От цели показатели на числото a се налага преходът към рационални показатели. По-долу ще дефинираме степен с рационален показател и ще направим това по такъв начин, че да се запазят всички свойства на степен с цяло число. Това е необходимо, защото целите числа са част от рационалните числа.

Известно е, че множеството от рационални числа се състои от цели числа и дроби, като всяка дроб може да бъде представена като положителна или отрицателна обикновена дроб. Дефинирахме степен с цяло число в предходния параграф, следователно, за да завършим дефиницията на степен с рационален показател, трябва да дадем значение на степента на числото ас дробен индикатор м/н, Където ме цяло число и н- естествено. Хайде да го направим.

Нека разгледаме степен с дробен показател от формата . За да остане валидно свойството мощност към степен, равенството трябва да е спазено . Ако вземем предвид полученото равенство и начина, по който сме определили корен n-та от степента, тогава е логично да приемем, при условие че дадените м, нИ аизразът има смисъл.

Лесно се проверява, че за всички свойства на степен с цяло число са валидни (това беше направено в раздела свойства на степен с рационален показател).

Горното разсъждение ни позволява да направим следното заключение: ако е дадено м, нИ аизразът има смисъл, след това степента на числото ас дробен индикатор м/ннаречен корен нта степен на адо известна степен м.

Това твърдение ни доближава до дефиницията на степен с дробен показател. Остава само да се опише при какво м, нИ аизразът има смисъл. В зависимост от наложените ограничения върху м, нИ аИма два основни подхода.

1. Най-лесният начин е да наложите ограничение на а, като прие a≥0за положителен мИ а>0за отрицателен м(откога m≤0степен 0 мнеопределен). Тогава получаваме следната дефиниция на степен с дробен показател.

Определение.

Степен на положително число ас дробен индикатор м/н , Където м- цяло и н– естествено число, наречено корен н-та от числото адо известна степен м, това е, .

Дробната степен на нула също се определя с единственото предупреждение, че индикаторът трябва да е положителен.

Определение.

Степен на нула с дробен положителен показател м/н , Където ме положително цяло число и н– естествено число, определено като .
Когато степента не е определена, тоест степента на числото нула с дробен отрицателен показател няма смисъл.

Трябва да се отбележи, че при тази дефиниция на степен с дробен експонент има едно предупреждение: за някои отрицателни аи няколко мИ низразът има смисъл, но ние отхвърлихме тези случаи, като въведохме условието a≥0. Например, записите имат смисъл или , и дефиницията, дадена по-горе, ни принуждава да кажем, че степените с дробен показател на формата нямат смисъл, тъй като основата не трябва да е отрицателна.

2. Друг подход за определяне на степен с дробен показател м/нсе състои в отделно разглеждане на четните и нечетните показатели на корена. Този подход изисква допълнително условие: степента на числото а, степента на която е съкратима обикновена дроб, се счита за степен на числото а, чийто индикатор е съответната несъкратима дроб (важността на това условие ще бъде обяснена по-долу). Тоест, ако м/не несъкратима дроб, тогава за всяко естествено число кстепен се заменя предварително с .

За дори ни положителен мизразът има смисъл за всяко неотрицателно а(четен корен от отрицателно число няма значение), за отрицателно мномер авсе още трябва да е различно от нула (в противен случай ще има деление на нула). И за нечетни ни положителен мномер аможе да бъде всеки (нечетен корен е дефиниран за всяко реално число) и за отрицателен мномер атрябва да е различно от нула (за да няма деление на нула).

Горното разсъждение ни води до тази дефиниция на степен с дробен показател.

Определение.

Позволявам м/н– несъкратима дроб, м- цяло и н- естествено число. За всяка съкратима дроб степента се заменя с . Степен на ас нередуцируем дробен показател м/н- е за

o всяко реално число а, изцяло положителен ми странно естествено н, Например, ;

o всяко ненулево реално число а, цяло отрицателно число ми странно н, Например, ;

o всяко неотрицателно число а, изцяло положителен ми дори н, Например, ;

o всякакви положителни а, цяло отрицателно число ми дори н, Например, ;

o в други случаи степента с дробен показател не се определя, както например не се определят степените .a не придаваме никакво значение на записа, ние определяме степента на числото нула за положителни дробни показатели м/нкак , за отрицателни дробни показатели степента на числото нула не се определя.

В заключение на тази точка, нека обърнем внимание на факта, че дробен показател може да бъде написан като десетична дроб или смесено число, например, . За да изчислите стойностите на изрази от този тип, трябва да напишете експонента под формата на обикновена дроб и след това да използвате дефиницията на експонента с дробен експонент. За горните примери имаме И

Видео урокът „Показател с рационален показател“ съдържа визуален образователен материал за преподаване на урок по тази тема. Видео урокът съдържа информация за концепцията за степен с рационален показател, свойства на такива степени, както и примери, описващи използването на учебен материал за решаване на практически задачи. Целта на този видео урок е ясно и ясно да представи учебния материал, да улесни неговото разработване и запомняне от учениците и да развие способността за решаване на проблеми с помощта на изучените понятия.

Основните предимства на видео урока са възможността за визуално извършване на трансформации и изчисления, възможността за използване на анимационни ефекти за подобряване на ефективността на обучението. Гласовият съпровод помага за развитието на правилната математическа реч, а също така дава възможност да се замени обяснението на учителя, освобождавайки го да извършва индивидуална работа.

