В рамките на този материал ще засегнем такива важна темакато допълнение отрицателни числа. В първия параграф ще ви кажем основното правило за това действие, а във втория ще анализираме конкретни примерирешаване на подобни проблеми.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Основно правило за събиране на естествени числа
Преди да изведем правилото, нека си припомним какво обикновено знаем за положителните и отрицателните числа. Преди това се съгласихме, че отрицателните числа трябва да се възприемат като дълг, загуба. Модулът на отрицателно число изразява точни размеритази загуба. Тогава добавянето на отрицателни числа може да се представи като събиране на две загуби.
Използвайки това разсъждение, формулираме основното правило за събиране на отрицателни числа.
Определение 1
За да завършите добавяне на отрицателни числа, трябва да съберете стойностите на техните модули и да поставите минус пред резултата. В буквална форма формулата изглежда като (− a) + (− b) = − (a + b) .
Въз основа на това правило можем да заключим, че добавянето на отрицателни числа е подобно на добавянето на положителни, само че накрая трябва да получим отрицателно число, защото трябва да поставим знак минус пред сбора на модулите.
Какви доказателства могат да бъдат дадени за това правило? За да направим това, трябва да запомним основните свойства на операциите с реални числа (или с цели числа, или с рационални числа - те са еднакви за всички тези видове числа). За да го докажем, просто трябва да демонстрираме, че разликата между лявата и дясната страна на равенството (− a) + (− b) = − (a + b) ще бъде равна на 0.
Изваждането на едно число от друго е същото като добавяне на същото противоположно число към него. Следователно (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Припомнете си, че числовите изрази със събиране имат две основни свойства – асоциативно и комутативно. Тогава можем да заключим, че (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Тъй като чрез добавяне на противоположни числа винаги получаваме 0, тогава (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 и 0 + 0 = 0. Нашето равенство може да се счита за доказано, което означава правилото за добавяне на отрицателни числа Ние също го доказахме.
Във втория параграф ще вземем специфични задачи, където трябва да съберете отрицателни числа и нека се опитаме да приложим наученото правило към тях.
Пример 1
Намерете сбора на две отрицателни числа – 304 и – 18 007.
Решение
Нека изпълним стъпките стъпка по стъпка. Първо трябва да намерим модулите на числата, които се добавят: - 304 = 304, - 180007 = 180007. След това трябва да извършим действието добавяне, за което използваме метода за преброяване на колони:
Остава само да поставим минус пред резултата и да получим – 18,311.
отговор: - - 18 311 .
Какви числа имаме зависи от това до какво можем да сведем действието събиране: намиране на сбора естествени числа, към добавянето на обикновени или десетични знаци. Нека анализираме проблема с тези числа.
Пример Н
Намерете сбора на две отрицателни числа - 2 5 и − 4, (12).
Решение
Намираме модулите на търсените числа и получаваме 2 5 и 4, (12). Имаме две различни фракции. Нека намалим проблема до добавяне на две обикновени дроби, защо да си представим периодична дробпод формата на обикновен:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
В резултат на това получихме дроб, който ще бъде лесен за добавяне с първия оригинален член (ако сте забравили как правилно да добавяте дроби с различни знаменатели, повторете съответния материал).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
В крайна сметка получихме смесено число, пред който трябва да поставим само минус. Това завършва изчисленията.
отговор: - 4 86 105 .
Реалните отрицателни числа се събират по подобен начин. Резултатът от такова действие обикновено се записва числено изражение. Стойността му може да не се изчислява или да се ограничава до приблизителни изчисления. Така например, ако трябва да намерим сумата - 3 + (− 5), тогава записваме отговора като - 3 − 5. Допълнение реални числаОтделихме отделен материал, в който можете да намерите други примери.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
В тази статия ще разгледаме как се прави изваждане на отрицателни числаот произволни числа. Тук ще дадем правило за изваждане на отрицателни числа и ще разгледаме примери за прилагането на това правило.
Навигация в страницата.
Правило за изваждане на отрицателни числа
Получава се следното правило за изваждане на отрицателни числа: за да извадите отрицателно число b от число, трябва да добавите към умаленото a числото −b, противоположно на изважданото b.
В буквална форма, правилото за изваждане на отрицателно число b от произволен брой a изглежда така: a−b=a+(−b) .
Нека докажем валидността на това правило за изваждане на числа.
