ተመጣጣኝ ክፍሎች
የመመሳሰል ጽንሰ-ሐሳብን ለማስተዋወቅ በመጀመሪያ ጽንሰ-ሐሳቡን ማስታወስ አለብን ተመጣጣኝ ክፍሎች. የሁለት ክፍሎች ጥምርታ ፍቺንም እናስታውስ።
ፍቺ 1
የሁለት ክፍሎች ጥምርታ የርዝመታቸው መጠን ነው.
የክፍሎች ተመጣጣኝነት ጽንሰ-ሐሳብም ተግባራዊ ይሆናል ተጨማሪክፍሎች. ለምሳሌ $AB=2$፣$CD=4$፣$A_1B_1=1$፣$C_1D_1=2$፣$A_2B_2=4$፣$C_2D_2=8$፣ እንግዲያውስ
ይኸውም $AB$፣ $A_1B_1$፣ $\A_2B_2$ ክፍሎቹ ከ$CD$፣ $C_1D_1$፣ $C_2D_2$ ጋር ተመጣጣኝ ናቸው።
ተመሳሳይ ትሪያንግሎች
በመጀመሪያ የመመሳሰል ጽንሰ-ሐሳብ በአጠቃላይ ምን እንደሚያመለክት እናስታውስ.
ፍቺ 3
አሃዞች ካላቸው ተመሳሳይ ይባላሉ ተመሳሳይ ቅርጽ, ግን የተለያዩ መጠኖች.
አሁን ጽንሰ-ሐሳቡን እንረዳው ተመሳሳይ ትሪያንግሎች. ምስል 1ን ተመልከት።
ምስል 1. ሁለት ትሪያንግሎች
እነዚህ ትሪያንግሎች $\angle A=\angle A_1፣\\angle B=\angle B_1፣\\angle C=\angle C_1$ ይኑራቸው። የሚከተለውን ፍቺ እናስተዋውቅ።
ፍቺ 4
የእነዚህ ሦስት መአዘኖች እኩል ማዕዘኖች ተቃራኒ ከሆኑ የሁለት ትሪያንግል ጎኖች ተመሳሳይ ይባላሉ።
በስእል 1፣ $ AB$ እና $A_1B_1$፣ $BC$ እና $B_1C_1$፣ $AC$ እና $A_1C_1$ ተመሳሳይ ናቸው። አሁን ተመሳሳይ ትሪያንግሎችን ፍቺ እናስተዋውቅ.
ፍቺ 5
የአንድ ትሪያንግል ማዕዘኖች ሁሉ ማዕዘኖች ከሌላው ማዕዘኖች እና ትሪያንግል ጋር እኩል ከሆኑ ሁለት ትሪያንግሎች ተመሳሳይ ይባላሉ ፣ እና የእነዚህ ሶስት ማዕዘኖች ተመሳሳይ ጎኖች ሁሉ ተመጣጣኝ ከሆኑ ፣ ማለትም ፣
\[\ አንግል ሀ = \ አንግል A_1 ፣ \ \ አንግል B = \ አንግል B_1 ፣ \ \ አንግል C = \ አንግል C_1 ፣ \] \ [\ frac (AB) (A_1B_1) = \ frac (BC) ((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]
ምስል 1 ተመሳሳይ ትሪያንግሎችን ያሳያል.
ስያሜ፡ $ABC\sim A_1B_1C_1$
ለተመሳሳይነት ፅንሰ-ሃሳብ, ተመሳሳይነት ኮፊፊሸን ጽንሰ-ሐሳብም አለ.
ትርጉም 6
ቁጥር $k$ ከተመሳሳይ ጎኖች ጥምርታ ጋር እኩል ነው። ተመሳሳይ አሃዞችየእነዚህ አኃዞች ተመሳሳይነት ኮፊሸን ይባላል።
ተመሳሳይ የሶስት ማዕዘን ቦታዎች
አሁን በተመሳሳዩ ትሪያንግሎች አከባቢዎች ጥምርታ ላይ ያለውን ንድፈ ሃሳብ እንመልከት.
ቲዎሪ 1
የሁለት ተመሳሳይ ትሪያንግሎች አከባቢዎች ጥምርታ ከተመሳሳይ ኮፊሸንት ካሬ ጋር እኩል ነው, ማለትም
\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]
ማረጋገጫ።
ሁለት ተመሳሳይ ትሪያንግሎችን እንይ እና አካባቢያቸውን እንደ ቅደም ተከተላቸው $S$ እና $S_1$ እናሳይ (ምሥል 2)።
ምስል 2.
ይህንን ጽንሰ ሐሳብ ለማረጋገጥ፣ የሚከተለውን ንድፈ ሐሳብ አስታውስ፡-
ቲዎሪ 2
የአንድ ትሪያንግል አንግል ከሁለተኛው ትሪያንግል አንግል ጋር እኩል ከሆነ አካባቢዎቻቸው ከዚህ አንግል አጠገብ ካሉት የጎን ውጤቶች ጋር ይዛመዳሉ።
ትሪያንግሎች $ABC$ እና $A_1B_1C_1$ ስለሚመሳሰሉ፣በመግለጫው፣$\angle A=\angle A_1$። ከዚያም፣ በቲዎረም 2፣ ያንን እናገኛለን
ከ$\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$ ጀምሮ፣ እናገኛለን
ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.
ከሶስት ማዕዘን ተመሳሳይነት ጽንሰ-ሐሳብ ጋር የተያያዙ ችግሮች
ምሳሌ 1
ተመሳሳይ ትሪያንግሎች ሲሰጡ $ABC$ እና $A_1B_1C_1።$ የመጀመሪያው ትሪያንግል ጎኖች $AB=2፣\ BC=5፣\ AC=6$ ናቸው። የእነዚህ ትሪያንግሎች ተመሳሳይነት መጠን $k=2$ ነው። የሁለተኛውን ትሪያንግል ጎኖቹን ያግኙ.