Видео урокът започва с представяне на темата. Когато свързвате изучаването на нова тема с вече изучен материал, се препоръчва да запомните, че n √a иначе се обозначава с 1/n за естествено n и положително a. Това представяне на n-корен се показва на екрана. След това предлагаме да разгледаме какво означава изразът a m/n, в който a е положително число, а m/n е дроб. Дефиницията на степен с рационален показател като a m/n = n √a m е дадена, подчертана в рамката. Отбелязва се, че n може да бъде естествено число, а m може да бъде цяло число.

След дефиниране на степен с рационален показател, нейното значение се разкрива чрез примери: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Той също така показва пример, в който степен, представена от десетична запетая, се преобразува в дроб, която да бъде представена като корен: (1/7) 1,7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 и пример с отрицателна степен: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Отделно е посочена особеността на специалния случай, когато основата на степента е нула. Отбелязва се, че тази степен има смисъл само с положителен дробен показател. В този случай стойността му е нула: 0 m/n =0.

Отбелязва се още една особеност на степен с рационален показател - че степен с дробен показател не може да се разглежда с дробен показател. Дадени са примери за неправилно записване на градуси: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

След това във видео урока обсъждаме свойствата на степен с рационален показател. Отбелязва се, че свойствата на степен с цяло число ще бъдат валидни и за степен с рационален показател. Предлага се да се припомни списъкът с имоти, които също са валидни в този случай:

1. При умножаване на степени с еднакви основи, техните показатели се събират: a p a q =a p+q.
2. Делението на степени с еднакви основи се свежда до степен с дадена основа и разлика в показателите: a p:a q =a p-q.
3. Ако повдигнем степента на определена степен, тогава ще получим степен с дадена основа и произведението на експонентите: (a p) q =a pq.

Всички тези свойства са валидни за степени с рационални показатели p, q и положителна основа a>0. Също така трансформациите на степен при отваряне на скоби остават верни:

1. (ab) p =a p b p - повдигане на някаква степен с рационален показател произведението на две числа се редуцира до произведението на числа, всяко от които е повдигнато на дадена степен.
2. (a/b) p =a p /b p - повишаване на дроб на степен с рационален показател се свежда до дроб, чийто числител и знаменател са повдигнати на дадена степен.

Видео урокът разглежда решаването на примери, които използват разгледаните свойства на степени с рационален показател. Първият пример изисква от вас да намерите стойността на израз, който съдържа променливи x в дробна степен: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Въпреки сложността на израза, като се използват свойствата на степените, той може да бъде решен доста просто. Решаването на проблема започва с опростяване на израза, който използва правилото за повишаване на степен с рационален показател на степен, както и умножение на степени с една и съща основа. След като заместим дадената стойност x=8 в опростения израз x 1/3 +48, ​​лесно се получава стойността - 50.

Във втория пример трябва да намалите дроб, чийто числител и знаменател съдържат степени с рационален показател. Използвайки свойствата на степента, ние извличаме от разликата фактора x 1/3, който след това се редуцира в числителя и знаменателя, и използвайки формулата за разликата на квадратите, числителят се факторизира, което дава допълнителни редукции на идентични множители в числителя и знаменателя. Резултатът от тези трансформации е късата дроб x 1/4 +3.

Видео урокът „Показател с рационален показател“ може да се използва вместо учител да обяснява нова тема на урока. Това помагало също така съдържа достатъчно пълна информация, за да може ученикът да учи самостоятелно. Материалът може да бъде полезен и за дистанционно обучение.

МБОУ "Сидорская"

общообразователно училище"

Разработване на план за открит урок

по алгебра в 11 клас на тема:

Подготвени и проведени

учител по математика

Исхакова Е.Ф.

Конспект на открит урок по алгебра в 11 клас.

Предмет : „Степен с рационален показател.“

Тип урок : Учене на нов материал

Цели на урока:

Запознайте учениците с концепцията за степен с рационален показател и неговите основни свойства, въз основа на предварително изучен материал (степен с цяло число).

Развийте изчислителни умения и способността да преобразувате и сравнявате числа с рационални показатели.

Развиване на математическа грамотност и математически интерес у учениците.

Оборудване : Карти със задачи, презентация на студент по степен с целочислен показател, презентация на учител по степен с рационален показател, лаптоп, мултимедиен проектор, екран.

По време на часовете:

Организиране на времето.

Проверка на усвояването на разгледаната тема с индивидуални карти със задачи.

Задача No1.

=2;

Б) =x + 5;

Решете системата от ирационални уравнения: - 3 = -10,

4 - 5 =6.

Задача No2.

Решете ирационалното уравнение: = - 3;

Б) = х - 2;

Решете системата от ирационални уравнения: 2 + = 8,

3 - 2 = - 2.

Съобщаване на темата и целите на урока.

Темата на днешния ни урок е „ Степен с рационален показател».

Обяснение на нов материал с помощта на примера на вече изучен материал.

Вече сте запознати с концепцията за степен с цяло число. Кой ще ми помогне да ги запомня?

Повторение с помощта на презентация " Степен с цяло число».

