Lektioner om COMPASS-programmet.

Lektion #4. Hjælpelinjer i Compass 3D.

Når de udvikler tegninger på et tegnebræt, bruger designere altid tynde linjer, deres analoge i Compass 3D er hjælpelinjer. De er nødvendige for foreløbige konstruktioner og for at specificere projektionsforbindelser mellem visninger. Ved udskrivning, hjælpelinjer Hjælpe, det er umuligt at ændre det.

Der er flere måder at konstruere hjælpelinjer på. I denne lektion vil vi se på nogle af disse metoder.

1. En vilkårlig ret linje baseret på to punkter.

I programmets hovedmenu skal du trykke på kommandoerne sekventielt Værktøj-Geometri-Hjælpelinjer-Hjælpelinje.

Eller tryk på knapperne i det kompakte panel Geometri-hjælpelinje.

Ved at klikke på venstre museknap angiver vi det første basispunkt (f.eks. oprindelsen af ​​koordinater). Nu angiver vi det andet punkt, hvorigennem linjen vil passere. Hældningsvinklen mellem den rette linje og abscisseaksen for det aktuelle koordinatsystem bestemmes automatisk. Du kan indtaste en vinkel gennem egenskabspanelet. Indtast f.eks. en vinkel på 45º og tryk på tasten Gå ind.

For at fuldføre konstruktionen, klik på ikonet "Afbryd kommando" i egenskabspanelet. Denne kommando kan udføres via kontekstmenuen, som hentes frem ved at højreklikke med musen.

På lignende måde gennem basispunktet kan du konstruere et hvilket som helst antal vilkårlige lige linjer i enhver vinkel. Du har sikkert allerede bemærket, at koordinaterne for punkter kan indtastes fra tastaturet ved hjælp af egenskabspanelet. Derudover er der i egenskabspanelet en gruppe Tilstande, som har to kontakter: "Sæt ikke skæringspunkter"(aktiv som standard) og "Placer skæringspunkter". Hvis du har brug for at markere skæringspunkterne for en linje med andre objekter, skal du aktivere kontakten "Placer skæringspunkter", nu vil systemet automatisk indstille skæringspunkterne med alle grafiske objekter i sin nuværende form.

Prikstilen bliver - Hjælpe. For at fjerne alle hjælpeelementer skal du bruge hovedmenuens kommandoer Editor-Slet-Auxiliary kurver og punkter. Hvordan man markerer skæringspunkter ikke med alle, men kun med nogle objekter, er beskrevet i lektion nr. 3.

2. Vandret lige linje.

For at konstruere en vandret linje skal du bruge kommandoerne Værktøj-Geometri-Hjælpelinjer-Horisontal linje.

Eller gennem det kompakte panel ved at trykke på knapperne: Geometri-Horisontal linje. Værktøjslinjen til at konstruere hjælpelinjer er ikke helt synlig på skærmen. For at se den skal du klikke på knappen med hjælpelinjer, aktiv på konstruktionstidspunktet, og holde den nede i flere sekunder.

Nu er det nok at klikke på venstre museknap for at angive det punkt, hvorigennem den vandrette linje vil passere. Du kan bygge så mange lige linjer, som du vil på samme tid. Klik på knappen for at fuldføre konstruktionen "Afbryd kommando" i egenskabspanelet.

Det skal huskes, at den vandrette linje er parallel med x-aksen af ​​det aktuelle koordinatsystem. Horisontale konstruerede i et koordinatsystem roteret i forhold til det absolutte system vil ikke være parallelle med arkets vandrette sider.

3. Lodret lige linje.

Konstruktionen ligner konstruktionen af ​​vandrette linjer, så du kan finde ud af det på egen hånd.

Det skal huskes, at den lodrette linje er parallel med ordinataksen for det aktuelle koordinatsystem. Lodrette konstruerede i et koordinatsystem roteret i forhold til det absolutte system vil ikke være parallelle med arkets lodrette sider.

4. Parallel linje.

For at konstruere en parallel linje har vi brug for et objekt parallelt, som det vil passere til. Sådanne objekter kan være: hjælpelige linjer, segmenter, polylinjeforbindelser, sider af polygoner, dimensionslinjer osv. Lad os konstruere en parallel linje for den vandrette linje, der går gennem origo.