Първо, нека си припомним значението на изваждането на числата a и b. Намирането на разликата между числата a и b означава намиране на число c, чийто сбор с числото b е равен на a (виж връзката между изваждане и събиране). Тоест, ако се намери число c, такова че c+b=a, тогава разликата a−b е равна на c.
По този начин, за да се докаже посоченото правило за изваждане, е достатъчно да се покаже, че добавянето на числото b към сумата a+(−b) ще даде числото a. За да покажем това, нека се обърнем към свойства на операциите с реални числа. В сила асоциативни свойстваи добавянето е вярно: (a+(−b))+b=a+((−b)+b) . Тъй като сборът от противоположните числа е равен на нула, тогава a+((−b)+b)=a+0 и сборът от a+0 е равен на a, тъй като добавянето на нула не променя числото. Така е доказано равенството a−b=a+(−b), което означава, че е доказана и валидността на даденото правило за изваждане на отрицателни числа.
Доказахме това правило за реални числа a и b. Това правило обаче е валидно и за всякакви рационални числа a и b, както и за всякакви цели числа a и b, тъй като действията с рационални и цели числа също имат свойствата, които използвахме в доказателството. Обърнете внимание, че с помощта на анализираното правило можете да извадите отрицателно число както от положително число, така и от отрицателно число, както и от нула.
Остава да разгледаме как се извършва изваждането на отрицателни числа с помощта на правилото за анализ.
Примери за изваждане на отрицателни числа
Нека помислим примери за изваждане на отрицателни числа. Да започнем с решението прост пример, за да разберете всички тънкости на процеса, без да се занимавате с изчисления.
Пример.
Извадете отрицателното число −7 от отрицателното число −13.
Решение.
Числото, противоположно на изместеното -7, е числото 7. Тогава, съгласно правилото за изваждане на отрицателни числа, имаме (−13)−(−7)=(−13)+7. Остава да съберем числа с различни знаци, получаваме (−13)+7=−(13−7)=−6.
Ето цялото решение: (−13)−(−7)=(−13)+7=−(13−7)=−6 .
отговор:
(−13)−(−7)=−6 .
Изваждането на отрицателни дроби може да се извърши чрез преобразуване в съответните дроби, смесени числа или десетични знаци. Тук си струва да започнете от кои числа е по-удобно да работите.
Пример.
Извадете отрицателно число от 3,4.
Решение.
Прилагайки правилото за изваждане на отрицателни числа, имаме 
. Сега заменете десетичната дроб 3.4 със смесено число: 
(вижте преобразуване на десетични дроби в обикновени дроби), получаваме 
. Остава да извършим събиране на смесени числа: .
Това завършва изваждането на отрицателно число от 3,4. Ето кратко резюме на решението: .
отговор:
.
Пример.
Извадете отрицателното число −0.(326) от нула.
Решение.
По правилото за изваждане на отрицателни числа имаме 0−(−0,(326))=0+0,(326)=0,(326) . Последният преход е валиден поради свойството събиране на число с нула.
Да започнем с един прост пример. Нека определим на какво е равен изразът 2-5. От точка +2 ще поставим пет деления, две на нула и три под нула. Да спрем на точка -3. Тоест 2-5=-3. Сега забележете, че 2-5 изобщо не е равно на 5-2. Ако при събирането на числа техният ред няма значение, то при изваждането всичко е различно. Редът на числата има значение.
Сега да отидем на отрицателна зонавезни. Да предположим, че трябва да добавим +5 към -2. (Отсега нататък ще поставяме знаци "+" пред положителните числа и ще поставяме положителните и отрицателните числа в скоби, за да не бъркаме знаците пред числата със знаците за събиране и изваждане.) Сега нашата задача може да бъде записана като (-2)+ (+5). За да го решим, отиваме нагоре с пет деления от точка -2 и завършваме в точка +3.
има ли практически смисъл? Разбира се, че има. Да приемем, че имате $2 дълг и сте спечелили $5. По този начин, след като изплатите дълга, ще ви останат $3.
Можете също така да се движите надолу по отрицателната зона на скалата. Да предположим, че трябва да извадите 5 от -2 или (-2)-(+5). От точка -2 на скалата, преместете се надолу с пет деления и стигнете до точка -7. Какъв е практическият смисъл на тази задача? Да приемем, че сте дължали $2 и трябва да вземете назаем още $5. Сега дължите $7.
