Studerendes forskningsarbejde om emnet:
"Ansøgning lineær funktion i problemløsning"
"Anvendelse af grafen for en lineær funktion til problemløsning"
MKOU "Bogucharskaya sekundær helhedsskole nr. 1"
Forskningsarbejde i matematik.
Emne: "Anvendelse af grafen for en lineær funktion til at løse problemer"
7 "B" klasse
Leder: Olga Mikhailovna Fomenko
Boguchar by
1.Introduktion……………………………………………………………………………………………… 2
2. Hoveddel…………………………………………………………………………3-11
2.1 Metode til løsning af ordproblemer ved hjælp af lineære funktionsgrafer
2.2 Løsning af ordproblemer om bevægelse ved hjælp af grafer
3. Konklusion………………………………………………………………………………………11
4. Litteratur……………………………………………………………………….12
INTRODUKTION
"Algebra.7 klasse" diskuterer problemer, hvor givet tidsplan en række spørgsmål skal besvares.
For eksempel:
nr. 332 Sommerboeren kørte hjemmefra i bil til landsbyen. Først kørte han ad motorvejen og derefter ad en landevej og satte farten ned. Sommerboerens bevægelsesskema er vist i figuren. Svar på spørgsmålene:
a) hvor længe kørte sommerboeren på motorvejen, og hvor mange kilometer kørte han; hvad var bilens hastighed på denne del af ruten;
b) hvor længe kørte sommerboeren ad landevejen, og hvor mange kilometer kørte han; hvad var bilens hastighed i dette afsnit;
c) hvor lang tid tog det sommerboeren at rejse hele vejen fra sit hus til landsbyen?
Mens jeg søgte efter materiale om dette emne i litteratur og internettet, opdagede jeg det i verden lineær afhængighed der er mange fysiske, og endda offentlige og økonomiske fænomener og processer, men jeg fokuserede på bevægelsen, da den er den mest kendte og populære blandt os alle. I projektet beskrev jeg ordproblemer og måder at løse dem på ved hjælp af lineære funktionsgrafer.
Hypotese: Ved hjælp af grafer kan du ikke kun få visuelle repræsentationer om en funktions egenskaber, stifte bekendtskab med en lineær funktions egenskaber og dens særlige form, direkte proportionalitet, men også løse ordproblemer.
Formålet med min forskning var undersøgelsen af brugen af lineære funktionsgrafer til at løse ordproblemer på bevægelse. I forbindelse med implementeringen af disse mål blev følgende fremsat: opgaver:
Studer teknikken til at løse ordproblemer om bevægelse ved hjælp af lineære funktionsgrafer;
Lær at løse bevægelsesproblemer ved hjælp af denne metode;
Træk komparative konklusioner om fordele og ulemper ved at løse problemer ved hjælp af lineære funktionsgrafer.
Studieobjekt: graf af en lineær funktion.
Forskningsmetode:
Teoretisk (studie og analyse), systemsøgning, praktisk.
Hoveddel.
I min forskning besluttede jeg at forsøge at give en grafisk fortolkning af bevægelsesproblemerne præsenteret i vores lærebog, og derefter besvare spørgsmålet stillet i problemet i henhold til grafen. Til denne løsningsmetode tog jeg problemer med en retlinet ensartet bevægelse på en del af ruten. Det viste sig, at mange problemer løses på denne måde lettere end på den sædvanlige måde ved hjælp af en ligning. Den eneste ulempe ved denne teknik: for nøjagtigt at få et svar på spørgsmålet om problemet, skal du være i stand til korrekt at vælge skalaen af måleenheder på koordinatakserne. Stor rolle V træffe det rigtige valg Oplevelsen af at løse spiller på sådan en skala. For at mestre kunsten at løse problemer ved hjælp af grafer, var jeg derfor nødt til at se dem ind store mængder.
definere et koordinatsystem sOt med en abscisse-akse Ot og en ordinatakse Os. For at gøre dette, i henhold til betingelserne for problemet, skal du vælge et referencepunkt: begyndelsen af bevægelsen af et objekt eller, fra flere objekter, vælg det, der begyndte at bevæge sig tidligere eller passerede længere afstand. På abscisseaksen markeres tidsintervallerne i dens måleenheder, og på ordinataksen markeres afstanden i den valgte skala af dens måleenheder.
Punkter på koordinatplan skal markeres efter problemets omfang, og stregerne skal tegnes omhyggeligt. Nøjagtigheden af at løse problemet afhænger af dette. Derfor er det meget vigtigt at med succes vælge skalaen af divisioner på koordinatakserne: den skal vælges på en sådan måde, at punkternes koordinater bestemmes mere nøjagtigt og om muligt placeret i knudepunkter, dvs. i skæringspunkterne mellem koordinataksernes inddelinger. Nogle gange er det nyttigt at tage som et enhedssegment på x-aksen antallet af celler, der er et multiplum af problemets betingelser med hensyn til tid, og på ordinataksen - antallet af celler, der er et multiplum af problemets forhold med hensyn til afstand. For eksempel kræver 12 minutter i tid at vælge et antal celler, der er et multiplum af 5, fordi 12 minutter er en femtedel af en time.
Løsning af ordproblemer om bevægelse ved hjælp af grafer
Svar: 9 km.