Ringer til holdene Værktøj-Geometri-Hjælpelinjer-Parallellinje.

På ethvert designkursus lærer de dig at bruge tynde hjælpelinjer, når du laver tegninger. Tidligere blev de påført på et tegnebræt og derefter slettet fra det færdige dokument. I øjeblikket i brug elektroniske programmer for en tegning, men behovet for hjælpelinjer er ikke engang diskuteret. Selvom det i Compass 3D er endnu nemmere at arbejde med dem end på et klassisk tegnebræt. Hjælpelinjer bruges til at danne nødvendige forbindelser, markere tegningen, skabe bestemte grænser.

Programmet giver dig mulighed for at oprette hjælpelinjer på flere måder, igen, dette er meget praktisk, da nogle gange bruges en, og i en anden situation bruges en anden metode til at tegne hjælpelinjer.

1. Lav en lige linje ved hjælp af to punkter.

En af de mest populære metoder. For at aktivere skal du åbne hovedmenuen Værktøjer – Geometri – Hjælpelinjer – Hjælpelinjer.

Eller du kan klikke i panelet Geometri-hjælpelinje.

Lad os sætte vores linje ved at venstreklikke på arket, så definere det første punkt og derefter angive slutpunkt linjer. Samtidig vil selve programmet generere den nødvendige hældningsvinkel for den oprettede lige linje. Du kan dog ændre vinklen ved at indtaste dine værdier i boksen nedenfor, og klik derefter Gå ind.

Hjælpelinjen er blevet dannet, nu skal du klikke på det velkendte ikon Afbryd kommando, placeret i egenskabspanelet. Du kan dog aktivere denne kommando, når du er færdig med at arbejde med linjen ved blot at højreklikke med musen og derefter vælge det relevante punkt i rullemenuen.

Ved hjælp af et basispunkt kan du oprette uendeligt antal lige linjer, der går i alle vinkler. Forresten, hvis du har koordinaterne eller med koordinatgitter arbejde mere bekvemt, så kan du altid spørge nødvendige værdier i menuen nedenfor. Du vil placere en lige linje, uden nogen justeringer, på arket. Værd at være opmærksom på gruppen Tilstande, den har to vigtige kontakter. Den første er aktiv under standard opstart - Sæt ikke skæringspunkter, og du kan selv vælge den anden - Indstil skæringspunkter. Ved at bruge denne indstilling kan du automatisk placere punkter ved alle vejkryds uden yderligere muligheder eller manuel placering.

Her skal du dog angive stilen Hjælpe. Forresten, at fjerne alle hjælpeelementer, med færdig med at tegne blot aktivere punktet i hovedmenuen Editor-Slet-Auxiliary kurver og punkter. Vi diskuterede arbejdet med punkter på kurver i detaljer i lektion #3.

2.Tegn en vandret linje

Du kan bygge hjælpelinjer ved hjælp af vandrette linjer. Lad os åbne den allerede velkendte menu Værktøj-Geometri-Hjælpelinjer-Horisontal linje.

En hurtigere mulighed, ved hjælp af et kompakt panel, vælg Geometri - Vandret lige linje. Grundpanelet vil dog ikke være synligt på skærmen for at rette op på situationen, tryk på knappen for hjælpelinjer og hold den nede i et stykke tid.

Det eneste, der er tilbage, er at bruge et venstreklik for at angive det ønskede punkt, hvorigennem vi vil passere vores lige linje. Du kan oprette et hvilket som helst nummer vandrette linjer. For at afslutte jobbet skal du blot klikke Afbryd kommando højreklik i egenskabspanelet eller i rullemenuen.

Du skal også huske, at en vandret lige linje altid er parallel med den aktuelle x-akse. Men når du indstiller vandrette linjer ved hjælp af et roteret koordinatsystem, vil de ikke være vandrette på arket.

3. Tegn en lodret lige linje.

Den generelle mekanisme til at kalde linjetegningsmekanismen er absolut identisk med den, der er beskrevet ovenfor, med undtagelse af valget Lodret lige.

Der er dog et par vigtige ting at huske her. Den oprettede lodrette rette linje er altid kun parallel med den faktiske koordinatakse her er tilfældet identisk med den vandrette rette linje. Derfor, hvis du har et ændret koordinatsystem, vil lodrette lige linjer ikke være parallelle med arket.

