden urne.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
e) En hvid kugle blev taget fra den første urne, en hvid og en sort kugle blev taget fra den anden urne.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Den samlede sandsynlighed er: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Sandsynligheden for at en hvid kugle trækkes fra en hvid urne er:
Pb(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Så er sandsynligheden for, at en hvid kugle blev valgt fra den første urne, givet at en sort kugle blev valgt blandt tre kugler, lig med:
Pch = Pb(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57
Eksempel 7c. Den første urne indeholder 12 hvide og 16 sorte kugler, den anden urne indeholder 8 hvide og 10 sorte kugler. Samtidig trækkes en kugle fra 1. og 2. urne, blandes og returneres en til hver urne. Derefter trækkes en kugle fra hver urne. De viste sig at have samme farve. Bestem sandsynligheden for, at der er lige så mange hvide kugler tilbage i 1. urne, som der var i begyndelsen.
Løsning.
Begivenhed A - en bold trækkes samtidigt fra 1. og 2. urne.
Sandsynlighed for at trække en hvid kugle fra den første urne: P1(B) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Sandsynlighed for at trække en sort kugle fra den første urne: P1(H) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Sandsynlighed for at trække en hvid kugle fra den anden urne: P2(B) = 8/18 = 4/9
Sandsynlighed for at trække en sort kugle fra den anden urne: P2(H) = 10/18 = 5/9
Begivenhed A skete. Begivenhed B - der trækkes en bold fra hver urne. Efter blanding er sandsynligheden for, at en hvid eller sort kugle vender tilbage til urnen ½.
Lad os overveje mulighederne for begivenhed B - de viste sig at have samme farve.
Til den første urne
1) der blev lagt en hvid kugle i den første urne og en hvid kugle blev trukket, forudsat at der tidligere var tegnet en hvid kugle, P1(BB/A=B) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) en hvid kugle blev placeret i den første urne og en hvid kugle blev trukket ud, forudsat at en sort kugle blev trukket ud tidligere, P1(BB/A=H) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/ 98
3) en hvid kugle blev placeret i den første urne og en sort blev trukket ud, forudsat at en hvid kugle blev trukket ud tidligere, P1(BC/A=B) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/ 49
4) en hvid kugle blev placeret i den første urne og en sort blev trukket ud, forudsat at en sort kugle blev trukket ud tidligere, P1(BC/A=H) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/ 98
5) en sort kugle blev placeret i den første urne og en hvid kugle blev trukket, forudsat at der tidligere var tegnet en hvid kugle, P1(BW/A=B) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) en sort kugle blev placeret i den første urne og en hvid kugle blev trukket ud, forudsat at en sort kugle blev trukket ud tidligere, P1(BW/A=H) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/ 49
7) en sort kugle blev placeret i den første urne og en sort blev trukket ud, forudsat at en hvid kugle blev trukket ud tidligere, P1(HH/A=B) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/ 392
8) en sort kugle blev placeret i den første urne og en sort blev trukket ud, forudsat at en sort kugle blev trukket tidligere, P1(HH/A=H) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49
Til den anden urne
1) der blev lagt en hvid kugle i den første urne og en hvid kugle blev trukket, forudsat at der tidligere var tegnet en hvid kugle, P1(BB/A=B) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) en hvid kugle blev placeret i den første urne og en hvid kugle blev trukket ud, forudsat at en sort kugle blev trukket ud tidligere, P1(BB/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
3) en hvid kugle blev placeret i den første urne og en sort blev trukket ud, forudsat at en hvid kugle blev trukket ud tidligere, P1(BC/A=B) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/ 42
4) en hvid kugle blev placeret i den første urne og en sort blev trukket ud, forudsat at en sort kugle blev trukket ud tidligere, P1(BC/A=H) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/ 7