Løsning ved hjælp af ligning:
x/12 timer. – tid fra A til B
x/18 timer. – tiden tilbage
Svar: 9 km
Opgave 2. (Nr. 156 i lærebogen af Yu.N. Makarychev “Algebra 7.”)
To biler kører langs motorvejen med samme hastighed. Hvis den første øger hastigheden med 10 km/t, og den anden falder med 10 km/t, så vil den første tilbagelægge den samme distance på 2 timer som den anden på 3 timer. Hvor hurtigt kører bilerne?
Løsning ved hjælp af ligning:
Lad x km/t bilernes hastighed;
henholdsvis (x+10) og (x-10), hastigheden efter stigning og fald;
2(x+10)=3(x-10)
Svar: 50 km/t
Løsning ved hjælp af en lineær funktionsgraf:
1. Lad os sætte koordinatplanet sOt med abscisseaksen Ot, hvorpå vi markerer bevægelsens tidsintervaller, og ordinataksen Os, hvorpå vi markerer den tilbagelagte afstand af køretøjerne
2. Lad os plotte divisioner på en skala langs x-aksen - en time i 5 celler (i 1 celle - 12 minutter); Vi anvender inddelinger langs ordinataksen, men angiver ikke skalaen.
3. Lad os konstruere bevægelseslinjen for den første bil I: begyndelsen af bevægelsen ved punkt c
4. Konstruer bevægelseslinien for den anden bil II: bevægelsens begyndelse ved punktet med koordinat (0;0). Dernæst bemærker vi vilkårligt punkt(3;s 1) på flyet, fordi bil med ny hastighed Jeg var på vejen i 3 timer.
4. Bestem hastigheden på bilerne v, før den ændres. Lad os betegne forskellen i ordinater af punkter, der ligger på rette linjer med abscisse 1 med symbolet ∆s. Ifølge betingelsen svarer dette segment til en længde på (10+10) km, fordi for den ene af dem faldt hastigheden, og for den anden steg hastigheden med 10 km/t. Det betyder, at bilernes bevægelseslinje før hastighedsændring skal være lige langt fra linje I og II og placeret på koordinatplanet mellem dem. Δs = 2kl. svarer til 20 km, v = 5 celler, hvilket betyder, at vi løser forholdet v = 50 km/t.
Svar: 50 km/t.
Opgave 3
Løsning ved hjælp af en lineær funktionsgraf:
referencepunktet er mole M
Lad os markere punkt N (0; 162).
Svar: 2 timer 20 minutter.
Løsning ved hjælp af ligning:
162 -45(x +0,75)-36x =0
162-45x – 33,75 -36x =0
81x =128,25
2) 
Svar: 2 timer 20 minutter.
Opgave 4.
En cyklist forlod punkt A. Samtidig fulgte en motorcyklist efter ham fra punkt B, der ligger i en afstand af 20 km fra A, med 16 km/t. Cyklisten kørte med en hastighed på 12 km/t. I hvilken afstand fra punkt A vil motorcyklisten indhente cyklisten?
Løsning ved hjælp af en lineær funktionsgraf:
1. Lad os sætte koordinatplanet sOt med abscisseaksen Ot, hvorpå vi vil markere bevægelsens tidsintervaller, og ordinataksen Os, hvorpå vi markerer den tilbagelagte afstand af motorcyklisten og cyklisten
2. Lad os tegne divisioner på en skala: langs ordinataksen - 8 km i 2 celler; langs abscisseaksen – i 2 celler – 1 time.
3. Lad os konstruere motorcyklist II's bevægelseslinje: marker begyndelsen af hans bevægelse ved koordinaterne B(0;0). Motorcyklisten kørte med en hastighed på 16 km/t, hvilket betyder, at lige linje II skal passere gennem punktet med koordinater (1; 16).
4. Lad os konstruere en bevægelseslinje for cyklist I: dens begyndelse vil være ved punkt A(0;20), fordi punkt B ligger 20 km fra punkt A, og han tog afsted samtidig med motorcyklisten. Cyklisten kørte med en hastighed på 12 km/t, hvilket betyder, at lige linje I skal passere gennem punktet med koordinater (1;32).
5. Lad os finde P (5; 80) – skæringspunktet mellem linje I og II, der afspejler motorcyklistens og cyklistens bevægelse: dens ordinat vil vise afstanden fra punkt B, hvor motorcyklisten vil indhente cyklist.
Р(5; 80) |=s = 80, |=80 – 20 = 60(km) – afstanden fra punkt A, hvor motorcyklisten vil indhente cyklisten.
Svar: 60 km.
Løsning ved hjælp af ligning:
Lad x km være afstanden fra punkt A til mødestedet
x /12 cyklist tid
(x +20)/16 motorcyklist tid
x /12=(x +20)/16
16x =12x +240
4x =240
x = 60
Svar: 60 km
Opgave 5.
Motorcyklisten tilbagelagde afstanden mellem byerne på 2 timer, og cyklisten på 5 timer Cyklistens hastighed er 18 km/t mindre end motorcyklistens. Find cyklistens og motorcyklistens hastigheder og afstanden mellem byerne.