4. Opret en parallel lige linje.

Du kan kun bygge en parallel lige linje, hvis der er et objekt på arket. Det er til disse linjer, vi vil skabe en parallel. Desuden kan absolut ethvert objekt fungere som objekter til snapping, fra lige og hjælpelinjer til ansigterne på polygonale objekter. Så lad os som en del af lektionen tage den vandrette linje, der går fra oprindelsen af ​​koordinaterne på vores ark, som den vigtigste.

At kalde en parallel lige linje er identisk, åben Værktøjer – Geometri – Hjælpelinjer – Parallellinje.

Eller brug et kompakt panel, her skal du ringe Geometri-parallel linje.

Nu vil vi angive grundobjektet, som vi vil tegne en parallel linje til. Som aftalt er objektet en vandret lige linje, vælg det med musen. Derefter skal vi indstille den afstand, hvor vores parallelle linje vil være placeret. Nedenfor kan du angive numerisk værdi 30 mm, eller træk den lige med musen til den ønskede afstand.

Når afstanden angives i tal, vil systemet tilbyde to fantomlinjer på samme afstand. Dette kan deaktiveres, hvis du er i egenskaberne Antal linjer - To linjer fjern aktiveringen og transformer den til oprettelsen af ​​en lige linje. For at rette den oprettede linje skal du blot vælge det aktive fantom med musen og klikke på knappen Opret objekt. Når du skal oprette begge linjer, skal du klikke på Opret objekt igen og derefter afbryde kommandoen.

Når du skal bygge en ny parallel linje, men i nærheden af ​​et andet objekt, skal du blot trykke på knappen Angiv igen. Nu kan du specificere nyt objekt og byg en linje på den måde, der er beskrevet i dette kapitel af lektionen.

Det er alt, i denne lektion dækkede vi det grundlæggende i at skabe hjælpeprogrammer lige linjer.

Metoderne til at konstruere parallelle linjer ved hjælp af forskellige værktøjer er baseret på tegnene for parallelle linjer.

Konstruktion af parallelle linjer ved hjælp af et kompas og lineal

Lad os overveje princippet om at konstruere en parallel linje, der går gennem et givet punkt, ved hjælp af kompas og lineal.

Lad en linje være givet og et punkt A, der ikke hører til den givne linje.

Det er nødvendigt at konstruere en linje, der går gennem et givet punkt $A$ parallelt med den givne linje.

I praksis er det ofte nødvendigt at konstruere to eller flere parallelle linjer uden en given linje og punkt. I dette tilfælde er det nødvendigt at tegne en lige linje vilkårligt og markere ethvert punkt, der ikke vil ligge på denne lige linje.

Lad os overveje stadier af konstruktion af en parallel linje:

I praksis bruger de også metoden med at konstruere parallelle linjer ved hjælp af et tegnekvadrat og en lineal.

Konstruktion af parallelle linjer ved hjælp af en firkant og lineal

Til konstruere en linje, der vil passere gennem punkt M parallelt med en given linje a, nødvendigt:

1. Påfør firkanten diagonalt på den lige linje $a$ (se figur), og sæt en lineal fast på dets større ben.
2. Flyt firkanten langs linealen indtil givet point$M$ vil ikke være på firkantens diagonal.
3. Tegn den nødvendige lige linje $b$ gennem punktet $M$.

Vi har fået en linje, der går gennem et givet punkt $M$, parallelt med en given linje $a$:

$a \parallel b$, dvs. $M \in b$.

Parallellen mellem rette linjer $a$ og $b$ fremgår af ligheden mellem de tilsvarende vinkler, som er markeret i figuren med bogstaverne $\alpha$ og $\beta$.

Konstruktion af en parallel linje med en bestemt afstand fra en given linje

Hvis det er nødvendigt at konstruere en ret linje parallel med en given ret linje og med afstand fra den i en given afstand, kan du bruge en lineal og en firkant.

Lad en ret linje $MN$ og en afstand $a$ angives.

1. På den givne lige linje $MN$ markerer vi vilkårligt punkt og lad os kalde det $B$.
2. Gennem punktet $B$ trækker vi en linje vinkelret på linjen $MN$ og kalder den $AB$.
3. På den lige linje $AB$ fra punktet $B$ plotter vi segmentet $BC=a$.
4. Ved hjælp af et kvadrat og en lineal trækker vi en ret linje $CD$ gennem punktet $C$, som vil være parallel med den givne rette linje $AB$.

