በአንድ የጊዜ ክፍተት ምሳሌዎች ላይ የአንድ ተግባር ቀጣይነት። የአንድ ተግባር ቀጣይነት በአንድ ነጥብ እና በጊዜ ክፍተት

ፍቺ. ተግባሩ ከሆነ ረ(x) በጊዜ ክፍተት ላይ ይገለጻል [ ሀ፣ ለ], በእያንዳንዱ የጊዜ ክፍተት ላይ ቀጣይ ነው ( ሀ፣ ለ), ነጥብ ላይ ሀበቀኝ በኩል ቀጣይነት ያለው, ነጥቡ ላይ ለበግራ በኩል ቀጣይ ነው, ከዚያም ተግባሩን እንናገራለን ረ(x) በክፍሉ ላይ ቀጣይነት ያለው [ሀ፣ ለ].

በሌላ አነጋገር, ተግባሩ ረ(x) በጊዜ መካከል ቀጣይ ነው ሀ፣ ለ] ሦስት ሁኔታዎች ከተሟሉ፡-

1) "x 0 Î( ሀ፣ ለ): ረ(x) = ረ(x 0);

2) ረ(x) = ረ(ሀ);

3) ረ(x) = ረ(ለ).

በየተወሰነ ጊዜ ውስጥ ለሚቀጥሉ ተግባራት ፣ ማረጋገጫዎችን ሳናደርግ በሚከተሉት ጽንሰ-ሀሳቦች መልክ የምንቀርጻቸውን አንዳንድ ንብረቶችን እንመለከታለን።

ቲዎሪ 1. ተግባሩ ከሆነ ረ(x) በጊዜ መካከል ቀጣይ ነው ሀ፣ ለ], ከዚያም በዚህ ክፍል ላይ ዝቅተኛውን እና ከፍተኛውን እሴት ላይ ይደርሳል.

ይህ ቲዎሬም (ምስል 1.15) በክፍሉ ላይ [ ሀ፣ ለ] እንዲህ ያለ ነጥብ አለ። x 1 ያ ረ(x 1) £ ረ(x) ለማንኛውም xከ [ ሀ፣ ለ] እና ነጥብ እንዳለ x 2 (x 2 ኦ[ ሀ፣ ለ]) ለምሳሌ " xÎ[ ሀ፣ ለ] (ረ(x 2)³ ረ(x)).

ትርጉም ረ(x 1) ለአንድ ተግባር ትልቁ ነው [ ሀ፣ ለ]፣ ኤ ረ(x 2) - ትንሹ። እንጥቀስ፡ ረ(x 1) = ኤም, ረ(x 2) =ኤም. ጀምሮ ለ ረ(x) እኩልነት አለ: " xÎ[ ሀ፣ ለ] ኤም£ ረ(x) £ ኤምበመቀጠል ከቲዎረም 1 የሚከተለውን አስተያየቶችን እናገኛለን።

መዘዝ. ተግባሩ ከሆነ ረ(x) በአንድ ክፍተት ላይ ቀጣይ ነው, ከዚያም በዚህ ክፍተት ላይ የተገደበ ነው.

ቲዎሪ 2. ተግባሩ ከሆነ ረ(x) በጊዜ መካከል ቀጣይ ነው a,b] እና በክፍሉ መጨረሻ ላይ የተለያዩ ምልክቶችን እሴቶችን ይወስዳል ፣ ከዚያ እንደዚህ ያለ ውስጣዊ ነጥብ አለ። x 0 ክፍል ሀ፣ ለ]፣ ተግባሩ ወደ 0 የሚቀየርበት፣ i.e. $ x 0 Î ( ሀ፣ ለ) (ረ(x 0) = 0).

ይህ ቲዎሬም የአንድ ተግባር ግራፍ እንደሆነ ይገልጻል y = ረ(x) ፣ በክፍለ-ጊዜው ላይ ቀጣይነት ያለው [ ሀ፣ ለ]፣ ዘንግውን ያቋርጣል ኦክስቢያንስ አንድ ጊዜ እሴቶቹ ከሆነ ረ(ሀ) እና ረ(ለ) ያላቸው ተቃራኒ ምልክቶች. ስለዚህ፣ (ምስል 1.16) ረ(ሀ) > 0, ረ(ለ) < 0 и функция ረ(x) ነጥብ ላይ 0 ይሆናል። x 1 , x 2 , x 3 .

ቲዎሪ 3. ተግባሩ ይፍቀድ ረ(x) በጊዜ መካከል ቀጣይ ነው ሀ፣ ለ], ረ(ሀ) = ሀ, ረ(ለ) = ለእና ሀ¹ ለ. (ምስል 1.17). ከዚያ ለማንኛውም ቁጥር ሲ, በቁጥሮች መካከል ተዘግቷል ሀእና ለ, እንደዚህ ያለ ውስጣዊ ነጥብ አለ x 0 ክፍል ሀ፣ ለ], ምንድን ረ(x 0) = ሲ.

መዘዝ. ተግባሩ ከሆነ ረ(x) በጊዜ መካከል ቀጣይ ነው ሀ፣ ለ], ኤም – ትንሹ እሴት ረ(x), ኤም – ከፍተኛ ዋጋተግባራት ረ(xክፍል ላይ [ ሀ፣ ለ], ከዚያም ተግባሩ (ቢያንስ አንድ ጊዜ) ማንኛውንም ዋጋ ይወስዳል ኤምመካከል ደመደመ ኤምእና ኤምስለዚህ ክፍሉ [ ኤም, ኤም] የሁሉም የተግባር እሴቶች ስብስብ ነው። ረ(xክፍል ላይ [ ሀ፣ ለ].