Løsning ved hjælp af en lineær funktionsgraf:
1. Lad os definere koordinatplanet sOt med abscisseaksen Ot, hvorpå vi markerer bevægelsens tidsintervaller, og ordinataksen Os, hvorpå vi markerer afstanden.
2. Lad os markere delingen langs abscisseaksen i 2 celler 1 time Langs ordinataksen vil vi lade afstanden være uden divisioner.
3. Lad os tegne cyklist I's bevægelseslinje om 5 timer og motorcyklist II's bevægelseslinje om 2 timer. Slutningen af begge linjer skal have samme ordinat.
4. Lad os tegne et segment med abscisse 1 mellem linje I og II. Længden af dette segment afspejler en afstand på 18 km. Fra tegningen får vi, at 3 celler er lig med 18 km, hvilket betyder, at der er 6 km i 1 celle.
5. Så bestemmer vi ifølge grafen cyklistens hastighed er 12 km/t, motorcyklistens hastighed er 30 km/t, afstanden mellem byer er 60 km.
Løsning ved hjælp af ligning:
Lad x km/t cyklistens hastighed, derefter (x +18) km/t motorcyklistens hastighed
2(x +18)=5x
2x +36=5x
x = 12
2) 12+18=30(km/t) motorcyklisthastighed
3) (km) afstand mellem byer
Svar: 12 km/t; 30 km/t; 60 km
Svar: 60 km.
Opgave 6.
Langs flodstrømmen tilbagelægger en båd en strækning på 30 km på 3 timer og 20 minutter, og mod strømmen på 4 timer en strækning på 28 km. Hvor langt vil båden sejle over søen på 1,5 time?
Løsning ved hjælp af en lineær funktionsgraf:
1. Lad os sætte koordinatplanet sOt med abscisseaksen Ot, hvorpå vi markerer bevægelsens tidsintervaller, og ordinataksen Os, hvorpå vi markerer den tilbagelagte afstand af båden
2. Lad os tegne divisioner på en skala: langs ordinataksen - i to celler 4 km; langs abscisseaksen – i 6 celler – 1 time (i 1 celle – 10 minutter), pga. I henhold til problemets betingelser angives tid i minutter.
3. Lad os bygge en bevægelseslinje for båden langs floden I: begyndelsen af linjen vil være ved punktet med koordinat (0;0). Båden flyder 30 km på 3 timer og 20 minutter, hvilket betyder, at linjen skal passere gennem punktet med koordinat (;30), pga. 3 timer 20 min = h.
4. Lad os konstruere en bevægelseslinje for båden mod strømmen af floden II: lad os tage begyndelsen af bevægelsen ved punktet med koordinat (0;0). Båden flyder 28 km på 4 timer, hvilket betyder, at den lige bevægelseslinje skal passere gennem punktet med koordinat (4;28).
5. Lad os konstruere en bevægelseslinje for båden på søen: lad os tage begyndelsen af bevægelsen ved punktet med koordinat (0; 0). Linjen for bådens egen bevægelse skal placeres lige langt mellem linjerne for bådens bevægelse langs floden. Det betyder, at vi skal dele segmentet bestående af alle punkter med abscisse 1 mellem bevægelseslinjerne langs floden i to og markere dets midte. Fra (0; 0) gennem dette markerede punkt tegner vi en stråle, som vil være bevægelseslinjen langs søen.
6. I henhold til problemets betingelser skal vi finde den afstand, båden tilbagelægger på søen på 1,5 time, hvilket betyder, at vi på denne linje skal bestemme ordinaten af punktet med abscissen t = 1,5, |=s = 12, |= 12 km vil båden sejle langs søen på 1,5 time.
Svar: 12 km.
Løsning ved hjælp af et ligningssystem:
Lad x km/t være søens hastighed, og y km/t være flodens hastighed
Svar: 12 km.
Opgave 7.
En båd sejler 34 km nedstrøms for en flod, samtidig med at den sejler 26 km opstrøms. Bådens egen hastighed er 15 km/t. Find hastigheden af flodens strømning.
Løsning ved hjælp af en lineær funktionsgraf:
1. Lad os sætte koordinatplanet sOt med abscisseaksen Ot, hvorpå vi markerer bevægelsens tidsintervaller, og ordinataksen Os, hvorpå vi markerer den tilbagelagte afstand af båden.
2. Lad os tegne divisioner på en skala: langs ordinataksen - 1 km i 1 celle; På abscisse-aksen vil vi efterlade tiden uden opdelinger.
3. Lad os konstruere linje I af bådens bevægelse langs floden fra 0 km til et punkt på 34 km: begyndelsen af linjen vil være på punktet med koordinat (0; 0). Den anden koordinat vil være (x; 34). ).
4. Lad os konstruere linje II af bådens bevægelse mod strømmen af floden fra 0 km til et punkt på 26 km: begyndelsen af linjen vil være på punktet med koordinat (0; 0). Den anden koordinat vil være (). x; 26).
5. Lad os tegne stråle III fra origo (0; 0) gennem midten af et vilkårligt segment bestående af alle punkter med samme abscisse mellem to bevægelseslinjer I og II. Denne stråle vil reflektere egen bevægelse både, fordi Bådens egen hastighed er det aritmetiske gennemsnit af 2 hastigheder langs strømmen og mod strømmen af floden. På den resulterende stråle vil vi finde et punkt med ordinat 15, fordi Bådens egen hastighed er 15 km/t. Abscissen af det fundne punkt vil svare til opdelingen af 1 time.