Hvis vi plotter stykket $BC=a$ på den rette linie $AB$ fra punkt $B$ i den anden retning, får vi en anden parallel linje til den givne, adskilt fra den med specificeret afstand$a$.

Andre måder at konstruere parallelle linjer på

En anden måde at konstruere parallelle linjer på er at konstruere ved hjælp af en tværstang. Oftere denne metode bruges i tegnepraksis.

Ved udførelse af tømrerarbejde til markering og konstruktion af parallelle linjer bruges et specielt tegneværktøj - en klapper - to træplanker, der er fastgjort med et hængsel.

Parallelle linjer. Definition

To linjer i et plan kaldes parallelle, hvis de ikke skærer hinanden.

Parallellen mellem linjerne a og b er angivet som følger: a||b. Figur 1 viser linje a og b vinkelret på linje c. Sådanne linjer a og b skærer ikke hinanden, dvs. de er parallelle.

Sammen med parallelle linjer betragtes de ofte parallelle linjer. To segmenter kaldes parallelle, hvis de ligger på parallelle linjer. I figuren (fig. 2, a) er segmenterne AB og CD parallelle (AB||CO), og segmenterne MN og CD er ikke parallelle. Parallellen mellem et segment og en ret linje (fig. 2, b), en stråle og en ret linje, et segment og en stråle og to stråler (fig. 2, c) bestemmes på samme måde.

Tegn på parallelitet af to linjer

Linje c kaldes en sekant til linje a og b, hvis den skærer dem i to punkter (fig. 3). Når linje a og b skærer tværgående c, dannes der otte vinkler, som er angivet med tal i figur 3.

Nogle par af disse vinkler har specielle navne:

tværgående vinkler: 3 og 5, 4 og 6;
ensidede vinkler: 4 og 5, 3 og 6;
tilsvarende vinkler: 1 og 5, 4 og 8, 2 og 6, 3 og 7.

Lad os overveje tre tegn på parallelitet af to lige linjer forbundet med disse par af vinkler.

Sætning. Hvis, når to linjer krydser hinanden, er de involverede vinkler ens, så er linjerne parallelle.

Bevis. Lad de skærende linjer a og b på tværs af vinklerne AB være lige store: ∠1=∠2 (Fig. 4, a).

Lad os vise, at a||b. Hvis vinklerne 1 og 2 er rigtige (fig. 4, b), så er linjerne a og b vinkelrette på linjen AB og derfor parallelle. Lad os overveje tilfældet, når vinkel 1 og 2 ikke er rigtige. Fra den midterste O af segment AB tegner vi en vinkelret OH på den rette linje a (fig. 4, c). På lige linje b fra punkt B plotter vi stykket ВН1 lig med segmentet AH, som vist i figur 4, c, og tegn segmentet OH1. Trekanter OHA og OH1B er lige store på begge sider og vinklen mellem dem (AO=VO. AN=BN1 ∠1=∠2), derfor ∠3=∠4 og ∠15=∠16. Af ligheden ∠3=∠4 følger, at punktet H1 ligger på fortsættelsen af ​​strålen OH, dvs. punkterne H, O og H1 ligger på samme rette linje, og af ligheden ∠5=∠6 følger, at vinkel 6 er en ret vinkel (så som vinkel 5 er en ret vinkel). Det betyder, at linjerne a og b er vinkelrette på linje HH1, så de er parallelle. Sætningen er blevet bevist.

Sætning. Hvis, når to linjer skærer hinanden med en tværgående, de tilsvarende vinkler er ens, så er linjerne parallelle.

Bevis. Antag, at når linje a og b skærer tværgående c, er de tilsvarende vinkler ens, f.eks. ∠1=∠2 (fig. 5). Da vinkler 2 og 3 er lodrette, så er ∠2=∠3. Af disse to ligheder følger det, at ∠1=∠3. Men vinkel 1 og 3 er på tværs, så linjerne a og b er parallelle. Sætningen er blevet bevist.

Sætning. Hvis, når to linjer skærer hinanden med en tværgående, summen af ​​de ensidede vinkler er 180°, så er linjerne parallelle.