Виждаме, че с отрицателни числа можем да извършим същото операции събиране и изваждане, както и при положителните.
Вярно е, че все още не сме усвоили всички операции. Добавяхме само към отрицателни числа и изваждахме само положителни от отрицателни числа. Какво трябва да направите, ако трябва да добавите отрицателни числа или да извадите отрицателни числа от отрицателни числа?
На практика това е подобно на транзакциите с дълг. Да приемем, че сте били таксувани $5 дълг, това означава същото нещо, както ако сте получили $5. От друга страна, ако по някакъв начин ви принудя да поемете отговорност за нечий дълг от $5, това би било същото като да ви отнема тези $5. Тоест изваждането на -5 е същото като добавянето на +5. И добавянето на -5 е същото като изваждането на +5.
Това ни позволява да се отървем от операцията за изваждане. Всъщност „5-2“ е същото като (+5)-(+2) или според нашето правило (+5)+(-2). И в двата случая получаваме един и същ резултат. От точка +5 на скалата трябва да слезем две части надолу и получаваме +3. В случая на 5-2 това е очевидно, защото изваждането е движение надолу.
В случая на (+5)+(-2) това е по-малко очевидно. Добавяме число, което означава, че се движим нагоре по скалата, но добавяме отрицателно число, което означава, че се движим обратно действиеи тези два фактора взети заедно означават, че трябва да се движим не нагоре по скалата, а навътре обратна посока, тоест надолу.
Така отново получаваме отговора +3.
Защо точно е необходимо? замени изваждането със събиране? Защо да се движите нагоре „в обратния смисъл“? Не е ли по-лесно просто да се преместиш надолу? Причината е, че при събирането редът на членовете няма значение, а при изваждането е много важен.
Вече разбрахме по-рано, че (+5)-(+2) изобщо не е същото като (+2)-(+5). В първия случай отговорът е +3, а във втория -3. От друга страна, (-2)+(+5) и (+5)+(-2) водят до +3. По този начин, като преминем към събиране и изоставим операциите за изваждане, можем да избегнем случайни грешки, свързани с пренареждането на събираемите.
Можете да направите същото, когато изваждате отрицателно. (+5)-(-2) е същото като (+5)+(+2). И в двата случая получаваме отговор +7. Започваме от точка +5 и се движим „надолу в обратна посока“, тоест нагоре. Бихме действали по абсолютно същия начин, когато решаваме израза (+5)+(+2).
Учениците активно използват замяната на изваждането с добавяне, когато започват да изучават алгебра, и затова тази операция се нарича « алгебрично събиране» . Всъщност това не е съвсем справедливо, тъй като подобна операция очевидно е аритметична, а не съвсем алгебрична.
Тези знания са непроменени за всички, така че дори и да получите образование в Австрия чрез www.salls.ru, въпреки че обучението в чужбина се оценява по-високо, вие ще можете да приложите тези правила и там.
В тази статия ще говорим за добавяне на отрицателни числа. Първо даваме правилото за събиране на отрицателни числа и го доказваме. След това ще го оправим типични примеридобавяне на отрицателни числа.
Навигация в страницата.
Преди да формулираме правилото за добавяне на отрицателни числа, нека се обърнем към материала в статията: положителни и отрицателни числа. Там споменахме, че отрицателните числа могат да се възприемат като дълг и модулът на числото в този случай определя размера на този дълг. Следователно събирането на две отрицателни числа е събиране на два дълга.
Това заключение ни позволява да разберем правило за събиране на отрицателни числа. За да съберете две отрицателни числа, трябва:
- сгънете техните модули;
- поставете знак минус пред получената сума.
Нека запишем правилото за събиране на отрицателни числа −a и −b в буквена форма: (−a)+(−b)=−(a+b) .
Ясно е, че посоченото правило свежда добавянето на отрицателни числа към събирането на положителни числа (модулът на отрицателно число е положително число). Също така е ясно, че резултатът от събирането на две отрицателни числа е отрицателно число, както се вижда от знака минус, който се поставя пред сбора на модулите.
Правилото за събиране на отрицателни числа може да се докаже въз основа на свойства на операциите с реални числа(или същите свойства на операции с рационални или цели числа). За целта е достатъчно да се покаже, че разликата между лявата и дясната част на равенството (−a)+(−b)=−(a+b) е равна на нула.
Тъй като изваждането на число е същото като добавянето на противоположното число (вижте правилото за изваждане на цели числа), тогава (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b) +(a+b) . Поради комутативните и комбинативни свойства на събирането, имаме (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b) . Тъй като сумата на противоположните числа е равна на нула, тогава (−a+a)+(−b+b)=0+0 и 0+0=0 поради свойството за събиране на число с нула. Това доказва равенството (−a)+(−b)=−(a+b) , а оттам и правилото за събиране на отрицателни числа.
По този начин това правило за събиране се прилага както за отрицателни цели числа, така и за рационални числа, както и за реални числа.
Остава само да се научим как да прилагаме правилото за събиране на отрицателни числа на практика, което ще направим в следващия параграф.
Примери за събиране на отрицателни числа
Нека го подредим примери за събиране на отрицателни числа. Да започнем от самото начало прост случай– събиране на цели отрицателни числа; събирането ще се извърши по правилото, разгледано в предходния параграф.
Добавете отрицателните числа −304 и −18 007.
Нека следваме всички стъпки на правилото за събиране на отрицателни числа.
Първо намираме модулите на добавяните числа: и 
. Сега трябва да добавите получените числа; тук е удобно да извършите събиране на колони: 
Сега поставяме знак минус пред полученото число, в резултат на което имаме −18 311.
Нека напишем цялото решение кратка форма: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .
Добавяне на отрицателни рационални числав зависимост от самите числа може да се сведе или до събиране на естествени числа, или до събиране на обикновени дроби, или до събиране на десетични дроби.
Съберете отрицателно число и отрицателно число −4,(12) .
Според правилото за събиране на отрицателни числа, първо трябва да изчислите сбора на модулите. Модулите на добавяните отрицателни числа са равни съответно на 2/5 и 4, (12). Добавянето на получените числа може да се сведе до добавяне на обикновени дроби. За целта преобразуваме периодичната десетична дроб в обикновена дроб: . Така, 2/5+4,(12)=2/5+136/33. Сега нека извършим събирането на дроби с различни знаменатели: .
Остава само да поставите знак минус пред полученото число: . Това завършва събирането на оригиналните отрицателни числа.
Използвайки същото правило за събиране на отрицателни числа, се добавят и отрицателни реални числа. Тук си струва да се отбележи, че резултатът от добавянето на реални числа много често се записва под формата на числов израз и стойността на този израз се изчислява приблизително и след това само ако е необходимо.
например нека намерим суматаотрицателни числа и −5. Модулите на тези числа са равни корен квадратенсъответно от три и пет, а сумата от оригиналните числа е . Така е написан отговорът. Други примери можете да намерите в статията събиране на реални числа.
www.cleverstudents.ru
Правилото за събиране на две отрицателни числа
Действия с отрицателни и положителни числа
Абсолютна стойност (модул). Допълнение.
Изваждане. Умножение. дивизия.
Абсолютна стойност (модул). За отрицателно число– е положително число, получено чрез смяна на знака му от „–” на „+”; За положително число и нула– това е самото число. За да се посочи абсолютната стойност (модул) на число, се използват две прави линии, в които се записва това число.
ПРИМЕРИ: | – 5 | = 5, | 7 | = 7, | 0 | = 0.
1) при събиране на две числа с идентични знацисгънете
техните абсолютни стойности и пред сумата се поставя общ знак.
2) при събиране на две числа с различни знацитяхното абсолютно
количества се изваждат (от по-голямото по-малко) и се поставя знакът
числа с по-голяма абсолютна стойност.
Изваждане. Можете да замените изваждането на две числа със събиране, при което умаляваното запазва знака си, а изважданото се приема с обратен знак.
(+ 8) – (+ 5) = (+ 8) + (– 5) = 3;
(+ 8) – (– 5) = (+ 8) + (+ 5) = 13;
(– 8) – (– 5) = (– 8) + (+ 5) = – 3;
(– 8) – (+ 5) = (– 8) + (– 5) = – 13;
Умножение. При умножаване на две числа техните абсолютни стойности се умножават и продуктът приема знака „+“, ако знаците на факторите са еднакви, и знака „–“, ако знаците на факторите са различни.
Следната диаграма е полезна ( правила за знак за умножение):
При умножаване на няколко числа (две или повече) продуктът има знак „+“, ако броят на отрицателните фактори е четен, и знак „–“, ако броят им е нечетен.
дивизия. При разделянето на две числа абсолютната стойност на дивидента се дели на абсолютна стойностделител, а частното приема знака „+“, ако знаците на делителя и делителя са еднакви, и знака „–“, ако знаците на делителя и делителя са различни.
Действайте тук същото правилата за знаци са същите като за умножение:
Събиране на отрицателни числа
Събиране на положителни и отрицателни числаможе да се анализира с помощта на числовата ос.
Събиране на числа с помощта на координатна линия
Удобно е да извършвате добавяне на малки модулни числа върху координатна линия, мислено си представяйки как точката, обозначаваща числото, се движи по оста на числото.
Да вземем някакво число, например 3. Нека го обозначим на числовата ос с точката "А".
Нека добавим положителното число 2 към числото. Това ще означава, че точка „А“ трябва да бъде преместена с два единични сегмента в положителна посока, тоест надясно. В резултат на това получаваме точка "B" с координата 5.
За да добавите отрицателното число „−5“ към положително число, например към 3, точка „А“ трябва да се премести с 5 единици дължина в отрицателна посока, тоест наляво.
В този случай координатата на точка "B" е равна на "2".
И така, редът на добавяне на рационални числа с помощта на числовата линия ще бъде както следва:
Преминавайки от точка - 2 наляво (тъй като пред 6 има знак минус), получаваме - 8.
Събиране на числа с еднакви знаци
Добавянето на рационални числа може да бъде по-лесно, ако използвате концепцията за модул.
Нека трябва да съберем числа, които имат еднакви знаци.
За да направим това, изхвърляме знаците на числата и вземаме модулите на тези числа. Нека съберем модулите и поставим знака пред сбора, който е общ за тези числа.
Пример за събиране на отрицателни числа.
За да съберете числа с един и същи знак, трябва да съберете техните модули и да поставите пред сумата знака, който е бил преди условията.
Събиране на числа с различни знаци
Ако числата имат различни знаци, тогава действаме малко по-различно, отколкото когато добавяме числа със същите знаци.
Пример за събиране на отрицателно и положително число.
Пример за събиране на смесени числа.
до добавете числа с различни знацинеобходимо:
- извадете по-малкия модул от по-големия модул;
- Пред получената разлика поставете знака на числото с по-голям модул.
- извършват добавянето на своите модули;
- добавете знак „–“ към получената сума.
- изчисляват модулите на числата;
- сравнете получените числа:
- извадете по-малкия от по-големия модул;
- Преди получената стойност поставете знака на числото, чийто модул е по-голям.
Събиране и изваждане на положителни и отрицателни числа
Има ли нещо неясно?
Опитайте се да помолите учителите си за помощ
Правило за събиране на отрицателни числа
За да съберете две отрицателни числа, трябва:
Според правилото за добавяне можем да напишем:
Правилото за събиране на отрицателни числа се прилага за цели отрицателни числа, рационални числа и реални числа.
Добавете отрицателните числа $−185$ и $−23\789.$
Нека използваме правилото за събиране на отрицателни числа.
Нека съберем получените числа:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Поставете знака $“–”$ пред намереното число и вземете $−23 974$.
Кратко решение: $(−185)+(−23\789)=−(185+23\789)=−23\974$.
При добавяне на отрицателни рационални числа те трябва да бъдат преобразувани във вид на естествени числа, обикновени или десетични дроби.
Добавете отрицателните числа $-\frac $ и $−7,15$.
Според правилото за събиране на отрицателни числа, първо трябва да намерите сбора на модулите:
Удобно е да намалите получените стойности до десетични дроби и да извършите тяхното добавяне:
Нека поставим знака $“–”$ пред получената стойност и да получим $–7,4$.
Кратко резюме на решението:
Събиране на числа с противоположни знаци
Правило за събиране на числа с противоположни знаци:
ако са равни, то оригиналните числа са противоположни и сумата им е нула;
ако те не са равни, тогава трябва да запомните знака на числото, чийто модул е по-голям;
Добавянето на числа с противоположни знаци се равнява на изваждане на по-малко отрицателно число от по-голямо положително число.
Правилото за събиране на числа с противоположни знаци важи за цели, рационални и реални числа.
Съберете числата $4$ и $−8$.
Трябва да съберете числа с противоположни знаци. Нека използваме съответното правило за добавяне.
Нека намерим модулите на тези числа:
Модулът на числото $−8$ е по-голям от модула на числото $4$, т.е. запомнете знака $“–”$.
Нека поставим знака $“–”$, който запомнихме, пред полученото число и получаваме $−4.$
Мързи ли ви да четете?
Задайте въпрос на експертите и получете
отговор до 15 минути!
За да добавите рационални числа с противоположни знаци, е удобно да ги представите под формата на обикновени или десетични дроби.
Изваждане на отрицателни числа
Правило за изваждане на отрицателни числа:
За да извадите отрицателно число $b$ от число $a$, е необходимо да добавите числото $−b$ към умаляваното $a$, което е противоположно на субтрахентая $b$.
Според правилото за изваждане можем да запишем:
Това правило е валидно за цели, рационални и реални числа. Правилото може да се използва за изваждане на отрицателно число от положително число, от отрицателно число и от нула.
Извадете отрицателното число $−5$ от отрицателното число $−28$.
Обратното число на числото $–5$ е числото $5$.
Според правилото за изваждане на отрицателни числа получаваме:
Нека съберем числа с противоположни знаци:
Кратко решение: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
При изваждане минус дробни числаНеобходимо е числата да се преобразуват под формата на обикновени дроби, смесени числа или десетични знаци.
Изваждане на числа с противоположни знаци
Правилото за изваждане на числа с противоположни знаци е същото като правилото за изваждане на отрицателни числа.
Извадете положителното число $7$ от отрицателното число $−11$.
Обратното на $7$ е $–7$.
По правилото за изваждане на числа с противоположни знаци получаваме:
Нека добавим отрицателни числа:
При изваждане на дробни числа с противоположни знаци е необходимо числата да се преобразуват във формата на обикновени или десетични дроби.
Никога не намерих отговора
на въпроса ти?
Просто напишете каквото ви трябва
нужда от помощ
Събиране на отрицателни числа: правило, примери
В този материал ще се докоснем до такава важна тема като добавянето на отрицателни числа. В първия параграф ще ви кажем основното правило за това действие, а във втория ще анализираме конкретни примери за решаване на такива проблеми.
Основно правило за събиране на естествени числа
Преди да изведем правилото, нека си припомним какво обикновено знаем за положителните и отрицателните числа. Преди това се съгласихме, че отрицателните числа трябва да се възприемат като дълг, загуба. Модулът на отрицателно число изразява точния размер на тази загуба. Тогава добавянето на отрицателни числа може да се представи като събиране на две загуби.
Използвайки това разсъждение, формулираме основното правило за събиране на отрицателни числа.
За да завършите добавяне на отрицателни числа, трябва да съберете стойностите на техните модули и да поставите минус пред резултата. В буквална форма формулата изглежда като (− a) + (− b) = − (a + b) .
Въз основа на това правило можем да заключим, че добавянето на отрицателни числа е подобно на добавянето на положителни, само че накрая трябва да получим отрицателно число, защото трябва да поставим знак минус пред сбора на модулите.
Какви доказателства могат да бъдат дадени за това правило? За да направим това, трябва да запомним основните свойства на операциите с реални числа (или с цели числа, или с рационални числа - те са еднакви за всички тези видове числа). За да го докажем, просто трябва да демонстрираме, че разликата между лявата и дясната страна на равенството (− a) + (− b) = − (a + b) ще бъде равна на 0.
Изваждането на едно число от друго е същото като добавяне на същото противоположно число към него. Следователно (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Припомнете си, че числовите изрази със събиране имат две основни свойства – асоциативно и комутативно. Тогава можем да заключим, че (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Тъй като чрез добавяне на противоположни числа винаги получаваме 0, тогава (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 и 0 + 0 = 0. Нашето равенство може да се счита за доказано, което означава правилото за добавяне на отрицателни числа Ние също го доказахме.
Проблеми, свързани със събиране на отрицателни числа
Във втория параграф ще вземем конкретни задачи, където трябва да добавим отрицателни числа, и ще се опитаме да приложим наученото правило към тях.
Намерете сбора на две отрицателни числа – 304 и – 18 007.
