Естествени числа
много естествени числа, използвани за фактуриране или превод.
Формално, наборът от естествени числа може да бъде дефиниран с помощта на аксиомната система на Пеано.
СЪССистема от аксиоми на Пеано
1. Единица 
- естествено число, което не следва никое число.
2. За всяко естествено число 
съществува единствено число 
което веднага следва.
3. Всяко естествено число 
непосредствено следва само едно число.
4. Ако някои набор 
съдържа и заедно с всяко естествено число съдържа числото непосредствено след него 
(аксиома на индукцията).
Операции върху множество
Умножение
|
Изваждане :
Свойства на изваждане: Ако 
това
Ако 
това
Делимост на естествените числа
дивизия
:
разделено на 
такова, че 
Свойстваоперации:
1. Ако 
се разделят на 
това 
разделено на 
2. Ако 
И 
се разделят на 
това 
разделено на 
3. Ако 
И 
делимо на това разделено на
4. Ако се дели до тогава 
разделено на
5. Ако 
се делят на a 
не се делят на това и онова 
не се дели на
6. Ако или 
разделено на това 
разделено на
7. Ако се дели на 
след това се разделя на 
и се разделя на
Теоремаотносно делението с остатъкЗа всякакви естествени числа 
има само един положителни числа 
такова, че 
и 
Доказателство. Нека 
Помислете за следния алгоритъм:
| Ако Ако Продължаваме процеса на изваждане, докато остатъкът стане по-малък от числото Има номер |
| Нека да съберем всички редове на този алгоритъм и да получим необходимия израз, където
|
тогава нека направим друго изваждане
такова, че 
Ще докажем уникалността на представянето от противно.
Да предположим, че има две представяния
И 
Извадете единия израз от другия и 
Последното равенство в цели числа е възможно само в случая, тъй като 
при 
□
Следствие 1. Всяко естествено число може да бъде представено като: 
или или
Следствие 2. Ако 
последователни естествени числа, то едно от тях се дели на 
Следствие 3. Ако 
две последователни четни числа, то едно от тях се дели на 
Определение.
Естествено число 
се нарича просто, ако няма делители, различни от единица и себе си.
Последица4.
Всяко просто число има формата 
или 
Наистина всяко число може да бъде представено във формата; но всички числа в тази серия, с изключение на 
определено са съставни. □
Последица5
. Ако 
просто число тогава 
разделено на 
наистина 
три последователни естествени числа и 
дори и 
странно просто число. Следователно едно от четните числа 
И 
се дели на 4 и едно също се дели на 
□
Пример 2 . Следните твърдения са верни:
1. Квадратът на нечетно число, когато се раздели на 8, дава остатък 
2. За нито едно естествено число n числото n 2 +1 не се дели на 3.
3. Използвайки само числата 2, 3, 7, 8 (евентуално няколко пъти), е невъзможно да се повдигне на квадрат естествено число.
Доказателство1.
Всякакви неща нечетно числомогат да бъдат представени във формата 
или 
Нека повдигнем на квадрат всяко от тези числа и ще получим исканото твърдение.
Доказателство 2.Всяко естествено число може да бъде представено като 
Тогава изразът 
ще бъде равно на един от изразите 
които не се делят на 
Доказателство3. Наистина, последната цифра от квадрата на естествено число не може да завършва с нито една от тези цифри.
Признаци на делимост
Определение. Десетичното представяне на естествено число е представянето на число във формата
Стенописна нотация 
Признаци за делимост на
Одобрен 6Нека 
десетично представянечисла числа Тогава:
1. Числото се дели на 
когато числото 
- дори;
2. Числото се дели на 
когато числото е двуцифрено 
разделено на 
3. Числото се дели на 
Кога 
или 
4. Числото се дели на 
Кога 
5. Числото се дели на 
когато числото е двуцифрено 
- разделено на 
6. Числото се дели на 
7. Числото се дели на 
когато сумата от цифрите на едно число се раздели на 
8. Числото се дели на 
когато сборът от цифрите на число с редуващи се знаци се раздели на 
Доказателство.Доказателството за знаци 1)-5) се получава лесно от десетичния запис на числото. Нека докажем 6) и 7). наистина
От това следва, че ако се дели (или 
тогава сумата от цифрите на числото също се дели на 
Нека докажем 11). Нека се дели на Нека представим числото във формата
Тъй като всички добавени суми се делят на 
тогава сумата също се дели на □
Пример 3
.