መፍትሄ።
ይህ ችግር ሁለት መፍትሄዎች አሉት.
ይሁን $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$።
ከዚያም $A_1B_1=kAB፣\(B_1C)_1=kBC፣\ A_1C_1=kAC$።
ስለዚህ፣ $A_1B_1=4፣\ (B_1C)_1=10፣\ A_1C_1=12$
ፍቀድ $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$
ከዚያም $A_1B_1=\frac(AB)(k)፣\(B_1C)_1=\frac(BC)(k)፣\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$።
ስለዚህ፣ $A_1B_1=1፣\ (B_1C)_1=2.5፣\\ A_1C_1=3$።
ምሳሌ 2
ተመሳሳይ ትሪያንግል ከተሰጠው $ABC$ እና $A_1B_1C_1።$ የመጀመሪያው ትሪያንግል ጎን $AB=2$ ነው፣የሁለተኛው ትሪያንግል ተዛማጅ ጎን $A_1B_1=6$ ነው። የመጀመሪያው ትሪያንግል ቁመት $CH=4$ ነው። የሁለተኛውን ትሪያንግል ቦታ ይፈልጉ።
መፍትሄ።
ትሪያንግሎች $ABC$ እና $A_1B_1C_1$ ተመሳሳይ ስለሆኑ $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$።
የመጀመሪያውን ሶስት ማዕዘን ቦታ እንፈልግ.
በቲዎረም 1፣ እኛ አለን።
\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\]
ምዕራፍ ስምንተኛ.
የመጠን ተመጣጣኝነት. የምስሎች ተመሳሳይነት.
§ 92. ተመሳሳይ ምስሎች አካባቢ ሬሾ.
1. የካሬዎች አከባቢዎች ጥምርታ.
የሁለት ካሬዎች አከባቢዎች ጥምርታ ግምት ውስጥ ያስገቡ. የአንድ ካሬ ጎን በ ቲ, እና በሌላ በኩል - በኩል ፒ, ከዚያም አከባቢዎቹ በቅደም ተከተል እኩል ይሆናሉ
ቲ 2 እና ፒ 2 (ሥዕል 379)።
የመጀመሪያውን ካሬ ስፋት በ S ፣ እና የሁለተኛውን ቦታ በ S ፣ እኛ እናገኛለን: S / S" = ኤም 2 / n 2, ማለትም የካሬዎቹ ቦታዎች ከጎኖቻቸው ካሬዎች ጋር የተያያዙ ናቸው.
የተገኘው ቀመር እንደሚከተለው ሊለወጥ ይችላል-S / S" = ( ኤም / n) 2 .
ይህ ማለት የሁለት ካሬዎች አከባቢዎች ጥምርታ ከጎኖቻቸው ጥምርታ ካሬ ጋር እኩል ነው ማለት እንችላለን.
በስእል 379, የካሬዎቹ ጎኖች ጥምርታ 3 ነው, የአካባቢያቸው ጥምርታ ነው
3 2 = 9.
2. የሁለት ተመሳሳይ ትሪያንግሎች ቦታዎች ሬሾ.
ፍቀድ /\
ኢቢሲ /\
A"B"C" (ምስል 380) ከሦስት ማዕዘናት ተመሳሳይነት ይከተላል
/
ሀ= /
ሀ" /
ለ = /
ለ" እና /
ሐ = /
ሐ. በተጨማሪም AB / A "B" = BC / B "C" = AC / A "C".
በእነዚህ ትሪያንግሎች ውስጥ፣ ከጫፍ B እና B" ከፍታዎችን እንሳል እና በእነርሱ እንጠቁማለን። ሸእና ሸ"የመጀመሪያው ትሪያንግል ስፋት ከ AC ጋር እኩል ይሆናል ሸ/ 2, እና የሁለተኛው ትሪያንግል ስፋት ኤ "ሲ" ነው. ሰ" / 2 .
የመጀመሪያውን ትሪያንግል በ S ፣ እና የሁለተኛውን ቦታ በ S በመጥቀስ: S / S" = AC እናገኛለን ሸ/አ"ሲ" ሰ"ወይም S/S" = AC/A"C" ሸ / ሰ"
ከሶስት ማዕዘኖች ተመሳሳይነት ABO እና A"B"O" (እነሱ ተመሳሳይ ናቸው ምክንያቱም አራት ማዕዘን ቅርፅ አላቸው, እና በተጨማሪ, እኩል ናቸው. ሹል ጥግ፣ ማለትም /
ሀ= /
ሀ) እንደሚከተለው
ሸ / ሰ"= AB / A "B" . ግን AB / A "B" = AC / A "C". ስለዚህም እ.ኤ.አ. ሸ / ሰ"= AC / A "C" . በቀመር S / S" = AC / A"C" መተካት ሸ / ሰ"አመለካከት ሸ / ሰ"ከ AC / A "C" ጥምርታ ጋር እኩል ነው ፣ እኛ እናገኛለን-
S / S" = AC / A"C" AC / A"C" ወይም .
ስለዚህ፣ ተመሳሳይ የሶስት ማዕዘኖች ቦታዎች ልክ እንደ ተመሳሳይ ጎኖች ካሬዎች ይዛመዳሉ .
የተገኘው ቀመር እንደሚከተለው ሊለወጥ ይችላል-S / S" = (AC / A "C") 2.
ይህ ማለት የሁለት ተመሳሳይ ትሪያንግል ቦታዎች ሬሾ ከተመሳሳይ ጎኖቻቸው ጥምርታ ካሬ ጋር እኩል ነው ማለት እንችላለን።
3. የቦታ ጥምርታ ተመሳሳይ ፖሊጎኖች.
ABCDE እና A"B"C"D"E" ተመሳሳይ ፖሊጎኖች ይሁኑ (ምስል 381)።
መሆኑ ይታወቃል /\
ኢቢሲ /\
ኤ "ቢ" ሲ"; /\
ኤሲዲ /\
A"C"D" እና /\
ADE /\
A"D"E" (§90)።
ከዚህም በተጨማሪ እ.ኤ.አ.