አንድ ተግባር በክፍተቱ ላይ የሚቀጥል ከሆነ ( ሀ፣ ለ) ወይም ክፍል ላይ አለው [ ሀ፣ ለ] የማቋረጥ ነጥቦች, ከዚያም ቲዎሬምስ 1, 2, 3 ለእንደዚህ አይነት ተግባር እውነት መሆን ያቆማል.

በማጠቃለያው, የተገላቢጦሽ ተግባር መኖሩን በተመለከተ ቲዎሪውን አስቡበት.

እናስታውስ ስንል ክፍል ወይም ክፍተት፣ ወይም ግማሽ-መሀል፣ ውሱን ወይም ማለቂያ የሌለው ማለታችን ነው።

ቲዎሪ 4. ፍቀድ ረ(x) በጊዜ መካከል ቀጣይ ነው X, ይጨምራል (ወይም ይቀንሳል) በ Xእና የእሴቶች ክልል አለው። ዋይ. ከዚያ ለተግባሩ y = ረ(x) የተገላቢጦሽ ተግባር አለ x= ጄ(y), በጊዜ ክፍተት ላይ ይገለጻል ዋይ, ቀጣይነት ያለው እና እየጨመረ (ወይም እየቀነሰ) በ ዋይከበርካታ ትርጉሞች ጋር X.

አስተያየት. ተግባሩ ይፍቀድ x= ጄ(y) የተግባሩ ተገላቢጦሽ ነው። ረ(x). ክርክሩ ብዙውን ጊዜ የሚገለጸው በ x, እና ተግባሩ በ y, ከዚያም እንጽፋለን የተገላቢጦሽ ተግባርእንደ y=ጄ(x).

ምሳሌ 1. ተግባር y = x 2 (ስዕል 1.8, ሀ) በስብስቡ ላይ X= ሀ, ለ[ እና በዚህ ክፍተት በእያንዳንዱ ነጥብ ላይ ቀጣይ ነው. ከዚያም በጊዜ ክፍተት ውስጥ ቀጣይ ይባላል ] ሀ, ለ[ . በቅጹ ክፍተቶች ላይ የአንድ ተግባር ቀጣይነት ጽንሰ-ሀሳብ - ∞ በተመሳሳይ ሁኔታ ይገለጻል ፣ ለ[ , ]ሀ, + ∞[ , ] - ∞, + ∞[. አሁን ተግባሩን እንመልከት y = ረ(x) በክፍተቱ ላይ ተገልጿል [ ሀ, ለ] ። በአንድ ክፍተት እና በክፍሎች መካከል ያለው ልዩነት-የጊዜ ገደብ የድንበር ነጥቦች በክፍለ-ጊዜው ውስጥ አይካተቱም, ነገር ግን የአንድ ክፍል የድንበር ነጥቦች በክፍሉ ውስጥ ተካትተዋል. እዚህ ላይ የአንድ-ጎን ቀጣይነት ተብሎ የሚጠራውን መጥቀስ አለብን: በነጥቡ ላይ ሀክፍል ላይ የቀረው [ ሀ, ለ]፣ ከቀኝ እና ወደ ነጥቡ ብቻ መቅረብ እንችላለን ለ- በግራ በኩል ብቻ። ተግባራቱ በክፍተቱ ላይ ቀጣይነት ያለው ነው ተብሏል። ሀ, ለ] በሁሉም ውስጥ ቀጣይ ከሆነ ውስጣዊ ነጥቦችየዚህ ክፍል, በነጥብ ላይ በቀኝ በኩል ቀጣይ ነው ሀእና ነጥቡ ላይ ያለማቋረጥ ይቀራል ለ.

ቀጣይነት ያለው ተግባር ምሳሌ የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ሊሆን ይችላል። እያንዳንዱ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባርበተገለጸበት በማንኛውም ክፍተት ላይ ቀጣይነት ያለው ነው። ለምሳሌ፣ ተግባሮቹ እና በማንኛውም ክፍተት ላይ ቀጣይ ናቸው [ ሀ, ለ] ፣ ተግባሩ በጊዜ ክፍተት ላይ ቀጣይ ነው [ 0 , ለ] ፣ ተግባሩ ነጥብ በሌለው በማንኛውም ክፍል ላይ ቀጣይ ነው። ሀ = 2 .

ምሳሌ 4.ለቀጣይነት ተግባሩን ይፈትሹ.

መፍትሄ። የመጀመሪያውን ሁኔታ እንፈትሽ. ተግባሩ በነጥብ 3 እና 3 ላይ አልተገለጸም ። በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ ያለው ተግባር እንዲቀጥል ከሚያስፈልጉት ሁኔታዎች ውስጥ ቢያንስ አንዱ አልረካም። ለዛ ነው ይህ ተግባርበየተወሰነ ጊዜ ቀጣይ ነው።

.

ምሳሌ 5.የመለኪያው ዋጋ ምን እንደሆነ ይወስኑ ሀበመላው ቀጣይነት ያለው የትርጉም ጎራተግባር

መፍትሄ።

የቀኝ-እጅ ገደቡን በሚከተለው ላይ እናገኝ።

.

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ነጥቡ ላይ ያለው ዋጋ x= 2 እኩል መሆን አለበት መጥረቢያ :

ሀ = 1,5 .

ምሳሌ 6.በምን አይነት መለኪያ ዋጋዎች ይወስኑ ሀእና ለበመላው ቀጣይነት ያለው የትርጉም ጎራተግባር

መፍትሄ።
በግራ በኩል ያለውን የተግባር ገደብ በነጥቡ ላይ እናገኝ፡-

.