Bevis. Lad skæringen af ​​rette linjer a og b med tværgående c summere de ensidede vinkler lig med 180°, for eksempel ∠1+∠4=180° (se fig. 5). Da vinkler 3 og 4 støder op til hinanden, så er ∠3+∠4=180°. Af disse to ligheder følger det, at de tværgående vinkler 1 og 3 er ens, derfor er linjerne a og b parallelle. Sætningen er blevet bevist.

Praktiske måder at konstruere parallelle linjer på

Tegn på parallelle linjer ligger til grund for metoderne til at konstruere parallelle linjer ved hjælp af forskellige værktøjer, der anvendes i praksis. Overvej for eksempel metoden til at konstruere parallelle linjer ved hjælp af en tegningsfirkant og en lineal. For at konstruere en ret linje, der går gennem punktet M og parallel med den givne rette linje a, vil vi anvende en tegningsfirkant på den rette linje a og en lineal på den som vist i figur 103. Derefter flytter du firkanten langs linealen , vil vi sikre, at punktet M er på sidefirkanten, og tegne en ret linje b. De rette linjer a og b er parallelle, da de tilsvarende vinkler, angivet i figur 103 med bogstaverne alfa og beta, er ens.

Der er også en måde at konstruere parallelle linjer ved hjælp af en tværstang. Denne metode bruges i tegnepraksis.

En lignende metode bruges ved udførelse af tømrerarbejde, hvor en blok (to træplanker fastgjort med et hængsel) bruges til at markere parallelle linjer.

Indtager en særlig plads i matematikkens historie Euklids femte postulat (aksiom for parallelle linjer). I lang tid matematikere forsøgte uden held at udlede det femte postulat fra de resterende postulater af Euklid og kun i midten af ​​1800-tallet takket være forskning N. I. Lobachevsky, B. Riman Og Y. Bolyai det blev klart, at det femte postulat ikke kan udledes af de andre, og det af Euklid foreslåede aksiomersystem er ikke det eneste mulige.

Aksiom for parallelle linjer

Selv de gamle grækere fandt på en enkel måde: hvordan man tegner et kompas og lineal gennem et punkt A, der ligger uden for en given linje l, en anden linje m, der ikke skærer linjen l. Men er der den eneste løsning på dette problem? Eller kan man tegne flere forskellige linjer gennem punkt A, der ikke skærer den oprindelige linje m?

Euklid var tilsyneladende den første blandt hellenerne, der forstod, at svaret på dette spørgsmål ikke kan opnås baseret på andre egenskaber ved linjer og punkter - dem, som han formulerede i form af aksiomer og postulater. Det er nødvendigt at indføre et yderligere postulat om unikheden af ​​den ønskede linje m - og kalde denne linje parallel!

Er andre formuleringer af postulatet om parallelle linjer mulige - uforenelige med Euklids postulat? For eksempel kan vi antage eksistensen af ​​flere forskellige linjer, der ikke skærer en given linje l og går igennem fælles punkt A. Vil en sådan antagelse føre til en logisk modsigelse eller ej? Hvis ikke, så er andre geometrier end euklidiske mulige!

Den første ikke-euklidiske geometri blev opfundet i 1820'erne af tre talentfuld matematik: Tyske Carl Gauss, russiske Nikolai Lobachevsky og ungarske Janos Bolyai. Den russiske matematiker viste sig at være den mest modige og vedholdende af de tre opdagere. Han var den første til at udgive sin bog med en forudsigelse bemærkelsesværdige egenskaber ikke-euklidiske figurer. For eksempel på Lobachevsky-flyet summen indvendige hjørner en trekant er altid mindre end 180 grader. Hun accepterer forskellige betydninger til forskellige trekanter; med to ligner en trekant nødvendigvis lige!

I slutningen af ​​det 19. århundrede opfandt geometre Klein og Poincaré ganske simple modeller overflader, hvorpå Lobachevskys geometri er legemliggjort. Endnu tidligere bemærkede Riemann, at den almindelige kugle legemliggør den tredje mulige geometri (projektiv): der er ingen "parallelle" linjer i den overhovedet, og summen af ​​de indre vinkler i en trekant er altid større end 180 grader.

Indtil det tidlige 20. århundrede troede man, at ikke-euklidiske geometrier kun kunne være nyttige internt matematisk videnskab. Men i 1910'erne skabte Einstein Generel teori Relativitet: det viste sig at være en firedimensionel udførelsesform af Lobachevskys ikke-euklidiske geometri. Siden da har fysikere troet, at enhver konsistent matematisk konstruktion er inkorporeret et eller andet sted i naturen. Dette kan være sandt.

Historisk reference

I oldtiden, bogstaveligt talt for 2500 år siden, i berømte skole Pythagoras græsk ord"parallelos" begyndte at blive brugt som et geometrisk udtryk, selvom definitionen af ​​parallelle linjer endnu ikke var kendt på det tidspunkt. Men historiske fakta de siger, at den antikke græske videnskabsmand Euklid i det tredje århundrede f.Kr. i sine bøger ikke desto mindre afslørede betydningen af ​​et sådant begreb som parallelle linjer.

Som du allerede ved, fra materialet dækket i tidligere klasser, er udtrykket "parallelos" oversat fra græsk sprog betyder at gå ved siden af ​​eller holdes i nærheden af ​​hinanden.

I matematik er der et særligt tegn til at angive parallelle linjer. Sandt nok havde parallelitetstegnet ikke altid sin nuværende form. For eksempel brugte den antikke græske matematiker Pappus i det tredje århundrede e.Kr. lighedstegnet "=" for at indikere parallelitet. Og først i det attende århundrede, takket være William Oughtred, begyndte de at bruge tegnet "//" til at betegne parallelle linjer. Hvis der for eksempel er parallelle a og b, så skal de skrives skriftligt som a//b

Men tegnet "=" blev indført i almindelig cirkulation af Record og begyndte at blive brugt som et lighedstegn.

Parallelle linjer i hverdagen

Vi møder ofte parallelle linjer i livet omkring os, selvom vi som regel sjældent fokuserer vores opmærksomhed på det. I musiktimerne, når vi åbner en nodebog, ser vi med det samme personalets linjer med det blotte øje. Men parallelle linjer kan man ikke kun se i nodebøger og sangbøger, men også hvis man ser godt efter musikinstrumenter. Strengene på en guitar, harpe eller orgel er jo også parallelle.

Når du kigger op på gaden, ser du elektriske ledninger, der løber parallelt. Finde dig selv i metroen eller jernbane, er det heller ikke svært at bemærke, at skinnerne er placeret parallelt med hinanden.

Parallelle linjer kan findes overalt. Vi møder dem konstant i hverdagen og maleriet. Arkitektur kan ikke undvære dem, da begrebet parallelisme tages strengt i betragtning ved opførelsen af ​​bygninger.

Hvis du ser nøje på billedet, vil du straks bemærke tilstedeværelsen af ​​parallelle linjer i disse arkitektoniske strukturer. Måske holder de så længe og forbliver smukke, fordi arkitekterne og ingeniørerne brugte parallelle linjer, da de skabte disse ikoniske bygninger.

Har du nogensinde undret dig over, hvorfor ledningerne i elledninger er arrangeret parallelt? Og forestil dig, hvad der ville ske, hvis de ikke var parallelle og krydsede eller rørte hinanden. Og det ville føre til dårlige konsekvenser, hvor der kunne opstå kortslutning, afbrydelser og mangel på elektricitet. Hvad kunne der ske med toget, hvis skinnerne ikke var parallelle? Det er skræmmende overhovedet at tænke på det.

I ved alle godt, at parallelle linjer aldrig skærer hinanden. Men hvis du kigger ud i afstanden i lang tid, i det uendelige, kan du til sidst se, hvordan parallelle linjer skærer hinanden. I dette tilfælde står vi over for en illusion af vision. Måske var det kun takket være sådanne illusioner og visuelle forvrængninger, at maleriet dukkede op.

Lektier

1. Giv dine eksempler på, hvor du er Hverdagen, i hverdagen eller i naturen støder du på øjeblikke eller fakta af parallelitet.
2. Hvilke metoder kender du til, hvormed du kan tegne parallelle linjer? Navngiv disse metoder.
3. Tegn parallelle linjer i din notesbog ved hjælp af metoder, du kender.
4. Under hvilke forhold kan rette linjer kaldes parallelle?

Spørgsmål:

1. Hvilke linjer kaldes parallelle?
2. Hvilke praktiske måder at konstruere parallelle linjer findes på?

Fag > Matematik > Matematik 7. klasse