علامات إضافية لمتوازي الأضلاع مع الدليل. نظريات متوازي الأضلاع

تسجيل-كي با-رال-لو-جرام-ما

1. التعريف والخصائص الأساسية لمتوازي الأضلاع

لنبدأ بالتذكير بتعريف par-ral-le-lo-gram-ma.

تعريف. متوازي الأضلاع- What-you-re-gon-nick، الذي يحتوي على كل جانبين متوازيين متوازيين (انظر الشكل 1).

أرز. 1. با-رال-لو-لو-جرام

دعونا نتذكر الخصائص الأساسية لـ pa-ral-le-lo-gram-ma:

لكي تكون قادرًا على استخدام كل هذه الخصائص، عليك التأكد من أن fi-gu-ra، عن شخص ما -Roy نحن نتحدث عنه، - با-رال-لو-لو-جرام. للقيام بذلك، من الضروري معرفة حقائق مثل علامات pa-ral-le-lo-gram-ma. نحن ننظر إلى أول اثنين منهم هذا العام.

2. العلامة الأولى لمتوازي الأضلاع

نظرية. العلامة الأولى لـ pa-ral-le-lo-gram-ma.إذا كان الجانبان المتقابلان في الفحم الرباعي متساويين ومتوازيين، فإن لقب الفحم الرباعي هذا - متوازي الأضلاع. .

أرز. 2. العلامة الأولى لـ pa-ral-le-lo-gram-ma

دليل. لقد وضعنا dia-go-nal في أربعة-reh-coal-ni-ke (انظر الشكل 2)، وقسمته إلى قسمين ثلاثي الفحم-ni-ka. دعونا نكتب ما نعرفه عن هذه المثلثات:

حسب العلامة الأولى لتساوي المثلثات.

من مساواة المثلثات المشار إليها، يتبع ذلك، من خلال علامة التوازي للخطوط المستقيمة عند التقاطع، ch-nii بهم s-ku-shchi. لدينا ذلك:

دو كا زا ولكن.

3. العلامة الثانية لمتوازي الأضلاع

نظرية. العلامة الثانية هي pa-ral-le-lo-gram-ma.وإذا كان في رباعية كل ضلعين متقابلين متساويان، فهذه الرباعية كذلك متوازي الأضلاع. .

أرز. 3. العلامة الثانية لـ pa-ral-le-lo-gram-ma

دليل. نضع القطر في الزاوية الأربعة (انظر الشكل 3)، وتقسمه إلى مثلثين. ولنكتب ما نعرفه عن هذه المثلثات بناءً على شكل النظرية:

حسب العلامة الثالثة لتساوي المثلثات.

ويترتب على مساواة المثلثات أنه بعلامة الخطوط المتوازية عندما تتقاطع مع s-ku-shchey. دعونا نأكل:

بار-رال-لو-لو-جرام حسب التعريف. Q.E.D.

دو كا زا ولكن.

4. مثال على استخدام خاصية متوازي الأضلاع الأول

دعونا نلقي نظرة على مثال لاستخدام علامات pa-ral-le-lo-gram.

مثال 1. لا يوجد فحم في الانتفاخ، ابحث عن: أ) زوايا الفحم؛ ب) مائة ريال عماني.

حل. الشكل التوضيحي. 4.

pa-ral-le-lo-gram وفقًا للعلامة الأولى لـ pa-ral-le-lo-gram-ma.

أ. بواسطة خاصية par-ral-le-lo-gram حول الزوايا الموالية للخطأ، بواسطة خاصية par-ral-le-lo-gram حول مجموع الزوايا، عند الاستلقاء على جانب واحد.

ب. بطبيعة المساواة بين الجانبين المواليين للكاذبة.

علامة re-tiy pa-ral-le-lo-gram-ma

5. مراجعة: تعريف وخصائص متوازي الأضلاع

دعونا نتذكر ذلك متوازي الأضلاع- هذه زاوية رباعية الزوايا لها جوانب متطابقة كاذبة في أزواج. وهذا هو، إذا - Par-ral-le-lo-gram، إذن (انظر الشكل 1).

يحتوي موازي لو لو جرام على عدد من الخصائص: الزوايا المتقابلة متساوية ()، والزوايا المتقابلة -نحن متساوون ( ). بالإضافة إلى ذلك، يتم تقسيم dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram-ma عند نقطة re-se-che-niya وفقًا لمجموع الزوايا، عند الضغط باتجاه أي الجانب pa-ral-le-lo-gram-ma، متساوٍ، وما إلى ذلك.