Намерете всички петцифрени числа от формуляра 
, които се делят на 45.
Доказателство.
Следователно числото се дели на 5, а последната му цифра е 0 или 5, т.е. 
или 
Оригиналното число също се дели на 9, така че се дели на 9, т.е. 
или делимо на 9, т.е. 
отговор:
Тест за делимостна 
И 
Одобрен 7Нека десетичното представяне на числото Number се дели на 
когато разликата между число без последните три цифри и число, съставено от последните три цифри, се раздели на 
Доказателство.Нека го представим във формата Тъй като числото 
разделено на и 
това 
делимо на и □
Пример
4
.
Нека 
Тогава 
се дели на и следователно числото 
разделено на 
Нека 
Тогава 
делимо на Тогава числото 
разделено на
Прости числа
Ситото на Ератостен
(Прост алгоритъм за получаване на всички прости числа)
Алгоритъм.Записваме всички числа от 1 до 100 и първо задраскваме всички четни. След това от останалите задраскваме делимите на 3, 5, 7 и т.н. В резултат на това ще останат само прости числа.
Теорема на Евклид. Номер прости числабезкрайно.
Доказателство"от противоречие". Нека броят на простите числа е краен - 
Помислете за броя 
Въпрос: номер 
- прости или сложни?
Ако е съставно число, то се дели на някакво просто число 
и следователно едно се дели на това просто число. Противоречие.
Ако е просто число, то е по-голямо от всяко просто число 
и изписахме и номерирахме всички прости числа. Отново противоречие. □
Одобрен 8Ако числото е съставно, то има прост делител, така че 
Доказателство. If е най-малкият прост делител на съставно число 
това 
Последица.За да определите дали едно число е просто, трябва да определите дали то има прости делители. 
Пример
5
. Нека 
За да проверите дали номер е 
просто, трябва да проверите дали се дели на прости числа Отговор: число 
просто.
Генератори на прости числа
Хипотеза:Всички номера на формуляра 
просто.
При 
- това са прости числа 
За 
Ръчно и с помощта на компютър е доказано, че всички числа са съставни.
Например (Ойлер)
Хипотеза:Всички номера на формуляра 
просто.
При 
това е вярно, бе 
делимо на 17.
Хипотеза: Всички номера на формуляра 
просто.
При 
това е вярно, бе 
Хипотеза:Всички числа от формуляра са прости. При 
това е вярно, бе 
Теорема.(Метод на Ферма за факторизиране) Нечетното цяло число не е просто 
има такива естествени числа, че 
Доказателство.
□
Пример
6
.
Разложете числата на прости множители 
Пример
7
.
Разложете число на множители 
Това число се дели на 3 
Освен това, според метода на избор на фактори, 
Пример
8
. При какви цели числа 
просто?
Имайте предвид, че оттогава 
просто, тогава или 
или 
отговор: 
Одобрено 10Има ли естествено число нечетен брой делители, когато е точен квадрат?
Доказателство.Ако 
делител 
тогава има две различни двойки делители 
И 
и кога 
и двете двойки ще бъдат равни.
Пример 9 . Числата имат точно 99 делителя. Може ли едно число да има точно 100 делителя?
Отговор: не. Наистина, от предишното свойство и - идеални квадрати, но тяхната работа не е.
Пример
10
.
Числа 
просто. Намерете 
Решение.Всяко число може да бъде представено като 
Ако 
тогава получавате три прости числа 
удовлетворяващи условията на проблема. Ако 
това 
композитен. Ако 
това число 
разделено на 
какво ако 
това число 
се дели на По този начин във всички разгледани варианти не могат да се получат три прости числа. отговор: 
Определение.
Номер 
се нарича най-големият общ делител на числа и ако дели и и е най-голямото от тези числа.
Обозначение: 
Определение
.
Числата и се наричат относително прости, ако 
Пример 1
2
.