5) en sort kugle blev sat ind i den første urne og en hvid kugle blev trukket ud, forudsat at en hvid kugle blev trukket ud tidligere, P1(BW/A=B) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/ 12
6) en sort kugle blev placeret i den første urne og en hvid kugle blev trukket ud, forudsat at en sort kugle blev trukket ud tidligere, P1(BW/A=H) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/ 63
7) en sort kugle blev placeret i den første urne og en sort blev trukket ud, forudsat at en hvid kugle blev trukket ud tidligere, P1(HH/A=B) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/ 84
8) en sort kugle blev placeret i den første urne og en sort blev trukket, forudsat at en sort kugle var blevet trukket tidligere, P1(HH/A=H) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63
Kuglerne viste sig at have samme farve:
a) hvid
P1(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 9/98 + 13/98 + 33 /392 + 6/49 = 169/392
P2(B) = P1(BB/A=B) + P1(BB/A=B) + P1(BW/A=B) + P1(BW/A=B) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
b) sort
P1(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) = 6/49 + 15/98 + 51 /392 + 8/49 = 223/392
P2(H) = P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) + P1(HH/A=B) + P1(HH/A=H) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252
P = P1(B)* P2(B) + P1(H)* P2(H) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42
Eksempel 7d. Den første boks indeholder 5 hvide og 4 blå kugler, den anden indeholder 3 og 1, og den tredje indeholder henholdsvis 4 og 5. En kasse blev valgt tilfældigt, og en bold, der blev trukket ud af den, viste sig at være blå. Hvad er sandsynligheden for, at denne bold er fra den anden kasse?
Løsning.
A - begivenhed med at tegne en blå kugle. Lad os overveje alle de mulige resultater af en sådan begivenhed.
H1 - bolden trukket fra den første boks,
H2 - bolden trukket ud af den anden boks,
H3 - en bold trukket fra det tredje felt.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Ifølge betingelserne for problemet er de betingede sandsynligheder for begivenhed A lig med:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Sandsynligheden for at denne bold er fra den anden boks er:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0,2
Eksempel 8. Fem æsker med hver 30 kugler indeholder 5 røde kugler (dette er en æske med sammensætning H1), seks andre æsker med hver 20 kugler indeholder 4 røde kugler (dette er en æske med sammensætning H2). Find sandsynligheden for, at en rød bold taget tilfældigt er indeholdt i en af de første fem kasser.
Løsning: Problemet er at anvende den samlede sandsynlighedsformel.
P(H1) = 5/11
Sandsynligheden for at nogen den taget bold er indeholdt i en af seks kasser:
P(H2) = 6/11
Begivenheden skete - den røde bold blev trukket ud. Derfor kan dette ske i to tilfælde:
a) trukket ud af de første fem kasser.
P 5 = 5 røde bolde * 5 kasser / (30 bolde * 5 kasser) = 1/6
P(P5/H1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
b) trukket ud af seks andre kasser.
P 6 = 4 røde bolde * 6 kasser / (20 bolde * 6 kasser) = 1/5
P(P6/H2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Total: P(P5/H1) + P(P6/H2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Derfor er sandsynligheden for, at en rød kugle trukket tilfældigt er indeholdt i en af de første fem felter:
P k.sh. (H1) = P(P5/H1)/(P(P5/H1) + P(P6/H2)) = 5/66/61/330 = 25/61
Eksempel 9. Urnen indeholder 2 hvide, 3 sorte og 4 røde kugler. Tre kugler trækkes tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at mindst to kugler har samme farve?
Løsning. Der er tre mulige udfald:
a) blandt de tre trukne bolde var der mindst to hvide.
Pb(2) = P2b
Det samlede antal mulige elementære udfald for disse test er lig med antallet af måder, hvorpå 3 kugler kan udtrækkes fra 9:
Lad os finde sandsynligheden for, at blandt de 3 valgte bolde er 2 hvide.
Antal muligheder at vælge imellem 2 hvide kugler:
Antal muligheder at vælge imellem 7 andre bolde tredje bold:
b) blandt de tre trukne kugler var der mindst to sorte (dvs. enten 2 sorte eller 3 sorte).
Lad os finde sandsynligheden for, at blandt de valgte 3 kugler er 2 sorte.
