Instruktioner

Vi bestemmer vinkelkoefficienten for tangenten til kurven i punktet M.
Kurven, der repræsenterer grafen for funktionen y = f(x) er kontinuert i et bestemt område af punktet M (inklusive selve punktet M).

Hvis værdien f'(x0) ikke eksisterer, er der enten ingen tangent, eller også løber den lodret. I lyset af dette skyldes tilstedeværelsen af ​​en afledet af funktionen i punktet x0 eksistensen af ​​en ikke-lodret tangent til funktionens graf i punktet (x0, f(x0)). I dette tilfælde vil tangentens vinkelkoefficient være lig med f "(x0). Således bliver den geometriske betydning af den afledte klar - beregningen af ​​tangentens vinkelkoefficient.

Find abscisseværdien af ​​tangentpunktet, som er angivet med bogstavet "a". Hvis det falder sammen med et givet tangentpunkt, så vil "a" være dets x-koordinat. Bestem værdien funktioner f(a) ved at substituere i ligningen funktioner abscisse værdi.

Bestem den første afledede af ligningen funktioner f'(x) og indsæt værdien af ​​punkt "a" i det.

Tag den generelle tangentligning, som er defineret som y = f(a) = f (a)(x – a), og indsæt de fundne værdier af a, f(a), f "(a) i den. Som et resultat vil løsningen til grafen blive fundet og tangere.

Løs opgaven på en anden måde, hvis det givne tangentpunkt ikke falder sammen med tangentpunktet. I dette tilfælde er det nødvendigt at erstatte "a" i stedet for tal i tangentligningen. Efter dette, i stedet for bogstaverne "x" og "y", erstatter værdien af ​​koordinaterne for det givne punkt. Løs den resulterende ligning, hvor "a" er det ukendte. Sæt den resulterende værdi ind i tangentligningen.

Skriv en ligning for en tangent med bogstavet "a", hvis problemformuleringen specificerer ligningen funktioner og ligningen af ​​en parallel linje i forhold til den ønskede tangent. Efter dette har vi brug for den afledte funktioner, til koordinaten i punkt "a". Indsæt den passende værdi i tangentligningen og løs funktionen.

Første niveau

Ligning for en tangent til grafen for en funktion. The Comprehensive Guide (2019)

Ved du allerede, hvad et derivat er? Hvis ikke, så læs emnet først. Så du siger, at du kender derivatet. Lad os tjekke det nu. Find stigningen af ​​funktionen, når stigningen af ​​argumentet er lig med. Klarede du dig? Det burde virke. Find nu den afledede af funktionen i et punkt. Svar: . sket? Hvis du har problemer med nogle af disse eksempler, anbefaler jeg kraftigt, at du vender tilbage til emnet og studerer det igen. Jeg ved godt, at emnet er meget stort, men ellers nytter det ikke at gå videre. Overvej grafen for en funktion:

Lad os vælge et bestemt punkt på graflinjen. Lad dens abscisse, så er ordinaten lig. Så vælger vi punktet med abscissen tæt på punktet; dens ordinat er:

Lad os tegne en lige linje gennem disse punkter. Det kaldes en sekant (ligesom i geometri). Lad os betegne hældningsvinklen af ​​den lige linje til aksen som. Som i trigonometri måles denne vinkel fra x-aksens positive retning mod uret. Hvilke værdier kan vinklen tage? Uanset hvordan du vipper denne lige linje, vil den ene halvdel stadig stikke op. Derfor er den maksimalt mulige vinkel , og den mindst mulige vinkel er . Midler, . Vinklen er ikke inkluderet, da positionen af ​​den lige linje i dette tilfælde er nøjagtigt sammenfaldende med, og det er mere logisk at vælge en mindre vinkel. Lad os tage et punkt i figuren, således at den rette linje er parallel med abscisseaksen og a er ordinataksen:

Af figuren kan det ses, at en. Så er stigningsforholdet:

(da den er rektangulær).

Lad os reducere det nu. Så vil punktet nærme sig punktet. Når det bliver infinitesimalt, bliver forholdet lig med den afledede af funktionen i punktet. Hvad vil der ske med sekanten? Punktet vil være uendeligt tæt på punktet, så de kan betragtes som det samme punkt. Men en lige linje, der kun har ét fælles punkt med en kurve, er ikke andet end tangent(i dette tilfælde er denne betingelse kun opfyldt i et lille område - nær punktet, men det er nok). De siger, at i dette tilfælde tager sekanten grænseposition.