Решете уравнението в естествени числа 
Решение.Нека 
Следователно уравнението изглежда така Отговор: Няма решения.
ЗАосновна теорема на аритметиката
Теорема.Всяко естествено число, по-голямо от, е или просто число, или може да бъде записано като произведение на прости числа и това произведение е уникално до реда на факторите.
Следствие 1.Нека 
Тогава 
равно на произведениетовсички общи прости множители с най-малки степени.
Следствие 2.Нека 
Тогава 
е равно на произведението на всички различни прости множители с в най-голяма степен. разделено на
10. Намерете последната цифра на числото 7 2011 + 9 2011.
11. Намерете всички естествени числа, които се увеличават 9 пъти, ако между цифрата на единиците и цифрата на десетиците се постави нула.
12. Към някакво двуцифрено число е добавена единица отляво и отдясно. Резултатът беше число 23 пъти по-голямо от първоначалното. Намерете този номер.
Въпроси за теория или упражнения можете да задавате на Валери Петрович Чуваков
чв @ uriit . ru
Допълнително четене
1. Виленкин Н.Я. и др.. Зад страниците на учебник по математика. Аритметика. Алгебра. – М .: Образование, 2008.
2. Севрюков П.Ф. Подготовка за решение олимпиадни задачипо математика. – М.: Илекса, 2009.
3. Канел-Белов А.Я., Ковалджи А.К. Как решават нестандартни задачи. –М. MCNMO, 2009 г.
4. Агаханов Н.А., Подлипски О.К. Математически олимпиадиМосковска област. – М.: Физматкнига, 2006
5. Горбачов Н.В. Сборник от олимпиадни задачи, – М.: МЦНМО, 2004
ЛекцияЛекционни бележки по курса "теория на числата"
ЛекцияСледващите раздели на теорията числа: теория делимост, прости и съставни... Теорема. Нека x>0, xR, dN. Количество естественочисла, кратни на d и непревишаващи x, равни на... Лекция 12 13 Лекция 13 15 Литература. 17 Резюмелекциив курса "Теории" числа" ...
Бележки за лекции по ултурология
РезюмеПавлюченков Резюмелекциив културологията... неравномерно и съществуваше в рамките естественоферми. В полиса е... изследване на безкрайно малките числадо голяма степен са завършили създаването... докато материалът делима ad infinitum. духовен...
D A Shadrin Logic бележки от лекции
РезюмеПредставлява абстрактнолекциипо дисциплината "Логика". Резюмелекциикомпилиран в... това е определението естественочисла. Така че, ако 1 - естественочисло и n - естественономер, след това 1 ... изчерпване на целия обем делимаконцепции, така че...
Делимост на числата. Прости и съставни числа.
Делимост на естествените числа.............................................. ............................ ............................. ............................. ................. | |
Основна теорема на аритметиката ............................................. ...... ............................................ ............ .............. | |
Признаци на делимост..................................................... .......... ............................................ ................ .................................. ...... | |
Твърдения, свързани с делимостта на числата.................................................. ......................................................... .... | |
Устни задачи................................................. ......... ................................................ ............... ................................. ........ | |
„Полуустни“ задачи..................................... ............................ ............................. ............................................................. ................. | |
Кога до пълния брой десетици.............................................. ......................................................... .................. | |
Задачи за делимост на сборовете:.................................. ......................................................... ............................................. | |
Нестандартни задачи.................................................. .......... ............................................ ................ ............................ | |
Някои задачи от учебниците............................................. ............... ................................. ..................... ................ | |
Сравнения................................................. ......................................................... ............. ..................................... .............. | |
Малката теорема на Ферма ............................................. ............. ..................................... ................... .............................. | |
Решаване на уравнения в цели числа.............................................. ................... .............................. ......................... .......... | |
Използвана литература:................................................ ......................................................... ............ ................................. |
Хайнрих Г.Н. | FMS № 146, Perm |
Една от целите математическо образование, отразено в федерален компонент държавен стандартпо математика, е интелектуално развитиестуденти.