Antal muligheder at vælge imellem 3 sorte kugler:
Antal muligheder at vælge imellem 6 andre bolde af en bold:
P2h = 0,214
Lad os finde sandsynligheden for, at alle de valgte kugler er sorte.
Ph (2) = 0,214+0,0119 = 0,2259
c) blandt de tre trukne bolde var der mindst to røde (dvs. enten 2 røde eller 3 røde).
Lad os finde sandsynligheden for, at blandt de 3 valgte bolde er 2 røde.
Antal muligheder at vælge imellem 4 sorte kugler:
Antal muligheder at vælge imellem: 5 hvide kugler, resterende 1 hvid:
Lad os finde sandsynligheden for, at alle de valgte bolde er røde.
P til (2) = 0,357 + 0,0476 = 0,4046
Så er sandsynligheden for, at mindst to kugler har samme farve, lig med: P = P b (2) + P h (2) + P k (2) = 0,0833 + 0,2259 + 0,4046 = 0,7138
Eksempel 10. Den første urne indeholder 10 kugler, 7 af dem hvide; Den anden urne indeholder 20 kugler, hvoraf de 5 er hvide. Der trækkes en kugle tilfældigt fra hver urne, og derefter trækkes en kugle tilfældigt fra disse to kugler. Find sandsynligheden for, at den hvide kugle er trukket.
Løsning. Sandsynligheden for at en hvid kugle trækkes fra den første urne er P(b)1 = 7/10. Derfor er sandsynligheden for at tegne en sort kugle P(h)1 = 3/10.
Sandsynligheden for at en hvid kugle trækkes fra den anden urne er P(b)2 = 5/20 = 1/4. Derfor er sandsynligheden for at tegne en sort kugle P(h)2 = 15/20 = 3/4.
Begivenhed A - en hvid bold tages fra to bolde
Lad os overveje det mulige resultat af begivenhed A.
- En hvid kugle blev trukket fra den første urne, og en hvid kugle blev trukket fra den anden urne. Så blev der trukket en hvid kugle fra disse to kugler. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
- En hvid kugle blev trukket fra den første urne og en sort kugle blev trukket fra den anden urne. Så blev der trukket en hvid kugle fra disse to kugler. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
- En sort kugle blev trukket fra den første urne, og en hvid kugle blev trukket fra den anden urne. Så blev der trukket en hvid kugle fra disse to kugler. P3 = 3/10*1/4 = 3/40
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40
Eksempel 11. Der er n tennisbolde i kassen. Af disse blev m spillet. Til det første spil blev to bolde taget tilfældigt og lagt tilbage efter kampen. Til det andet spil tog vi også to bolde tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at det andet spil bliver spillet med nye bolde?
Løsning. Overvej begivenhed A - spillet blev spillet for anden gang med nye bolde. Lad os se, hvilke begivenheder der kan føre til dette.
Lad os med g = n-m angive antallet af nye kugler før de trækkes ud.
a) til det første spil blev to nye bolde trukket ud.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
b) til det første spil trak de en ny bold ud og en havde allerede spillet en.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
c) til det første spil blev to spillede bolde trukket ud.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))
Lad os se på begivenhederne i det andet spil.
a) To nye bolde blev trukket under betingelse P1: da nye bolde allerede var blevet trukket til det første spil, faldt deres antal for det andet spil med 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
b) To nye bolde blev trukket under betingelse P2: da en ny bold allerede var blevet trukket til det første spil, faldt deres antal for det andet spil med 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
c) To nye bolde blev trukket under betingelse P3: da der tidligere ikke blev brugt nye bolde til det første spil, ændredes deres antal ikke i det andet spil g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))
Samlet sandsynlighed P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1)^2*n^2)
Svar: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Eksempel 12. Den første, anden og tredje boks indeholder 2 hvide og 3 sorte kugler, den fjerde og femte boks indeholder 1 hvid og 1 sort kugle. En kasse vælges tilfældigt, og der trækkes en bold fra den. Hvad er den betingede sandsynlighed for, at det fjerde eller femte felt bliver valgt, hvis kuglen, der trækkes, er hvid?