Lad os kalde sekantens hældningsvinkel til aksen. Så viser det sig, at den afledte

det er den afledede er lig med tangenten af ​​hældningsvinklen af ​​tangenten til grafen for funktionen i et givet punkt.

Da en tangent er en linje, lad os nu huske ligningen for en linje:

Hvad er koefficienten ansvarlig for? For hældningen af ​​den lige linje. Dette er hvad det hedder: hældning. Hvad betyder det? Og det faktum, at det er lig med tangenten af ​​vinklen mellem den rette linje og aksen! Så dette er hvad der sker:

Men vi fik denne regel ved at overveje en stigende funktion. Hvad vil ændre sig, hvis funktionen er faldende? Lad os se:
Nu er vinklerne stumpe. Og stigningen af ​​funktionen er negativ. Lad os overveje igen:. På den anden side, . Vi får: , det vil sige alt er det samme som sidste gang. Lad os igen rette punktet til punktet, og sekanten vil tage en begrænsende position, det vil sige, at den bliver til en tangent til funktionens graf i punktet. Så lad os formulere den sidste regel:
Den afledede af en funktion i et givet punkt er lig med tangenten af ​​hældningsvinklen af ​​tangenten til grafen for funktionen i dette punkt, eller (som er den samme) hældningen af ​​denne tangent:

Det er, hvad det er geometrisk betydning af afledt. Okay, alt dette er interessant, men hvorfor har vi brug for det? Her eksempel:
Figuren viser en graf for en funktion og en tangent til den i abscissepunktet. Find værdien af ​​den afledede af funktionen i punktet.
Løsning.
Som vi for nylig fandt ud af, er værdien af ​​den afledede ved tangenspunktet lig med hældningen af ​​tangenten, som igen er lig med tangenten af ​​hældningsvinklen for denne tangent til abscisseaksen: . Det betyder, at for at finde værdien af ​​den afledede, skal vi finde tangenten til tangentvinklen. På figuren har vi markeret to punkter, der ligger på tangenten, hvis koordinater er kendt for os. Så lad os færdiggøre konstruktionen af ​​en retvinklet trekant, der går gennem disse punkter og finde tangenten til tangentvinklen!

Hældningsvinklen for tangenten til aksen er. Lad os finde tangenten til denne vinkel: . Således er den afledede af funktionen i et punkt lig med.
Svar:. Prøv det nu selv:

Svar:

At vide geometrisk betydning af afledt, kan vi meget enkelt forklare reglen om, at den afledte ved punktet for et lokalt maksimum eller minimum er lig med nul. Faktisk er tangenten til grafen i disse punkter "vandret", det vil sige parallel med x-aksen:

Hvad er vinklen mellem parallelle linjer? Selvfølgelig nul! Og tangens af nul er også nul. Så den afledte er lig med nul:

Læs mere om dette i emnet "Monotonicitet af funktioner. Ekstrempunkter."

Lad os nu fokusere på vilkårlige tangenter. Lad os sige, at vi har en funktion, for eksempel . Vi har tegnet dens graf og ønsker at tegne en tangent til den på et tidspunkt. For eksempel på et tidspunkt. Vi tager en lineal, fastgør den til grafen og tegner:

Hvad ved vi om denne linje? Hvad er det vigtigste at vide om en linje på et koordinatplan? Da en lige linje er et billede af en lineær funktion, ville det være meget praktisk at kende dens ligning. Det vil sige koefficienterne i ligningen

Men vi ved det allerede! Dette er hældningen af ​​tangenten, som er lig med den afledede af funktionen på det punkt:

I vores eksempel vil det være sådan her:

Nu er der kun tilbage at finde den. Det er så simpelt som at beskyde pærer: trods alt - værdien af. Grafisk er dette koordinaten for skæringspunktet mellem linjen og ordinataksen (trods alt på alle punkter på aksen):

Lad os tegne det (så det er rektangulært). Derefter (til samme vinkel mellem tangenten og x-aksen). Hvad er og lig med? Figuren viser tydeligt, at en. Så får vi:

Vi kombinerer alle de opnåede formler i ligningen for en ret linje:

Bestem nu selv:

1. Find tangentligning til en funktion på et punkt.
2. Tangenten til en parabel skærer aksen i en vinkel. Find ligningen for denne tangent.
3. Linjen er parallel med tangenten til funktionens graf. Find abscissen af ​​tangentpunktet.
4. Linjen er parallel med tangenten til funktionens graf. Find abscissen af ​​tangentpunktet.