6. For at finde flodens strømningshastighed er det nok at finde længden af segmentet med abscisse 1 fra linje III til linje II. Flodens hastighed er 2 km/t.
Svar: 2 km/t.
Løsning ved hjælp af ligning:
Flodstrømningshastighed x km/t
34/(15+x)=26/(15-x) Ved at løse proportionen får vi:
Svar: 2 km/t.
Konklusion.
Fordele:
Du kan kort skrive opgaverne ned;
Fejl:
LITTERATUR.
1. Makarychev Yu N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B., Algebra: Lærebog for 7. klasse. uddannelsesinstitutioner, "Enlightenment", M., 2000.
2. Bulynin V., Anvendelse af grafiske metoder til løsning af tekstproblemer, pædagogisk og metodisk avis "Mathematics", nr. 14, 2005.
3. Zvavich L.I. Didaktiske materialer om algebra til klasse 7.
Se dokumentets indhold
"ord"
I algebratimerne i 7. klasse lærte jeg om emnet ”Lineær funktion. Indbyrdes arrangement af grafer for lineære funktioner." Jeg lærte at bygge grafer for en lineær funktion, lærte dens egenskaber, lærte hvordan man givne formler bestemme gensidig ordning grafer. Jeg lagde mærke til det i lærebogen af Yu.N
"Algebra.7 karakter" undersøger problemer, hvor det ifølge et givet skema er nødvendigt at besvare en række spørgsmål. Et eksempel på en sådan opgave er præsenteret på sliden.
Ud fra den givne tidsplan kan det fastslås, at
Og jeg havde et spørgsmål: er det muligt at løse bevægelsesproblemer ikke ved handlinger eller ved hjælp af ligninger, men ved at bruge lineære funktionsgrafer til dette?
Hypotesen, målene og målene præsenteres på sliden
I min forskning besluttede jeg at forsøge at give en grafisk fortolkning af bevægelsesproblemerne præsenteret i vores lærebog, og derefter besvare spørgsmålet stillet i problemet i henhold til grafen. Til denne løsningsmetode tog jeg problemer med retlinet ensartet bevægelse på en sektion af stien.
Det viste sig, at mange problemer løses på denne måde. Den eneste ulempe ved denne teknik: for nøjagtigt at få et svar på spørgsmålet om problemet, skal du være i stand til korrekt at vælge skalaen af måleenheder på koordinatakserne. Beslutningserfaring spiller en stor rolle i at træffe det rigtige valg i denne skala. For at mestre kunsten at løse problemer ved hjælp af grafer var jeg derfor nødt til at se på mange af dem.
Metoder til løsning af ordproblemer ved hjælp af lineære funktionsgrafer.
For at bestemme ord problem ved at bruge lineære funktionsgrafer skal du:
indstil et koordinatsystem For at gøre dette, i henhold til problemets betingelser, skal du vælge oprindelsen: begyndelsen af objektets bevægelse eller, fra flere objekter, vælge den, der begyndte at bevæge sig tidligere eller har rejst en større afstand. På abscisseaksen markeres tidsintervallerne i dens måleenheder, og på ordinataksen markeres afstanden i den valgte skala af dens måleenheder.
Tegn bevægelseslinjerne for hvert af objekterne specificeret i problemformuleringen gennem koordinaterne af mindst to lige punkter. Typisk giver et objekts hastighed information om den tilbagelagte afstand i en tidsenhed fra begyndelsen af dets bevægelse. Hvis et objekt begynder at bevæge sig senere, så flyttes det punkt, hvor det begynder at bevæge sig givet nummer enheder til højre fra origo langs abscisse-aksen. Hvis et objekt begynder at bevæge sig fra et sted fjernt fra oprindelsen med en vis afstand, så flyttes oprindelsespunktet for dets bevægelse opad langs ordinataksen.
Mødestedet for flere objekter på koordinatplanet er angivet ved skæringspunktet mellem linjerne, der viser deres bevægelse, hvilket betyder, at koordinaterne for dette punkt giver information om tidspunktet for mødet og mødestedets afstand fra oprindelsen .
Forskellen i bevægelseshastigheden af to objekter bestemmes af længden af segmentet, der består af alle punkter med en abscisse på 1 placeret mellem disse objekters bevægelseslinjer.
Punkter på koordinatplanet skal markeres i overensstemmelse med skalaen i henhold til problemets forhold, og linjerne skal tegnes omhyggeligt. Nøjagtigheden af at løse problemet afhænger af dette.
Opgave 1. (Nr. 673 i lærebogen af Yu.N. Makarychev “Algebra 7.”)
En cyklist kører ad sti AB med en hastighed på 12 km/t. Hjemvendt nåede han en hastighed på 18 km/t og brugte 15 minutter mindre på hjemturen end på vej fra A til B. Hvor mange kilometer fra A til B.