Løsning.
Sandsynligheden for at vælge hver boks er P(H) = 1/5.
Lad os overveje de betingede sandsynligheder for begivenhed A - at tegne den hvide kugle.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Samlet sandsynlighed for at tegne en hvid kugle:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0,44
Betinget sandsynlighed for, at den fjerde boks er valgt
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
Betinget sandsynlighed for, at den femte boks er valgt
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0,44 = 0,2273
I alt er den betingede sandsynlighed for, at den fjerde eller femte boks er valgt
P(H=4, H=5|A) = 0,2273 + 0,2273 = 0,4546
Eksempel 13. Der var 7 hvide og 4 røde kugler i urnen. Derefter blev endnu en kugle af hvid eller rød eller sort farve lagt i urnen, og efter blanding blev den ene kugle taget ud. Den viste sig at være rød. Hvad er sandsynligheden for, at a) en rød bold blev placeret? b) sort kugle?
Løsning.
a) rød kugle
Begivenhed A - den røde kugle trækkes. Hændelse H - den røde bold placeres. Sandsynlighed for, at en rød kugle blev placeret i urnen P(H=K) = 1/3
Så P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0,139
b) sort kugle
Begivenhed A - den røde kugle trækkes. Hændelse H - en sort bold placeres.
Sandsynlighed for, at en sort kugle blev placeret i urnen P(H=H) = 1/3
Så P(A|H=H)= 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0,111
Eksempel 14. Der er to urner med kugler. Den ene har 10 røde og 5 blå kugler, den anden har 5 røde og 7 blå kugler. Hvad er sandsynligheden for, at en rød kugle trækkes tilfældigt fra den første urne og en blå kugle fra den anden?
Løsning. Lad begivenheden A1 være en rød kugle trukket fra den første urne; A2 - en blå kugle trækkes fra den anden urne:
,
Begivenheder A1 og A2 er uafhængige. Sandsynligheden for fælles forekomst af begivenheder A1 og A2 er lig med
Eksempel 15. Der er et sæt kort (36 brikker). To kort trækkes tilfældigt i træk. Hvad er sandsynligheden for, at begge kort, der trækkes, bliver røde?
Løsning. Lad begivenhed A 1 være det første røde kort, der trækkes. Begivenhed A 2 - det andet røde kort, der trækkes. B - begge kort, der tages ud, er røde. Da både hændelse A 1 og hændelse A 2 skal forekomme, så er B = A 1 · A 2 . Hændelser A 1 og A 2 er afhængige, derfor P(B):
,
Herfra
Eksempel 16. To urner indeholder kugler, der kun er forskellige i farve, og i den første urne er der 5 hvide kugler, 11 sorte og 8 røde kugler, og i den anden er der henholdsvis 10, 8, 6 kugler. En kugle trækkes tilfældigt fra begge urner. Hvad er sandsynligheden for, at begge kugler har samme farve?
Løsning. Lad indeks 1 betyde hvid, indeks 2 betyde sort; 3 - rød farve. Lad begivenheden A i være, at en kugle i den i-te farve trækkes fra den første urne; begivenhed B j - en kugle med farve j trækkes fra den anden urne; begivenhed A - begge bolde har samme farve.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3. Hændelser A i og B j er uafhængige, og A i · B i og A j · B j er inkompatible for i ≠ j. Derfor,
P(A)=P(A 1) P(B 1)+P(A 2) P(B 2)+P(A 3) P(B 3) =
Eksempel 17. Fra en urne med 3 hvide og 2 sorte kugler trækkes kugler en ad gangen, indtil sort kommer frem. Finde sandsynligheden for, at der trækkes 3 kugler fra urnen? 5 bolde?
Løsning.
1) sandsynligheden for, at der trækkes 3 kugler fra urnen (dvs. den tredje kugle vil være sort, og de to første vil være hvide).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) sandsynligheden for, at der trækkes 5 kugler fra urnen
Denne situation er ikke mulig, pga kun 3 hvide kugler.
P=0