Тема: Делимост на числата. Прости и съставни числа“ е една от онези теми, които, започвайки от 5 клас, позволяват в по-голяма степенразвиват се математически умениядеца. Работа в училище с задълбочено проучванеМатематика, физика и информатика, където обучението се провежда от 7-ми клас, математическият отдел на нашето училище е заинтересован да гарантира, че учениците от 5-7 клас ще се запознаят по-добре с тази тема. Опитваме се да приложим това в часовете в Школата на младите математици (УММ), както и в регионалния летен математически лагер, където преподавам заедно с учителите на нашето училище. Постарах се да подбера задачи, които да представляват интерес за учениците от 5 до 11 клас. Все пак учениците от нашето училище учат тази темаспоред програмата. И през последните 2 години завършилите училище са изправени пред проблеми по тази тема на Единния държавен изпит (в задачи от тип C6). Теоретичен материалв различни случаи го разглеждам в различна степен.
Делимост на естествените числа.
Някои определения:
Казва се, че естествено число a се дели на естествено число b, ако има естествено число c такова, че a=bc. В същото време те пишат: a b. В това
В този случай b се нарича делител на a, а a е кратно на b. Естественото число се нарича просто, ако няма делители.
различен от себе си и от единицата (например: 2, 3, 5, 7 и т.н.).Едно число се нарича съставно, ако не е просто. Единицата не е нито проста, нито съставна.
Число n се дели на просто число p тогава и само ако p присъства сред простите множители, на които n се разлага.
Най-големият общ делител на числата a и b се нарича най-голямото число, което е едновременно делител на a и делител на b, се означава с НОД (a;b) или D (a;b).
Най-малкото общо кратно се нарича най-малкото число, делимо на a и b, се обозначава с LCM (a;b) или K (a;b).
Наричат се числата a и b взаимно прости, ако най-големият им общ делителравно на едно.
Хайнрих Г.Н. | FMS № 146, Perm |
Основна теорема на аритметиката
Всяко естествено число n може да бъде уникално разширено (до реда на множителите) в произведение на степените на простите множители:
n = p1 k 1 p2 k 2 pm k m
тук p1, p2,…pm са различни прости делители на числото n, а k1, k2,…km са степените на поява (степените на кратност) на тези делители.
Признаци на делимост
∙ Числото се дели на 2 тогава и само тогава, когато последната цифра се дели на 2 (т.е. четна).
∙ Едно число се дели на 3 тогава и само ако сборът от неговите цифри се дели на 3.
∙ Едно число се дели на 4 тогава и само ако двуцифреното число, съставено от последните две цифри, се дели на 4.
∙ Едно число се дели на 5 тогава и само ако последната цифра се дели на 5 (т.е. равна на 0 или 5).
∙ За да разберете дали дадено число се дели на 7 (на 13), трябва да разделите неговия десетичен запис от дясно на ляво на групи от по 3 цифри всяка (най-лявата група може да съдържа 1 или 2 цифри), след което вземете нечетния групи със знак минус“, а с четни числа – със знак плюс. Ако полученият израз се дели на 7 (на 13), тогава дадено числоделимо на 7 (на 13).
∙ Едно число се дели на 8 тогава и само ако трицифреното число, съставено от последните три цифри, се дели на 8.
∙ Едно число се дели на 9 тогава и само ако сборът от неговите цифри се дели на 9.
∙ Едно число се дели на 10 тогава и само ако последната цифра е нула.
∙ Едно число се дели на 11 тогава и само тогава, когато сумата от четните му цифри в десетичната система и сумата от нечетните цифри в десетичната система дават равни остатъци, когато се делят на 11.
Твърдения, свързани с делимостта на числата.
∙ Ако a b и b c , то a c .
∙ Ако a m, тогава ab m.
∙ Ако a m и b m, тогава a+b m
∙ Ако a+.b m и a m, тогава b m
∙ Ако a m и a k и m и k са взаимно прости, тогава a mk
∙ Ако ab m и a са взаимно прости с m, тогава b m
Хайнрих Г.Н. | FMS № 146, Perm |
∙ В часовете по тази тема, в зависимост от възрастта на учениците, мястото и времето на занятията съобразявам различни задачи. Избирам тези проблеми главно от източниците, посочени в края на работата, включително от материалите на Пермския регионален турнир на младите математици от минали години и материали II и III етапиРуска олимпиада за ученици по математика от предишни години.