Løsning ved hjælp af ligning:
Lad x km være afstanden fra A til B.
x/12 timer. – tid fra A til B
x/18 timer. – tiden tilbage
Da han brugte 15 minutter mindre på vej tilbage, laver vi ligningen
Svar: 9 km
Løsning ved hjælp af en lineær funktionsgraf:
1. Lad os definere koordinatplanet sOtc ved abscisseaksen Оt, hvorpå vi vil markere bevægelsens tidsintervaller, og ved ordinataksen Os, hvorpå vi markerer afstanden.
2. Lad os tegne divisioner på en skala: langs ordinataksen - 3 km i en celle; på abscissen - en time i 4 celler (i 1 celle - 15 minutter).
3. Lad os bygge en bevægelseslinje der: Marker begyndelsen af bevægelsen med en prik (0;0). Cyklisten kørte med en hastighed på 12 km/t, hvilket betyder, at den lige linje skal passere gennem punktet (1;12).
4. Lad os bygge en bevægelseslinje tilbage: marker slutningen af linjen med en prik (; 0), fordi Cyklisten brugte 15 minutter mindre på hjemturen. Han kørte med en hastighed på 18 km/t, hvilket betyder, at næste punkt på den lige linje har koordinater (;18).
5. Bemærk (; 9) - linjernes skæringspunkt: dens ordinat viser afstanden: s = 9
Svar: 9 km.
Opgave 2 (Nr. 757 i lærebogen af Yu.N. Makarychev "Algebra 7")
Afstanden mellem molerne M og N er 162 km. Motorskibet afgik fra mole M med en hastighed på 45 km/t. Efter 45 minutter afgik et andet motorskib fra mole N for at møde ham, hvis hastighed var 36 km/t. Hvor mange timer efter det første skibs afgang vil de mødes?
Løsning ved hjælp af ligning:
Lad der være møde om x timer
162 -45(x +0,75)-36x =0
162-45x – 33,75 -36x =0
81x =128,25
2) 
Svar: 2 timer 20 minutter.
Løsning ved hjælp af en lineær funktionsgraf:
1. Lad os definere koordinatplanet sOt med abscisseaksen Ot, hvorpå vi markerer bevægelsens tidsintervaller, og ordinataksen Os, hvorpå
Lad os notere afstanden fra mole M til mole N, svarende til 162 km. Begyndelsen
referencepunktet er mole M
2. Lad os tegne divisioner på en skala: langs ordinataksen - i to celler 18 km; Abscissen er en time i 6 celler (1 celle er 10 minutter), fordi Opgavebetingelserne angiver tiden i minutter.
Lad os markere punkt N (0; 162).
3. Lad os konstruere bevægelseslinjen for det første motorskib I: begyndelsen af dets bevægelse vil være ved punktet med koordinaterne (0;0). Det første motorskib sejlede med en hastighed på 45 km/t, hvilket betyder, at den lige linje skal passere gennem punktet med koordinater (1;45).
4. Lad os konstruere bevægelseslinjen for det andet motorskib II: begyndelsen af bevægelsen vil være i punkt c
koordinater (; 162), siden han forlod punkt N, 162 km væk fra M, i 45 minutter. senere end først, og 45 min. = h Det andet motorskib sejlede med en hastighed på 36 km/t, hvilket betyder, at den lige linje skal passere gennem punktet (; 126), da det andet motorskib sejlede i retning af punktet M: 162 – 36 =. 126 (km).
5. Skæringspunktet for linje I og II er punkt A (;108). Punktets abscisse viser det tidspunkt, hvorefter de mødtes efter det første skibs afgang: t =, |=h = 2t20min. – tidspunktet for mødet mellem to skibe efter det første skibs afgang.
Svar: 2 timer 20 minutter.
Konklusion.
Ved afslutningen af undersøgelsen var jeg i stand til at identificere fordele og ulemper ved at løse problemer grafisk.
Fordele:
Du kan kort skrive opgaverne ned;
Det er ret nemt at arbejde med små tal.
Fejl:
Svært at arbejde med store tal.
Se præsentationsindhold
"projekt"
En måde at løse ligninger på er grafisk. Det er baseret på at konstruere funktionsgrafer og bestemme deres skæringspunkter. Lad os overveje en grafisk metode til løsning af andengradsligningen a*x^2+b*x+c=0.
Første løsning
Lad os transformere ligningen a*x^2+b*x+c=0 til formen a*x^2 =-b*x-c. Vi bygger grafer af to funktioner y= a*x^2 (parabel) og y=-b*x-c (lige linie). Vi leder efter skæringspunkter. Skæringspunkternes abscisse vil være løsningen på ligningen.
Lad os vise med et eksempel: løs ligningen x^2-2*x-3=0.
Lad os omdanne det til x^2 =2*x+3. Vi konstruerer grafer for funktionerne y= x^2 og y=2*x+3 i ét koordinatsystem.
Graferne skærer hinanden i to punkter. Deres abscisser vil være rødderne til vores ligning.
Løsning efter formel
For at være sikker, lad os tjekke denne løsning analytisk. Lad os løse den andengradsligning ved hjælp af formlen:
D = 4-4*1*(-3) = 16.
X1= (2+4)/2*1 = 3.
X2 = (2-4)/2*1 = -1.
Midler, løsningerne er de samme.