Løsninger og svar:

LIGNING AF EN TANGENT TIL GRAFEN AF EN FUNKTION. KORT BESKRIVELSE OG GRUNDLÆGGENDE FORMLER

Den afledede af en funktion i et bestemt punkt er lig med tangenten af ​​tangenten til grafen for funktionen i dette punkt, eller hældningen af ​​denne tangent:

Ligning for tangenten til grafen for en funktion i et punkt:

Algoritme til at finde tangentligningen:

Nå, emnet er slut. Hvis du læser disse linjer, betyder det, at du er meget sej.

Fordi kun 5% af mennesker er i stand til at mestre noget på egen hånd. Og hvis du læser til ende, så er du i disse 5%!

Nu det vigtigste.

Du har forstået teorien om dette emne. Og jeg gentager, det her... det her er bare super! Du er allerede bedre end langt de fleste af dine jævnaldrende.

Problemet er, at det måske ikke er nok...

For hvad?

For at have bestået Unified State-eksamenen, for at komme ind på college på et budget og, VIGTIGSTE, for livet.

Jeg vil ikke overbevise dig om noget, jeg vil bare sige én ting...

Folk, der har fået en god uddannelse, tjener meget mere end dem, der ikke har fået den. Dette er statistik.

Men dette er ikke hovedsagen.

Det vigtigste er, at de er MERE GLADDE (der er sådanne undersøgelser). Måske fordi mange flere muligheder åbner sig foran dem, og livet bliver lysere? Ved ikke...

Men tænk selv...

Hvad skal der til for at være sikker på at være bedre end andre på Unified State-eksamenen og i sidste ende være... lykkeligere?

FÅ DIN HÅND VED LØSNING AF PROBLEMER OM DETTE EMNE.

Du bliver ikke bedt om teori under eksamen.

Du får brug for løse problemer mod tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MEGET!), vil du helt sikkert lave en dum fejl et eller andet sted eller simpelthen ikke have tid.

Det er ligesom i sport – du skal gentage det mange gange for at vinde med sikkerhed.

Find kollektionen, hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljeret analyse og beslut, beslut, beslut!

Du kan bruge vores opgaver (valgfrit), og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For at blive bedre til at bruge vores opgaver, skal du være med til at forlænge levetiden på den YouClever-lærebog, du er i gang med at læse.

Hvordan? Der er to muligheder:

1. Lås op for alle skjulte opgaver i denne artikel - 299 rub.
2. Lås op for adgang til alle skjulte opgaver i alle 99 artikler i lærebogen - 999 gnid.

Ja, vi har 99 sådanne artikler i vores lærebog og adgang til alle opgaver og alle skjulte tekster i dem kan åbnes med det samme.

I det andet tilfælde vi vil give dig simulator "6000 problemer med løsninger og svar, for hvert emne, på alle niveauer af kompleksitet." Det vil helt sikkert være nok til at få dine hænder på at løse problemer om ethvert emne.

Faktisk er dette meget mere end blot en simulator – et helt træningsprogram. Hvis det er nødvendigt, kan du også bruge det GRATIS.

Adgang til alle tekster og programmer er givet i HELE perioden af ​​sidens eksistens.

Afslutningsvis...

Hvis du ikke kan lide vores opgaver, så find andre. Bare stop ikke ved teorien.

"Forstået" og "Jeg kan løse" er helt forskellige færdigheder. Du har brug for begge dele.

Find problemer og løs dem!

Dette matematiske program finder ligningen for tangenten til grafen for funktionen \(f(x)\) ved et brugerspecificeret punkt \(a\).

Programmet viser ikke kun tangentligningen, men viser også processen med at løse problemet.

Denne online-beregner kan være nyttig for gymnasieelever i gymnasier, når de forbereder sig til prøver og eksamener, når de tester viden før Unified State-eksamenen, og for forældre til at kontrollere løsningen af ​​mange problemer i matematik og algebra. Eller måske er det for dyrt for dig at hyre en vejleder eller købe nye lærebøger? Eller vil du bare gerne have lavet dine matematik- eller algebralektier så hurtigt som muligt? I dette tilfælde kan du også bruge vores programmer med detaljerede løsninger.