За произволни числа a, b и произволни цели числа m и n са валидни равенствата:

a m * a n =a m+n ;

a m: a n = a m-n (a ≠ 0);

(a m) n = a mn;

(a b) n = a n * b n;

(a/b) n = a n /b n (b ≠ 0) ;

a 1 =a; a 0 = 1 (a ≠ 0)

Днес ще обобщим концепцията за степен на число и ще дадем смисъл на изрази, които имат дробен показател. Нека се запознаем определениестепени с рационален показател (Презентация „Степен с рационален показател“):

Мощност на a > 0 с рационален показател r = , Където м е цяло число и н – естествен ( н > 1), наречен номер м .

И така, по дефиниция получаваме това = м .

Нека се опитаме да приложим това определение, когато изпълняваме задача.

ПРИМЕР №1

Представям израза като корен от число:

а) Б) IN) .

Сега нека се опитаме да приложим това определение в обратен ред

II Изразете израза като степен с рационален показател:

а) 2 Б) IN) 5 .

Степента на 0 е дефинирана само за положителни показатели.

0 r= 0 за всеки r> 0.

Използвайки това определение, къщище завършите #428 и #429.

Нека сега покажем, че с дефиницията на степен с рационален показател, формулирана по-горе, се запазват основните свойства на степените, които са верни за всякакви показатели.

За всякакви рационални числа r и s и всякакви положителни a и b са валидни следните равенства:

1 0 . а r а с =а r+s ;

ПРИМЕР: *

20. a r: a s =a r-s;

ПРИМЕР: :

3 0 . (a r) s = a rs;

ПРИМЕР: ( -2/3

4 0 . ( аб) r = а r b r ; 5 0 . ( = .

ПРИМЕР: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2

ПРИМЕР за използване на няколко свойства наведнъж: * : .

Физкултурна минута.

Слагаме химикалките на бюрото, изправяме гърбовете и сега се протягаме напред, искаме да докоснем дъската. Сега го повдигнахме и се наклонихме надясно, наляво, напред, назад. Ти ми показа ръцете си, сега ми покажи как могат да танцуват пръстите ти.

Работа върху материала

Нека отбележим още две свойства на степени с рационални експоненти:

6 0 . Позволявам r е рационално число и 0< a < b . Тогда

а r < b rпри r> 0,

а r < b rпри r< 0.

7 0 . За всякакви рационални числаrИ сот неравенство r> сследва това

а r>а rза a > 1,

а r < а rна 0< а < 1.

ПРИМЕР: Сравнете числата:

И ; 2 300 и 3 200 .

Обобщение на урока:

Днес в урока си припомнихме свойствата на степен с цяло число, научихме определението и основните свойства на степен с рационален показател и разгледахме приложението на този теоретичен материал на практика при изпълнение на упражнения. Бих искал да обърна внимание на факта, че темата „Степен с рационален показател“ е задължителна в задачите на Единния държавен изпит. При подготовката на домашните (№ 428 и № 429

Степен с рационален показател

Хасянова Т.Г.,

учител по математика

Представеният материал ще бъде полезен за учителите по математика при изучаване на темата „Показател с рационален показател“.

Целта на представения материал: да разкрия опита си от провеждането на урок по темата „Степен с рационален показател“ от работната програма на дисциплината „Математика“.

Методиката за провеждане на урока съответства на вида му - урок за изучаване и първоначално затвърдяване на нови знания. Актуализирани са основни знания и умения на базата на натрупан преди това опит; първично запаметяване, консолидиране и прилагане на нова информация. Консолидирането и прилагането на нов материал се проведе под формата на решаване на задачи, които тествах с различна сложност, давайки положителен резултат при усвояването на темата.

В началото на урока поставям следните цели на учениците: образователни, развиващи, образователни. По време на урока използвах различни методи на дейност: фронтална, индивидуална, двойка, самостоятелна, тест. Задачите бяха диференцирани и позволяваха да се установи на всеки етап от урока степента на усвояване на знанията. Обемът и сложността на задачите съответства на възрастовите особености на учениците. От моя опит домашното, подобно на проблемите, решени в класната стая, ви позволява надеждно да консолидирате придобитите знания и умения. В края на урока се проведе рефлексия и се оцени работата на отделните ученици.

Целите бяха постигнати. Учениците изучаваха концепцията и свойствата на степен с рационален показател и се научиха да използват тези свойства при решаване на практически задачи. За самостоятелна работа оценките се обявяват на следващия урок.

Вярвам, че методологията, която използвам за преподаване на математика, може да се използва от учителите по математика.

Тема на урока: Степен с рационален показател

Целта на урока:

Идентифициране на нивото на овладяване на комплекс от знания и умения от учениците и на негова основа прилагане на определени решения за подобряване на образователния процес.

Цели на урока:

Образователни:да формират нови знания сред учениците за основни понятия, правила, закони за определяне на степени с рационален показател, способността за самостоятелно прилагане на знания в стандартни условия, в модифицирани и нестандартни условия;

развитие:мислят логично и реализират творчески способности;

повишаване:развийте интерес към математиката, попълнете речника си с нови термини и получете допълнителна информация за света около вас. Култивирайте търпение, постоянство и способност за преодоляване на трудности.

Организиране на времето

Актуализиране на справочните знания

Когато се умножават степени с еднакви основи, експонентите се добавят, но основата остава същата:

Например,

2. При деление на степени с еднакви основи експонентите на степените се изваждат, но основата остава същата:

Например,

3. При повишаване на степен на степен експонентите се умножават, но основата остава същата:

Например,

4. Степента на произведението е равна на произведението на степените на факторите:

Например,

5. Степента на частното е равна на частното на степените на делителя и делителя:

Например,

Упражнения с решения

Намерете значението на израза:

Решение:

В този случай нито едно от свойствата на степен с естествен показател не може да се приложи изрично, тъй като всички степени имат различни бази. Нека напишем някои правомощия в различна форма:

(степента на произведението е равна на произведението на степените на факторите);

(когато се умножават степени с еднакви основи, показателите се добавят, но основата остава същата; при повишаване на степен на степен степените се умножават, но основата остава същата).