Den grafiske metode til at løse ligninger har også sin ulempe med sin hjælp er det ikke altid muligt at opnå en nøjagtig løsning på ligningen. Lad os prøve at løse ligningen x^2=3+x.
Lad os konstruere en parabel y=x^2 og en ret linje y=3+x i ét koordinatsystem.
Vi fik en lignende tegning igen. En ret linje og en parabel skærer hinanden i to punkter. Men nøjagtige værdier Vi kan ikke sige abscissen af disse punkter, kun omtrentlige: x≈-1,3 x≈2,3.
Hvis vi er tilfredse med svar af en sådan nøjagtighed, kan vi bruge denne metode, men det sker sjældent. Normalt tiltrængt præcise løsninger. Derfor bruges den grafiske metode sjældent, og primært til at tjekke eksisterende løsninger.
Har du brug for hjælp til dit studie?
Tidligere emne:
OSR. "Løsning af ligninger ved hjælp af grafer."
Dyrke motion:
1) Grundlæggende resumé.
En graf er et sæt punkter på et koordinatplan, der har x- og y-værdier.
er forbundet med en vis afhængighed, og hver værdi x svarer til en enkelt værdi y.
Den grafiske metode er en af de mest bekvemme og visuelle måder præsentation og analyse
Information.
I praksis viser den grafiske metode til at løse ligninger sig ofte at være brugbar. Han
er som følger: for at løse ligningerne f(x)=0, plot funktionen y=f(x) og find
abscisser af grafens skæringspunkter med Ox-aksen: disse abscisser er ligningens rødder.
Algoritme til grafisk løsning af ligninger
For at løse grafisk en ligning af formen f(x) = g(x), skal du bruge:
1. Konstruer funktionsgrafer i ét koordinatplan:
y = f(x) og y = g(x).
2. Find skæringspunkterne for disse grafer.
3. Angiv abscissen for hvert af disse skæringspunkter.
4. Skriv svaret ned.
Det er ret nemt at løse et ligningssystem grafisk, da hver
systemets ligning på koordinatplanet repræsenterer nogle
linje.
Ved at konstruere grafer for disse ligninger og finde koordinaterne for deres punkter
kryds (hvis de findes), får vi den ønskede løsning.
Grafisk løsning uligheder, kommer ned til at finde sådanne punkter x,
hvor en graf ligger over eller under en anden.
Eksempler:
#1: Løs ligningen
x
4
5
x
point
kryds
jeg
grafer
funktioner
№
2.
Beslutte
er
tegning
abscisse
1
.
ligninger
5
cm.
:
x
x
4
Ved beslutning
på
ui
Undersøgelse
1
4
15
4
4
højre
Svar
.1:
ligningen
x
3
3
x
Ved beslutning
ligninger
er
på
3
x
ui
3
x
cm.
tegning
abscisse
.
2
point
kryds
jeg
grafer
funktioner
nr. 3. Vedr
1
3
Undersøgelse
:
3
1
højre
1:
33
Svar
.
sy ligning
Løsning: Lad os bygge grafer over funktioner
og y = x
Graferne for funktionerne skærer ikke hinanden, og derfor har ligningen ingen rødder (se figur).
Svar: ingen rødder.
Nej. 4. Find værdien af udtrykket x + y, hvis (x
;y
er en løsning på ligningssystemet.
Løsning:
til venstre.
parallel overførsel med 1 enhed
parallel oversættelse 2 enheder til venstre.
= 1, y
=1
+ y
=0.
x
x
Svar: 0.
nr. 5. Løs uligheden
Svar: x>2.
>12 1,5x. nr. 6. Løs uligheden
. Svar: x>0.
nr. 7. Løs ligningen sinx + cosx=1. Lad os plotte funktionerne y=sinx u y=1cosx (Figur 5) Fra
Grafen viser, at ligningen har 2 løsninger: x = 2 n, hvor nЄZ og x = /2+2 k, hvor kЄZ.
π
π
π
2
synd x(
1
fordi x(
6
4
2
1
2
2
1
1
0
x
2
4
6
2
nr. 8. Løs ligningen: 3x = (x1) 2 + 3
Løsning: anvend funktionel metode løsninger til ligninger:
fordi dette system Det har eneste beslutning, så ved hjælp af udvælgelsesmetoden finder vi x=1
Svar: 1.
nr. 9.Løs ulighed: cos x 1 + 3x
Løsning:
Svar: (
;
).
nr. 10. Løs ligningen
I vores tilfælde er funktionen
stiger når x>0, og funktionen y = 3 – x falder når
alle værdier af x, inklusive for x>0, hvilket betyder
ligningen
rod Bemærk at for x = 2 bliver ligningen
V ægte ligestilling, fordi
har højst en
.
Svar: 2.
2)Løs opgaven:
1) Har ligningen en rod, og hvis ja, er den positiv eller negativ?
EN)
; b)
, c) 6x =1/6, d)
.
2) Løs grafisk metode ligningen
.
1
3
x
3
x
3) Løs ligningen grafisk:
EN)
b)
.
3
х
3
x
5
1
2
x
4) Figuren viser en graf over funktionen y=f(x).