På den måde kan du gennemføre din egen træning og/eller træning af dine yngre brødre eller søstre, samtidig med at uddannelsesniveauet inden for problemløsning stiger.

Skal du finde den afledede af en funktion, så har vi til dette opgaven Find den afledede.

Hvis du ikke er bekendt med reglerne for indtastning af funktioner, anbefaler vi, at du sætter dig ind i dem.

Indtast funktionsudtrykket \(f(x)\) og tallet \(a\)

f(x)=
a=

Find tangentligningen

Det blev opdaget, at nogle scripts, der er nødvendige for at løse dette problem, ikke blev indlæst, og programmet virker muligvis ikke.
Du har muligvis AdBlock aktiveret.
I dette tilfælde skal du deaktivere det og opdatere siden.

JavaScript er deaktiveret i din browser.
For at løsningen vises, skal du aktivere JavaScript.
Her er instruktioner til, hvordan du aktiverer JavaScript i din browser.

Fordi Der er mange mennesker, der er villige til at løse problemet, din anmodning er blevet sat i kø.
Om et par sekunder vises løsningen nedenfor.
Vent venligst sek...

hvis du bemærket en fejl i løsningen, så kan du skrive om dette i Feedbackformularen.
Glem ikke angive hvilken opgave du bestemmer hvad indtast i felterne.

Vores spil, puslespil, emulatorer:

Lidt teori.

Direkte hældning

Husk, at grafen for den lineære funktion \(y=kx+b\) er en ret linje. Tallet \(k=tg \alpha \) kaldes hældning af en lige linje, og vinklen \(\alpha \) er vinklen mellem denne linje og Ox-aksen

Hvis \(k>0\), så \(0 Hvis \(kLigning af tangenten til funktionens graf

Hvis punktet M(a; f(a)) hører til grafen for funktionen y = f(x), og hvis der på dette punkt kan trækkes en tangent til grafen for funktionen, som ikke er vinkelret på x-aksen, så følger det af den aflededes geometriske betydning, at tangentens vinkelkoefficient er lig med f "(a). Dernæst vil vi udvikle en algoritme til at sammensætte en ligning for en tangent til grafen for enhver funktion.

Lad en funktion y = f(x) og et punkt M(a; f(a)) være givet på grafen for denne funktion; lad det være kendt, at f"(a) eksisterer. Lad os skabe en ligning for tangenten til grafen for en given funktion i et givet punkt. Denne ligning har ligesom ligningen for enhver ret linje, der ikke er parallel med ordinataksen, form y = kx + b, så opgaven er at finde værdierne af koefficienterne k og b.

Alt er klart med vinkelkoefficienten k: det er kendt, at k = f"(a). For at beregne værdien af ​​b bruger vi det faktum, at den ønskede rette linje går gennem punktet M(a; f(a)) Dette betyder, at hvis vi erstatter koordinaterne for punktet M i ligningen for en ret linje, får vi den korrekte lighed: \(f(a)=ka+b\), dvs. \(b = f(a) - ka\).

Det er tilbage at erstatte de fundne værdier af koefficienterne k og b i ligningen for den rette linje:

$$ y=kx+b $$ $$ y=kx+ f(a) - ka $$ $$ y=f(a)+ k(x-a) $$ $$ y=f(a)+ f"(a) )(x-a) $$

Vi modtog ligning af tangenten til grafen for en funktion\(y = f(x) \) i punktet \(x=a \).

Algoritme til at finde ligningen for tangenten til grafen for funktionen \(y=f(x)\)
1. Angiv abscissen af ​​tangentpunktet med bogstavet \(a\)
2. Beregn \(f(a)\)
3. Find \(f"(x)\) og beregn \(f"(a)\)
4. Erstat de fundne tal \(a, f(a), f"(a) \) i formlen \(y=f(a)+ f"(a)(x-a) \)

Bøger (lærebøger) Resuméer af Unified State Examination og Unified State Examination tests online Spil, puslespil Plotning af grafer over funktioner Staveordbog for det russiske sprog Ordbog over ungdomsslang Katalog over russiske skoler Katalog over sekundære uddannelsesinstitutioner i Rusland Katalog over russiske universiteter Liste af problemer Finde GCD og LCM Simplificering af et polynomium (multiplikation af polynomier)

Tilbage frem

Opmærksomhed! Forhåndsvisninger af dias er kun til informationsformål og repræsenterer muligvis ikke alle funktionerne i præsentationen. Hvis du er interesseret i dette arbejde, bedes du downloade den fulde version.