Тогава получаваме:

В този пример бяха използвани първите четири свойства на степен с естествен показател.

Аритметичен квадратен корен
е неотрицателно число, чийто квадрат е равен наа,
. При
- израз
не е дефиниран, т.к няма реално число, чийто квадрат да е равен на отрицателно числоа.

Математическа диктовка(8-10 мин.)

опция

II. опция

1. Намерете стойността на израза

а)

б)

1. Намерете стойността на израза

а)

б)

2.Изчислете

а)

б)

IN)

2.Изчислете

а)

б)

V)

Самотест(на дъската на ревера):

Матрица на отговора:

№ вариант/задача

Проблем 1

Проблем 2

Опция 1

а) 2

б) 2

а) 0,5

б)

V)

Вариант 2

а) 1,5

б)

а)

б)

на 4

II.Формиране на нови знания

Нека да разгледаме какво значение има изразът, къде - положително число– дробно число и m-цяло число, n-естествено (n›1)

Определение: степен на a›0 с рационален показателr = , м- цял, н- естествен ( н›1) номерът е извикан.

Така:

Например:

Бележки:

1. За всяко положително a и всяко рационално r число положително.

2. Кога
рационална степен на числоанеопределен.

Изрази като
нямат смисъл.

3.Ако дробно положително число е
.

Ако дробен отрицателно число, тогава -няма смисъл.

Например: - няма смисъл.

Нека разгледаме свойствата на степен с рационален показател.

Нека a >0, b>0; r, s - всякакви рационални числа. Тогава степен с произволен рационален показател има следните свойства:

1.
2.
3.
4.
5.

III. Консолидация. Формиране на нови умения и способности.

Картите със задачи работят в малки групи под формата на тест.

Първо ниво

Степен и неговите свойства. Изчерпателното ръководство (2019)

Защо са необходими дипломи? Къде ще ви трябват? Защо трябва да отделите време да ги изучавате?

За да научите всичко за дипломите, за какво са необходими и как да използвате знанията си в ежедневието, прочетете тази статия.

И, разбира се, познаването на степени ще ви доближи до успешното полагане на Единния държавен изпит или Единния държавен изпит и влизането в университета на вашите мечти.

Да вървим... (Да вървим!)

Важна забележка! Ако видите gobbledygook вместо формули, изчистете кеша. За да направите това, натиснете CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

ПЪРВО НИВО

Степенуването е математическа операция точно като събиране, изваждане, умножение или деление.

Сега ще обясня всичко на човешки език, използвайки много прости примери. Бъди внимателен. Примерите са елементарни, но обясняват важни неща.

Да започнем с добавянето.

Тук няма какво да се обяснява. Вече знаете всичко: осем сме. Всеки има по две бутилки кола. Колко кола има? Точно така - 16 бутилки.

Сега умножение.

Същият пример с кола може да се напише по различен начин: . Математиците са хитри и мързеливи хора. Те първо забелязват някои модели и след това намират начин да ги „преброят“ по-бързо. В нашия случай те забелязаха, че всеки от осемте души имаше еднакъв брой бутилки кола и измислиха техника, наречена умножение. Съгласете се, счита се за по-лесно и по-бързо от.

Така че, за да броите по-бързо, по-лесно и без грешки, просто трябва да запомните таблица за умножение. Разбира се, можете да правите всичко по-бавно, по-трудно и с грешки! Но…

Ето таблицата за умножение. Повторете.

И още един по-красив:

Какви други умни трикове за броене са измислили мързеливите математици? точно - повишаване на число на степен.

Повдигане на число на степен

Ако трябва да умножите число само по себе си пет пъти, тогава математиците казват, че трябва да повдигнете това число на пета степен. Например, . Математиците помнят, че две на пета степен е... И те решават такива проблеми в главите си - по-бързо, лесно и безгрешно.

Всичко, което трябва да направите е запомнете какво е маркирано с цвят в таблицата на степените на числата. Повярвайте ми, това ще направи живота ви много по-лесен.

Между другото, защо се нарича втора степен? квадратчисла, а третият - куб? Какво означава? Много добър въпрос. Сега ще имате както квадрати, така и кубчета.

Пример от реалния живот №1

Нека започнем с квадрата или втората степен на числото.

Представете си квадратен басейн с размери метър на метър. Басейнът е във вашата дача. Горещо е и много искам да плувам. Но... басейнът няма дъно! Трябва да покриете дъното на басейна с плочки. Колко плочки ви трябват? За да определите това, трябва да знаете долната площ на басейна.

Можете просто да изчислите, като посочите с пръст, че дъното на басейна се състои от кубчета метър по метър. Ако имате плочки метър на метър, ще ви трябват парчета. Лесно е... Но къде сте виждали такива плочки? Плочката най-вероятно ще бъде см на см и тогава ще бъдете измъчвани от „броене с пръст“. След това трябва да умножите. И така, от едната страна на дъното на басейна ще поставим плочки (парчета), а от другата също плочки. Умножете по и ще получите плочки ().