;
የእነዚህ መጠኖች ሁለተኛ ሬሾዎች እኩል ስለሆኑ ከፖሊጎኖች ተመሳሳይነት ይከተላል, ከዚያም
ተከታታይ ንብረቱን መጠቀም እኩል ግንኙነቶችእናገኛለን:
ወይም 
የት S እና S" የእነዚህ ተመሳሳይ ፖሊጎኖች አካባቢዎች ናቸው።
ስለዚህም እ.ኤ.አ. ተመሳሳይ የ polygons ቦታዎች ልክ እንደ ተመሳሳይ ጎኖች ካሬዎች ይዛመዳሉ.
የተገኘው ቀመር ወደዚህ ቅጽ ሊቀየር ይችላል፡ S / S = (AB / A "B") 2
መልመጃዎች.
1. የመጀመሪያው ካሬ ጎን ተጨማሪ ጎኖችሁለተኛው ካሬ በ 2 ጊዜ (5 ጊዜ)። የመጀመሪያው ካሬ አካባቢ ስንት ጊዜ ተጨማሪ አካባቢሁለተኛ ካሬ?
2. የመጀመሪያው ካሬ ጎን ከሁለተኛው ካሬ ጎን 1/3 (0.1) ነው. የሁለተኛው ካሬ ስፋት ምን ያህል ክፍልፋይ ነው?
3. በተመሳሳዩ ፖሊጎኖች ውስጥ ያለው ተመሳሳይነት መጠን 4 (1/5; 0.4; 2.5) ነው. የአካባቢያቸው ጥምርታ ምን ያህል ነው?
4. ተመሳሳይ የ polygons አከባቢዎች ጥምርታ 36 (100; 0.09) ነው. የእነዚህ ፖሊጎኖች ተመሳሳይ ጎኖች ጥምርታ ምን ያህል ነው?
ሁለት አሃዞች F F እና F `F `ተመሳሳይ ተብለው ይጠራሉ በተመሣሣይነት ለውጥ፣ ማለትም፣ በሁለት ነጥቦች መካከል ያለው ርቀት የሚለዋወጥበት (የሚጨምር ወይም የሚቀንስ) በተመሣሣይ ቁጥር ነው። የF F እና F `F` አሃዞች ተመሳሳይ ከሆኑ፣ F ~ F `F\sim F` እንጽፋለን እናስታውስ። የሶስት ማዕዘኑ ተመሳሳይነት በሚለው መግለጫ ∆ A B C ~ ∆ A 1 B 1 C 1 \ triangle ABC \ sim \ triangle A_1B_1C_1 በተመሳሳዩ ትራንስፎርሜሽን የተጣመሩ ጫፎች በተዛማጅ ቦታዎች ላይ እንደሆኑ ይታሰባል ።ማለትም A A ወደ A 1 A_1, B B - ወደ B 1 B_1, C C - ወደ C 1 C_1 ይገባል. ከተመሳሳይነት ለውጥ ባህሪያት ውስጥ ይከተላል ለተመሳሳይ አሃዞች, ተጓዳኝ ማዕዘኖች እኩል ናቸው, እና ተጓዳኝ ክፍሎቹ ተመጣጣኝ ናቸው.በተለይም ∆ A B C ~ ∆ A 1 B 1 C 1 \triangle ABC\sim\triangle A_1B_1C_1 ከሆነ
∠ A = ∠ A 1, ∠ B = ∠ B 1, ∠ C = ∠ C 1, A B A 1 B 1 = B C B 1 C 1 = A C A 1 C 1 \ angle A=\angle A_1,\;\angle B=\ አንግል B_1፣\;\angle C=\angle C_1፣\;\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)(B_1C_1)=\frac(AC)(A_1C_1)
የሶስት ማዕዘን ተመሳሳይነት ምልክቶች
ሁለት ትሪያንግሎች ተመሳሳይ ናቸው፡-
- 1) የአንዱ ሁለት ማዕዘኖች ከሌላው ሁለት ማዕዘኖች ጋር እኩል ከሆኑ;
- 2) የአንዱ ሁለት ጎኖች ከሌላው ሁለት ጎኖች ጋር ተመጣጣኝ ከሆኑ እና በእነዚህ ጎኖች የተሠሩት ማዕዘኖች እኩል ከሆኑ;
- 3) የአንድ ትሪያንግል ሶስት ጎኖች ከሌላው ሶስት ጎን ጋር ተመጣጣኝ ከሆኑ።
ተመሳሳይነት ባህሪያት ችግሮችን ለመፍታት ለመጠቀም ምቹ የሆኑ መግለጫዎችን ያካትታሉ፡
1°ከሶስት ማዕዘን ጎኖች ጋር ትይዩ የሆነ ቀጥተኛ መስመር እና ሌሎቹን ሁለቱን ወደ ውስጥ ያገናኛል። የተለያዩ ነጥቦች, ከዚህ ጋር ተመሳሳይ የሆነ ሶስት ማዕዘን ይቆርጣል.
| ሩዝ. 5 |
2° ከአንድ ትሪያንግል ጎን ትይዩ የሆነ ቀጥተኛ መስመር እና ሁለቱን ጎኖቹን በማቆራረጥ ከእነዚህ ጎኖች ጋር ተመጣጣኝ ክፍሎችን ይቆርጣል ማለትም M N | | A C MN||AC (ምስል 5)፣ ከዚያ
m n = p q = m + p n +q \frac mn=\frac pq=\frac(m+p)(n+q)
3°ቀጥ ያለ መስመር የሶስት ማዕዘን ሁለት ጎኖችን ካቋረጠ እና ተመጣጣኝ ክፍሎችን በላያቸው ላይ ከቆረጠ ከሦስተኛው ወገን ጋር ትይዩ ነው ፣ ማለትም (ምስል 5 ይመልከቱ)
m n = m + p n +q \frac mn=\frac(m+p)(n+q) ወይም m n = p q \frac mn=\frac pq,
ከዚያ ኤምኤን ኤምኤን ከኤሲኤሲ ጋር ትይዩ ነው (ማስረጃው የተሰጠው ለ9ኛ ክፍል በተሰጠበት ምድብ) ነው።
 |
| ሩዝ. 6 |
ከመሠረቶቹ ጋር ትይዩ ባለው የ ትራፔዞይድ ዲያግራኖች መገናኛ ነጥብ በኩል የሚያልፈው ቀጥተኛ መስመር ይቋረጣል ጎኖችትራፔዞይድ በ ነጥቦች M M እና N N. የ trapezoid መሠረቶች ከ a እና b b ጋር እኩል ከሆኑ የክፍሉን ርዝመት ይፈልጉ።
Δ O O የ trapezoid ዲያግራኖች መገናኛ ነጥብ (ምስል 6) ይሁን. እንጥቀስ፡
A D = a, B C = b, M O = x, B O = p, O D = q. AD=a,\;BC=b,\;MO=x,\;BO=p,\;OD=q.
111 1 . B C ~ A D △ B O C ~ △ D O A (ከጭንቅላቱ ስር) ⇒ b a = p q 1.\;\ግራ \(\ጀማሪ(ድርድር)(l)BC\sim AD \\\bigtriangleup BOC \sim\bigtriangleup DOA\;( በ\;ሁለት\;አንግል)\መጨረሻ(ድርድር)\ቀኝ\ቀኝ ቀስት\frac ba=\frac pq
2. M O ~ A D △ M B O ~ △ A B D ⇒ x a = p p + q 2.\;\ግራ \(\ጀማሪ(ድርድር)(l)MO\sim AD \\\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABD\end(array)\ ቀኝ።\ቀኝ ቀስት\frac xa=\frac p(p+q)
ከ (1) እና (2) x = a p p + q = q p / q p / q + 1 = a b a + b ⇒ M O = a b a + b ይከተላል። x=a\frac p(p+q)=q\frac(p/q)(p/q+1)=\frac(ab)(a+b)\ቀኝ ቀስት MO=\frac(ab)(a+ b) ).
በተመሳሳይ N O = a b a + b ⇒ M N = 2 a b a + b NO=\frac(ab)(a+b)\rightarrow MN=\frac(2ab)(a+b) መሆኑን እናስቀምጣለን።
የዚህ ችግር ውጤት, ለማንኛውም ትራፔዞይድ ትክክለኛ መግለጫ, መታወስ አለበት. ▲
ከሥዕሎች ተመሳሳይነት ፍቺ ፣ በተመሳሳዩ አሃዞች ውስጥ ሁሉም ተዛማጅ መስመራዊ አካላት ተመጣጣኝ ናቸው። ስለዚህ፣ ተመሳሳይ ትሪያንግሎች ፔሪሜትር ጥምርታ ከተዛማጅ ጎኖች ርዝመት ጥምርታ ጋር እኩል ነው።ወይም ፣ ለምሳሌ ፣ በተመሳሳይ ትሪያንግሎች ውስጥ ፣ የተቀረጹ ክበቦች ራዲየስ ሬሾ (እንዲሁም የተከበቡ ክበቦች) ከተዛማጅ ጎኖች ርዝመት ሬሾ ጋር እኩል ነው። ይህ አስተያየት ቀጣዩን ችግር ለመፍታት ይረዳናል.
 |
| ሩዝ. 7 |
በቀኝ ትሪያንግል A B C ABC ከ vertex C C ቀኝ ማዕዘንቁመት C ዲ ሲዲ ተስሏል (ምስል 7). በሦስት ማዕዘኖች A C D ACD እና BC D BCD ውስጥ የተቀረጹ የክበቦች ራዲየስ በቅደም ተከተል r 1 r_1 እና r 2r_2 እኩል ናቸው። በሶስት ማዕዘን A B C ABC የተቀረጸውን የክበብ ራዲየስ ያግኙ።
Δ የሚፈለገውን ራዲየስ r r, A B = c AB=c, A C = b AC=b, B C = a BC=a አዘጋጅ. ከመመሳሰል የቀኝ ትሪያንግሎችኤ ሲ ዲ ኤሲዲ እና ኤ ቢ ሲ ኤቢሲ (አላቸው እኩል ማዕዘኖችበ vertex A A) እኛ r r 1 = c b \ frac r (r_1) = \ frac cb , ከየት b = r 1 r c b = \ frac (r_1) rc አለን. የቀኝ ትሪያንግሎች B C D BCD እና B A C BAC እንዲሁ ተመሳሳይ ናቸው፣ ስለዚህ r r 2 = c a \frac r(r_2)=\frac ca , - ከየት ነው a = r 2 r c a=\frac(r_2)rc . ከ 2 + b 2 = c 2 a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 ጀምሮ, አገላለጾቹን ለ a እና b b ን በማጣመር እና በመጨመር, r 1 r 2 c 2 + r 2 r 2 c 2 = c እናገኛለን. 2 ⇒ r 1 2 + r 2 2 r 2 = 1 \ ግራ(\frac(r_1)r\ቀኝ)^2c^2+\ግራ(\frac(r_2)r\ቀኝ)^2c^2=c^ 2 \;\ቀኝ ቀስት\frac(r_1^2+r_2^2)(r^2)=1. አግኝ r = r 1 2 + r 2 2 r=\sqrt(r_1^2+r_2^2)▲
ያንን እናስታውስህ ተመሳሳይ የምስሎች ቦታዎች ልክ እንደ ተጓዳኝ መስመራዊ አካላት ካሬዎች ጋር ይዛመዳሉ.ለሦስት ማዕዘኖች ይህ መግለጫ እንደሚከተለው ሊቀረጽ ይችላል- ተመሳሳይ የሶስት ማዕዘኖች አከባቢዎች ከተዛማጅ ጎኖች ካሬዎች ጋር ተመጣጣኝ ናቸው.በዚህ ርዕስ ላይ አንድ የተለመደ ችግር እንመልከት.
 |
| ሩዝ. 8 |
በሦስት ማዕዘኑ A B C ABC ውስጥ ባለው ነጥብ ኤም ኤም በኩል ሦስት መስመሮች ከጎኖቹ ጋር ትይዩ ይሳሉ። በዚህ ሁኔታ, ሶስት ማዕዘኖች ተፈጥረዋል (ምስል 8), ስፋቶቹ ከ S 1 S_1, S 2 S_2 እና S 3 S_3 ጋር እኩል ናቸው. የሶስት ማዕዘን ቦታን A B C ABC ያግኙ.
ትሪያንግሎች E K M EKM፣ M Q F MQF እና P M N PMN ከሶስት ማዕዘን A B C ABC ጋር ተመሳሳይ መሆናቸውን በቀላሉ ማየት ይቻላል።
ኤስ ኤስ የሶስት ማዕዘን ሀ ቢ ሲ ኤቢሲ አካባቢ ይሁን፣ እንግዲህ
S 1 S = E M A C 2; S 2 S = M F A C 2; S 3 S = P N A C 2 . \frac(S_1)S=\ግራ(\frac(EM)(AC)\right)^2;\;\frac(S_2)S=\ግራ(\frac(MF)(AC)\ቀኝ)^2; \;\frac(S_3)S=\ግራ(\frac(PN)(AC)\ቀኝ)^2።
ከየት ነው የምናገኘው?
E M = S 1 S A C , M F = S 2 S A C , P N = S 3 S A C . EM=\sqrt(\frac(S_1)S)AC፣\;MF=\sqrt(\frac(S_2)S)AC፣\;PN=\sqrt(\frac(S_3)S)AC።
እና ከ E M = A P , M F = N C ⇒ ኢ M + P N + M F = A P + P N + N C = A C EM=AP,\;MF=NC\ቀኝ EM+PN+MF=AP+PN+NC=AC .
ስለዚህም A C = A C * S 1 S + S 2 S + S 3 S ⇒ S = S 1 + S 2 + S 3 2 AC=AC\ast\ ግራ(\sqrt(\frac(S_1)S)+\ sqrt (\ frac (S_2) S 2. ▲
የሜዲያን, ከፍታዎች, የሶስት ጎንዮሽ ብስክሌቶች ባህሪያት
እዚህ በ9ኛ እና 10ኛ ክፍል በተመደብንበት፣ ተደጋጋሚ ቲዎሬሞች እና መግለጫዎች ተረጋግጠዋል። ለአንዳንዶቹ የማስረጃ መንገዶችን እናስታውሳለን, ነጥቦቻቸውን በማረጋገጥ እና የማብራሪያ ስዕሎችን እንሰጣለን.
ስለ ሚዲያን
 |
| ሩዝ. 9 |
ቲዎሪ 1.የሶስት ማዕዘኑ ሶስት መካከለኛዎች በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ እና የመገናኛ ነጥቡ እያንዳንዱን ሚዲያን በሬሾ ውስጥ ይከፍላል 2: 1 , ከላይ በመቁጠር.
ቲዎሬም 2. ሶስት ሚዲያን, እርስ በርስ መቆራረጥ, ትሪያንግል ወደ 6 ትሪያንግሎች ከጋራ ወርድ ጋር ይከፋፍሉት, ቦታዎቹ እርስ በርስ እኩል ናቸው.
(በሥዕሉ 9 ላይ የእያንዳንዱ 6 ትሪያንግል ስፋት ከጫፍ እና ከመሠረቱ ጋር ፣ ከግማሽ ጋር እኩል ነውጎን ከ 1 2 S A B C \frac12S_(ABC) ጋር እኩል ነው። የሜዲዲያን መገናኛ ነጥብ ይባላል የሶስት ማዕዘን የስበት ማዕከል.
ቲዎረም 3. ቢ ዲ ቢዲ የሶስት ማዕዘን መካከለኛ ይሁን
A B C (B C = a, A C = b, A B = c, B D = m a) ABC\;(BC=a,\;AC=b,\;AB=c,\;BD=m_a)ከዚያም
m c 2 = a 2 + b 2 2 - c 2 4 m_c^2=\frac(a^2+b^2)2-\frac(c^2)4 .(ማስረጃው በተመደበው §4 ውስጥ የበለጠ ተሰጥቷል)።
 |
| ሩዝ. 10 |
መካከለኛዎቹ A A 1 AA_1 የሶስት ማዕዘኑ A B C ABC ነጥብ O O, A A 1 = 12 AA_1=12 እና C C 1 = 6 CC_1=6 እና የሶስት ማዕዘኑ አንዱ ጎኖች 12. (ምስል 10) ይገናኛሉ. የሶስት ማዕዘን ቦታን A B C ABC ያግኙ.
Δ 1. በቲዎሬም 1 A O = 2 3 A A 1 = 8, C O = 2 3 C C 1 = 4 AO=\frac23AA_1=8, \;CO=\frac23CC_1=4 አለን.
በስእል 10 ውስጥ የሽምግልና ክፍሎችን ርዝመቶችን እናስተካክል. እንደ ሁኔታው, የሶስት ማዕዘን ጎኖች አንዱ ከ 12 ጋር እኩል ነው, ጎን A C AC ከ 12 ጋር እኩል ሊሆን አይችልም, አለበለዚያ A C = A O + O C AC = AO + OC - የሶስት ማዕዘን እኩልነት ተጥሷል. እንዲሁም ጎን A B AB ከ 12 ጋር እኩል ሊሆን አይችልም, ስለዚህ በዚህ ሁኔታ A C 1 = 6 AC_1=6 እና ትሪያንግል A O C 1 AOC_1 ከጎን 8, 2, 6 ጋር የለም. ይህ ማለት B C = 12 BC=12 እና A C 1 = 6 AC_1=6 ማለት ነው።
2. የሄሮን ቀመር በመጠቀም የሶስት ማዕዘኑን ቦታ ይፈልጉ፡-
p = 7, S A 1 O C = 7 * 1 * 3 * 3 = 3 7 p=7,\;S_(A_1OC)=\sqrt(7\ast1\ast3\ast3)=3\sqrt7.
በቲዎሬም 2፣ የሶስት ማዕዘን ሀ ቢ ሲ ኤቢሲ በ6 እጥፍ ይበልጣል፣ S A B C = 18 7 S_(ABC)=18\sqrt7 እናገኛለን።▲
ስለ ከፍታዎች
ቲዎረም 4. የሶስት ማዕዘኑ ከፍታዎች ወይም ሶስት ቀጥ ያሉ መስመሮች በአንድ ቦታ ላይ ከፍታዎች የተቀመጡባቸው ከፍታዎች. (ይህ ነጥብ የሶስት ማዕዘኑ ኦርቶሴንተር ይባላል።) ውስጥ አጣዳፊ ትሪያንግልየከፍታዎቹ መገናኛ ነጥብ በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ ይገኛል።
በከፍታ ላይ ያሉ ሁለት ሌማዎችም ተረጋግጠዋል
1ኛ ለማ.
A 1 AA_1 እና B B 1 BB_1 ትሪያንግል ሀ ቢ ሲ ኤቢሲ ከፍታ ከሆኑ፣ ትሪያንግል A 1 B 1 C A_1B_1C ከሶስት ማእዘን A B C ABC ጋር ተመሳሳይነት ያለው ኮፊሸን k = A 1 B 1 A B = cos C k=\frac(A_1B_1) (AB)= \ግራ|\cos C\right| . ይህ መግለጫ በሚከተለው መልኩ ሊቀረጽ ይችላል፡- የሁለት ከፍታ መሰረትን A A 1 AA_1 እና B B 1 BB_1 triangle A B C ABC ካገናኙት ከዚህ ጋር ተመሳሳይ የሆነ ትሪያንግል ይፈጠራል፡-∆ A 1 B 1 C ~ ∆ A B C \triangle A_1B_1C \sim\triangle ABC .
ከቀኝ ትሪያንግሎች A C A 1 ACA_1 ይከተላል A 1 C = A C * c o s C A_1C=AC*cosC or A 1 C = A C * c o s (180 ° - C) = A C cos C A_1C=AC\ast cos(180^\circ- C)=AC\ግራ|\cos C\right| (ምስል 11 ሀ, ለ), እና ከቀኝ ትሪያንግሎች B C B 1 BCB_1 ይከተላል B 1 C = B C * c o s C B_1C = BC * cosC ወይም B 1 C = B C * c o s (180 ° - C) = B C cos C B_1C = BC \ast cos(180^\circ-C)=BC\ግራ|\cos C\right| . የሚከተለው ምክንያት ግልጽ ነው።
 |
| ሩዝ. 13 |
ቁመቶቹ A A 1 AA_1 እና B B 1 BB_1 ነጥብ H H ላይ ይገናኛሉ (ምስል 13)፣ A H = 3 H A 1 AH=3HA_1 እና B H = H B 1 BH=HB_1። የ A C B ACB ጥግ እና የሶስት ማዕዘን ቦታን A B C ABC ያግኙ, A C = a AC = a.
Δ H A 1 = x ፣ H B 1 = y HA_1=x ፣\;HB_1=y ፣
1. ነጥብ H H - መካከለኛ ቁመት (ምስል 13). ክፍል ኤም ኤች ኤች ኤች ኤች ነጥቡን ካለፈ እና ከመሠረቶቹ ጋር ትይዩ ከሆነ ኤምኤን - መካከለኛ መስመር; M N = a / 2 MN=a/2 .
2. ∆ H A 1 N ~ ∆ A A 1 C ⇒ H N A C = x 4 x , H N = 1 4 a . \triangle HA_1N\sim\triangle AA_1C\rightarrow\frac(HN)(AC)=\frac x(4x)፣\;HN=\frac14a.\; ስለዚህ፣ M H = H N = a 4 MH=HN=\frac a4 እና A B 1 = B 1 C = a 2 AB_1=B_1C=\frac a2 Triangle A B C ABC isosceles, A B = B C AB=BC .
3. ∠ B 1 B C = 90 ° - ∠ C ⇒ ∠ B H A 1 = ∠ A H B 1 = ∠ C \ አንግል B_1BC=90^\circ-\ አንግል ሐ \ ቀኝ ቀስት \ አንግል BHA_1 = \ አንግል AHB_1= \ አንግል ሐ ፣እና በሁለተኛው ለማ ስለ ከፍታዎች A H * H A 1 = B H * H B 1 AH*HA_1=BH*HB_1 ማለትም 3 x 2 = y 2, y = x 3 3x^2=y^2,\;y=x \sqrt3 .
4. △ A H B 1፡ A B 1 2 = (3 x) 2 - y 2, a 2 4 = 6 x 2, x = a 2 6, y = a 2 2 ⇒ ⇒ S A B C = 1 2 A C * B B 1 = a y = a 2 2 4 \መጀመር(ድርድር)(l)\ bigtriangup AHB_1:\;AB_1^2=(3x)^2-y^2,\;\frac(a^2)4=6x^2,\; x=\frac a(2\sqrt6)፣\;y=\frac a(2\sqrt2)\ቀኝ ቀስት S_(ABC)=\frac12AC\ast BB_1=ay=\frac(a^2\sqrt2) 4\መጨረሻ(ድርድር)። ▲
ስለ ትሪያንግል ቢሴክተሮች
 |
| ሩዝ. 14 |
ቲዎሪ 5.የሶስት ጎንዮሽ አንግል ቢሴክተር ይከፈላል በተቃራኒው በኩልከአጎራባች ጎኖች ጋር ተመጣጣኝ ወደሆነ ክፍልፋዮች ማለትም A D AD የሶስት ጎንዮሽ ቢሴክተር ሀ ቢ ሲ ኤቢሲ (ምስል 14) ከሆነ፣ ከዚያ
B D D C = A B A C x y = c b \frac(BD)(DC)=\frac(AB)(AC)\;\ግራ(\frac xy=\frac cb\ቀኝ)
የሲን ቲዎረምን ወደ ትሪያንግል A D B ADB እና ADC ADC በመተግበር በቀላሉ ማስረጃውን እራስዎ ማድረግ ይችላሉ።
ቲዎሬም 6. ኤ ዲ ኤ ዲ የሶስት ማዕዘን ቢሴክተር ሀ ቢ ሲ ኤቢሲ (ምስል 14) ከዚያም A D = A B * A C - D B * D C AD=\sqrt(AB\ast AC-DB\ast DC) (በሥዕሉ መግለጫ ውስጥ) ይሁን። 14a) A D = b c - x y AD=\sqrt(bc-xy) .
 |
| ሩዝ. 14 ሀ |
□ ይህንን ጽንሰ ሐሳብ እናረጋግጣለን። በሦስት ማዕዘኑ ዙሪያ ያለውን ክብ A B C ABC እንግለጽ፣ እና የቀጥተኛው መስመር A D AD እና የክበቡን መገናኛ ነጥብ K K (ምስል 14 ሀ) እንጥቀስ።
A D = z፣ D K = m እንጥቀስ። △ A B D ~ ∆ A K C (∠ A B D = ∠ A K C እና ∠ 1 = ∠ 2)። ከመሳሰሉት: A B A K = A D A C ⇒ c z + m = z b ⇒ ⇒ z 2 + z m = b c, z 2 = b c - z m. \begin(array)(l) AD=z፣\;DK=m.\\\bigtriangleup ABD\sim\triangle AKC\;(\angle ABD=\angle AKC . z^2+zm=bc,\;z^2=bc-zm.\end(array) በተጠላለፉ ኮረዶች ንብረት፡-
A D * D K = B D * C D ፣ ማለትም z * m = x * y ⇒ z 2 = b c - x y ፣ z = b c - x y AD\ast DK=BD\ast CD ፣ \;ማለት\; z\ast m=x \ast y\ቀኝ ቀስት z^2=bc-xy፣\;z=\sqrt(bc-xy)። ■
በሶስት ማዕዘን A B C ABC ከጎኖች A B = 5 AB=5, A C = 3 AC=3 bisector A D = 15 8 AD=\frac(15)8. የጎን B C BC እና የተቀረጸውን ክበብ ራዲየስ ይፈልጉ።
Δ በቲዎሬም 5 (ምሥል 14 ይመልከቱ) x y = 5 3 \frac xy=\frac53 አለን። በቲዎረም 6 መሠረት እኩልነት 15 8 2 = 5 * 3 - 5 z * 3 z ተሟልቷል. \ግራ(\frac(15)8\ቀኝ)^2=5\ast3-5z\ast3z. በቀላሉ z = 7 8 z=\frac78 ማለት B C = 7 ን እናገኛለን። BC=7 ቀመር S = p r S = pr (S የሶስት ማዕዘን አካባቢ ነው, p - ሴሚፔሪሜትር) በመጠቀም የተቀረጸውን ክበብ ራዲየስ እናገኛለን. በሄሮን ቀመር S = 15 2 * 1 2 * 10 2 * 9 2 = 15 3 2, S=\sqrt (\frac(15)2\ast አለን p = 15 2 p=\frac(15)2 \frac12 \ast\frac(10)2\ast\frac92)=\frac(15\sqrt3)2፣ so r = S p = 3 2 . r=\frac Sp=\frac(\sqrt3)2. ▲
የትምህርት ዓላማዎች፡-
- ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ ለሶስት ማዕዘን አካባቢ ቀመር የመጠቀም ችሎታን ማዳበር;
- አስቡበት ቁልፍ ተግባራትየጋራ ቁመት (ቤዝ) ባላቸው የሶስት ማዕዘኖች አከባቢዎች ሬሾ ላይ። በርዕሱ ላይ ችግሮችን ለመፍታት ተማሪዎችን ወደ ዘዴዎች ያስተዋውቁ.
የመማሪያ መሳሪያዎች;
- ኮምፒውተር.
- መልቲሚዲያ ፕሮጀክተር.
- ስክሪን
የእጅ ጽሑፍ።
- ለቤት ሥራ ዳሰሳ ጥያቄዎች ያላቸው ካርዶች;
- ለትምህርቱ አቀራረብ (አባሪ 1);
- ገለልተኛ ሥራ ለመስራት ካርዶች.
የትምህርት ደረጃዎች
- የማደራጀት ጊዜ.
- ምርመራ የቤት ስራ(ትምህርቱን ካለፈው ትምህርት መማር)
- ከዚህ ቀደም የተማረውን ቁሳቁስ ማጠናከር
- ገለልተኛ ሥራበተፈጥሮ ውስጥ ትምህርታዊ
- የቤት ስራን በማዘጋጀት ላይ.
- ትምህርቱን በማጠቃለል.
በክፍሎቹ ወቅት
1. ድርጅታዊ ጊዜ
ስለ ትምህርቱ ርዕስ እናሳውቅዎታለን. በትምህርቱ ውስጥ የተብራራውን ቁሳቁስ አስፈላጊነት እናብራራለን, መረጃው እንላለን የመጨረሻዎቹ ትምህርቶችበአከባቢው በስፋት ጥቅም ላይ ይውላሉ, ዛሬ በትምህርቱ ውስጥ ችግሮችን ለመፍታት እንጠቀማቸዋለን.
ስራችንን የበለጠ ቀልጣፋ ለማድረግ በመጀመሪያ የቤት ስራዎን እንፈትሻለን እና የተማራችሁትን የንድፈ ሃሳብ ይዘት እንገመግማለን።
2. የቤት ስራን መፈተሽ
ተማሪዎችን በጥቁር ሰሌዳ ላይ መጠየቅ፡-
- የአካባቢ ቲዎረም ማረጋገጫ?.
- ስለ ውጤቶቹ ማረጋገጫ
- የቤት ስራ ቁጥሮችን መፍታት.
በዚህ ጊዜ, አስቀድሞ የተዘጋጀ የዝግጅት አቀራረብ ስላይዶችን በመጠቀም ከክፍል ጋር በቃል እንሰራለን.
3) AM=MC ከሆነ የእነዚህን ትሪያንግሎች ቦታዎች ያወዳድሩ።
መደምደሚያውን በማስታወሻ ደብተርዎ ውስጥ ይፃፉ፡-
መካከለኛው ትሪያንግልን ወደ ሁለት እኩል መጠን ያላቸው (በአካባቢው እኩል) ትሪያንግል ይከፍላል ፣ የእያንዳንዱ ቦታ ስፋት ከተሰጠው ትሪያንግል ግማሽ ጋር እኩል ነው።
ቪኤም - መካከለኛ ኤቢሲ
VC - መካከለኛ AVM
የቦታውን ጥምርታ ያግኙ
5) S ABC = 20 ሴ.ሜ 2 (እንደ ቀድሞው ተግባር ሁኔታ) ይታወቃል.
S ABM ያግኙ; ኤስ ኤምቢሲ; ኤስ ኤቢሲ; ኤስ ኬቢሲ -?
የጋራ መሠረት ያላቸው የሁለት ትሪያንግል ቦታዎች ጥምርታ ምን ያህል ነው?
መደምደሚያውን በማስታወሻ ደብተር ውስጥ እንጽፋለን-
S ABC፡ S ADC = BM፡ DN
የጋራ መሠረት ያላቸው የሶስት ማዕዘኖች ቦታዎች ከፍታዎች ወደ መሰረቱ ሲሳቡ ይዛመዳሉ.
3. ቀደም ሲል የተጠኑ ዕቃዎችን ማጠናከር.
1. ለ 8ኛ ክፍል በጂኦሜትሪ ላይ ያለውን የሥራ መጽሐፍ ቁጥር 40 ከገጽ 18-19 እናጠናቅቃለን.
በሥዕሉ ላይ፣ ነጥብ M የጎን AC ABCን በ AM: MC = 2: 3 ይከፍላል
አካባቢ ኤቢሲ 180 ሴሜ 2 ነው. የሶስት ማዕዘን ኤቢኤም አካባቢን ያግኙ።
2. የመማሪያውን ችግር ቁጥር 475 መፍታት.
ኤቢሲን ይሳሉ። ይህንን ትሪያንግል ወደ ሶስት ትሪያንግል እንዲከፍሉት በ vertex A በኩል ሁለት ቀጥታ መስመሮችን ይሳሉ።
የአቀራረብ ስላይዶችን በመጠቀም መፍትሄውን ይወያዩ
4. n/a (ጊዜ ከፈቀደ)
ይህንን ትይዩ ከአንድ ጫፍ በሚወጡ ቀጥታ መስመሮች በሶስት እኩል ክፍሎችን ይከፋፍሉት።
በተመሳሳይ፣ BB 2 DBCን ተመሳሳይ ቁመት ያላቸውን ሦስት መአዘኖች ይከፍላል፣ ቦታቸውም ከመሠረቶቹ ጋር ይዛመዳል DB 2፡ B 2 C = 1: 2 => የግንባታ ስልተ-ቀመር፡ እያንዳንዱን የትይዩውን ጎን AD እና DC በሬሾ ይከፋፍሏቸው። የ2፡1፣ ከቁመቶች ሀ እና ኤስ በመቁጠር።
4. ገለልተኛ የትምህርት ሥራ
አማራጭ 1
1) ኤምሲ - መካከለኛ ኤቢሲ
S SCR = 32 ሴሜ 2. ኤስ ኤቢሲን ያግኙ
2) S KDM = 40 ሴሜ 2
በ KM በኩል, ነጥብ A ምልክት ይደረግበታል ስለዚህም KA: AM = 2: 3
አግኝ: S KDA
አማራጭ - 2
1) AM የኤቢሲ መካከለኛ ነው ፣ የቦታው ስፋት 48 ሴ.ሜ
የኤኤምኤስ አካባቢን ይፈልጉ
2) S DРК = 60 ሴሜ 2
በጎን DK ነጥብ A ላይ ምልክት ተደርጎበታል ስለዚህም DA: AK = 3: 1
አግኝ፡ S APK -?
5. የቤት ስራን ማዘጋጀት
ዲ.ዜ. እንደ መማሪያው ገጽ 124-125 ቁጥር 473; 506; 511 (ሀ)
6. ትምህርቱን ማጠቃለል
ስነ-ጽሁፍ
1. ጂኦሜትሪ 7-9. / ኤል.ኤስ. አታናስያን፣ ቪ.ኤፍ. ቡቱዞቭ እና ሌሎች / "መገለጥ", OJSC "የሞስኮ የመማሪያ መጽሐፍ", ኤም., 2008;
2. የሥራ መጽሐፍለ 8 ኛ ክፍል. ስለ / ስለ ተቋማት. ጂኦሜትሪ / አታናስያን ኤል.ኤስ. እና ሌሎች / "መገለጥ", ኤም, 2005;
2. Polonsky V.B., Rabinovich E.M., Yakir M.S. / ጂኦሜትሪ፡ የችግር መጽሐፍ ለ የትምህርት ቤት ኮርስ M.: AST-PRESS: ማስተር-ኤስ, 1998.