Lektionstype: lære nyt stof.

Undervisningsmetoder: visuel, delvis søgning.

Formålet med lektionen:

1. Introducer begrebet en tangent til grafen for en funktion i et punkt, find ud af, hvad den geometriske betydning af den afledede er, udled tangentligningen og lær, hvordan du finder den for specifikke funktioner.
2. Udvikling af logisk tænkning, forskningsfærdigheder, funktionel tænkning, matematisk tale.
3. Udvikling af kommunikationsevner i arbejdet, fremme af udviklingen af ​​selvstændige aktiviteter for studerende.

Udstyr: computer, multimedieprojektor, handouts.

Lektionsplan

jegOrganisering af tid.
<слайд 2, 3>Kontrol af elevernes parathed til lektionen. Angiv temaet og mottoet for lektionen.

IIOpdatering af materialet.
(Aktivér opmærksomhed, vis manglende viden om tangenten, formuler mål og mål for lektionen.)<слайд 5>

Lad os diskutere, hvad der er en tangent til grafen for en funktion? Er du enig i udsagnet om, at "En tangent er en ret linje, der har ét fælles punkt med en given kurve"?
Der er en diskussion i gang. Børns udsagn (ja og hvorfor, nej og hvorfor). Under diskussionen kommer vi til den konklusion, at dette udsagn ikke er sandt.

Eksempler. <слайд 6>
1) Den rette linje x = 1 har ét fælles punkt M(1; 1) med parablen y = x2, men tangerer ikke parablen. Den rette linje y = 2x – 1, der går gennem det samme punkt, er tangent til denne parabel<рисунок 1>.
2) På samme måde tangerer linjen x = π ikke grafen y = cosx, selvom den har et enkelt fælles punkt K(π; 1). På den anden side er linjen y = - 1, der går gennem det samme punkt, tangent til grafen, selvom den har uendeligt mange fælles punkter på formen

(π+2 πk; 1), hvor k er et heltal, i hvert af hvilket det rører grafen<рисунок 2>.

Billede 1

Figur 2

Sæt mål og mål for børn i lektionen: <слайд 7>finde ud af hvad en tangent til grafen for en funktion i et punkt er, hvordan skriver man en ligning for tangenten?
Hvad skal vi bruge til dette?
Husk den generelle form for ligningen af ​​en linje, betingelserne for parallelitet af linjer, definitionen af ​​en afledt, reglerne for differentiering.

III Forberedende arbejde til undersøgelse af nyt materiale.
Spørgemateriale ved hjælp af kort: (opgaver udføres på tavlen)
1 elev: udfyld tabellen over afledte elementære funktioner

Elev 2: husk reglerne for differentiering

Elev 3: skriv en ligning for en ret linje y =kx + 4 passerer gennem punkt A(3; -2).
(y = -2x+4)

4. elev: skriv en retlinjeligning y=3x+b, der passerer gennem punkt C(4; 2).
(y = 3x – 2).

Resten er frontlinjearbejde.<слайд 8>

1. Angiv definitionen af ​​et derivat.
2. Hvilke af følgende linjer er parallelle? y = 0,5x; y = -0,5x; y = - 0,5x + 2. Hvorfor?

Gæt videnskabsmandens navn<слайд 9>:

Svar nøgle

Hvem denne videnskabsmand var, og hvad hans arbejde var relateret til, vil vi finde ud af i næste lektion.
Kontrol af elevernes svar ved hjælp af kort.<слайд 10>

IV Studerer nyt materiale.
For at sætte ligningen for en ret linje på et plan, er det nok for os at kende dens vinkel
koefficient og koordinater for et punkt.

• Lad os starte med hældningen <слайд 11>

Figur 3

Overvej grafen for funktionen y =f(x) differentierbar i punkt A (x 0,f(x 0)) <рисунок 3>.
Lad os vælge et punkt på det M (x 0 + Δх,f(x 0 + Δx)) og tegne en sekant ER..
Spørgsmål: hvad er vinkelkoefficienten for sekanten? (∆f/∆x=tgβ)

Vi vil nærme os punktet langs en bue M til sagen EN. I dette tilfælde den lige linje ER. vil rotere rundt om et punkt EN, nærmer sig (for glatte linjer) til en eller anden begrænsende position - lige linje PÅ. Med andre ord< TAM → 0 если длина АМ → 0. Прямую PÅ, som har denne egenskab kaldes tangent til grafen for funktionen y =f(x) ved punkt A(x 0 , f(x 0)). <слайд 12>

Sekantens vinkelkoefficient ER. på ER.→ 0 har en tendens til tangenthældningen AT Δf/Δx → f "(x 0). Afledt værdi på et punkt x 0 Lad os tage tangentvinklen som vinkelkoefficienten. Det siger de tangenten er sekantens grænseposition ved ∆x → 0.