Забелязахте ли, че за да определим площта на дъното на басейна, умножихме едно и също число по себе си? Какво означава? Тъй като умножаваме едно и също число, можем да използваме техниката на „постепенно степенуване“. (Разбира се, когато имате само две числа, все още трябва да ги умножите или да ги повдигнете на степен. Но ако имате много от тях, тогава повишаването им на степен е много по-лесно и също така има по-малко грешки в изчисленията , За Единния държавен изпит това е много важно).
И така, тридесет на втора степен ще бъде (). Или можем да кажем, че тридесет на квадрат ще бъде. С други думи, втората степен на число винаги може да бъде представена като квадрат. И обратното, ако видите квадрат, той ВИНАГИ е втората степен на дадено число. Квадратът е изображение на втората степен на число.

Пример от реалния живот №2

Ето една задача за вас: пребройте колко квадратчета има на шахматната дъска, като използвате квадрата на числото... От едната страна на клетките и от другата също. За да изчислите техния брой, трябва да умножите осем по осем или... ако забележите, че шахматната дъска е квадрат със страна, тогава можете да квадратирате осем. Ще получите клетки. () Така?

Пример от реалния живот #3

Сега кубът или третата степен на число. Същият басейн. Но сега трябва да разберете колко вода ще трябва да се излее в този басейн. Трябва да изчислите обема. (Между другото, обемите и течностите се измерват в кубични метри. Неочаквано, нали?) Начертайте басейн: дъното е с размери метър и дълбочина и се опитайте да изчислите колко кубчета с размери метър на метър ще се поберат във вашия басейн.

Просто посочете пръста си и пребройте! Едно, две, три, четири...двадесет и две, двадесет и три...Колко получихте? Не сте изгубени? Трудно ли е да броите с пръст? Така че! Вземете пример от математиците. Те са мързеливи и затова забелязаха, че за да изчислите обема на басейна, трябва да умножите дължината, ширината и височината му един по друг. В нашия случай обемът на басейна ще бъде равен на кубчета... По-лесно, нали?

Сега си представете колко мързеливи и хитри са математиците, ако опростят и това. Сведохме всичко до едно действие. Забелязаха, че дължината, ширината и височината са равни и че едно и също число се умножава по себе си... Какво означава това? Това означава, че можете да се възползвате от степента. И така, това, което някога сте преброили с пръста си, те правят с едно действие: три кубчета са равни. Написано е така: .

Всичко, което остава е помнете градусната таблица. Освен ако, разбира се, не сте мързеливи и хитри като математиците. Ако обичате да работите усилено и да правите грешки, можете да продължите да броите с пръст.

Е, за да ви убедим окончателно, че дипломите са измислени от отказали се и хитри хора, за да решават житейските си проблеми, а не да ви създават проблеми, ето още няколко примера от живота.

Пример от реалния живот #4

Имате милион рубли. В началото на всяка година за всеки милион, който правите, правите още един милион. Тоест всеки милион, който имате, се удвоява в началото на всяка година. Колко пари ще имате след години? Ако сега седите и „броите с пръста си“, значи сте много трудолюбив човек и... глупав. Но най-вероятно ще дадете отговор след няколко секунди, защото сте умни! И така, първата година - две умножено по две... втората година - какво стана, още две, третата година... Стоп! Забелязахте, че числото се умножава по себе си пъти. Значи две на пета степен е милион! Сега си представете, че имате състезание и този, който може да брои най-бързо, ще получи тези милиони... Струва си да си припомним силата на числата, не мислите ли?

Пример от реалния живот #5

Имаш милион. В началото на всяка година печелите още два за всеки милион. Страхотно нали? Всеки милион се утроява. Колко пари ще имате след една година? Да преброим. Първата година - умножете по, след това резултатът с още един ... Вече е скучно, защото вече сте разбрали всичко: три се умножава по себе си пъти. Така че на четвърта степен е равно на милион. Просто трябва да помниш, че три на четвърта степен е или.

Сега знаете, че като повдигнете число на степен, ще улесните много живота си. Нека да разгледаме по-подробно какво можете да правите със степените и какво трябва да знаете за тях.

Термини и понятия... за да не се бъркаме

И така, първо, нека дефинираме понятията. Какво мислиш, какво е степенен показател? Много е просто - това е числото, което е "на върха" на степента на числото. Не научно, но ясно и лесно за запомняне...

Е, в същото време какво такава основа за степен? Още по-просто - това е числото, което се намира отдолу, в основата.

Ето една рисунка за добра мярка.

Ами най-общо казано, за да обобщаваме и запомняме по-добре... Степен с основа " " и показател " " се чете като "на степен" и се записва по следния начин:

Степен на число с естествен показател

Вероятно вече се досещате: защото показателят е естествено число. Да, но какво е естествено число? Елементарно! Естествените числа са онези числа, които се използват при броене при изброяване на предмети: едно, две, три... Когато броим предмети, не казваме: „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“. Ние също не казваме: „една трета“ или „нула цяло пет“. Това не са естествени числа. Какви числа мислите, че са това?

Числа като „минус пет“, „минус шест“, „минус седем“ се отнасят за цели числа.Като цяло целите числа включват всички естествени числа, числа, противоположни на естествените числа (т.е. взети със знак минус) и число. Нулата е лесна за разбиране - това е, когато няма нищо. Какво означават отрицателните („минус“) числа? Но те са измислени предимно за посочване на дългове: ако имате баланс на телефона си в рубли, това означава, че дължите на оператора рубли.

