Следва от определението му. И така, логаритъма на числото bбазиран на Асе дефинира като степенна степен, до която трябва да се повдигне число аза да получите номера b(логаритъм съществува само за положителни числа).
От тази формулировка следва, че изчислението x=log a b, е еквивалентно на решаването на уравнението a x =b.Например, log 2 8 = 3защото 8 = 2 3 . Формулировката на логаритъма дава възможност да се обоснове, че ако b=a c, след това логаритъма на числото bбазиран на аравно на с. Също така е ясно, че темата за логаритмите е тясно свързана с темата за степените на числото.
С логаритми, както с всички числа, можете да направите операции събиране, изважданеи трансформирайте по всякакъв възможен начин. Но поради факта, че логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук се прилагат техните собствени специални правила, които се наричат основни свойства.
Събиране и изваждане на логаритми.
Нека вземем два логаритма с на същото основание: регистрирайте xИ log a y. Тогава е възможно да се извършват операции събиране и изваждане:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
дневник a(х 1 . х 2 . х 3 ... x k) = регистрирайте x 1 + регистрирайте x 2 + регистрирайте x 3 + ... + log a x k.
от теорема за коефициент на логаритъмМоже да се получи още едно свойство на логаритъма. Общоизвестно е, че лог а 1= 0, следователно
дневник а 1 /b=дневник а 1 - дневник а б= - дневник а б.
Това означава, че има равенство:
log a 1 / b = - log a b.
Логаритми на две реципрочни числапо същата причина ще се различават един от друг единствено по знак. Така:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Фокусът на тази статия е логаритъм. Тук ще дадем дефиницията на логаритъм, покажете прието обозначение, ще дадем примери за логаритми и ще говорим за естествени и десетични логаритми. След това ще разгледаме основното логаритмично тъждество.
Навигация в страницата.
Дефиниция на логаритъм
Концепцията за логаритъм възниква при решаването на задача в в известен смисълобратно, когато трябва да намерите експонентата по известна стойностстепен и известна основа.
Но достатъчно предисловия, време е да отговорим на въпроса „какво е логаритъм“? Нека дадем съответното определение.
Определение.
Логаритъм от b при основа a, където a>0, a≠1 и b>0 е степента, до която трябва да повишите числото a, за да получите b като резултат.
На този етап отбелязваме, че изречената дума „логаритъм“ трябва незабавно да повдигне два последващи въпроса: „какво число“ и „на каква основа“. С други думи, просто няма логаритъм, а само логаритъм на число спрямо някаква основа.
Да влезем веднага логаритмична нотация: логаритъма на число b при основа a обикновено се означава като log a b. Логаритъмът на число b по основа e и логаритъмът по основа 10 имат свои собствени специални обозначения съответно lnb и logb, тоест те пишат не log e b, а lnb и не log 10 b, а lgb.
Сега можем да дадем: .
И записите 
нямат смисъл, тъй като в първия от тях има отрицателно число под знака на логаритъма, във втория има отрицателно число в основата, а в третия има отрицателно число под знака на логаритъма и единица в базата.
Сега нека поговорим за правила за четене на логаритми. Нотацията log a b се чете като "логаритъм от b по основа a". Например log 2 3 е логаритъм от три при основа 2 и е логаритъм от две цяло две трети при основа 2 Корен квадратенот пет. Логаритъмът при основа e се нарича натурален логаритъм, а записът lnb се чете "естествен логаритъм от b". Например ln7 е натурален логаритъм от седем и ние ще го прочетем като натурален логаритъм от пи. Логаритъмът с основа 10 също има специално име - десетичен логаритъм, а lgb се чете като "десетичен логаритъм от b". Например lg1 е десетичният логаритъм от едно, а lg2,75 е десетичният логаритъм от две кома седем пет стотни.
Струва си да се спрем отделно на условията a>0, a≠1 и b>0, при които е дадена дефиницията на логаритъма. Нека обясним откъде идват тези ограничения. Равенството на формата, наречено , което пряко следва от определението за логаритъм, дадено по-горе, ще ни помогне да направим това.
Да започнем с a≠1. Тъй като едно на произволна степен е равно на едно, равенството може да е вярно само когато b=1, но log 1 1 може да бъде всяко реално число. За да се избегне тази неяснота, се приема a≠1.