Решение
Нека изпълним стъпките стъпка по стъпка. Първо трябва да намерим модулите на числата, които се добавят: - 304 = 304, - 180007 = 180007. След това трябва да извършим действието добавяне, за което използваме метода за преброяване на колони:
Остава само да поставим минус пред резултата и да получим – 18,311.
отговор: — — 18 311 .
От това с какви числа разполагаме зависи до какво можем да сведем действието събиране: намиране на сбора на естествените числа, събиране на обикновени или десетични дроби. Нека анализираме проблема с тези числа.
Намерете сбора на две отрицателни числа - 2 5 и − 4, (12).
Намираме модулите на търсените числа и получаваме 2 5 и 4, (12). Имаме две различни дроби. Нека сведем проблема до събирането на две обикновени дроби, за които представяме периодичната дроб под формата на обикновена:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 — 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
В резултат на това получихме дроб, който лесно ще добавим с първия оригинален член (ако сте забравили как правилно да добавяте дроби с различни знаменатели, повторете съответния материал).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
В резултат на това получихме смесено число, пред което трябва да поставим само минус. Това завършва изчисленията.
отговор: — 4 86 105 .
Реалните отрицателни числа се събират по подобен начин. Резултатът от такова действие обикновено се записва като числов израз. Стойността му може да не се изчислява или да се ограничава до приблизителни изчисления. Така, например, ако трябва да намерим сумата - 3 + (− 5), тогава записваме отговора като - 3 − 5. Посветихме отделен материал на добавянето на реални числа, в който можете да намерите други примери.
Събиране на отрицателни числа.
Сумата от отрицателните числа е отрицателно число. Сума модул равно на суматамодули от термини.
Нека да разберем защо сумата от отрицателните числа също ще бъде отрицателно число. За това ще ни помогне координатната линия, върху която ще съберем числата -3 и -5. Нека отбележим точка на координатната права, съответстваща на числото -3.
Към числото -3 трябва да добавим числото -5. Накъде отиваме от точката, съответстваща на числото -3? Така е, ляво! За 5 единични сегмента. Маркираме точка и записваме съответстващото й число. Това число е -8.
Така че, когато добавяме отрицателни числа с помощта на координатна права, ние винаги сме вляво от началото, следователно е ясно, че резултатът от добавянето на отрицателни числа също е отрицателно число.
Забележка.Добавихме числата -3 и -5, т.е. намери стойността на израза -3+(-5). Обикновено, когато добавят рационални числа, те просто записват тези числа с техните знаци, сякаш изброяват всички числа, които трябва да бъдат добавени. Такъв запис се нарича алгебрична сума. Приложете (в нашия пример) записа: -3-5=-8.
Пример.Намерете сумата на отрицателните числа: -23-42-54. (Съгласни ли сте, че този запис е по-кратък и по-удобен като този: -23+(-42)+(-54))?
Нека решимпо правилото за събиране на отрицателни числа: събираме модулите на членовете: 23+42+54=119. Резултатът ще има знак минус.
Обикновено го пишат така: -23-42-54=-119.
Събиране на числа с различни знаци.
Сумата от две числа с различни знаци има знака на член с голяма абсолютна стойност. За да намерите модула на дадена сума, трябва да извадите по-малкия модул от по-големия модул..
Нека извършим събирането на числа с различни знаци с помощта на координатна линия.
1) -4+6. Трябва да добавите числото 6 към числото -4. Нека отбележим числото -4 с точка на координатната линия. Числото 6 е положително, което означава, че от точката с координата -4 трябва да отидем надясно с 6 единични отсечки. Оказахме се вдясно от началото (от нула) с 2 единични сегмента.
Резултатът от сбора на числата -4 и 6 е положителното число 2:
- 4+6=2. Как можахте да получите номер 2? Извадете 4 от 6, т.е. извадете по-малкия от по-големия модул. Резултатът има същия знак като члена с голям модул.
2) Нека изчислим: -7+3 с помощта на координатната права. Маркирайте точката съответстващ на числото-7. Отиваме надясно за 3 единични отсечки и получаваме точка с координата -4. Ние бяхме и оставаме вляво от началото: отговорът е отрицателно число.
— 7+3=-4. Можем да получим този резултат по следния начин: от по-големия модул извадихме по-малкия, т.е. 7-3=4. В резултат на това поставяме знака на члена с по-големия модул: |-7|>|3|.
Примери.Изчислете: а) -4+5-9+2-6-3; б) -10-20+15-25.