1) 1 2) 6 3) 7 4) 8
5) Hvilken af figurerne viser grafen for funktionen
?
på
log
x
1
2
1) ved 2) ved 3) ved 4)
på
1 1 1
6) Grafen for hvilken funktion er vist på figuren?
1) y = 2x1,5; 2) y = 2x – 2;
3) y = 2x – 3; 4) y = 2x – 2.
7) Hvilken funktion er tegnet i figuren?
1) y = sinx; 2)
på
synd
x
6
; 3)
på
synd
x
3
; 4)
.
på
synd
x
6
8) Figuren viser en graf over funktioner
y = f (x) og y = g (x), givet på intervallet
[5;6]. Angiv de værdier af x for hvilke
uligheden g(x) gælder
y
y
)(xg
f(x)1
1) [5; 0] 2) [5; 2]
0 1 x
3) [2; 2] 4)
9) Figuren viser en graf over funktionen y=f(x).
Find antallet af heltalsrødder af ligningen f(x)= 0.
1) 3 2) 4 3) 2 4) 1
)(xf
y
10) Figuren viser en graf over funktionen y=f(x).
Find antallet af heltalsrødder af ligningen f(x)+2= 0.
1) 3 2) 5 3) 4 4) 1
Grafisk løsning af ligninger
Heyday, 2009
Introduktion
Behovet for at bestemme andengradsligninger selv i oldtiden var det forårsaget af behovet for at løse problemer i forbindelse med at finde områder jordlodder og med jordarbejder af militær karakter, samt med selve udviklingen af astronomi og matematik. Babylonierne var i stand til at løse andengradsligninger omkring 2000 f.Kr. Reglen for løsning af disse ligninger, som er beskrevet i de babylonske tekster, falder i det væsentlige sammen med moderne, men det vides ikke, hvordan babylonierne nåede frem til denne regel.
Formler til løsning af andengradsligninger i Europa blev først fremsat i Abacus-bogen, skrevet i 1202 af den italienske matematiker Leonardo Fibonacci. Hans bog bidrog til udbredelsen af algebraisk viden ikke kun i Italien, men også i Tyskland, Frankrig og andre europæiske lande.
Men almindelig regel løsninger til andengradsligninger for alle mulige kombinationer af koefficienter b og c blev først formuleret i Europa i 1544 af M. Stiefel.
I 1591 Francois Viet indført formler til løsning af andengradsligninger.
I det gamle Babylon kunne løse nogle typer andengradsligninger.
Diophantus af Alexandria Og Euklid, Al-Khwarizmi Og Omar Khayyam løst ligninger ved hjælp af geometriske og grafiske metoder.
I 7. klasse studerede vi funktioner y = C, y =kx, y =kx+ m, y =x 2,y = –x 2, i 8. klasse – y = √x, y =|x|, y =økse2 + bx+ c, y =k/ x. I algebra-lærebogen i 9. klasse så jeg funktioner, der endnu ikke var kendt for mig: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– -en) 2 + (y –b) 2 = r 2 og andre. Der er regler for at konstruere grafer for disse funktioner. Jeg spekulerede på, om der var andre funktioner, der overholder disse regler.
Mit job er at studere funktionsgrafer og løse ligninger grafisk.
1. Hvad er funktionerne?
Grafen for en funktion er sættet af alle punkter i koordinatplanet, hvis abscisser er lig med værdierne af argumenterne, og ordinaterne er lig med de tilsvarende værdier af funktionen.
Den lineære funktion er givet af ligningen y =kx+ b, Hvor k Og b- nogle tal. Grafen for denne funktion er en ret linje.
Fungere omvendt proportionalitet y =k/ x, hvor k ¹ 0. Grafen for denne funktion kaldes en hyperbel.
Fungere (x– -en) 2 + (y –b) 2 = r2 , Hvor EN, b Og r- nogle tal. Grafen for denne funktion er en cirkel med radius r med centrum i punktet A ( EN, b).
Kvadratisk funktion y= økse2 + bx+ c Hvor EN,b, Med– nogle tal og EN¹ 0. Grafen for denne funktion er en parabel.
Ligningen på2 (-en– x) = x2 (-en+ x) . Grafen for denne ligning vil være en kurve kaldet en strophoid.
/>Ligning (x2 + y2 ) 2 = -en(x2 – y2 ) . Grafen for denne ligning kaldes Bernoullis lemniscat.
Ligningen. Grafen for denne ligning kaldes en astroid.
Kurve (x2 y2 – 2 økse)2 =4 a2 (x2 + y2 ) . Denne kurve kaldes en cardioid.
Funktioner: y =x 3 - kubisk parabel, y =x 4, y = 1/x 2.
2. Begrebet en ligning og dens grafiske løsning
Ligningen– et udtryk, der indeholder en variabel.
Løs ligningen- det betyder at finde alle dens rødder, eller bevise, at de ikke eksisterer.
Roden til ligningen er det tal, der, når det indsættes i ligningen, giver det rigtige svar numerisk lighed.
Løsning af ligninger grafisk giver dig mulighed for at finde den nøjagtige eller omtrentlige værdi af rødderne, giver dig mulighed for at finde antallet af rødder af ligningen.
Ved konstruktion af grafer og løsning af ligninger anvendes en funktions egenskaber, hvorfor metoden ofte kaldes funktionel-grafisk.