Eksistensen af ​​en afledet af en funktion i punkt x 0 svarer til eksistensen af ​​en (ikke-lodret) tangent i punktet (x 0 , f(x 0 )) grafik, mens tangentens vinkelkoefficient er lig med f "(x 0). Dette er geometrisk betydning af afledt. <слайд 13>

Tangent definition: <слайд 14>Tangent til grafen, der kan differentieres i et punkt x 0 funktioner f er en ret linje, der går gennem et punkt (x 0,f(x 0)) og have en hældning f "(x 0).
Lad os tegne tangenter til grafen for funktionen y = f(x) på punkter x 1, x 2, x 3,<рисунок 4>og noter vinklerne de danner med x-aksen. (Dette er vinklen målt i positiv retning fra aksens positive retning til den rette linje.)

Figur 4

Vi ser, at vinkel α 1 er spids, vinkel α 3 er stump, og vinkel α 2 er lig med nul, da den rette linje l parallelt med aksen Åh. Tangenten til en spids vinkel er positiv, og tangenten til en stump vinkel er negativ. Derfor f "(x 1)>0 , f "(x 2) = 0 , f "(x 3)< 0 . <слайд 15, 16>

• Lad os nu udlede tangentligningen <слайд 17, 18>til grafen for funktionen f ved punkt A( x 0,f(x 0)).

Generel visning af en linjes ligning y =kx +b.

1. Lad os finde hældningen k =f "(x 0), vi får y =f "(x0)∙x+b,f(x) =f "(x 0)∙x+b
2. Lad os finde b. b =f(x 0) -f "(x 0)∙x 0.
3. Lad os erstatte de opnåede værdier k Og b ind i ligningen for en ret linje: y = f "(x 0 )∙ x+ f( x 0 ) - f "(x 0 )∙ x 0 eller y = f( x 0 ) + f "(x 0 )( x- x 0 )

• Opsummering af forelæsningsmaterialet. <слайд 19>

Hvad er tangenten til grafen for en funktion i et punkt?
- Hvad er den geometriske betydning af derivatet?
- formulere en algoritme til at finde ligningen for en tangent i et punkt?

1. Værdi af funktionen ved kontaktpunktet
2. Generel afledning af en funktion
3. Værdien af ​​den afledte på tangenspunktet
4. Erstat de fundne værdier i den generelle tangentligning.

V Konsolidering af det undersøgte materiale.

1. Mundtligt arbejde:
1) <слайд 20>På hvilke punkter på grafen?<рисунок 5>tangent til det
a) vandret;
b) danner en spids vinkel med abscisseaksen;
c) danner en stump vinkel med x-aksen?
2) <слайд 21>Ved hvilke værdier af argumentet er den afledede af funktionen specificeret af grafen<рисунок 6>
a) lig med 0;
b) mere end 0;
c) mindre end 0?

Figur 5

Figur 6

3) <слайд 22>Figuren viser grafen for funktionen f(x) og tangenten til den ved abscissepunktet x 0. Find værdien af ​​den afledede af funktionen f"(x) på punktet x 0<рисунок 7>.

Figur 7

2. Skriftligt arbejde.
nr. 253 (a, b), nr. 254 (a, b). (feltarbejde, med kommentarer)

3. Løsning af supportproblemer.<слайд 23>
Lad os se på fire typer problemer. Børn læser betingelserne for problemet, foreslår en løsningsalgoritme, en af ​​eleverne tegner det op på tavlen, resten skriver det ned i en notesbog.
1. Hvis berøringspunktet er angivet
Skriv en ligning for tangenten til funktionens graf f(x) = x 3 – 3x – 1 ved punkt M med abscisse –2.
Løsning:

1. Lad os beregne værdien af ​​funktionen: f(-2) =(-2) 3 – 3(-2) – 1 = -3 ;
2. lad os finde den afledede af funktionen: f "(x) = 3x 2 – 3;
3. Lad os beregne værdien af ​​den afledte: f "(-2)= - 9.;
4. Lad os erstatte disse værdier i tangentligningen: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.