ስለዚህ በነጥቡ ላይ ያለው ዋጋ 1 መሆን አለበት፡-

የግራ እጅ ተግባርን በነጥቡ ላይ እንፈልግ፡-

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው በአንድ ነጥብ ላይ ያለው ተግባር ዋጋ ከሚከተሉት ጋር እኩል መሆን አለበት፡-

መልስ፡ ተግባሩ መቼ በጠቅላላው የትርጉም ጎራ ላይ ቀጣይነት ያለው ነው። ሀ = 1; ለ = -3 .

ቀጣይነት ያለው ተግባራት መሰረታዊ ባህሪያት

ሒሳብ ወደ ቀጣይነት ያለው ተግባር ጽንሰ-ሐሳብ መጣ, በመጀመሪያ, የተለያዩ የእንቅስቃሴ ህጎችን በማጥናት. ቦታ እና ጊዜ ገደብ የለሽ ናቸው, እና ጥገኝነት, ለምሳሌ, መንገዶች ኤስከጊዜ ወደ ጊዜ ቲ, በህግ ይገለጻል ኤስ = ረ(ቲ) ፣ ቀጣይነት ያለው ምሳሌ ይሰጣል ተግባራት ረ(ቲ) . የሙቅ ውሃ ሙቀት እንዲሁ ያለማቋረጥ ይለወጣል; ቲ = ረ(ቲ) .

ውስጥ የሂሳብ ትንተናአንዳንድ ንብረቶች ተረጋግጠዋል ቀጣይነት ያለው ተግባራት. ከእነዚህ ንብረቶች ውስጥ በጣም አስፈላጊ የሆኑትን እናቅርብ.

1. በየተወሰነ ጊዜ ውስጥ የሚቀጥል ተግባር በክፍለ ጊዜው መጨረሻ ላይ የተለያዩ ምልክቶችን እሴቶችን ከወሰደ ፣ በዚህ የጊዜ ክፍተት በተወሰነ ጊዜ ዋጋውን ይወስዳል። ከዜሮ ጋር እኩል ነው።. ይበልጥ መደበኛ በሆነ መግለጫ, ይህ ንብረት የመጀመሪያው የቦልዛኖ-ካውቺ ቲዎረም ተብሎ በሚታወቀው ቲዎሪ ውስጥ ተሰጥቷል.

2. ተግባር ረ(x) ፣ በክፍለ ጊዜው ላይ ቀጣይነት ያለው [ ሀ, ለ] ፣ በመጨረሻው ነጥብ ላይ ባሉት እሴቶች መካከል ያሉትን ሁሉንም መካከለኛ እሴቶች ይወስዳል ፣ ማለትም ፣ መካከል ረ(ሀ) እና ረ(ለ) . ይበልጥ መደበኛ በሆነ መግለጫ, ይህ ንብረት ሁለተኛው የቦልዛኖ-ካውቺ ቲዎረም ተብሎ በሚታወቀው ቲዎሪ ውስጥ ተሰጥቷል.

በአንድ ክፍተት ላይ የአንድ ተግባር ቀጣይነት

የመለኪያ ስም	ትርጉም
የጽሑፍ ርዕስ፡-	በአንድ ክፍተት ላይ የአንድ ተግባር ቀጣይነት
ሩቢክ (ጭብጥ ምድብ)	ሒሳብ

ፍቺአንድ ተግባር በዚህ ክፍተት በእያንዳንዱ ነጥብ ላይ የሚቀጥል ከሆነ አብዛኛውን ጊዜ ቀጣይነት ያለው ይባላል።

ተግባሩ በ ላይ ከተገለጸ X=ሀእና በውስጡ ረ(X) = ረ(ሀ),

ከዚያም እንዲህ ይላሉ ረ(X) ነጥብ ላይ እና በቀኝ በኩል ቀጣይ ነው. እንደዚሁም, ከሆነ ረ(X) = ረ(ለ), ከዚያም ነጥቡ ላይ እንዲህ ይላሉ ለይህ ተግባር ቀጣይነት ያለው ግራ.

ፍቺአንድ ተግባር ብዙውን ጊዜ በክፍተቱ ውስጥ ቀጣይ ተብሎ ይጠራል [ ሀ, ለ], በእያንዳንዱ ነጥብ ላይ ቀጣይ ከሆነ (በነጥቡ ሀበቀኝ በኩል ቀጣይነት ያለው, ነጥቡ ላይ ለ- በግራ በኩል ያለማቋረጥ).

ከፍተኛ ዋጋተግባራት በ = ረ(xክፍል ላይ [ ሀ, ለ ረ(x 1) ያ ረ(x) £ ረ(x 1) ለሁሉም ሰው X Î [ ሀ, ለ].

ዝቅተኛው ዋጋተግባራት በ = ረ(xክፍል ላይ [ ሀ, ለ] ይህንን ትርጉሙ መጥራት የተለመደ ነው። ረ(x 2) ያንን ረ(x) ³ ረ(x 2) ለሁሉም X Î [ ሀ, ለ].

በአንድ ክፍተት ላይ ቀጣይነት ያላቸው ተግባራት በርካታ ቁጥር አላቸው ጠቃሚ ንብረቶች, በሚከተሉት ንድፈ-ሐሳቦች የተገለጹ ናቸው.

ቲዎረም 3.3.1.በክፍተቱ ላይ ቀጣይነት ያለው ተግባር [ ሀ, ለ], በእሱ ላይ ዝቅተኛውን እሴት ላይ ይደርሳል ኤምእና ከፍተኛ ዋጋ ኤም, ማለትም, እንደዚህ ያሉ ነጥቦች አሉ x 1 እና xየዚህ ክፍል 2, ያ ረ(x 1) = ኤም, ረ(x 2) = ኤም.

ንድፈ ሃሳቡ ቀላል የጂኦሜትሪክ ትርጉም አለው (ምሥል 2 ይመልከቱ)።

ቲዎረም 3.3.2.ተግባሩ ከሆነ በ = ረ(x) በጊዜ መካከል ቀጣይ ነው ሀ, ለ] እና ጫፎቹ ላይ እኩል ያልሆኑ እሴቶችን ይወስዳል ረ(ሀ) = ሀ, ረ(ለ) = B፣ A ¹ B፣ ከዚያ ምንም ቁጥር C በ A እና B መካከል ቢሆን፣ ነጥብ ይኖራል ጋር Î [ ሀ, ለ] ለምሳሌ ረ(ጋር) = ኤስ.

ጂኦሜትሪክ ትርጉምንድፈ ሃሳቡ በስእል 3 ላይ ተገልጿል. ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በ= ሐ ፣ ኤ< C < B (или A >C> B) ፣ የተግባሩን ግራፍ ያቋርጣል በ = ረ(x).

መዘዝ።አንድ ተግባር በአንድ ክፍል ላይ ቀጣይ ከሆነ እና ጫፎቹ ላይ የተለያዩ ምልክቶችን እሴቶችን ከወሰደ በዚህ ክፍል ላይ ተግባሩ የሚጠፋበት ቢያንስ አንድ ነጥብ አለ።

የውጤቱ ጂኦሜትሪክ ትርጉም በስእል 4 ውስጥ ተገልጿል.

ራስን የመግዛት ጥያቄዎች

1. ብዙውን ጊዜ በአንድ ነጥብ ላይ ቀጣይነት ያለው ተግባር ምን ይባላል?

2. የተግባር እና የክርክር መጨመርን በተመለከተ ሌላ ተመሳሳይ ትርጉም ይስጡ.

3. ስለ ሁለት ተከታታይ ተግባራት ድምር፣ ልዩነት፣ ምርት እና ብዛት ምን ማለት ይቻላል?

4. ለየትኞቹ የክርክሩ ዋጋዎች አጠቃላይ ምክንያታዊ እና ክፍልፋይ-ምክንያታዊ ተግባራትቀጣይነት ያለው?

5. ውስብስብ ተግባር በአንድ ነጥብ ላይ ቀጣይ የሚሆነው መቼ ነው?

6. በተለምዶ የተግባር መቋረጥ ነጥብ ምን ይባላል?

7. የመጀመሪያው ዓይነት የማቋረጥ ነጥቦች የሚባሉት የትኞቹ ነጥቦች ናቸው?

8. ምን ያህል መጠን በተለምዶ የተግባር ዝላይ ይባላል?

9. "ተነቃይ የማቋረጥ ነጥብ" የሚለውን ጽንሰ-ሐሳብ ያብራሩ. ምሳሌዎችን ስጥ።

10. የሁለተኛው ዓይነት የማቋረጥ ነጥቦች የሚባሉት የትኞቹ ነጥቦች ናቸው? ምሳሌዎችን ስጥ።

11. ጽንሰ-ሐሳቦችን ያብራሩ: "በአንድ ክፍተት ላይ ቀጣይነት", "በቀኝ በኩል መቀጠል", "በግራ በኩል መቀጠል", "በአንድ ክፍል ላይ ቀጣይነት".

12. ትልቁን እና ትንሹን የተግባር እሴቶችን ይግለጹ።

13. በአንድ ክፍል ላይ ቀጣይነት እና የአንድ ተግባር ትልቁ እና ትንሹ እሴቶች መካከል ስላለው ግንኙነት ጽንሰ-ሀሳብ ያዘጋጁ። በሥዕል ይግለጹ።

14. በአንድ ክፍተት ላይ በተግባሮች ቀጣይነት እና በተግባር እሴቶች መካከል ያለውን ግንኙነት በተመለከተ ንድፈ ሃሳብ ያቅርቡ። በሥዕሉ ላይ የጂኦሜትሪክ ትርጉሙን አስረዳ።

15. ከላይ ለተጠቀሰው ቲዎሪ እና የጂኦሜትሪክ ትርጓሜው ማብራሪያ ይስጡ።

ትምህርት ቁጥር 4

የመማሪያ ርዕስ፡- የአንድ ተግባር መነሻ

የንግግሮች ዝርዝር፡የመነጩ ጽንሰ-ሐሳብ, የእሱ ጂኦሜትሪክ እና አካላዊ ትርጉም. የመለየት መሰረታዊ ህጎች። መነሻ ውስብስብ ተግባር. አንዳንድ መተግበሪያዎች የመነጩ ናቸው።

4.1. የመነጩ ጽንሰ-ሐሳብ, የጂኦሜትሪክ እና አካላዊ ትርጉሙ

ተግባሩን አስቡበት በ = ረ(x), በጊዜ መካከል ተገልጿል ] ሀ, ለ[. ፍቀድ XÎ ] ሀ, ለ[ እና X Î ] ሀ, ለ[, ከዚያም ነጥቡ ላይ ያለውን ተግባር መጨመር X 0 በቀመር D ይገለጻል። በ = ረ(x 0+ዲ X) – ረ(x 0).

ፍቺ የተግባር y = ረ(x) ነጥብ ላይ X 0 ብዙውን ጊዜ የዚህ ተግባር ጭማሪ ሬሾ እና የክርክሩ መጨመር ወሰን ተብሎ ይጠራል የኋለኛው ወደ ዜሮ ሲይዝ፡

ረ(x 0) = ወይም y"(x 0) =.

የመነጩ ጂኦሜትሪክ ትርጉምበአንድ ነጥብ ላይ ያለው የተግባር አመጣጥ በኦክስ ዘንግ እና በታንጀንት መካከል ካለው አንግል እና የዚህ ተግባር ግራፍ ጋር እኩል ነው። ተዛማጅ ነጥብ(ስዕል 1 ይመልከቱ)

ረ"(x 0) = ታን አ.

በቃለ መጠይቅ ላይ የተግባር ባህሪያት

ለተወሰነ ጊዜ ቀጣይነት ያላቸውን የተግባር ባህሪዎችን እንመልከት። እነዚህን ንብረቶች ያለ ማስረጃ እናቀርባለን።

ተግባር y = f(x)ተብሎ ይጠራል በክፍሉ ላይ ቀጣይነት ያለው [ሀ, ለ], በዚህ ክፍል ውስጥ በሁሉም የውስጥ ነጥቦች ላይ ቀጣይ ከሆነ, እና ጫፎቹ ላይ, ማለትም. ነጥቦች ላይ ሀእና ለ, በቅደም ተከተል በቀኝ እና በግራ በኩል ቀጣይ ነው.

ቲዎሪ 1.በክፍተቱ ላይ ቀጣይነት ያለው ተግባር [ ሀ, ለ], ቢያንስ በዚህ ክፍል አንድ ነጥብ ላይ ትልቁን ዋጋ እና ቢያንስ በአንድ ነጥብ ላይ ትንሹን ይወስዳል.

ንድፈ ሀሳቡ አንድ ተግባር ከሆነ y = f(x)በጊዜ መካከል ቀጣይ ነው [ ሀ, ለ], ከዚያም ቢያንስ አንድ ነጥብ አለ x 1 Î [ ሀ, ለ] እንደ የተግባር ዋጋ ረ(x)በዚህ ጊዜ በዚህ ክፍል ላይ ካሉት እሴቶቹ ሁሉ ትልቁ ይሆናል- ረ(x 1) ≥ ረ(x). በተመሳሳይም, እንደዚህ አይነት ነጥብ አለ x 2, በዚህ ውስጥ የተግባር እሴቱ በክፍሉ ላይ ካሉት ሁሉም ዋጋዎች ትንሹ ይሆናል: ረ(x 1) ≤ ረ(x).

እንደነዚህ ያሉ በርካታ ነጥቦች ሊኖሩ እንደሚችሉ ግልጽ ነው, ስዕሉ ተግባሩን ያሳያል ረ(x)በሁለት ነጥቦች ላይ ትንሹን ዋጋ ይወስዳል x 2እና x 2 ".

አስተያየት. የተግባሩን ዋጋ በጊዜ ክፍተት ካጤንነው የንድፈ ሃሳቡ መግለጫ ትክክል ላይሆን ይችላል ( ሀ, ለ). በእርግጥ, ተግባሩን ከግምት ውስጥ ካስገባን y = xበ (0 ፣ 2) ላይ ፣ ከዚያ በዚህ የጊዜ ክፍተት ላይ ቀጣይ ነው ፣ ግን በውስጡ ትልቁን ወይም ትንሹን እሴቶችን አይደርስም-እነዚህ እሴቶች በክፍተቱ መጨረሻ ላይ ይደርሳል ፣ ግን ጫፎቹ አይደሉም። ወደ እኛ ጎራ.

እንዲሁም ንድፈ ሃሳቡ ላልተቋረጡ ተግባራት እውነት መሆኑ ያቆማል። አንድ ምሳሌ ስጥ።

መዘዝ።ተግባሩ ከሆነ ረ(x)ቀጣይነት ያለው ነው [ ሀ, ለ], ከዚያም በዚህ ክፍል ላይ የተወሰነ ነው.

ቲዎሪ 2.ተግባሩ ይፍቀድ y = f(x)በጊዜ መካከል ቀጣይ ነው [ ሀ, ለ] እና በዚህ ክፍል መጨረሻ ላይ የተለያዩ ምልክቶች እሴቶችን ይወስዳል, ከዚያም በክፍሉ ውስጥ ቢያንስ አንድ ነጥብ አለ. x = ሐተግባሩ ወደ ዜሮ የሚሄድበት፡- ረ(ሐ)= 0፣ የት ሀ< C< b

ይህ ጽንሰ-ሐሳብ ቀላል የጂኦሜትሪክ ትርጉም አለው-የቀጣይ ተግባር የግራፍ ነጥቦች ከሆነ y = f(x)ከክፍሉ ጫፎች ጋር የሚዛመድ [ ሀ, ለ] ተኛ የተለያዩ ጎኖችከዘንጉ ኦክስ, ከዚያ ይህ ግራፍ ቢያንስ ቢያንስ አንድ የክፍሉን ዘንግ ያቋርጣል ኦክስ. የተቋረጡ ተግባራት ይህ ንብረት ላይኖራቸው ይችላል።

ይህ ጽንሰ-ሐሳብ የሚከተለውን አጠቃላይነት ይቀበላል.

ቲዎረም 3 (የመካከለኛ እሴት ቲዎረም).ተግባሩ ይፍቀድ y = f(x)በጊዜ መካከል ቀጣይ ነው [ ሀ, ለ] እና ረ (ሀ) = አ, ረ (ለ) = ለ. ከዚያ ለማንኛውም ቁጥር ሲመካከል ደመደመ ሀእና ለበዚህ ክፍል ውስጥ እንደዚህ ያለ ነጥብ አለ ሲÎ [ ሀ, ለ], ምንድን ረ (ሐ) = ሐ.

ይህ ቲዎሪ በጂኦሜትሪ ግልጽ ነው. የተግባሩን ግራፍ አስቡበት y = f(x). ፍቀድ ረ (ሀ) = አ, ረ (ለ) = ለ. ከዚያ ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር y = ሐ፣ የት ሲ- ማንኛውም ቁጥር መካከል ሀእና ለ, ቢያንስ በአንድ ነጥብ የተግባርን ግራፍ ያቋርጣል. የመስቀለኛ መንገድ ነጥብ abcissa ያ ዋጋ ይሆናል x = ሐ፣ በየትኛው ረ (ሐ) = ሐ.

ስለዚህ, ቀጣይነት ያለው ተግባር, ከአንድ እሴት ወደ ሌላ, በግድ በሁሉም መካከለኛ እሴቶች ውስጥ ያልፋል. በተለየ ሁኔታ:

መዘዝ።ተግባሩ ከሆነ y = f(x)በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ ቀጣይነት ያለው እና ትልቁን እና ትንሹን እሴቶችን ይወስዳል, ከዚያም በዚህ ክፍተት ቢያንስ አንድ ጊዜ በትንሹ እና በትልቁ እሴቶቹ መካከል ያለውን ማንኛውንም እሴት ይወስዳል.

መነሻ እና አፕሊኬሽኖቹ። የመነጩ ፍቺ

የተወሰነ ተግባር ይኑረን y=f(x)፣በተወሰነ ክፍተት ላይ ይገለጻል. ለእያንዳንዱ ነጋሪ እሴት xከዚህ ክፍተት ተግባሩ y=f(x)የተወሰነ ትርጉም አለው።

ሁለት ነጋሪ እሴቶችን ተመልከት፡ መጀመሪያ x 0 እና አዲስ x.

ልዩነት x–x 0 ይባላል ክርክሩን በመጨመር xነጥብ ላይ x 0 እና ተጠቁሟል Δx. ስለዚህም Δx = x - x 0 (የክርክሩ መጨመር አዎንታዊ ወይም አሉታዊ ሊሆን ይችላል). ከዚህ እኩልነት ይከተላል x=x 0 + Δx፣ ማለትም እ.ኤ.አ. የመጀመሪያ ትርጉምተለዋዋጭው የተወሰነ ጭማሪ አግኝቷል። ከዚያም, በነጥብ ላይ ከሆነ x 0 የተግባር እሴት ነበር። ረ(x 0 ), ከዚያም ውስጥ አዲስ ነጥብ xተግባሩ ዋጋውን ይወስዳል f(x) = f(x 0 +Δx).

ልዩነት y–y 0 = f(x) - ረ(x 0 ) ተብሎ ይጠራል የተግባር መጨመር y = f(x)ነጥብ ላይ x 0 እና በምልክቱ ይገለጻል Δy. ስለዚህም

Δy = f (x) - f (x 0 = ረ(x 0 +Δx) - f (x 0 ) .

(1)

በተለምዶ የክርክሩ የመጀመሪያ ዋጋ x 0 እንደ ቋሚ, እና አዲሱ እሴት ይቆጠራል x- ተለዋዋጭ. ከዚያም y 0 = ረ(x 0 ) ወደ ቋሚነት ይለወጣል, እና y = f(x)- ተለዋዋጭ. ጭማሪዎች Δyእና Δxእንዲሁም ተለዋዋጮች ይሆናሉ እና ቀመር (1) እንደሚያሳየው ዳይየተለዋዋጭ ተግባር ነው። Δx.

የተግባር መጨመር እና የክርክሩ መጨመር ጥምርታ እንፍጠር

የዚህን ጥምርታ ወሰን በ Δx→0. ይህ ገደብ ካለ, ከዚያም የዚህ ተግባር አመጣጥ ይባላል ረ(x)ነጥብ ላይ x 0 እና አመልክት። ረ "(x 0) ስለዚህ፣

መነሻይህ ተግባር y = f(x)ነጥብ ላይ x 0 የተግባር ጭማሪ ጥምርታ Δ ገደብ ይባላል yወደ ክርክሩ መጨመር Δ x፣ የኋለኛው በዘፈቀደ ወደ ዜሮ ሲሄድ።

ለተመሳሳይ ተግባር ተዋጽኦው በ ውስጥ መሆኑን ልብ ይበሉ የተለያዩ ነጥቦች xየተለያዩ እሴቶችን መውሰድ ይችላል, ማለትም. ተዋጽኦው እንደ የክርክሩ ተግባር ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል። x. ይህ ተግባር የተሰየመ ነው። ረ "(x)

ተዋጽኦው በምልክቶቹ ይገለጻል። ረ "(x)፣ y ", . የተወሰነ ትርጉምተዋጽኦ በ x = ሀበ ተጠቁሟል ረ "(ሀ) ወይም y "| x=a.

የአንድ ተግባር ተወላጅ የማግኘት ተግባር ረ(x)የዚህ ተግባር ልዩነት ይባላል.

ተዋጽኦውን በቀጥታ በትርጉም ለማግኘት የሚከተሉትን መጠቀም ይችላሉ። የአውራ ጣት ደንብ:

ምሳሌዎች።

የመነጩ መካኒካል ስሜት

ሕጉ እንደሆነ ከፊዚክስ የታወቀ ነው። ወጥ እንቅስቃሴመምሰል s = v t፣ የት ኤስ- መንገዱ እስከ ጊዜ ድረስ ተጉዟል ቲ, ቁ- የአንድ ወጥ እንቅስቃሴ ፍጥነት።

ቢሆንም, ምክንያቱም በተፈጥሮ ውስጥ የሚከሰቱ አብዛኛዎቹ እንቅስቃሴዎች ያልተስተካከሉ ናቸው, ከዚያም በአጠቃላይ ፍጥነት, እና, በዚህም ምክንያት, ርቀቱ ኤስበጊዜው ይወሰናል ቲ፣ ማለትም እ.ኤ.አ. የጊዜ ተግባር ይሆናል።

ስለዚህ በሕጉ መሠረት አንድ የቁሳቁስ ነጥብ በአንድ አቅጣጫ ወደ አንድ ቀጥተኛ መስመር ይሂድ s=s(t)።

የተወሰነ ነጥብ በጊዜ ላይ ምልክት እናድርግ ቲ 0 . በዚህ ጊዜ ነጥቡ መንገዱን አልፏል s=s(t 0 ). ፍጥነቱን እንወስን ቁየቁሳቁስ ነጥብ በጊዜ ውስጥ ቲ 0 .

ይህንን ለማድረግ በጊዜ ውስጥ ሌላ ነጥብ እንመልከት ቲ 0 + Δ ቲ. ከተጓዥው መንገድ ጋር ይዛመዳል s = ሰ (ቲ 0 + Δ ቲ). ከዚያም በተወሰነ ጊዜ ውስጥ Δ ቲነጥቡ በ Δs መንገድ ተጉዟል = ሰ (ቲ 0 + Δ ቲ)–ኤስ (ቲ)

አመለካከቱን እናስብ። በጊዜ ክፍተት ውስጥ አማካይ ፍጥነት ይባላል ቲ. አማካይ ፍጥነት በአሁኑ ጊዜ የአንድን ነጥብ እንቅስቃሴ ፍጥነት በትክክል ሊያመለክት አይችልም ቲ 0 (እንቅስቃሴው ያልተስተካከለ ስለሆነ). ይህንን ትክክለኛ ፍጥነት በመጠቀም የበለጠ በትክክል ለመግለጽ አማካይ ፍጥነት, አጭር ጊዜ Δ መውሰድ ያስፈልግዎታል ቲ.

ስለዚህ ፣ የእንቅስቃሴው ፍጥነት በዚህ ቅጽበትጊዜ ቲ 0 (ቅጽበታዊ ፍጥነት) በአማካይ የፍጥነት ገደብ ከ ቲ 0 ወደ ቲ 0 +Δ ቲ, መቼ Δ ቲ→0:

,

እነዚያ። ያልተስተካከለ ፍጥነትይህ በጊዜ ረገድ የተጓዘው ርቀት መነሻ ነው.

የመነጩ ጂኦሜትሪክ ትርጉም

በመጀመሪያ የታንጀንት ፍቺን በተወሰነ ነጥብ ላይ ወደ ኩርባ እናስተዋውቅ።

በላዩ ላይ ጠመዝማዛ እና ቋሚ ነጥብ ይኑረን ኤም 0(ሥዕሉን ተመልከት) ኤምይህ ኩርባ እና ሴካንት ይሳሉ ኤም 0 ሚ. ነጥቡ ከሆነ ኤምበኩርባው ላይ መንቀሳቀስ ይጀምራል, እና ነጥቡ ኤም 0እንቅስቃሴ አልባ ሆኖ ይቆያል፣ ከዚያም ሴካኑ ቦታውን ይለውጣል። የነጥቡ ገደብ በሌለው ግምት ከሆነ ኤምከጥምዝ ጋር ወደ አንድ ነጥብ ኤም 0በየትኛውም ጎን ሴካኑ የአንድ የተወሰነ ቀጥተኛ መስመር ቦታ የመያዝ አዝማሚያ አለው ኤም 0 ቲ፣ ከዚያ ቀጥታ ኤም 0 ቲበተወሰነ ቦታ ላይ ታንጀንት ወደ ኩርባ ይባላል ኤም 0.

ያ.፣ ታንጀንትበተሰጠው ነጥብ ላይ ወደ ኩርባው ኤም 0የሴኬቱ ገደብ አቀማመጥ ይባላል ኤም 0 ሚመቼ ነጥብ ኤምኩርባውን ወደ አንድ ነጥብ ያዞራል። ኤም 0.

አሁን ቀጣይነት ያለውን ተግባር እንመልከት y=f(x)እና ከዚህ ተግባር ጋር የሚዛመደው ኩርባ. በተወሰነ ዋጋ X 0 ተግባር ዋጋ ይወስዳል y 0 = f(x 0)።እነዚህ እሴቶች x 0 እና yበመጠምዘዣው ላይ 0 ከአንድ ነጥብ ጋር ይዛመዳል M 0 (x 0; y 0)ክርክሩን እንስጥ x 0መጨመር Δ X. የክርክሩ አዲስ እሴት ከተግባሩ ጭማሪ እሴት ጋር ይዛመዳል y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ x). ነጥቡን አግኝተናል ኤም (x 0+Δ x; y 0+Δ y)ሴኮንድ እንሳል ኤም 0 ሚእና በ φ በሴኮንድ የተሰራውን አንግል ከዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር ያመለክታሉ ኦክስ. ዝምድና እንፍጠር እና ያንን እናስተውል .

አሁን Δ ከሆነ x→0, ከዚያም በተግባሩ Δ ቀጣይነት ምክንያት በ→ 0, እና ስለዚህ ነጥቡ ኤም, ከርቭ ጋር መንቀሳቀስ, ያለ ገደብ ወደ ነጥቡ ይቀርባል ኤም 0. ከዚያም ሴካንት ኤም 0 ሚየታንጀንት ቦታን ወደ ነጥቡ ወደ ኩርባ የመውሰድ አዝማሚያ ይኖረዋል ኤም 0, እና አንግል φ→α በ Δ x→0፣ α በታንጀንት እና በዘንጉ አወንታዊ አቅጣጫ መካከል ያለውን አንግል የሚያመለክት ነው። ኦክስ. ተግባሩ ታን φ ያለማቋረጥ በ φ ለ φ≠π/2 ላይ የሚመረኮዝ ስለሆነ ፣ ከዚያ ለ φ→α tan φ → tan α እና ፣ ስለሆነም ፣ የታንጀሉ ቁልቁል እንደሚከተለው ይሆናል ።

እነዚያ። ረ"(x)= tg α

ስለዚህ, በጂኦሜትሪ y" (x 0)በነጥቡ ላይ ያለውን የዚህን ተግባር ግራፍ ወደ የታንጀንት ቁልቁል ይወክላል x 0፣ ማለትም እ.ኤ.አ. በ የተሰጠው ዋጋክርክር x, ተዋጽኦው በታንጀንት ከተሰራው የማዕዘን ታንጀንት ወደ ተግባሩ ግራፍ ጋር እኩል ነው። ረ(x)በተገቢው ቦታ ላይ M 0 (x; y)ከአዎንታዊ ዘንግ አቅጣጫ ጋር ኦክስ.

ለምሳሌ.አግኝ ተዳፋትታንጀንት ወደ ኩርባ y = x 2 ነጥብ ላይ ኤም(-1; 1).

ቀደም ሲል አይተናል ( x 2)" = 2X. ነገር ግን የታንጀንት እስከ ከርቭ ያለው የማዕዘን መጠን ታን α = ነው። y" | x=-1 = - 2.

የተግባሮች ልዩነት። የተለያየ ተግባር ቀጣይነት

ተግባር y=f(x)ተብሎ ይጠራል ሊለያይ የሚችልበሆነ ወቅት x 0 በዚህ ነጥብ ላይ የተወሰነ ተዋጽኦ ካለው፣ ማለትም. የግንኙነቱ ወሰን ካለ እና ካለቀ።

በአንድ የተወሰነ ክፍል በእያንዳንዱ ነጥብ ላይ አንድ ተግባር ሊለያይ የሚችል ከሆነ [ ሀ; ለ] ወይም ክፍተት ( ሀ; ለ), ከዚያም እሷ ይላሉ ሊለያይ የሚችልክፍል ላይ [ ሀ; ለ] ወይም እንደቅደም ተከተላቸው፣ በጊዜ መካከል ( ሀ; ለ).

የሚከተለው ንድፈ ሐሳብ ትክክለኛ ነው, በተለዋዋጭ እና ቀጣይ ተግባራት መካከል ያለውን ግንኙነት መመስረት.

ቲዎረም.ተግባሩ ከሆነ y=f(x)በአንድ ወቅት ሊለያይ የሚችል x 0, ከዚያም በዚህ ጊዜ ቀጣይ ነው.

ስለዚህ, ከተግባር ልዩነት, ቀጣይነቱ ይከተላል.

ማረጋገጫ. ከሆነ ፣ ያ

,

α ማለቂያ የሌለው ብዛት ባለበት፣ ማለትም እንደ Δ ወደ ዜሮ የሚሄድ መጠን x→0. ግን ከዚያ

Δ y=ረ "(x 0) Δ x+αΔ x=> Δ y→0 በ Δ x→0፣ ማለትም ረ(x) – ረ(x 0)→0 በ x→x 0, ይህም ማለት ተግባሩ ማለት ነው ረ(x)በአንድ ነጥብ ላይ ቀጣይነት ያለው x 0 . ጥ.ኢ.ዲ.

ስለዚህ, ተግባሩ በማቋረጥ ነጥቦች ላይ አመጣጥ ሊኖረው አይችልም. ተቃራኒው እውነት አይደለም፡ በአንዳንድ ነጥቦች የማይለያዩ ቀጣይነት ያላቸው ተግባራት አሉ (ይህም በእነዚህ ነጥቦች ላይ መነሻ የሌለው)።

በሥዕሉ ላይ ያሉትን ነጥቦች አስቡባቸው a, b, c.

ነጥብ ላይ ሀበ Δ x→0 ጥምርታ ገደብ የለውም (የአንድ-ጎን ገደቦች ለ Δ ስለሚለያዩ x→0-0 እና Δ x→0+0) ነጥብ ላይ ሀግራፍ ምንም የተገለጸ ታንጀንት የለም፣ ነገር ግን ሁለት የተለያዩ ባለአንድ መንገድ ታንጀቶች ተዳፋት ያላቸው አሉ። ለ 1 እና ለ 2. ይህ ዓይነቱ ነጥብ የማዕዘን ነጥብ ይባላል.

ነጥብ ላይ ለበ Δ x→0 ግንኙነት ላልተወሰነ ጊዜ የማያቋርጥ ምልክት ነው። ትልቅ መጠን. ተግባሩ ማለቂያ የሌለው መነሻ አለው። በዚህ ጊዜ ግራፉ ቀጥ ያለ ታንጀንት አለው. የነጥብ አይነት - የቋሚ ታንጀንት "የመግጠሚያ ነጥብ".

ነጥብ ላይ ሐአንድ-ጎን ተዋጽኦዎች እጅግ በጣም ብዙ መጠን ያላቸው የተለያዩ ምልክቶች ናቸው። በዚህ ጊዜ ግራፉ ሁለት የተዋሃዱ ቀጥ ያሉ ታንጀሮች አሉት. ይተይቡ - "መመለሻ ነጥብ" በአቀባዊ ታንጀንት - ልዩ ጉዳይየማዕዘን ነጥብ.