For at løse ligningen "deler" vi den i to dele, introducerer to funktioner, bygger deres grafer og finder koordinaterne for grafernes skæringspunkter. Abscissen af disse punkter er ligningens rødder.
3. Algoritme til at plotte en funktionsgraf
At kende grafen for en funktion y =f(x) , kan du bygge grafer over funktioner y =f(x+ m) ,y =f(x)+ l Og y =f(x+ m)+ l. Alle disse grafer er hentet fra grafen for funktionen y =f(x) ved hjælp af transformation parallel overførsel: på │ m│ skalaenheder til højre eller venstre langs x-aksen og videre │ l│ skalaenheder op eller ned langs en akse y.
4. Grafisk løsning af andengradsligningen
For eksempel kvadratisk funktion Vi vil se på den grafiske løsning af en andengradsligning. Grafen for en kvadratisk funktion er en parabel.
Hvad vidste de gamle grækere om parablen?
Moderne matematisk symbolik opstod i det 16. århundrede.
Det gjorde de gamle græske matematikere ikke koordinere metode, var der ikke noget funktionsbegreb. Ikke desto mindre blev parablens egenskaber undersøgt i detaljer af dem. Oldtidens matematikeres opfindsomhed er simpelthen fantastisk - de kunne trods alt kun bruge tegninger og verbale beskrivelser afhængigheder.
Mest fuldt udforsket parablen, hyperbelen og ellipsen Apollonius af Perga, der levede i det 3. århundrede f.Kr. Han gav disse kurver navne og angav hvilke betingelser de punkter, der ligger på denne eller hin kurve, opfylder (der var trods alt ingen formler!).
Der er en algoritme til at konstruere en parabel:
Find koordinaterne for toppunktet af parablen A (x0; y0): x=- b/2 -en;
y0=axo2+in0+s;
Find parablens symmetriakse (lige linie x=x0);
SIDESKIFT--
Vi udarbejder en tabel med værdier til at konstruere kontrolpunkter;
Vi konstruerer de resulterende punkter og konstruerer punkter, der er symmetriske til dem i forhold til symmetriaksen.
1. Ved hjælp af algoritmen vil vi konstruere en parabel y= x2 – 2 x– 3 . Abscisse af skæringspunkter med aksen x og der er rødder til andengradsligningen x2 – 2 x– 3 = 0.
Der er fem måder at løse denne ligning grafisk på.
2. Lad os opdele ligningen i to funktioner: y= x2 Og y= 2 x+ 3
3. Lad os opdele ligningen i to funktioner: y= x2 –3 Og y=2 x. Ligningens rødder er abscissen af skæringspunkterne mellem parablen og linjen.
4. Transformér ligningen x2 – 2 x– 3 = 0 ved hjælp af valg fuld firkant til funktioner: y= (x–1) 2 Og y=4. Ligningens rødder er abscissen af skæringspunkterne mellem parablen og linjen.
5. Del begge sider af ligningsleddet efter led x2 – 2 x– 3 = 0 på x, vi får x– 2 – 3/ x= 0 , lad os opdele denne ligning i to funktioner: y= x– 2, y= 3/ x. Ligningens rødder er abscissen af skæringspunkterne mellem linjen og hyperbelen.
5. Grafisk løsning af gradligningern
Eksempel 1. Løs ligningen x5 = 3 – 2 x.
y= x5 , y= 3 – 2 x.
Svar: x = 1.
Eksempel 2. Løs ligningen 3 √ x= 10 – x.
Rødder givet ligning er abscissen af skæringspunktet mellem graferne for to funktioner: y= 3 √ x, y= 10 – x.
Svar: x = 8.
Konklusion
Efter at have set på graferne for funktionerne: y =økse2 + bx+ c, y =k/ x, у = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Jeg bemærkede, at alle disse grafer er bygget i henhold til reglen om parallel oversættelse i forhold til akserne x Og y.
Ved at bruge eksemplet med løsning af en andengradsligning kan vi konkludere, at den grafiske metode også er anvendelig for ligninger af grad n.
Grafiske metoder løsninger til ligninger er smukke og forståelige, men giver ikke 100 % garanti for at løse nogen ligning. Abscissen af grafernes skæringspunkter kan være omtrentlige.
I 9. klasse og i gymnasiet vil jeg blive ved med at stifte bekendtskab med andre funktioner. Jeg er interesseret i at vide, om disse funktioner overholder reglerne for parallel overførsel, når de konstruerer deres grafer.
På næste år Jeg vil også gerne overveje spørgsmålene om grafisk løsning af systemer af ligninger og uligheder.
Litteratur
1. Algebra. 7. klasse. Del 1. Lærebog for uddannelsesinstitutioner / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.
2. Algebra. 8. klasse. Del 1. Lærebog for uddannelsesinstitutioner / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.
3. Algebra. 9. klasse. Del 1. Lærebog for uddannelsesinstitutioner / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.
4. Glazer G.I. Historie om matematik i skolen. VII-VIII karakterer. – M.: Uddannelse, 1982.
5. Tidsskriftsmatematik nr. 5 2009; nr. 8 2007; nr. 23 2008.
6. Grafisk løsning af ligninger hjemmesider på internettet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.