En funktion kaldes lige (ulige) hvis for nogen og ligheden 
.
Grafen for en lige funktion er symmetrisk om aksen 
.
Grafen for en ulige funktion er symmetrisk om oprindelsen.
Eksempel 6.2. Undersøg om en funktion er lige eller ulige
1)
;
2)
;
3)
.
Løsning.
1) Funktionen defineres hvornår 
. Vi finder 
.
De der. 
. Midler, denne funktion er lige.
2) Funktionen defineres hvornår 
De der. 
. Derfor er denne funktion mærkelig.
3) funktionen er defineret for , dvs. Til
,
. Derfor er funktionen hverken lige eller ulige. Lad os kalde det en funktion af generel form.
3. Undersøgelse af funktionen for monotoni.
Fungere 
kaldes stigende (faldende) på et bestemt interval, hvis i dette interval hver højere værdi argument svarer til en større (mindre) værdi af funktionen.
Funktioner, der stiger (aftager) over et bestemt interval kaldes monotone.
Hvis funktionen 
differentierbar på intervallet 
og har en positiv (negativ) afledt 
, derefter funktionen 
stiger (falder) over dette interval.
Eksempel 6.3. Find intervaller af monotoni af funktioner
1)
;
3)
.
Løsning.
1) Denne funktion er defineret på hele tallinjen. Lad os finde den afledte.
Den afledte er lig med nul if 
Og 
. Definitionsdomænet er talaksen divideret med prikker 
,
med mellemrum. Lad os bestemme fortegnet for den afledede i hvert interval.
I intervallet 
den afledede er negativ, funktionen falder på dette interval.
I intervallet 
den afledte er positiv, derfor øges funktionen over dette interval.
2) Denne funktion er defineret hvis 
eller
.
Vi bestemmer tegnet for det kvadratiske trinomium i hvert interval.
Således er funktionens definitionsdomæne
Lad os finde den afledte 
,
, hvis 
, dvs. 
, Men 
. Lad os bestemme fortegnet for den afledede i intervallerne 
.
I intervallet 
den afledede er negativ, derfor falder funktionen på intervallet 
. I intervallet 
den afledede er positiv, funktionen øges over intervallet 
.
4. Undersøgelse af funktionen ved ekstremum.
Prik 
kaldet det maksimale (minimum) punkt for funktionen 
, hvis der er et sådant område af punktet 
det er for alle 
fra dette kvarter holder uligheden 
.
Maksimums- og minimumspunkterne for en funktion kaldes ekstremumpunkter.
Hvis funktionen 
på punktet 
har et ekstremum, så er den afledede af funktionen på dette tidspunkt lig med nul eller eksisterer ikke (en nødvendig betingelse for eksistensen af et ekstremum).
De punkter, hvor den afledede er nul eller ikke eksisterer, kaldes kritiske.
5. Tilstrækkelige betingelser for eksistensen af et ekstremum.
Regel 1. Hvis under overgangen (fra venstre til højre) gennem det kritiske punkt 
afledte 
skifter fortegn fra "+" til "–", derefter ved punktet 
fungere 
har et maksimum; hvis fra "–" til "+", så minimum; Hvis 
ikke skifter fortegn, så er der ikke noget ekstremum.
Regel 2. Lad ved punktet 
første afledede af en funktion 
lig med nul 
, og den anden afledede eksisterer og er forskellig fra nul. Hvis 
, At 
– maksimum point, hvis 
, At 
– minimumspunkt for funktionen.
Eksempel 6.4 . Udforsk maksimum- og minimumsfunktionerne:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Løsning.
1) Funktionen er defineret og kontinuerlig på intervallet 
.
Lad os finde den afledte 
og løse ligningen 
, dvs. 
.Herfra 
– kritiske punkter.
Lad os bestemme fortegnet for den afledede i intervallerne, 
.
Når du passerer gennem punkter 
Og 
den afledte ændrer fortegn fra "–" til "+", derfor ifølge regel 1 
– minimumspoint.
Når man passerer gennem et punkt 
den afledte skifter fortegn fra "+" til "–", så 
– maksimum point.
,
.
2) Funktionen er defineret og kontinuerlig i intervallet 
. Lad os finde den afledte 
.
Efter at have løst ligningen 
, finder vi 
Og 
– kritiske punkter. Hvis nævneren 
, dvs. 
, så eksisterer derivatet ikke. Så, 
– tredje kritiske punkt. Lad os bestemme fortegnet for den afledede i intervaller.
Derfor har funktionen et minimum på punktet 
, maksimum i point 
Og 
.
3) En funktion er defineret og kontinuerlig if 
, dvs. på 
.
Lad os finde den afledte 
.
Lad os finde kritiske punkter: 
Kvarter af punkter 
hører ikke til definitionsdomænet, derfor er de ikke ekstrema. Så lad os undersøge de kritiske punkter 
Og 
.
4) Funktionen er defineret og kontinuerlig på intervallet 
. Lad os bruge regel 2. Find den afledede 
.
Lad os finde kritiske punkter:
Lad os finde den anden afledede 
og bestemme dets fortegn ved punkterne 
På punkter 
funktion har et minimum.
På punkter 
funktionen har et maksimum.
Fungere- dette er en af de vigtigste matematiske begreber. Funktion - variabel afhængighed på fra variabel x, hvis hver værdi x matcher en enkelt værdi på. Variabel x kaldet den uafhængige variabel eller argument. Variabel på kaldet den afhængige variabel. Alle værdier af den uafhængige variabel (variabel x) danner funktionens definitionsdomæne. Alle værdier, som den afhængige variabel tager (variabel y), danner rækken af værdier for funktionen.
Funktionsgraf kald sættet af alle punkter koordinatplan, hvis abscisse er lig med værdierne af argumentet, og ordinaterne er lig med de tilsvarende værdier af funktionen, det vil sige, at værdierne af variablen er plottet langs abscisse-aksen x, og værdierne af variablen er plottet langs ordinataksen y. For at tegne en funktion skal du kende funktionens egenskaber. Funktionens vigtigste egenskaber vil blive diskuteret nedenfor!
For at bygge en graf af en funktion, anbefaler vi at bruge vores program - Graffunktioner online. Hvis du har spørgsmål, mens du studerer materialet på denne side, kan du altid stille dem på vores forum. Også på forummet vil de hjælpe dig med at løse problemer inden for matematik, kemi, geometri, sandsynlighedsteori og mange andre fag!
Grundlæggende egenskaber ved funktioner.
1) Funktionsdomæne og funktionsområde.
Domænet for en funktion er sættet af alle gyldige gyldige argumentværdier x(variabel x), som funktionen y = f(x) fast besluttet.
Rækkevidden af en funktion er mængden af alle reelle værdier y, som funktionen accepterer.
I elementær matematik funktioner studeres kun på mængden af reelle tal.
2) Funktionsnuller.
Værdier x, hvorpå y=0, hedder funktion nuller. Disse er abscissen af funktionsgrafens skæringspunkter med Ox-aksen.
3) Intervaller af konstant fortegn for en funktion.
Intervaller af konstant fortegn for en funktion er sådanne intervaller af værdier x, hvorpå funktionen værdier y enten kaldes kun positive eller kun negative intervaller af konstant fortegn for funktionen.
4) Monotonicitet af funktionen.
En stigende funktion (i et bestemt interval) er en funktion, hvor en større værdi af argumentet fra dette interval svarer til en større værdi af funktionen.
En faldende funktion (i et bestemt interval) er en funktion, hvor en større værdi af argumentet fra dette interval svarer til en mindre værdi af funktionen.
5) Lige (ulige) funktion.
En lige funktion er en funktion, hvis definitionsdomæne er symmetrisk med hensyn til oprindelsen og for evt x f(-x) = f(x). Tidsplan selv funktion symmetrisk om ordinataksen.
En ulige funktion er en funktion, hvis definitionsdomæne er symmetrisk med hensyn til oprindelsen og for evt. x fra definitionsdomænet er ligheden sand f(-x) = - f(x). Grafen for en ulige funktion er symmetrisk om oprindelsen.
Jævn funktion
1) Definitionsdomænet er symmetrisk i forhold til punktet (0; 0), dvs. hvis punktet -en hører til definitionsdomænet, så pointen -en hører også til definitionsdomænet.
2) For enhver værdi x f(-x)=f(x)
3) Grafen for en lige funktion er symmetrisk om Oy-aksen.
Ulige funktion har følgende egenskaber:
1) Definitionsdomænet er symmetrisk omkring punktet (0; 0).
2) for enhver værdi x, der hører til definitionsdomænet, ligheden f(-x)=-f(x)
3) Grafen for en ulige funktion er symmetrisk omkring oprindelsen (0; 0).
Ikke alle funktioner er lige eller ulige. Funktioner generel opfattelse er hverken lige eller ulige.
6) Begrænsede og ubegrænsede funktioner.
En funktion kaldes bundet, hvis der er en sådan positivt tal M sådan, at |f(x)| ≤ M for alle værdier af x. Hvis et sådant nummer ikke findes, så er funktionen ubegrænset.
7) Funktionens periodicitet.
En funktion f(x) er periodisk, hvis der er et ikke-nul tal T, således at for ethvert x fra funktionens definitionsdomæne gælder følgende: f(x+T) = f(x). Det her mindste antal kaldes funktionens periode. Alle trigonometriske funktioner er periodiske. (Trigonometriske formler).
Fungere f kaldes periodisk, hvis der er et tal sådan, at for evt x fra definitionsdomænet ligheden f(x)=f(x-T)=f(x+T). T er funktionens periode.
Hver periodisk funktion har uendeligt sæt perioder. I praksis betragtes normalt den mindste positive periode.
Værdierne af en periodisk funktion gentages efter et interval svarende til perioden. Dette bruges ved konstruktion af grafer.
Konvertering af grafer.
Verbal beskrivelse af funktionen.
Grafisk metode.
Den grafiske metode til at specificere en funktion er den mest visuelle og bruges ofte i teknologi. I matematisk analyse Den grafiske metode til at specificere funktioner bruges som illustration.
Funktionsgraf f er mængden af alle punkter (x;y) i koordinatplanet, hvor y=f(x), og x "løber gennem" hele definitionsdomænet for denne funktion.
En delmængde af koordinatplanet er en graf for en funktion, hvis den højst har en fælles punkt fra enhver lige linje, parallel akse OU.
Eksempel. Er figurerne vist nedenfor grafer over funktioner?
Fordel grafisk opgave er dens synlighed. Du kan med det samme se, hvordan funktionen opfører sig, hvor den øges, og hvor den aftager. Fra grafen kan du straks finde ud af nogle vigtige egenskaber ved funktionen.
Generelt analytiske og grafiske måder funktionsopgaver går hånd i hånd. At arbejde med formlen hjælper med at bygge en graf. Og grafen foreslår ofte løsninger, som du ikke engang ville bemærke i formlen.
Næsten enhver elev kender de tre måder at definere en funktion på, som vi lige har set på.
Lad os prøve at besvare spørgsmålet: "Er der andre måder at definere en funktion på?"
Der er sådan en måde.
Funktionen kan ganske entydigt angives i ord.
For eksempel kan funktionen y=2x angives med følgende verbale beskrivelse: hver faktisk værdi argumentet x tildeles sin dobbelte værdi. Reglen er etableret, funktionen er specificeret.
Desuden kan du verbalt angive en funktion, der er ekstremt svær, hvis ikke umulig, at definere ved hjælp af en formel.
For eksempel: hver værdi af det naturlige argument x er forbundet med summen af de cifre, der udgør værdien af x. For eksempel, hvis x=3, så er y=3. Hvis x=257, så er y=2+5+7=14. Og så videre. Det er problematisk at skrive dette ned i en formel. Men skiltet er nemt at lave.
Vej verbal beskrivelse- en ret sjældent brugt metode. Men nogle gange gør det det.
Hvis der er en lov om en-til-en overensstemmelse mellem x og y, så er der en funktion. Hvilken lov, i hvilken form den udtrykkes - en formel, en tablet, en graf, ord - ændrer ikke sagens essens.
Lad os betragte funktioner, hvis definitionsdomæner er symmetriske med hensyn til oprindelsen, dvs. for enhver x fra domænet for definitionsnummer (- x) hører også til definitionsdomænet. Blandt disse funktioner er lige og ulige.
Definition. Funktionen f kaldes også selvom, hvis for nogen x fra dets definitionsdomæne
Eksempel. Overvej funktionen 
Det er jævnt. Lad os tjekke det ud.
For enhver x ligestilling er opfyldt
Dermed er begge betingelser opfyldt, hvilket betyder, at funktionen er lige. Nedenfor er en graf over denne funktion.
Definition. Funktionen f kaldes ulige, hvis for nogen x fra dets definitionsdomæne 
Eksempel. Overvej funktionen 
Det er mærkeligt. Lad os tjekke det ud.
Definitionsdomænet er hele den numeriske akse, hvilket betyder, at den er symmetrisk omkring punktet (0;0).
For enhver x ligestilling er opfyldt
Dermed er begge betingelser opfyldt, hvilket betyder, at funktionen er ulige. Nedenfor er en graf over denne funktion.