Използвам следните задачи за часовете в 5, 6, 7 клас на ШЮМ1 е при разглеждане на темата „Делимост на числата. Прости и съставни числа. Признаци на делимост“.
Устни задачи.
1. Добавете по 1 цифра отляво и отдясно на числото 15, така че числото да се дели на 15.
Отговор: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.
2. Добавете по 1 цифра отляво и отдясно на числото 10, така че числото да се дели на 72.
Отговор: 4104.
3. Определено число се дели на 6 и 4. Трябва ли да се дели на 24?
Отговор: не, например 12.
4. Намерете най-голямото естествено число, което е кратно на 36 и всичките му цифри са представени веднъж.
Отговор: 9876543120.
5. Даденото число е 645*7235. Заменете * с число, така че полученото число да е кратно на 3. Отговор: 1, 4, 7.
6. Дадено е числото 72*3*. Заменете * с числа, така че полученото число да е кратно на 45. Отговор: 72630, 72135.
„Полуустни“ задачи.
1. Колко недели може да има в годината?
2. В определен месец се падаха три недели на четни числа. Кой ден от седмицата беше 7-ми от този месец?
3. Да започнем да се броим на пръсти както следва: нека той е пръв палец, втори - показалец, трети - среден, четвърти - безименен, пети - малък пръст, шести - пак безименен, седми - среден, осми - показалец, девети - палец, десети - показалеци т.н. Кой пръст ще бъде 2000?
1 ШУМ - Школа за млади математици - съботно занимание към 146 гимназия по физика
Хайнрих Г.Н. | FMS № 146, Perm |
При колко n числото 1111...111 се дели на 7?
При колко n числото 1111...111 се дели на 999 999 999?
6. Дробта b a е съкратима. Дробта a + − b b ще бъде ли съкратима?
7. В страната Анчурия в обращение има банкноти в купюри от 1 Анчур, 10 Анчур, 100 Анчур, 1000 Анчур. Възможно ли е да се преброят 1 000 000 котви с 500 000 банкноти?
8. Намерете двуцифрено число, чиято първа цифра е равна на разликата между това число и число, записано със същите цифри, но в обратен ред.
1. Може да има 365 или 366 дни в годината, всеки седми ден е неделя, което означава 365 = 52 × 7 + 1 или 366 = 52 × 7 + 2, може да има 52 или 53, ако неделя се пада на 1-ви ден.
2. Тези 3 недели се падаха на 2-ри, 16-ти и 30-ти. Това означава, че 7-ми този месец ще бъде петък.
3. Броят на пръстите при броене ще се повтори с период от 8, което означава, че е достатъчно да се изчисли остатъкът от деленето на 2000 на 8. Той е равен на 0. Тъй като показалецът е осми, тогава 2000-та ще бъде показалецът.
е точно 7 и 111111 = 7× 15873. Следва, че ако в записа дадено числоповече от 6 единици, тогава след всеки 6 единици следващият остатък е 0. Така,
число от формата 1111...111 се дели на 7 тогава и само ако неговото количество
цифрите се делят на 6, т.е. n=7× t, където tО Z.
едновременно. В това число броят на единиците е кратен на 9. Но първото и второто такива числа 111 111 111 и 111 111 111 111 111 111 не се делят на 999 999 999. А число с 18 единици се дели на 999 999 999. Освен това, започвайки от 18-ти, всяко 18-то число се дели на 999 999 999, т.е. n=18× t, където tО N.
6. Дроб | а е редуцируем, т.е. a=bn, където nО Z. След това пренаписваме дробта | a − b | ||||||
a+b | ||||||||
bn − b | b(n−1) | n − 1 | Очевидно е, че дробта a a + − b b | редуцируем. | ||||
bn + b | b(n+1) | n+1 | ||||||
7. Нека има банкноти в деноминация от 1 anchur, b в деноминация от 10 anchur, c в деноминация от 100 anchur и d в деноминация от 1000 anchur. получаваме
Както вече беше отбелязано, естествено число a се дели на естествено число b, ако има естествено число c, което, умножено по b, дава a:
Думата „изцяло“ обикновено се пропуска с цел краткост.