Всички дроби са рационални числа. Как са възникнали, според вас? Много просто. Преди няколко хиляди години нашите предци открили, че им липсват естествени числа за измерване на дължина, тегло, площ и т.н. И те измислиха рационални числа... Интересно, нали?

Има и ирационални числа. Какви са тези числа? Накратко, това е безкрайна десетична дроб. Например, ако разделите обиколката на кръг на неговия диаметър, ще получите ирационално число.

Резюме:

Нека дефинираме концепцията за степен, чийто експонент е естествено число (т.е. цяло число и положително).

1. Всяко число на първа степен е равно на себе си:
2. Да поставиш на квадрат число означава да го умножиш по себе си:
3. Да кубирате число означава да го умножите само по себе си три пъти:

Определение.Повишаването на число на естествена степен означава числото да се умножи по себе си пъти:
.

Свойства на степените

Откъде са дошли тези имоти? Сега ще ви покажа.

Да видим: какво е това И ?

A-приори:

Колко множителя има общо?

Много е просто: добавихме множители към факторите и резултатът е множители.

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест: , което трябваше да се докаже.

Пример: Опростете израза.

Решение:

Пример:Опростете израза.

Решение:Важно е да се отбележи, че в нашето правило Задължителнотрябва да има същите причини!
Следователно ние комбинираме мощностите с основата, но тя остава отделен фактор:

само за произведението на мощностите!

При никакви обстоятелства не можете да пишете това.

2. това е та степен на число

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степен:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си пъти, тоест според дефиницията това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „изваждане на индикатора от скоби“. Но никога не можете да направите това напълно:

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем?

Но това в крайна сметка не е вярно.

Сила с отрицателна основа

До този момент сме обсъждали само какъв трябва да бъде показателят.

Но каква трябва да бъде основата?

В правомощията на естествен показателосновата може да бъде произволен брой. Наистина можем да умножим всякакви числа едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни.

Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат мощност на положителни и отрицателни числа?

Например числото положително или отрицателно ли е? А? ? С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно по друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. Спомняме си простото правило от 6 клас: „минус за минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по, работи.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

успяхте ли

Ето и отговорите: В първите четири примера, надявам се, всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: в крайна сметка няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен.

Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост!

6 примера за практикуване

Анализ на решението 6 примера

Ако пренебрегнем осмата сила, какво виждаме тук? Да си припомним програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите! Получаваме:

Нека погледнем внимателно знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Редът на термините е грешен. Ако бяха обърнати, правилото можеше да се приложи.

Но как да стане това? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

По магически начин термините смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем лесно да променим знаците в скобите.

Но е важно да запомните: всички знаци се променят едновременно!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

Цялнаричаме естествените числа, противоположните им (т.е. взети със знака " ") и числото.

положително цяло число, и не се различава от естественото, тогава всичко изглежда точно както в предишния раздел.

Сега нека да разгледаме новите случаи. Нека започнем с индикатор, равен на.

Всяко число на нулева степен е равно на едно:

Както винаги, нека се запитаме: защо това е така?

Нека разгледаме някаква степен с основа. Вземете например и умножете по:

И така, умножихме числото по и получихме същото нещо, каквото беше - . По какво число трябва да умножите, за да не се промени нищо? Точно така, на. Средства.

Можем да направим същото с произволно число:

Нека повторим правилото:

Всяко число на нулева степен е равно на единица.

Но има изключения от много правила. И тук също е там - това е число (като основа).

От една страна трябва да е равно на произволна степен - колкото и да умножаваш нулата по себе си, пак ще получиш нула, това е ясно. Но от друга страна, като всяко число на нулева степен, то трябва да е равно. Колко от това е вярно? Математиците решиха да не се намесват и отказаха да повдигнат нулата на нулева степен. Тоест сега не можем не само да разделим на нула, но и да го повдигнем на нулева степен.

Да продължим. Освен естествени числа и числа, целите числа включват и отрицателни числа. За да разберем какво е отрицателна степен, нека направим както миналия път: умножете някакво нормално число по същото число на отрицателна степен:

От тук е лесно да изразите това, което търсите:

Сега нека разширим полученото правило до произволна степен:

И така, нека формулираме правило:

Число с отрицателна степен е реципрочната стойност на същото число с положителна степен. Но в същото време Базата не може да бъде нула:(защото не можете да разделите по).

Нека обобщим:

I. Изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

II. Всяко число на нулева степен е равно на едно: .

III. Число, което не е равно на нула на отрицателна степен, е обратното на същото число на положителна степен: .

Задачи за самостоятелно решаване:

Е, както обикновено, примери за независими решения:

Анализ на проблемите за самостоятелно решение:

Знам, знам, цифрите са страшни, но на Единния държавен изпит трябва да сте подготвени за всичко! Решете тези примери или анализирайте техните решения, ако не сте успели да ги решите и ще се научите да се справяте лесно с тях на изпита!

Нека продължим да разширяваме диапазона от числа, „подходящи“ като показател.

Сега нека помислим рационални числа.Кои числа се наричат ​​рационални?

Отговор: всичко, което може да бъде представено като дроб, където и са цели числа и.

За да разбере какво е "дробна степен", разгледайте фракцията:

Нека повдигнем двете страни на уравнението на степен:

Сега нека си припомним правилото за "степен на степен":

Какво число трябва да се повдигне на степен, за да се получи?

Тази формулировка е дефиницията на корена на степен th.

Нека ви напомня: коренът на степен th на число () е число, което, когато е повдигнато на степен, е равно на.

Тоест, коренът на та степен е обратната операция на повдигане на степен: .

Оказва се, че. Очевидно този специален случай може да бъде разширен: .

Сега добавяме числителя: какво е това? Отговорът е лесен за получаване с помощта на правилото мощност към степен:

Но може ли основата да бъде произволно число? В крайна сметка коренът не може да бъде извлечен от всички числа.

Нито един!

Нека си припомним правилото: всяко число, повдигнато на четна степен, е положително число. Тоест, невъзможно е да се извлекат четни корени от отрицателни числа!

Това означава, че такива числа не могат да бъдат повдигнати на дробна степен с четен знаменател, тоест изразът няма смисъл.

Какво ще кажете за израза?

Но тук възниква проблем.

Числото може да бъде представено под формата на други, редуцируеми дроби, например, или.

И се оказва, че съществува, но не съществува, но това са просто два различни записа на едно и също число.

Или друг пример: веднъж, след това можете да го запишете. Но ако запишем индикатора по различен начин, отново ще имаме проблеми: (тоест получихме съвсем различен резултат!).

За да избегнем подобни парадокси, смятаме само положителен основен показател с дробен показател.

Така че, ако:

• - естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Рационалните експоненти са много полезни за трансформиране на изрази с корени, например:

5 примера за практикуване

Анализ на 5 примера за обучение

Е, сега идва най-трудната част. Сега ще го разберем степен с ирационален показател.

Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение

В края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (тоест всички ирационални числа са реални числа, с изключение на рационалните).

Когато изучаваме степени с естествени, цели и рационални показатели, всеки път създаваме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини.

Например степен с естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти;

...число на нулева степен- това е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест те все още не са започнали да го умножават, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определено „празно число“ , а именно число;

...цяло отрицателно число- сякаш е настъпил някакъв „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а е разделено.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число.

Но в училище не мислим за такива трудности; вие ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

КЪДЕТО СМЕ СИГУРНИ, ЧЕ ЩЕ ОТИДЕТЕ! (ако се научиш да решаваш такива примери :))

Например:

Решете сами:

Анализ на решенията:

1. Нека започнем с обичайното правило за повишаване на степен на степен:

Сега погледнете индикатора. Той не ти ли напомня за нищо? Нека си припомним формулата за съкратено умножение на разликата на квадратите:

В такъв случай,

Оказва се, че:

Отговор: .

2. Намаляваме дробите в експоненти до една и съща форма: или двата десетични, или двата обикновени. Получаваме например:

Отговор: 16

3. Нищо специално, използваме обичайните свойства на градусите:

НАПРЕДНАЛО НИВО

Определяне на степен

Степента е израз на формата: , където:

• — образователна степен;
• - степенен показател.

Степен с натурален показател (n = 1, 2, 3,...)

Повишаването на число на естествена степен n означава умножаване на числото по себе си пъти:

Степен с цяло число (0, ±1, ±2,...)

Ако показателят е положително цяло числономер:

Строителство до нулева степен:

Изразът е неопределен, защото, от една страна, на произволна степен е това, а от друга страна, всяко число на та степен е това.

Ако показателят е отрицателно цяло числономер:

(защото не можете да разделите по).

Още веднъж за нули: изразът не е дефиниран в случая. Ако, тогава.

Примери:

Степен с рационален показател

• - естествено число;
• - цяло число;

Примери:

Свойства на степените

За да улесним решаването на проблемите, нека се опитаме да разберем: откъде идват тези свойства? Нека ги докажем.

Да видим: какво е и?

A-приори:

И така, от дясната страна на този израз получаваме следния продукт:

Но по дефиниция това е степен на число с показател, тоест:

Q.E.D.

Пример : Опростете израза.

Решение : .

Пример : Опростете израза.

Решение : Важно е да се отбележи, че в нашето правило Задължителнотрябва да има същите причини. Следователно ние комбинираме мощностите с основата, но тя остава отделен фактор:

Друга важна забележка: това правило - само за произведение на мощности!

При никакви обстоятелства не можете да пишете това.

Точно както при предишното свойство, нека се обърнем към определението за степен:

Нека пренаредим тази работа по следния начин:

Оказва се, че изразът се умножава по себе си пъти, тоест според дефиницията това е степента на числото:

По същество това може да се нарече „изваждане на индикатора от скоби“. Но никога не можете да направите това напълно: !

Да си припомним формулите за съкратено умножение: колко пъти искахме да напишем? Но това в крайна сметка не е вярно.

Сила с отрицателна основа.

До този момент сме обсъждали само какво трябва да бъде индексстепени. Но каква трябва да бъде основата? В правомощията на естествено индикатор основата може да бъде произволен брой .

Наистина можем да умножим всякакви числа едно по друго, независимо дали са положителни, отрицателни или четни. Нека помислим кои знаци ("" или "") ще имат мощност на положителни и отрицателни числа?

Например числото положително или отрицателно ли е? А? ?

С първото всичко е ясно: без значение колко положителни числа умножаваме едно по друго, резултатът ще бъде положителен.

Но негативните са малко по-интересни. Спомняме си простото правило от 6 клас: „минус за минус дава плюс“. Тоест, или. Но ако умножим по (), получаваме - .

И така до безкрайност: с всяко следващо умножение знакът ще се променя. Могат да се формулират следните прости правила:

1. дористепен, - номер положителен.
2. Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
3. Положително число на каквато и да е степен е положително число.
4. Нула на произволна степен е равна на нула.

Определете сами какъв знак ще имат следните изрази:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

успяхте ли Ето и отговорите:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В първите четири примера, надявам се всичко е ясно? Просто разглеждаме основата и експонентата и прилагаме съответното правило.

В пример 5) всичко също не е толкова страшно, колкото изглежда: в крайна сметка няма значение на какво е равна основата - степента е равна, което означава, че резултатът винаги ще бъде положителен. Е, освен когато основата е нула. Основата не е равна, нали? Очевидно не, тъй като (защото).

Пример 6) вече не е толкова прост. Тук трябва да разберете кое е по-малко: или? Ако си спомним това, става ясно, че, което означава, че основата е по-малка от нула. Тоест прилагаме правило 2: резултатът ще бъде отрицателен.

И отново използваме определението за степен:

Всичко е както обикновено - записваме дефиницията на степените и ги разделяме една на друга, разделяме ги на двойки и получаваме:

Преди да разгледаме последното правило, нека решим няколко примера.

Пресметнете изразите:

Решения :

Ако пренебрегнем осмата сила, какво виждаме тук? Да си припомним програмата за 7 клас. И така, помниш ли? Това е формулата за съкратено умножение, а именно разликата на квадратите!

Получаваме:

Нека погледнем внимателно знаменателя. Изглежда много като един от факторите числител, но какво не е наред? Редът на термините е грешен. Ако бяха обърнати, можеше да се приложи правило 3. Но как? Оказва се, че е много лесно: тук ни помага четната степен на знаменателя.

Ако го умножите по, нищо не се променя, нали? Но сега се оказва така:

По магически начин термините смениха местата си. Този „феномен“ се отнася за всеки израз в еднаква степен: можем лесно да променим знаците в скобите. Но е важно да запомните: Всички знаци се променят едновременно!Не можете да го замените, като промените само един недостатък, който не ни харесва!

Да се ​​върнем към примера:

И отново формулата:

И така, последното правило:

Как ще го докажем? Разбира се, както обикновено: нека разширим концепцията за степен и да я опростим:

Е, сега нека отворим скобите. Колко букви има общо? пъти по множители - на какво ви напомня това? Това не е нищо повече от определение на операция умножение: Там имаше само множители. Тоест, това по дефиниция е степен на число с показател:

Пример:

Степен с ирационален показател

В допълнение към информацията за степените за средно ниво, ще анализираме степента с ирационален показател. Всички правила и свойства на степените тук са точно същите като за степен с рационален показател, с изключение - в края на краищата, по дефиниция ирационалните числа са числа, които не могат да бъдат представени като дроб, където и са цели числа (т.е. , ирационалните числа са всички реални числа, с изключение на рационалните числа).

Когато изучаваме степени с естествени, цели и рационални показатели, всеки път създаваме определен „образ“, „аналогия“ или описание с по-познати термини. Например, степен с естествен показател е число, умножено по себе си няколко пъти; число на нулева степен е, така да се каже, число, умножено по себе си веднъж, тоест те все още не са започнали да го умножават, което означава, че самото число дори още не се е появило - следователно резултатът е само определен „празно число“, а именно число; степен с цяло число отрицателен експонент - сякаш е настъпил някакъв „обратен процес“, тоест числото не е умножено само по себе си, а разделено.

Изключително трудно е да си представим степен с ирационален показател (точно както е трудно да си представим 4-измерно пространство). Това е по-скоро чисто математически обект, който математиците са създали, за да разширят концепцията за степен към цялото пространство на числата.

Между другото, в науката често се използва степен със сложен показател, тоест показателят дори не е реално число. Но в училище не мислим за такива трудности; вие ще имате възможност да разберете тези нови концепции в института.

Какво правим, ако видим ирационален показател? Опитваме се да се отървем от него! :)

Например:

Решете сами:

1)

2)

3)

Отговори:

1. Нека си спомним формулата за разликата на квадратите. Отговор: .
2. Привеждаме дробите до една и съща форма: или двете десетични, или и двете обикновени. Получаваме например: .
3. Нищо специално, използваме обичайните свойства на градусите:

ОБОБЩЕНИЕ НА РАЗДЕЛА И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Степеннаречен израз от формата: , където:

Степен с цяло число

степен, чийто показател е естествено число (т.е. цяло число и положително).

Степен с рационален показател

степен, чийто показател е отрицателни и дробни числа.

Степен с ирационален показател

степен, чийто показател е безкрайна десетична дроб или корен.

Свойства на степените

Характеристики на степените.

• Отрицателното число е повишено до дористепен, - номер положителен.
• Отрицателното число е повишено до странностепен, - номер отрицателен.
• Положително число на каквато и да е степен е положително число.
• Нула е равна на всяка степен.
• Всяко число на нулева степен е равно.

СЕГА ИМАТЕ ДУМАТА...

Как ви харесва статията? Напишете по-долу в коментарите дали ви е харесало или не.

Разкажете ни за вашия опит с използването на свойства на степени.

Може би имате въпроси. Или предложения.

Пишете в коментарите.

И успех на изпитите!