Graferne vist i den første og tredje figur er symmetriske om ordinataksen, og graferne vist i den anden og fjerde figur er symmetriske om oprindelsen.
Hvilke af de funktioner, hvis grafer er vist i figurerne, er lige, og hvilke er ulige?
Skjul Vis
Metoder til at specificere en funktion
Lad funktionen være givet ved formlen: y=2x^(2)-3. Ved at tildele enhver værdi til den uafhængige variabel x, kan du ved hjælp af denne formel beregne de tilsvarende værdier af den afhængige variabel y. For eksempel, hvis x=-0,5, så finder vi ved hjælp af formlen, at den tilsvarende værdi af y er y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5.
Hvis du tager en hvilken som helst værdi taget af argumentet x i formlen y=2x^(2)-3, kan du kun beregne én værdi af den funktion, der svarer til den. Funktionen kan repræsenteres som en tabel:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Ved at bruge denne tabel kan du se, at for argumentværdien −1 vil funktionsværdien −3 svare til; og værdien x=2 vil svare til y=0 osv. Det er også vigtigt at vide, at hver argumentværdi i tabellen kun svarer til én funktionsværdi.
Flere funktioner kan specificeres ved hjælp af grafer. Ved hjælp af grafen fastslås det, hvilken værdi af funktionen korrelerer med en vis værdi x. Oftest vil dette være en omtrentlig værdi af funktionen.
Lige og ulige funktion
Funktionen er selv funktion, når f(-x)=f(x) for enhver x fra definitionsdomænet. En sådan funktion vil være symmetrisk om Oy-aksen.
Funktionen er ulige funktion, når f(-x)=-f(x) for enhver x fra definitionsdomænet. En sådan funktion vil være symmetrisk omkring origo O (0;0) .
Funktionen er ikke engang, hverken mærkeligt og kaldes generel funktion, når den ikke har symmetri om aksen eller oprindelsen.
Lad os undersøge følgende funktion for paritet:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) s symmetrisk område definitioner i forhold til oprindelsen. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Det betyder, at funktionen f(x)=3x^(3)-7x^(7) er ulige.
Periodisk funktion
Funktionen y=f(x) , i hvilket domæne ligheden f(x+T)=f(x-T)=f(x) gælder for enhver x, kaldes periodisk funktion med periode T \neq 0 .
Gentagelse af grafen for en funktion på ethvert segment af x-aksen, der har længden T.
De intervaller, hvor funktionen er positiv, det vil sige f(x) > 0, er segmenter af abscisseaksen, der svarer til de punkter på funktionsgrafen, der ligger over abscisseaksen.
f(x) > 0 tændt (x_(1); x_(2)) \kop (x_(3); +\infty)
Intervaller, hvor funktionen er negativ, dvs. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \kop (x_(2); x_(3))
Begrænset funktion
Afgrænset nedefra Det er sædvanligt at kalde en funktion y=f(x), x \in X, når der er et tal A, for hvilket uligheden f(x) \geq A gælder for enhver x \in X .
Et eksempel på en funktion afgrænset nedefra: y=\sqrt(1+x^(2)) siden y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 for enhver x .
Afgrænset fra oven en funktion y=f(x), x \in X kaldes, når der er et tal B, for hvilket uligheden f(x) \neq B gælder for enhver x \in X .
Et eksempel på en funktion afgrænset nedenfor: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] da y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 for enhver x \in [-1;1] .
Begrænset Det er sædvanligt at kalde en funktion y=f(x), x \i X, når der er et tal K > 0, hvor uligheden \venstre | f(x)\højre | \neq K for enhver x \i X .
Eksempel begrænset funktion: y=\sin x er begrænset på hele talaksen, da \venstre | \sin x \right | \neq 1.
Stigende og faldende funktion
Det er sædvanligt at tale om en funktion, der stiger på det pågældende interval som stigende funktion derefter, når en større værdi af x svarer til en større værdi af funktionen y=f(x) . Det følger heraf, at hvis man tager to vilkårlige værdier af argumentet x_(1) og x_(2) fra det undersøgte interval, med x_(1) > x_(2) , vil resultatet være y(x_(1)) > y(x_(2)).
En funktion, der falder på det pågældende interval kaldes aftagende funktion når en større værdi af x svarer til en mindre værdi af funktionen y(x) . Det følger heraf, at man tager to fra det undersøgte interval vilkårlige værdier argumenterne x_(1) og x_(2) , med x_(1) > x_(2) , vil være y(x_(1))< y(x_{2}) .