Ако a се дели на b, тогава те също казват, че a е кратно на b. Например числото 48 е кратно на 24.
Теорема 1. Ако един от множителите се дели на определено число, то произведението също се дели на това число.
Например 15 се дели на 3, което означава, че 15∙11 се дели на 3, защото 15∙11=(3∙5)∙11=3∙(5∙11).
Тези аргументи важат и за общия случай. Нека числото a се дели на c, тогава съществува естествено число n такова, че a = n∙c. Да разгледаме произведението на числото a и произволно естествено число b. a∙b = n∙(c∙b) =
= n∙(b∙c) = (n∙b)∙c. От тук по дефиниция следва, че произведението a∙b също се дели на c. Q.E.D.
Теорема 2. Ако първото число се дели на второто, а второто се дели на третото, то първото число се дели на третото.
Например 777 се дели на 111, защото 777 = 7∙111, а 111 се дели на 3, защото 111 = 3∙37. От това следва, че 777 се дели на 3, тъй като 777 = 3∙(37∙7).
IN общ случайТези аргументи могат да бъдат повторени почти дословно. Нека числото a е разделено на числото b, а числото b е разделено на числото c. Това означава, че има естествени числа n и m, така че a = n∙b и b = m∙c. Тогава числото a може да бъде представено като: a = n∙b = n∙(m∙c) = (n∙m)∙c. Равенството a = (n∙m)∙c означава, че числото a също се дели на c.
Теорема 3. Ако всяко от две числа се дели на определено число, то сборът и разликата им се делят на това число.
Например 100 се дели на 4, защото 100=25∙4; 36 също се дели на 4, защото 36 = 9∙4. От това следва, че 136 се дели на 4, защото
136 = 100+ 36 = 25∙4+ 9∙4 = (25+ 9)∙4 = 34∙4.
Можем също да заключим, че числото 64 се дели на 4, защото
64 = 100 – 36 = 25∙4 – 9∙4 =(25 – 9)∙4= 16∙4.
Нека докажем теоремата в общия случай. Нека всяко от числата a и b се дели на числото c. Тогава, по дефиниция, има естествени числа n и m, така че
a = n∙c и b = m∙c. Да разгледаме сбора на числата a и b.
a + b = n∙c + m∙c = (n + m)∙c.
От това следва, че a + b се дели на c.
По същия начин, a – b = n∙c – m∙c = (n – m)∙c. Следователно a – b се дели на c.
Теорема 4. Ако едното от две числа се дели на определено число, а другото не се дели на него, то сборът и разликата им не се делят на това число.
Например 148 се дели на 37, защото 148 = 4∙37, а 11 не се дели на 37. Очевидно сборът от 148 + 11 и разликата от 148 – 11 не се делят на 37, в противен случай това би противоречило на свойство 3 .
Признаци на делимост
Ако едно число завършва на 0, значи то се дели на 10.
Например числото 4560 завършва с числото 0, то може да бъде представено като произведението 456∙10, което е разделено на 10 (според теорема 1).
Числото 4561 не се дели на 10, тъй като 4561 = 4560+1 е сумата от числото 4560, което се дели на 10, и числото 1, което не се дели на 10 (по теорема 4).
Ако едно число завършва на една от цифрите 0 или 5, тогава то се дели на 5.
Например числото 2300 се дели на 5, защото това число се дели на 10, а 10 се дели на 5 (по теорема 2).
Числото 2305 завършва с числото 5, то се дели на 5, тъй като може да се запише като сбор от числа, делими на 5: 2300 + 5 (според теорема 3).
Числото 52 не се дели на 5, тъй като 52 = 50 + 2 е сумата от числото 50, което се дели на 5, и числото 2, което не се дели на 5 (по теорема 4).
Ако едно число завършва на една от цифрите 0, 2, 4, 6, 8, то се дели на 2.
Например числото 130 завършва на 0, то се дели на 10, а 10 се дели на 2, следователно 130 се дели на 2.
Числото 136 завършва с числото 6, то се дели на 2, тъй като може да се напише като сбор от числа, делими на 2: 130 + 6 (съгласно теорема 3).
Числото 137 не се дели на 2, тъй като 137 = 130 + 7 е сумата от числото 130, което се дели на 2, и числото 7, което не се дели на 2 (по теорема 4).
Число, делимо на 2, се нарича четно.
Число, което не се дели на 2, се нарича нечетно.
Например числата 152 и 790 са четни, а числата 111 и 293 са нечетни.
Ако сумата от цифрите на едно число се дели на 9, то самото число се дели на 9..
Например сборът от цифрите 7 + 2 + 4 + 5 = 18 на числото 7245 се дели на 9. Числото 7245 се дели на 9, защото може да бъде представено като сбор от 7∙1000 +
+ 2∙100 + 4∙10 + 5 = 7 (999 + 1) + 2∙(99 + 1) + + 4∙(9 + 1) + 5 = (7∙999 + 2∙99 +
+ 4∙9) + (7 + 2 + 4 + 5), където сумата в първите скоби се дели на 9, а във вторите скоби - сумата от цифрите на дадено число - също се дели на 9 ( съгласно теорема 3).
Числото 375 не се дели на 9, тъй като сумата от неговите цифри 3 + 7 + 5=15 не се дели на 9. Това може да се докаже по следния начин: 375 = 3∙(99 + 1) + 7∙(9+ 1) + 5 =
+ (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), където сумата в първите скоби се дели на 9, а във вторите скоби - сумата от цифрите на числото 375 - не се дели с 9 (съгласно теорема 4).
Ако сборът от цифрите на едно число се дели на 3, то самото число се дели на 3..
Например числото 375 има сбор от цифри 3 + 7 + 5 = 15, който се дели на 3, а самото то се дели на 3, защото 375 = (3∙99 + 7∙9) + (3 + 7 + 5), където сумата в първите скоби се дели на 3, а във вторите скоби - сумата от цифрите на числото 375 - също се дели на 3.
Сумата от цифрите на числото 679, равна на 6 + 7 + 9 = 22, не се дели на 3, а самото число не се дели на 3, тъй като 679 = (6∙99 + 7∙9) + ( 6 + 7 + 9), където сумата в първите скоби се дели на 3, а във вторите скоби - сумата от цифрите на числото 679 - не се дели на 3.
Забележка. Когато казват „число завършва с цифра...“, те имат предвид „ десетичен записчислото завършва с число..."
Прости и съставни числа
Всяко естествено число p се дели на 1 и на себе си:
p:1=p, p:p=1.
Простото число е естествено число, което е по-голямо от едно и се дели само на 1 и на себе си..
Ето първите десет прости числа:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Комплексни естествени числа големи единици, се наричат съставни. Всяко съставно число се дели на 1, себе си и поне още едно естествено число.
Ето всички съставни числа под 20:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.
Така множеството от всички естествени числа се състои от прости числа, съставни числа и единица.
Има безкрайно много прости числа, има първо число - 2, но няма последно просто число.
Делители на естествени числа
Ако естествено число a се дели на естествено число b, то числото b наречен делителчисла а.
Например делителите на числото 13 са числата 1 и 13, делителите на числото 4 са числата 1, 2, 4, а делителите на числото 12 са числата 1, 2, 3, 4, 6. , 12.
Всяко просто число има само два делителя - единица и себе си, а всяко съставно число, освен единица и себе си, има и други делители.
Ако делителят е просто число, тогава той се нарича прост делител. Например числото 13 има прост множител 13, числото 4 има прост множител 2, а числото 12 има прости множители 2 и 3.
Всяко съставно число може да бъде представено като произведение на своите прости делители. например,
28 = 2∙2∙7 = 2 2 ∙7;
81 = 3∙3∙3∙3 = 3 4;
100 = 2∙2∙5∙5 = 2 2 ∙5 2 .
Десните части на получените равенства се наричат разлагане на основни факторичисла 28, 22, 81 и 100.
Да разложим дадено съставно число на прости множители означава да го представим като произведение на неговите различни прости множители или техните мощности.
Нека покажем как можете да разложите числото 90 на прости множители.