ولكن من أجل الاستفادة من كل هذه الخصائص، من الضروري التأكد تمامًا من أن ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. لهذا الغرض، هناك علامات على par-ral-le-lo-gram: أي تلك الحقائق التي يمكن للمرء أن يستنتج منها نتيجة ذات قيمة واحدة، وهي أن ما-rekh-coal-nick هو par-ral-le-lo-gram. لو لو جرام أمي. في الدرس السابق، نظرنا بالفعل إلى علامتين. الآن نحن ننظر للمرة الثالثة.

6. العلامة الثالثة لمتوازي الأضلاع ودليلها

إذا كان هناك في الفحم الرباعي dia-go-on عند نقطة re-se-che-niya التي يقومون بها، فإن لقب Four-you Roh-coal-nick المعين هو pa-ral-le -لو جرام أمي.

منح:

ما-إعادة-نيك الفحم؛ ; .

يثبت:

متوازي الأضلاع.

دليل:

ومن أجل إثبات هذه الحقيقة، من الضروري إظهار التوازي بين أطراف par-le-lo-gram. وغالبًا ما يظهر توازي الخطوط المستقيمة من خلال تساوي الزوايا الداخلية المتقاطعة عند هذه الزوايا القائمة. وبالتالي، إليك الطريقة التالية للحصول على العلامة الثالثة لـ par-ral -le-lo-gram-ma: من خلال تساوي المثلثات .

دعونا نرى كيف تكون هذه المثلثات متساوية. وبالفعل من الشرط ما يلي: . بالإضافة إلى ذلك، بما أن الزوايا عمودية، فهي متساوية. إنه:

(أول علامة على المساواةثلاثي الفحم ني كوف- على الجانبين والزاوية بينهما).

من تساوي المثلثات: (حيث أن الزوايا الداخلية المتقاطعة عند هذه الخطوط المستقيمة والمقاطع العرضية متساوية). بالإضافة إلى ذلك، من تساوي المثلثات يترتب على ذلك. وهذا يعني أننا نفهم أن مائتين في أربعة فحم متساويان ومتوازيان. وفقًا للعلامة الأولى pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

دو كا زا ولكن.

7. مثال لمسألة على العلامة الثالثة لمتوازي الأضلاع والتعميم

دعونا نلقي نظرة على مثال استخدام العلامة الثالثة لـ pa-ral-le-lo-gram.

مثال 1

منح:

- متوازي الأضلاع. . - se-re-di-na، - se-re-di-na، - se-re-di-na، - se-re-di-na (انظر الشكل 2).

يثبت:- با-رال-لو-لو-جرام.

دليل:

هذا يعني أنه في حالة الفحم الأربعة بدون ديا سواء عند نقطة إعادة سي تشي نيا فإنهم يقومون بذلك عن طريق لام. من خلال العلامة الثالثة لـ pa-ral-le-lo-gram يترتب على ذلك - pa-ral-le-lo-gram.

دو كا زا ولكن.

إذا قمت بتحليل العلامة الثالثة لـ pa-ral-le-lo-gram، فيمكنك ملاحظة أن هذه العلامة مع-vet- لها خاصية par-ral-le-lo-gram. وهذا يعني أن حقيقة أن dia-go-na-li de-la-xia ليست مجرد خاصية لـ par-le-lo-gram، كما أنها مميزة، kha-rak-te-ri-sti-che- الخاصية التي يمكن من خلالها تمييزها عن المجموعة What-you-rekh-coal-ni-cov.

مصدر

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي مع الجانبين المتقابلينبالتوازي الزوجي.

هذا التعريف كافٍ بالفعل، حيث أن الخصائص المتبقية لمتوازي الأضلاع تتبعه ويتم إثباتها في شكل نظريات.

الخصائص الرئيسية لمتوازي الأضلاع هي:
متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب.
متوازي الأضلاع له جوانب متقابلة متساوية في أزواج؛ في متوازي الأضلاعزوايا متضادة
متساوي الزوجية؛

تنقسم أقطار متوازي الأضلاع إلى نصفين حسب نقطة التقاطع.

متوازي الأضلاع - رباعي محدب دعونا أولا نثبت نظرية ذلكمتوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب

. يكون المضلع محدبًا إذا كان أي جانب منه ممتدًا إلى خط مستقيم، فإن جميع أضلاع المضلع الأخرى تكون على نفس الجانب من هذا الخط المستقيم. دعها تعطىحيث AB هو الجانب المقابل لـ CD، وBC هو الجانب المقابل لـ AD. ثم من تعريف متوازي الأضلاع يترتب على ذلك AB || سي دي، قبل الميلاد || إعلان.