Нека обосновем целесъобразността на условието a>0. При a=0, по дефиницията на логаритъм, ще имаме равенство, което е възможно само при b=0. Но тогава log 0 0 може да бъде всяко ненулево реално число, тъй като нула на всяка ненулева степен е нула. Условието a≠0 ни позволява да избегнем тази неяснота. И когато а<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррационален показателопределени само за неотрицателни основи. Следователно условието a>0 се приема.
И накрая, условието b>0 следва от неравенството a>0, тъй като , и стойността на степен с положителна основа a винаги е положителна.
За да завършим тази точка, нека кажем, че посочената дефиниция на логаритъма ви позволява незабавно да посочите стойността на логаритъма, когато числото под знака на логаритъма е определена степен на основата. Наистина, дефиницията на логаритъм ни позволява да заявим, че ако b=a p, тогава логаритъма на числото b при основа a е равен на p. Тоест равенството log a a p =p е вярно. Например знаем, че 2 3 =8, тогава log 2 8=3. Ще говорим повече за това в статията.
Както знаете, когато се умножават изрази със степени, техните показатели винаги се събират (a b *a c = a b+c). Този математически закон е изведен от Архимед, а по-късно, през 8-ми век, математикът Вирасен създава таблица с цели показатели. Те бяха тези, които служеха за по-нататъшно отварянелогаритми. Примери за използване на тази функция могат да бъдат намерени почти навсякъде, където трябва да опростите тромавото умножение чрез просто събиране. Ако прекарате 10 минути в четене на тази статия, ще ви обясним какво представляват логаритмите и как да работите с тях. На прост и достъпен език.
Дефиниция в математиката
Логаритъмът е израз от следната форма: log a b=c, т.е. логаритъма на всеки неотрицателно число(т.е. всяко положително) „b“ по основата „a“ се счита за степен на „c“, до която трябва да се повдигне основата „a“, за да се получи в крайна сметка стойността „b“. Нека анализираме логаритъма с примери, да кажем, че има израз log 2 8. Как да намерим отговора? Много е просто, трябва да намерите такава степен, че от 2 до необходимата степен да получите 8. След като направим някои изчисления наум, получаваме числото 3! И това е вярно, защото 2 на степен 3 дава отговора като 8.
Видове логаритми
За много ученици и студенти тази тема изглежда сложна и неразбираема, но всъщност логаритмите не са толкова страшни, основното е да разберете общото им значение и да запомните техните свойства и някои правила. Има три отделни видовелогаритмични изрази:
- Натурален логаритъм ln a, където основата е числото на Ойлер (e = 2,7).
- Десетично a, където основата е 10.
- Логаритъм на произволно число b при основа a>1.
Всеки от тях е решен по стандартен начин, което включва опростяване, редуциране и последващо редуциране до един логаритъм с помощта на логаритмични теореми. За да получите правилните стойности на логаритмите, трябва да запомните техните свойства и последователността от действия, когато ги решавате.
Правила и някои ограничения
В математиката има няколко правила-ограничения, които се приемат като аксиома, тоест не подлежат на обсъждане и са истината. Например, невъзможно е да се разделят числа на нула и също така е невъзможно да се извлече четен корен от отрицателни числа. Логаритмите също имат свои собствени правила, следвайки които лесно можете да се научите да работите дори с дълги и обемни логаритмични изрази:
- Основата „а“ винаги трябва да е по-голяма от нула и да не е равна на 1, в противен случай изразът ще загуби значението си, тъй като „1“ и „0“ във всяка степен винаги са равни на техните стойности;
- ако a > 0, тогава a b > 0, се оказва, че „c” също трябва да е по-голямо от нула.
Как се решават логаритми?
Например, дадена е задачата да намерите отговора на уравнението 10 x = 100. Това е много лесно, трябва да изберете степен, като увеличите числото десет, до което получаваме 100. Това, разбира се, е 10 2 = 100.
Сега нека представим този израз в логаритмична форма. Получаваме log 10 100 = 2. При решаване на логаритми всички действия практически се събират, за да се намери степента, на която е необходимо да се въведе основата на логаритъма, за да се получи даден номер.
За точно определяне на стойността неизвестна степентрябва да се научите как да работите с таблицата на градусите. Изглежда така:
Както можете да видите, някои показатели могат да бъдат познати интуитивно, ако имате технически ум и познаване на таблицата за умножение. Въпреки това за големи стойностище ви трябва таблица с градуси. Може да се използва дори от тези, които не знаят нищо за комплекса математически теми. Лявата колона съдържа числа (основа a), горният ред от числа е стойността на степен c, на която е повдигнато числото a. В пресечната точка клетките съдържат числовите стойности, които са отговорът (a c =b). Да вземем, например, първата клетка с числото 10 и да я поставим на квадрат, получаваме стойността 100, която е посочена в пресечната точка на нашите две клетки. Всичко е толкова просто и лесно, че и най-истинският хуманист ще разбере!
Уравнения и неравенства
Оказва се, че при определени условия показателят е логаритъм. Следователно всяка математическа числови изразиможе да се напише като логаритмично уравнение. Например, 3 4 =81 може да бъде записано като логаритъм с основа 3 от 81, равен на четири (log 3 81 = 4). За отрицателни силиправилата са същите: 2 -5 = 1/32, записваме го като логаритъм, получаваме log 2 (1/32) = -5. Един от най-завладяващите раздели на математиката е темата "логаритми". Ще разгледаме примери и решения на уравнения по-долу, веднага след изучаването на техните свойства. Сега нека да разгледаме как изглеждат неравенствата и как да ги различим от уравненията.
Даден е израз със следната форма: log 2 (x-1) > 3 - така е логаритмично неравенство, тъй като неизвестната стойност "x" е под знака на логаритъма. И също така в израза се сравняват две количества: логаритъма на желаното число при основа две е по-голям от числото три.
Най-важната разлика между логаритмичните уравнения и неравенствата е, че уравненията с логаритми (например логаритъм 2 x = √9) предполагат един или повече конкретни отговори. числови стойности, докато при решаване на неравенствата се определят като обл приемливи стойностии точките на прекъсване на тази функция. В резултат на това отговорът не е прост набор от отделни числа, както в отговора на уравнение, а по-скоро непрекъсната серияили набор от числа.
Основни теореми за логаритмите
При решаване на примитивни задачи за намиране на стойностите на логаритъма, неговите свойства може да не са известни. Въпреки това, когато става въпрос за логаритмични уравнения или неравенства, на първо място е необходимо ясно да се разберат и приложат на практика всички основни свойства на логаритмите. По-късно ще разгледаме примери за уравнения; нека първо разгледаме всяко свойство по-подробно.
- Основната идентичност изглежда така: a logaB =B. Прилага се само когато a е по-голямо от 0, не е равно на единица, и B е по-голямо от нула.
- Логаритъмът на продукта може да бъде представен в следната формула: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. В този случай предпоставкае: d, s 1 и s 2 > 0; a≠1. Можете да дадете доказателство за тази логаритмична формула с примери и решение. Нека log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2, тогава a f1 = s 1, a f2 = s 2. Получаваме, че s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства на градуса ), и след това по дефиниция: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, което трябваше да бъде доказано.
- Логаритъмът на частното изглежда така: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Теоремата под формата на формула поема следващ изглед: log a q b n = n/q log a b.
Тази формула се нарича „свойство на степента на логаритъм“. Наподобява свойствата на обикновените степени и не е изненадващо, защото цялата математика се основава на естествени постулати. Нека да разгледаме доказателството.
Нека log a b = t, оказва се, че a t = b. Ако повдигнем двете части на степен m: a tn = b n ;
но тъй като a tn = (a q) nt/q = b n, следователно log a q b n = (n*t)/t, тогава log a q b n = n/q log a b. Теоремата е доказана.
Примери за задачи и неравенства
Най-често срещаните видове задачи за логаритми са примери за уравнения и неравенства. Те се намират в почти всички книги със задачи, а също така са включени в задължителна частизпити по математика. За прием в университет или преминаване приемни изпитив математиката трябва да знаете как да решавате правилно такива задачи.
За съжаление няма единен план или схема за решаване и определяне неизвестна стойностНяма такова нещо като логаритъм, но можете да го приложите към всяко математическо неравенство или логаритмично уравнение. определени правила. На първо място, трябва да разберете дали изразът може да бъде опростен или да доведе до общ вид. Опростете дългите логаритмични изразивъзможно, ако използвате правилно свойствата им. Нека бързо да ги опознаем.
При решаване логаритмични уравнения, трябва да определим какъв тип логаритъм имаме: примерен израз може да съдържа натурален логаритъм или десетичен.
Ето примери ln100, ln1026. Тяхното решение се свежда до факта, че те трябва да определят степента, на която основата 10 ще бъде равна съответно на 100 и 1026. За решения естествени логаритмитрябва да кандидатствате логаритмични тъждестваили техните свойства. Нека разгледаме решението с примери логаритмични задачиразлични видове.
Как се използват формули за логаритъм: с примери и решения
И така, нека да разгледаме примери за използване на основните теореми за логаритмите.
- Свойството логаритъм на произведение може да се използва в задачи, където е необходимо разширяване голямо значениечисла b на по-прости множители. Например log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Отговорът е 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - както виждате, използвайки четвъртото свойство на степента на логаритъм, успяхме да решим един на пръв поглед сложен и неразрешим израз. Просто трябва да факторизирате основата и след това да извадите стойностите на степента от знака на логаритъма.
Задачи от Единния държавен изпит
Логаритмите често се срещат в входни изпити, особено много логаритмични задачи в Единния държавен изпит ( Държавен изпитза всички напуснали училище). Обикновено тези задачи присъстват не само в част А (най-лесната тестова част от изпита), но и в част В (най-сложните и обемни задачи). Изпитът изисква точни и завършени познания по темата “Натурални логаритми”.
Примерите и решенията на проблемите са взети от официални Опции за единен държавен изпит. Да видим как се решават такива задачи.
Даден е log 2 (2x-1) = 4. Решение:
нека пренапишем израза, като го опростим малко log 2 (2x-1) = 2 2, по дефиницията на логаритъма получаваме, че 2x-1 = 2 4, следователно 2x = 17; х = 8,5.
- Най-добре е да намалите всички логаритми до една и съща основа, така че решението да не е тромаво и объркващо.
- Всички изрази под знака за логаритъм са посочени като положителни, следователно, когато показателят на израз, който е под знака за логаритъм и като негова основа, е изваден като множител, изразът, който остава под логаритъма, трябва да е положителен.
1.1. Определяне на експонента за цяло число
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N пъти
1.2. Нулева степен.
По дефиниция е общоприето, че нулева степенвсяко число е равно на 1:1.3. Отрицателна степен.
X -N = 1/X N1.4. Дробна степен, корен.
X 1/N = N корен от X.Например: X 1/2 = √X.
1.5. Формула за добавяне на мощности.
X (N+M) = X N *X M1.6.Формула за изваждане на степени.
X (N-M) = X N /X M1.7. Формула за умножение на степени.
X N*M = (X N) M1.8. Формула за повишаване на дроб на степен.
(X/Y) N = X N /Y N2. Число e.
Стойността на числото e е равна на следната граница:E = lim(1+1/N), като N → ∞.
С точност до 17 цифри числото e е 2,71828182845904512.
3. Равенство на Ойлер.
Това равенство свързва пет числа, които играят специална роля в математиката: 0, 1, e, pi, въображаема единица.E (i*pi) + 1 = 0
4. Експоненциална функция exp(x)
exp(x) = e x5. Производна на експоненциална функция
Експоненциалната функция има забележителен имот: Производната на функция е равна на самата експоненциална функция:(exp(x))" = exp(x)
6. Логаритъм.
6.1. Дефиниция на функцията логаритъм
Ако x = b y, тогава логаритъма е функциятаY = Log b(x).
Логаритъмът показва на каква степен трябва да се повдигне число - основата на логаритъма (b), за да се получи дадено число (X). Логаритъмната функция е дефинирана за X, по-голямо от нула.
Например: Дневник 10 (100) = 2.
6.2. Десетичен логаритъм
Това е логаритъма при основа 10:Y = Log 10 (x) .
Означава се с Log(x): Log(x) = Log 10 (x).
Пример за употреба десетичен логаритъм- децибел.
6.3. Децибел
Елементът е маркиран на отделна страница Децибел6.4. Двоичен логаритъм
Това е логаритъм с основа 2:Y = Log 2 (x).
Означава се с Lg(x): Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Натурален логаритъм
Това е логаритъма при основа e:Y = Log e (x).
Означава се с Ln(x): Ln(x) = Log e (X)
Натурален логаритъм - обратна функциядо експоненциален функции експ(Х).
6.6. Характерни точки
Лога(1) = 0Log a (a) = 1
6.7. Формула за логаритъм на произведение
Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)6.8. Формула за логаритъм на частното
Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)6.9. Формула за логаритъм на степента
Log a (x y) = y*Log a (x)6.10. Формула за преобразуване в логаритъм с различна основа
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Пример:
Дневник 2 (8) = Дневник 10 (8)/Дневник 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Формули полезни в живота
Често има проблеми с преобразуването на обема в площ или дължина и обратна задача-- преобразуване на площ в обем. Например, дъските се продават на кубчета (кубични метри) и трябва да изчислим колко площ на стената може да бъде покрита с дъски, съдържащи се в определен обем, вижте изчисляване на дъски, колко дъски има в куб. Или, ако размерите на стената са известни, трябва да изчислите броя на тухлите, вижте изчислението на тухлите.
Разрешено е използването на материали от сайта, при условие че е инсталирана активна връзка към източника.
Във връзка с
може да се постави задачата да се намери някое от трите числа от другите две дадени. Ако са дадени a и след това N, те се намират чрез степенуване. Ако N и след това a са дадени чрез вземане на корен от степен x (или повдигане на степен). Сега разгледайте случая, когато при дадени a и N трябва да намерим x.
Нека числото N е положително: числото a е положително и не е равно на единица: .
Определение. Логаритъмът на числото N при основа a е степента, до която a трябва да се повдигне, за да се получи числото N; логаритъм се обозначава с
По този начин в равенство (26.1) показателят се намира като логаритъм от N при основа а. Публикации
имат същото значение. Равенството (26.1) понякога се нарича основната идентичност на теорията на логаритмите; в действителност той изразява дефиницията на понятието логаритъм. от това определениеОсновата на логаритъма a винаги е положителна и различна от единица; логаритмичното число N е положително. Отрицателните числа и нулата нямат логаритми. Може да се докаже, че всяко число с дадена основа има точно определен логаритъм. Следователно равенството включва . Имайте предвид, че основното условие тук е в противен случайзаключението не би било оправдано, тъй като равенството е вярно за всякакви стойности на x и y.
Пример 1. Намерете
Решение. За да получите число, трябва да повдигнете основата 2 на степен Следователно.
Можете да правите бележки при решаването на такива примери в следната форма:
Пример 2. Намерете .
Решение. Ние имаме
В примери 1 и 2 лесно намерихме желания логаритъм, като представихме логаритмичното число като степен на основата с рационален показател. IN общ случай, например, за и т.н., това не може да се направи, тъй като логаритъма има ирационален смисъл. Нека обърнем внимание на един въпрос, свързан с това твърдение. В параграф 12 дадохме концепцията за възможността за определяне на всяка реална степен на дадена положително число. Това беше необходимо за въвеждането на логаритми, които, най-общо казано, могат да бъдат ирационални числа.
Нека разгледаме някои свойства на логаритмите.
Свойство 1. Ако числото и основата са равни, то логаритъма равно на едно, и, обратно, ако логаритъма е равен на едно, тогава числото и основата са равни.
Доказателство. Нека По дефиницията на логаритъм имаме и откъде
Обратно, нека Тогава по дефиниция
Свойство 2. Логаритъмът от единица към всяка основа е равен на нула.
Доказателство. По дефиниция на логаритъм (нулевата степен на всяка положителна основа е равна на единица, виж (10.1)). Оттук
Q.E.D.
Обратното твърдение също е вярно: ако , тогава N = 1. Наистина имаме .
Преди да формулираме следващото свойство на логаритмите, нека се съгласим да кажем, че две числа a и b лежат от една и съща страна на третото число c, ако и двете са по-големи от c или по-малки от c. Ако едно от тези числа е по-голямо от c, а другото е по-малко от c, тогава ще кажем, че те лежат на различни страниот селото
Свойство 3. Ако числото и основата лежат от една и съща страна на единица, тогава логаритъма е положителен; Ако числото и основата лежат на противоположните страни на едно, тогава логаритъмът е отрицателен.
Доказателството за свойство 3 се основава на факта, че степента на a е по-голяма от едно, ако основата е по-голяма от едно и показателят е положителен или основата е по-малък от едно и показателят е отрицателен. Степента е по-малка от единица, ако основата е по-голяма от единица и степента е отрицателна или основата е по-малка от единица и степента е положителна.
Има четири случая за разглеждане:
Ще се ограничим до анализа на първия от тях, останалите читателят ще разгледа сам.
Нека тогава в равенството показателят не може да бъде нито отрицателен, нито равно на нула, следователно е положителен, т.е. такъв, какъвто се изисква да бъде доказан.
Пример 3. Открийте кои от логаритмите по-долу са положителни и кои са отрицателни:
Решение, а) тъй като числото 15 и основата 12 са разположени от една и съща страна на едно;
б) тъй като 1000 и 2 са разположени от едната страна на единицата; в този случай не е важно основата да е по-голяма от логаритмичното число;
в) тъй като 3.1 и 0.8 лежат на противоположните страни на единица;
G) ; Защо?
д) ; Защо?
Следните свойства 4-6 често се наричат правила за логаритмиране: те позволяват, като се знаят логаритмите на някои числа, да се намерят логаритмите на техния продукт, коефициент и степен на всяко от тях.
Свойство 4 (правило за произведение логаритъм). Логаритъм от произведението на няколко положителни числа по тази основа равно на суматалогаритми на тези числа при една и съща основа.
Доказателство. Нека дадените числа са положителни.
За логаритъма на тяхното произведение записваме равенството (26.1), което определя логаритъма:
От тук ще намерим
Сравнявайки показателите на първото и последни изрази, получаваме търсеното равенство:
Имайте предвид, че условието е съществено; логаритъма от произведението на две отрицателни числа има смисъл, но в този случай получаваме
Като цяло, ако продуктът на няколко фактора е положителен, тогава неговият логаритъм е равен на сумата от логаритмите на абсолютните стойности на тези фактори.
Свойство 5 (правило за логаритмиране на частни). Логаритъмът на частно от положителните числа е равен на разликата между логаритмите на делителя и делителя, взети към една и съща основа. Доказателство. Постоянно намираме
Q.E.D.
Свойство 6 (правило за степенен логаритъм). Логаритъм на степента на някакво положително число равно на логаритъматова число, умножено по експонентата.
Доказателство. Нека напишем отново основната идентичност (26.1) за числото:
Q.E.D.
Последица. Логаритъмът на корен от положително число е равен на логаритъма на радикала, разделен на експонентата на корена:
Валидността на това следствие може да бъде доказана, като си представите как и използвате свойство 6.
Пример 4. Вземете логаритъм при основа a:
а) (приема се, че всички стойности b, c, d, e са положителни);
б) (приема се, че ).
Решение, а) Удобно е да отидете този изразна дробни степени:
Въз основа на равенства (26.5)-(26.7) сега можем да запишем:
Забелязваме, че върху логаритмите на числата се извършват по-прости операции, отколкото върху самите числа: при умножаване на числа техните логаритми се добавят, при деление се изваждат и т.н.
Ето защо логаритмите се използват в изчислителната практика (вижте параграф 29).
Обратното действие на логаритъма се нарича потенциране, а именно: потенцирането е действието, чрез което самото число се намира от даден логаритъм на число. По същество потенцирането не е някакво специално действие: то се свежда до повишаване на основата до степен ( равно на логаритъмачисла). Терминът "потенциране" може да се счита за синоним на термина "потенциране".
Когато потенцирате, трябва да използвате правилата, обратни на правилата за логаритмиране: заменете сбора от логаритми с логаритъм от произведението, разликата от логаритми с логаритъм от частното и т.н. По-специално, ако има фактор отпред на знака на логаритъма, тогава по време на потенцирането трябва да се прехвърли в експонентните степени под знака на логаритъма.
Пример 5. Намерете N, ако е известно, че
Решение. Във връзка с току-що изложеното правило за потенциране, ще прехвърлим факторите 2/3 и 1/3, стоящи пред знаците на логаритмите от дясната страна на това равенство, в експоненти под знаците на тези логаритми; получаваме
Сега заместваме разликата на логаритмите с логаритъма на частното:
за да получим последната дроб в тази верига от равенства, ние освободихме предишната дроб от ирационалност в знаменателя (клауза 25).
Свойство 7. Ако основата е по-голяма от единица, тогава по-голям бройима по-голям логаритъм (а по-малкото число има по-малък), ако основата е по-малка от единица, тогава по-голямото число има по-малък логаритъм (а по-малкото число има по-голям).
Това свойство е формулирано и като правило за вземане на логаритми на неравенства, двете страни на които са положителни:
Когато вземаме логаритми на неравенства към основата, по-голямо от едно, знакът на неравенството се запазва и когато вземете логаритъм при основа, по-малка от едно, знакът на неравенството се променя на противоположния (вижте също параграф 80).
Доказателството се основава на свойства 5 и 3. Разгледайте случая, когато Ако , тогава и, като логаритмираме, получаваме
(a и N/M лежат от една и съща страна на единица). Оттук
Следва случай а, читателят ще го разбере сам.