1) 90 се дели на 2, 90:2 = 45;
2) 45 не се дели на 2, а се дели на 3, 45:3= 15;
3) 15 се дели на 3, 15:3 = 5;
4) 5 се дели на 5, 5:5 = 1.
Така 90 = 2∙45 = 2∙3∙15 = 2∙3∙3∙5.
Най-голям общ делител
Числото 12 има множители 1, 2, 3, 4, 12. Числото 54 има множители 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Виждаме, че числата 12 и 54 имат общи множители 1, 2 , 3 , 6.
Най-големият общ делител на числата 12 и 54 е числото 6.
Най-големият общ делител на числата a и b се означава с: gcd (a, b).
Например НОД (12, 54) = 6.
Най-малко общо кратно
Число, делимо на 12, се нарича кратно на 12. Числото 12 е кратно на 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 и т.н. Числото 18 е кратно на 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 и т.н.
Виждаме, че има числа, кратни както на 12, така и на 18. Например 36, 72, 108, .... Тези числа се наричат общи кратни на 12 и 18.
Най-малкото общо кратно на естествените числа a и b е най-малкото естествено число, делящо се на a и b. Това число се обозначава с: LOC (a, b).
Най-малкото общо кратно на две числа обикновено се намира по един от двата начина. Нека да ги разгледаме.
Нека намерим LOC(18, 24).
Метод I Ще запишем числа, кратни на 24 (по-голямото от тези числа), като проверим дали всяко от тях се дели на 18: 24∙1=24 – не се дели на 18, 24∙2 = 48 – не се дели на 18, 24∙3 = 72 – се дели на 18, така че LCM (24, 18) =
= 72.
II метод. Нека разложим числата 24 и 18 на прости множители: 24 = 2∙2∙2∙3,
18 = 2∙3∙3.
LCM(24, 18) трябва да се дели както на 24, така и на 18. Следователно търсеното число съдържа всички прости множители на по-голямото число 24 (т.е. числата 2, 2, 2, 3) и липсващите множители от разширението по-малък брой 18 (друго число 3). Следователно LCM(18, 24) = 2∙2∙2∙3∙3 = 72.
Тъй като взаимно простите числа нямат общи прости множители, тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението на тези числа. Например 24 и 25 са относително прости числа. Следователно LCM (24, 25) = 24∙25 = 600.
Ако едно от две числа се дели на другото, тогава най-малкото общо кратно на тези числа е равно на по-голямото от тях. Например 120 се дели на 24, следователно LCM (120, 24) = 120.
Цели числа
Напомняне. Извикват се числата, използвани за преброяване на броя на обектите естествени числа. Нулата не се счита за естествено число. Естествените числа и нулата, записани във възходящ ред и без пропуски, образуват редица от цели числа неотрицателни числа:
В този раздел ще бъдат въведени нови номера - отрицателни цели числа.
Основен примерот живота - термометър. Да кажем, че показва температура от 7°C. Ако температурата падне с 4°, термометърът ще покаже 3° топлина. Намаляването на температурата съответства на действието на изваждане: 7 – 4 = 3. Ако температурата спадне със 7°, термометърът ще покаже 0°: 7 – 7 = 0.
Ако температурата падне с 8°, термометърът ще показва –1° (1° под нулата). Но резултатът от изваждането на 7 – 8 не може да се запише с естествени числа и нула, въпреки че има истинско значение.
Невъзможно е да се преброят 8 числа от числото 7 вляво в поредица от неотрицателни цели числа. За да направим действие 7 – 8 осъществимо, нека разширим диапазона от неотрицателни цели числа. За да направите това, вляво от нулата, ние пишем (отдясно наляво) по ред всички естествени числа, добавяйки към всяко от тях знак „–“, което показва, че това число е вляво от нулата.
Записите –1, –2, –3, ... се четат „минус 1“, „минус 2“, „минус 3“ и т.н.:
–5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .
Получената поредица от числа се нарича поредица от цели числа. Точките отляво и отдясно в този запис означават, че серията може да бъде продължена безкрайно надясно и наляво.
Вдясно от числото 0 в този ред има числа, които се наричат естествени числа или цели положителни числа.