ش قطاعات متوازيةلا النقاط المشتركة، لا يتقاطعان. وهذا يعني أن القرص المضغوط يقع على جانب واحد من AB. بما أن القطعة BC تربط النقطة B من القطعة AB بالنقطة C من القطعة CD، والقطعة AD تربط النقاط الأخرى AB وCD، فإن القطعتين BC وAD تقعان أيضًا على نفس الجانب من الخط AB حيث يقع CD. وبالتالي، فإن الجوانب الثلاثة - CD، BC، AD - تقع على نفس الجانب من AB.

وبالمثل، ثبت أنه بالنسبة للأضلاع الأخرى لمتوازي الأضلاع، فإن الأضلاع الثلاثة الأخرى تقع على نفس الجانب.

الجوانب والزوايا المتقابلة متساوية

إحدى خصائص متوازي الأضلاع هي أنه في متوازي الأضلاع، تكون الأضلاع المتقابلة والزوايا المتقابلة متساوية في أزواج. على سبيل المثال، إذا تم إعطاء متوازي الأضلاع ABCD، فإنه يحتوي على AB = CD، AD = BC، ∠A = ∠C، ∠B = ∠D. تم إثبات هذه النظرية على النحو التالي.

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي. وهذا يعني أنه يحتوي على قطرين. وبما أن متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب، فإن أياً منهم يقسمه إلى مثلثين. في متوازي الأضلاع ABCD، خذ بعين الاعتبار المثلثين ABC وADC اللذين تم الحصول عليهما عن طريق رسم القطر AC.

هذه المثلثات لها جانب واحد مشترك - AC. زاوية بي سي ايه يساوي الزاوية CAD عموديًا مع التوازي BC وAD. الزاويتان BAC وACD تساويان أيضًا الزاويتين الرأسيتين عندما يكون AB وCD متوازيين. وبالتالي، ∆ABC = ∆ADC عند زاويتين والضلع بينهما.

في هذه المثلثات، الجانب AB يتوافق مع الجانب CD، والضلع BC يتوافق مع AD. ولذلك، AB = CD وBC = AD.

الزاوية B تتوافق مع الزاوية D، أي ∠B = ∠D. الزاوية A في متوازي الأضلاع هي مجموع زاويتين - ∠BAC و∠CAD. الزاوية C تساوي ∠BCA و∠ACD. بما أن أزواج الزوايا متساوية مع بعضها البعض، فإن ∠A = ∠C.

وهكذا ثبت أن الأضلاع والزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية.

الأقطار مقسمة إلى نصفين

بما أن متوازي الأضلاع هو شكل رباعي محدب، فإنه يحتوي على قطرين، وهما متقاطعان. لنفترض أن متوازي الأضلاع ABCD، فإن قطريه AC وBD يتقاطعان عند النقطة E. خذ بعين الاعتبار المثلثين ABE وCDE اللذين يشكلانهما.

هذه المثلثات لها ضلعان AB وCD متساويان في الضلعين المتقابلين في متوازي الأضلاع. الزاوية ABE تساوي الزاوية CDE التي تقع بالعرض مع الخطوط المتوازية AB و CD. لنفس السبب، ∠BAE = ∠DCE. وهذا يعني أن ∆ABE = ∆CDE عند زاويتين والجانب بينهما.

يمكنك أيضًا ملاحظة أن الزاويتين AEB وCED عموديتان وبالتالي متساويتان أيضًا.

بما أن المثلثين ABE وCDE متساويان، فإن جميع العناصر المتناظرة فيهما متساوية. الضلع AE للمثلث الأول يتوافق مع الضلع CE للمثلث الثاني، مما يعني AE = CE. وبالمثل BE = DE. كل زوج شرائح متساويةهو قطري متوازي الأضلاع. وهكذا ثبت ذلك أقطار متوازي الأضلاع مقسمة بنقطة تقاطعها.

من أجل تحديد ما إذا كان هذا الرقممتوازي الاضلاع هناك عدد من الميزات. دعونا نلقي نظرة على السمات الرئيسية الثلاثة لمتوازي الأضلاع.

1 علامة متوازي الأضلاع

إذا كان ضلعان في شكل رباعي متساويين ومتوازيين، فإن هذا الشكل الرباعي سيكون متوازي أضلاع.

دليل:

خذ بعين الاعتبار الشكل الرباعي ABCD. دع الجانبين AB و CD متوازيان. ودع AB = CD. لنرسم القطر BD فيه. سوف يقسم الشكل الرباعي المعطى إلى قسمين مثلث متساوي: عبد واتفاقية التنوع البيولوجي.