Funktion Rødder Det er sædvanligt at kalde de punkter, hvor funktionen F=y(x) skærer abscisseaksen (de fås ved at løse ligningen y(x)=0).
a) Hvis for x > 0 en lige funktion øges, så falder den for x< 0
b) Når en lige funktion falder ved x > 0, så stiger den ved x< 0
.png)
c) Når x > 0 ulige funktion stiger, så stiger den også som x< 0
d) Når en ulige funktion falder for x > 0, så vil den også falde for x< 0
.png)
Funktionens ekstreme
Minimumspoint for funktionen y=f(x) kaldes normalt et punkt x=x_(0), hvis naboskab vil have andre punkter (bortset fra punktet x=x_(0)), og for dem vil uligheden f(x) > f så være tilfreds (x_(0)) . y_(min) - betegnelse af funktionen ved min-punktet.
Funktionens maksimale point y=f(x) kaldes normalt et punkt x=x_(0), hvis naboskab vil have andre punkter (bortset fra punktet x=x_(0)), og for dem vil uligheden f(x) så være opfyldt< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Forudsætning
Ifølge Fermats sætning: f"(x)=0 når funktionen f(x), der er differentierbar i punktet x_(0), vil have et ekstremum på dette punkt.
Tilstrækkelig stand
- Når den afledede ændrer fortegn fra plus til minus, så vil x_(0) være minimumspunktet;
- x_(0) - vil kun være et maksimumpunkt, når den afledede skifter fortegn fra minus til plus, når den passerer igennem stationært punkt x_(0) .
Den største og mindste værdi af en funktion på et interval
Beregningstrin:
- Den afledte f"(x) søges;
- Stationære og kritiske punkter i funktionen findes, og dem, der hører til segmentet, vælges;
- Værdierne af funktionen f(x) findes i stationære og kritiske punkter og enderne af segmentet. Det mindste af de opnåede resultater vil være den mindste værdi af funktionen, og mere - den største.
Afhængigheden af en variabel y af en variabel x, hvor hver værdi af x svarer til en enkelt værdi af y, kaldes en funktion. Brug notationen y=f(x) til betegnelse. Hver funktion har en række grundlæggende egenskaber, såsom monotoni, paritet, periodicitet og andre.
Overveje flere detaljer ejendom paritet.
En funktion y=f(x) kaldes, selvom den opfylder følgende to betingelser:
2. Værdien af funktionen i punkt x, der hører til funktionens definitionsdomæne, skal være lig med værdien af funktionen i punkt -x. Det vil sige, at for ethvert punkt x skal følgende lighed være opfyldt fra definitionsdomænet for funktionen: f(x) = f(-x).
Graf over en lige funktion
Hvis du plotter en graf for en lige funktion, vil den være symmetrisk om Oy-aksen.
For eksempel er funktionen y=x^2 lige. Lad os tjekke det ud. Definitionsdomænet er hele den numeriske akse, hvilket betyder, at den er symmetrisk omkring punkt O.
Lad os tage et vilkårligt x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Derfor f(x) = f(-x). Dermed er begge betingelser opfyldt, hvilket betyder, at funktionen er lige. Nedenfor er en graf over funktionen y=x^2.
Figuren viser, at grafen er symmetrisk om Oy-aksen.
Graf over en ulige funktion
En funktion y=f(x) kaldes ulige, hvis den opfylder følgende to betingelser:
1. Definitionsdomænet for en given funktion skal være symmetrisk i forhold til punkt O. Det vil sige, hvis et punkt a hører til funktionens definitionsdomæne, så tilsvarende punkt-a skal også tilhøre omfanget af den givne funktion.
2. For ethvert punkt x skal følgende lighed være opfyldt fra definitionsdomænet for funktionen: f(x) = -f(x).
Grafen for en ulige funktion er symmetrisk i forhold til punktet O - koordinaternes oprindelse. For eksempel er funktionen y=x^3 ulige. Lad os tjekke det ud. Definitionsdomænet er hele den numeriske akse, hvilket betyder, at den er symmetrisk omkring punkt O.
Lad os tage et vilkårligt x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Derfor f(x) = -f(x). Dermed er begge betingelser opfyldt, hvilket betyder, at funktionen er ulige. Nedenfor er en graf over funktionen y=x^3.
Figuren viser tydeligt, at den ulige funktion y=x^3 er symmetrisk om oprindelsen.