Svar: y = 9x + 15.

2. Langs tangentpunktets ordinat.
Skriv en ligning for tangenten i et punkt på grafen med y-ordinat 0 = 1.
Løsning:

Svar: y = –x + 2.

3. En given retning.
Skriv tangentligninger til grafen y = x 3 – 2x + 7, parallelt med linjen y = x.
Løsning.
Den ønskede tangent er parallel med linjen y = x. Det betyder, at de har samme hældning k = 1, y"(x) = 3x2 – 2. Abscisse x 0 tangency points opfylder ligningen 3x 2 – 2 = 1, hvor x 0 = ±1.
Nu kan vi skrive tangentligninger: y = x + 5 Og y = x + 9.
Svar: y = x + 5, y = x + 9.

4. Betingelser for tangens mellem grafen og den rette linje.
Opgave. Ved hvad b lige y = 0,5x + b er tangent til funktionens graf f(x) = ?
Løsning.
Husk, at hældningen af ​​en tangent er værdien af ​​den afledte ved tangenspunktet. Hældningen af ​​denne linje er k = 0,5. Herfra får vi ligningen til bestemmelse af abscissen x af tangentpunktet: f "(x) == 0,5. Det er klart, at dens eneste rod er –x = 1. Værdien af ​​denne funktion på dette punkt er y(1) = 1. Så koordinaterne for tangentpunktet er (1; 1). Nu er det tilbage at vælge en værdi af parameteren b, hvor den rette linje passerer gennem dette punkt, det vil sige, at koordinaterne for punktet opfylder ligningen for den rette linje: 1 = 0,5 1 + b, hvorfra b = 0,5.

5. Selvstændigt pædagogisk arbejde. <слайд 24>

Arbejde i par.


Tjek: resultaterne af løsningen indtastes i en tabel på tavlen (et svar fra hvert par), diskussion af svarene.

6. Find skæringsvinklen for grafen for en funktion og en ret linje. <слайд 25>
Skæringsvinkel for funktionens graf y = f(x) og lige l er den vinkel, hvor tangenten til funktionens graf skærer linjen i samme punkt.
nr. 259 (a, b), nr. 260 (a) - adskilles ved tavlen.

7. Selvstændigt arbejde af kontrollerende karakter. <слайд 26>(arbejdet er differentieret, tjekket af læreren til næste lektion)
Mulighed 1.

Mulighed 2.

1. I hvilke punkter er tangenten til funktionens graf f(x) = 3x 2 - 12x + 7 parallelt med x-aksen?
2. Skriv en ligning for tangenten til funktionens graf f(x)= x 2 - 4 ved abscissen x 0= - 2. Fuldfør tegningen.
3. Find ud af, om linjen er lige y = 12x – 10 tangent til funktionens graf y = 4x3.

Mulighed 3.

VI Opsummering af lektionen.<слайд 27>
1. Svar på spørgsmål
- hvad kaldes en tangent til grafen for en funktion i et punkt?
- Hvad er den geometriske betydning af derivatet?
- formulere en algoritme til at finde ligningen for en tangent i et punkt?
2. Husk lektionens mål og mål, har vi nået dette mål?
3. Hvad var vanskelighederne i lektionen, hvilke dele af lektionen kunne du bedst lide?
4. Give karakterer til lektionen.
VII Lektiekommentar: afsnit 19 (1, 2), nr. 253 (c), nr. 255 (d), nr. 256 (d), nr. 257 (d), nr. 259 (d). Forbered en rapport om Leibniz<слайд 28>.

Litteratur<слайд 29>

1. Algebra og begyndelsen af ​​analysen: Lærebog. for 10-11 klassetrin. almen uddannelse institutioner / A.N.Kolmogorov, A.M.Abramov, Yu.P. Dudnitsyn og andre; Under. udg. A.N. Kolmogorov. - M.: Uddannelse, 2004.
2. Didaktiske materialer om algebra og begyndelsen af ​​analyse for klasse 10 / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwartzburd. - M.: Uddannelse, 2003.
3. Multimediedisk fra 1C. 1C: Underviser. Matematik (del 1) + Unified State Exam muligheder. 2006.
4. Åben bank af opgaver i matematik / http://mathege.ru/