وهذه المثلثات متساوية من الجانبين والزاوية بينهما (BD - الجانب المشترك، AB = CD وفقًا للشرط، angle1 = angle2 كزوايا عرضية مع قاطع BD للخطوط المتوازية AB وCD.)، وبالتالي angle3 = angle4.

وستكون هذه الزوايا عرضية عندما يتقاطع الخطان BC وAD مع القاطع BD. ويترتب على ذلك أن BC و AD متوازيان مع بعضهما البعض. لدينا أنه في الشكل الرباعي ABCD، الضلعان المتقابلان متوازيان بشكل زوجي، وبالتالي فإن الشكل الرباعي ABCD متوازي أضلاع.

علامة متوازي الأضلاع 2

إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فإن هذا الشكل الرباعي سيكون متوازي الأضلاع.

دليل:

خذ بعين الاعتبار الشكل الرباعي ABCD. لنرسم القطر BD فيه. سيتم تقسيم هذا الشكل الرباعي إلى مثلثين متساويين: ABD وCBD.

سيكون هذان المثلثان متساويين لبعضهما البعض من ثلاثة جوانب (BD هو الضلع المشترك، AB = CD وBC = AD حسب الشرط). ومن هذا يمكننا أن نستنتج أن الزاوية 1 = الزاوية 2. ويترتب على ذلك أن AB يوازي CD. وبما أن AB = CD وAB مواز لـ CD، فوفقًا للمعيار الأول لمتوازي الأضلاع، فإن الشكل الرباعي ABCD سيكون متوازي أضلاع.

3 علامة متوازي الأضلاع

إذا تقاطعت أقطار الشكل الرباعي وتنصفت بنقطة التقاطع، فإن هذا الشكل الرباعي يكون متوازي أضلاع.

خذ بعين الاعتبار الشكل الرباعي ABCD. دعونا نرسم فيه قطرين AC وBD، اللذين سيتقاطعان عند النقطة O وينصفان بهذه النقطة.

المثلثان AOB و COD سيكونان متساويين لبعضهما البعض، وفقًا للعلامة الأولى لتساوي المثلثات. (AO = OC، BO = OD حسب الحالة، الزاوية AOB = الزاوية COD مثل زوايا عمودية.) لذلك، AB = CD والزاوية 1 = الزاوية 2. ومن تساوي الزاويتين 1 و 2، لدينا أن AB يوازي CD. ثم لدينا أنه في الشكل الرباعي ABCD الأضلاع AB متساوية مع CD ومتوازية، ووفقًا للمعيار الأول لمتوازي الأضلاع، فإن الرباعي ABCD سيكون متوازي أضلاع.

ABCD الرباعي هو شكل يتكون من أربع نقاط A، B، C، D، ثلاث لكل منها، لا تقع على نفس الخط المستقيم، وأربعة أجزاء AB، BC، CD وAD تربط هذه النقاط.

الصور تظهر رباعيات.

يتم استدعاء النقاط A و B و C و D رؤوس الشكل الرباعيوالقطاعات AB وBC وCD وAD - الأطراف. تسمى القمم A وC وB وD القمم المعاكسة. يتم استدعاء الجوانب AB و CD و BC و AD الأطراف المتعارضة .

هناك رباعيات محدب(في الصورة - اليسار) و غير محدب(في الصورة - على اليمين).

كل قطري رباعي محدب يقسمها إلى مثلثين(يقسم التيار المتردد ABCD إلى قسمين المثلث ABCو حوار التعاون الآسيوي. قطري BD - على BCD وBAD). ش رباعي غير محدبقطر واحد فقط يقسمه إلى مثلثين(القطري AC يقسم ABCD إلى مثلثين ABC وACD، والقطري BD لا يفعل ذلك).

دعونا نفكر الأنواع الرئيسية للأشكال الرباعية وخصائصها وصيغ المساحة:

متوازي الأضلاع

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية في أزواج.

ملكيات:

علامات متوازي الأضلاع:

1. إذا كان ضلعان في شكل رباعي متساويين ومتوازيين، فإن هذا الرباعي هو متوازي أضلاع.
2. إذا كانت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي متساوية في أزواج، فإن هذا الرباعي هو متوازي أضلاع.
3. إذا تقاطعت الأقطار في الشكل الرباعي وانقسمت إلى نصفين عند نقطة التقاطع، فإن هذا الرباعي يكون متوازي أضلاع.

مساحة متوازي الأضلاع: