የአንድ ተግባር ትልቁን እሴት ማግኘት ምን ማለት ነው። የተግባሩ ጽንፍ

ከተግባራዊ እይታ አንጻር ትልቁ ፍላጎት የአንድን ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴቶችን ለማግኘት ተዋጽኦውን መጠቀም ነው። ይህ ከምን ጋር የተያያዘ ነው? ትርፍን ማሳደግ ፣ ወጪን መቀነስ ፣ የመሳሪያውን ጥሩ ጭነት መወሰን… በሌላ አነጋገር በብዙ የሕይወት ዘርፎች አንዳንድ መለኪያዎችን የማመቻቸት ችግሮችን መፍታት አለብን። እና እነዚህ የአንድ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴቶችን የማግኘት ተግባራት ናቸው።

የአንድ ተግባር ትልቁ እና ትንሹ እሴቶች በተወሰነ የጊዜ ክፍተት X ላይ እንደሚፈለጉ ልብ ሊባል ይገባል ፣ ይህም የተግባሩ አጠቃላይ ጎራ ወይም የትርጉም ጎራ አካል ነው። ክፍተቱ X ራሱ አንድ ክፍል, ክፍት ክፍተት ሊሆን ይችላል ፣ ማለቂያ የሌለው ክፍተት።

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ትላልቅ እና ትናንሽ እሴቶችን በግልፅ ስለማግኘት እንነጋገራለን የተሰጠው ተግባርአንድ ተለዋዋጭ y=f(x)።

የገጽ አሰሳ።

የአንድ ተግባር ትልቁ እና ትንሹ እሴት - ትርጓሜዎች ፣ ምሳሌዎች።

ዋናዎቹን ትርጓሜዎች በአጭሩ እንመልከት።

የተግባሩ ትልቁ እሴት ለማንም ሰው አለመመጣጠን እውነት ነው።

የተግባሩ ትንሹ እሴት y=f(x) በ interval X ላይ እንደዚህ ያለ እሴት ይባላል ለማንም ሰው አለመመጣጠን እውነት ነው።

እነዚህ ፍቺዎች ሊታወቁ የሚችሉ ናቸው፡ የአንድ ተግባር ትልቁ (ትንሹ) እሴት በ abcissa ላይ ግምት ውስጥ ባለው የጊዜ ክፍተት ላይ ትልቁ (ትንሽ) ተቀባይነት ያለው እሴት ነው።

ቋሚ ነጥቦች- እነዚህ የተግባሩ አመጣጥ ዜሮ የሚሆንበት የክርክር እሴቶች ናቸው።

ለምን ያስፈልገናል የማይንቀሳቀሱ ነጥቦችትልቁን እና ትንሹን እሴቶች ሲፈልጉ? የዚህ ጥያቄ መልስ የሚሰጠው በፌርማት ቲዎሪ ነው. ከዚህ ጽንሰ ሐሳብ በመነሳት የሚለየው ተግባር በተወሰነ ደረጃ ላይ (አካባቢያዊ ዝቅተኛ ወይም ከፍተኛ) ካለው፣ ይህ ነጥብ ቋሚ ነው። ስለዚህ, ተግባሩ ብዙውን ጊዜ ትልቁን (ትንሹን) ዋጋውን በ X መካከል ባለው የጊዜ ክፍተት ውስጥ በአንዱ ቋሚ ነጥቦች ላይ ይወስዳል.

እንዲሁም አንድ ተግባር ብዙውን ጊዜ ትልቁን እና ትንሹን እሴቶቹን ሊወስድ የሚችለው የዚህ ተግባር የመጀመሪያ አመጣጥ በሌለባቸው ነጥቦች ላይ ነው ፣ እና ተግባሩ ራሱ ይገለጻል።

በዚህ ርዕስ ላይ በጣም ከተለመዱት ጥያቄዎች ውስጥ አንዱን ወዲያውኑ እንመልስ "የአንድ ተግባር ትልቁን (ትንሹን) እሴት ሁልጊዜ መወሰን ይቻላልን"? ሁልጊዜ አይደለም. አንዳንድ ጊዜ የጊዜ ክፍተት X ድንበሮች ከተግባሩ ፍቺ ጎራ ወሰኖች ጋር ይጣጣማሉ ወይም የጊዜ ክፍተት X ማለቂያ የለውም። እና በማያልቅ እና በትርጉም ጎራ ወሰኖች ላይ ያሉ አንዳንድ ተግባራት ማለቂያ የሌላቸው ትላልቅ እና ማለቂያ የሌላቸው ትናንሽ እሴቶችን ሊወስዱ ይችላሉ። በእነዚህ አጋጣሚዎች ስለ ተግባሩ ትልቁ እና ትንሹ እሴት ምንም ማለት አይቻልም.

ግልጽ ለማድረግ, ስዕላዊ መግለጫ እንሰጣለን. ስዕሎቹን ይመልከቱ እና ብዙ ግልጽ ይሆናሉ.

በክፍል ላይ

በመጀመሪያው ስእል ውስጥ ተግባሩ ትልቁን (ከፍተኛ y) እና ትንሹን (ደቂቃ y) እሴቶችን በክፍል ውስጥ በሚገኙ ቋሚ ነጥቦች ይወስዳል [-6;6].

በሁለተኛው ሥዕል ላይ የተመለከተውን ጉዳይ ተመልከት። ክፍሉን ወደ . በዚህ ምሳሌ ፣ የተግባሩ ትንሹ እሴት በቆመበት ቦታ ላይ ይገኛል ፣ እና ትልቁ ከ abscissa ጋር ያለው ነጥብ ከትክክለኛው የጊዜ ክፍተት ጋር ይዛመዳል።

በስእል 3 የክፍሉ ወሰን [-3; 2] ከተግባሩ ትልቁ እና ትንሹ እሴት ጋር የሚዛመዱ የነጥቦች abcissas ናቸው።

በክፍት ክፍተት

በአራተኛው አሃዝ ውስጥ ተግባራቱ ትልቁን (ከፍተኛ y) እና ትንሹን (ደቂቃ y) እሴቶችን በውስጡ በሚገኙ ቋሚ ነጥቦች ይወስዳል ክፍት ክፍተት (-6;6) .

በክፍለ-ጊዜው ላይ, ስለ ትልቁ ዋጋ ምንም መደምደሚያ ላይ መድረስ አይቻልም.

በማያልቅ

በሰባተኛው ምስል ላይ በሚታየው ምሳሌ, ተግባሩ ይወስዳል ከፍተኛ ዋጋ(ከፍተኛ y) በቋሚ ነጥብ ከ abscissa x=1 ጋር፣ እና ትንሹ እሴት (ደቂቃ y) በጊዜ ክፍተት በቀኝ ወሰን ላይ ይደርሳል። ከማያልቅ ሲቀነስ፣ የተግባር እሴቶቹ ያለምንም ምልክት y=3 ይጠጋል።

በክፍተቱ ውስጥ, ተግባሩ በትንሹም ሆነ ትልቅ እሴት ላይ አይደርስም. x=2 ከቀኝ በኩል ሲቃረብ፣ የተግባር እሴቶቹ ወደ ማለቂያነት ይቀንሳሉ (ቀጥተኛው መስመር x=2 ነው) አቀባዊ asymptote), እና abscissa ወደ ማለቂያነት ሲጨምር ፣ የተግባር እሴቶቹ በአሳዛኝ ሁኔታ y=3 ይቀራረባሉ። የዚህ ምሳሌ ስዕላዊ መግለጫ በስእል 8 ይታያል።

በአንድ ክፍል ላይ ቀጣይነት ያለው ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴቶችን ለማግኘት አልጎሪዝም።

የአንድን ተግባር ትልቁን እና ትንሹን በአንድ ክፍል ላይ እንድናገኝ የሚያስችል ስልተ ቀመር እንፃፍ።

1. የተግባሩን ፍቺ ጎራ እናገኛለን እና ሙሉውን ክፍል እንደያዘ ያረጋግጡ።
2. የመጀመሪያው ተወላጅ የሌለበትን እና በክፍሉ ውስጥ የተካተቱትን ሁሉንም ነጥቦች እናገኛለን (ብዙውን ጊዜ እንደዚህ ያሉ ነጥቦች በሞጁል ምልክት እና በ ውስጥ ካለው ክርክር ጋር ተግባራት ውስጥ ይገኛሉ ። የኃይል ተግባራትከክፍልፋይ-ምክንያታዊ ገላጭ ጋር)። እንደዚህ አይነት ነጥቦች ከሌሉ ወደሚቀጥለው ነጥብ ይሂዱ.
3. በክፍሉ ውስጥ የሚወድቁ ሁሉንም ቋሚ ነጥቦችን እንወስናለን. ይህንን ለማድረግ, ከዜሮ ጋር እናመሳሰለው, የተገኘውን እኩልነት መፍታት እና ተስማሚ ሥሮችን እንመርጣለን. ምንም ቋሚ ነጥቦች ከሌሉ ወይም አንዳቸውም ወደ ክፍሉ ውስጥ ካልገቡ ወደሚቀጥለው ነጥብ ይሂዱ.
4. በተመረጡ ቋሚ ነጥቦች (ካለ) የተግባርን ዋጋዎች እናሰላለን, የመጀመሪያው ተወላጅ በሌለባቸው ነጥቦች (ካለ), እንዲሁም በ x=a እና x=b.
5. ከተገኙት የተግባር እሴቶች ውስጥ ትልቁን እና ትንሹን እንመርጣለን - እነሱ በቅደም ተከተል የሚፈለጉት ትልቁ እና ትንሹ የተግባሩ እሴቶች ይሆናሉ።

በአንድ ክፍል ላይ የአንድ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴቶችን ለማግኘት ምሳሌን ለመፍታት አልጎሪዝምን እንመርምር።

ለምሳሌ.

የአንድ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴት ያግኙ

• በክፍል ላይ;
• በክፍል [-4;-1] ላይ.

መፍትሄ።

የአንድ ተግባር ጎራ ሙሉው ስብስብ ነው። እውነተኛ ቁጥሮችከዜሮ በስተቀር ማለትም . ሁለቱም ክፍሎች በትርጉሙ ጎራ ውስጥ ይወድቃሉ።

በሚከተለው መልኩ የተግባሩን መነሻ ይፈልጉ፡-

በግልጽ እንደሚታየው, የተግባሩ አመጣጥ በሁሉም ክፍሎች እና [-4; -1] ላይ ይገኛል.

ቋሚ ነጥቦችን ከሂሳብ እንወስናለን። ብቻ እውነተኛ ሥር x=2 ነው። ይህ የማይንቀሳቀስ ነጥብ በመጀመሪያው ክፍል ውስጥ ይወድቃል.

ለመጀመሪያው ጉዳይ የተግባርን ዋጋዎች በክፋዩ መጨረሻ እና በቋሚ ቦታ ማለትም ለ x = 1 ፣ x=2 እና x=4 እናሰላለን።

ስለዚህ, የተግባሩ ትልቁ ዋጋ በ x=1, እና ትንሹ እሴት ላይ ይደርሳል - በ x=2

ለሁለተኛው ጉዳይ ፣ የተግባር እሴቶቹን የምናሰላው በክፍሉ መጨረሻ ላይ ብቻ ነው [-4; -1] (አንድ ቋሚ ነጥብ ስለሌለው)

የችግር መግለጫ 2፡-

በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ላይ የተገለጸ እና ቀጣይነት ያለው ተግባር ተሰጥቷል። በዚህ ክፍተት ላይ የተግባሩን ትልቁን (ትንሹን) እሴት ማግኘት አለብዎት.

የንድፈ ሐሳብ መሠረት.
ቲዎረም (ሁለተኛው የዌየርስትራስ ቲዎረም)፡-

አንድ ተግባር በተዘጋ ክፍተት ውስጥ ከተገለጸ እና ከቀጠለ በዚህ ክፍተት ውስጥ ከፍተኛውን እና ዝቅተኛውን እሴቶቹን ይደርሳል።

ተግባሩ ትልቁን እና ትንሹን እሴቶቹን ሊደርስ ይችላል። ውስጣዊ ነጥቦችክፍተት ወይም በእሱ ወሰኖች ላይ. ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮችን እናሳይ።

ማብራሪያ፡-
1) ተግባራቱ በነጥብ ላይ ባለው የጊዜ ክፍተት በግራ ወሰን ላይ ትልቁን እሴቱን ይደርሳል ፣ እና በነጥብ ላይ ባለው የጊዜ ክፍተት በቀኝ ወሰን ላይ ያለው አነስተኛ እሴት።
2) ተግባሩ በነጥቡ ላይ ከፍተኛውን እሴት ላይ ይደርሳል (ይህ ከፍተኛው ነጥብ ነው), እና በነጥቡ ላይ ባለው የጊዜ ክፍተት በትክክለኛው ወሰን ላይ ያለው አነስተኛ ዋጋ.
3) ተግባራቱ በግራ በኩል ባለው የጊዜ ክፍተት ላይ ከፍተኛውን እሴት ላይ ይደርሳል, እና ዝቅተኛው ዋጋ ነጥቡ (ይህ ዝቅተኛው ነጥብ ነው).
4) ተግባራቱ በጊዜ ክፍተት ላይ ቋሚ ነው, ማለትም. በእያንዳንዱ የጊዜ ክፍተት ውስጥ ዝቅተኛ እና ከፍተኛ እሴቶቹን ይደርሳል, እና ዝቅተኛው እና ከፍተኛው እሴቶች እርስ በርስ እኩል ናቸው.
5) ተግባራቱ በነጥብ ላይ ከፍተኛውን እሴት ላይ ይደርሳል, እና ዝቅተኛ እሴቱ ነጥቡ (በዚህ ክፍተት ላይ ተግባሩ ከፍተኛ እና ዝቅተኛ ቢሆንም).
6) ተግባሩ በአንድ ነጥብ ላይ ከፍተኛውን እሴት ይደርሳል (ይህ ከፍተኛው ነጥብ ነው), እና ዝቅተኛው ዋጋ በአንድ ነጥብ (ይህ ዝቅተኛው ነጥብ ነው).
አስተያየት፡-

"ከፍተኛ" እና " ከፍተኛ ዋጋ" - የተለያዩ ነገሮች. ይህ ከከፍተኛው ፍቺ እና “ከፍተኛ ዋጋ” ከሚለው ሐረግ ጥልቅ ግንዛቤ ይከተላል።

ችግሩን ለመፍታት አልጎሪዝም 2.



4) ከተገኙት እሴቶች ውስጥ ትልቁን (ትንሹን) ይምረጡ እና መልሱን ይፃፉ።

ምሳሌ 4፡

የአንድ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴት ይወስኑ በክፍል ላይ.
መፍትሄ፡-
1) የተግባሩን አመጣጥ ይፈልጉ።

2) እኩልታውን በመፍታት ቋሚ ነጥቦችን (እና በአክራሪነት የተጠረጠሩ ነጥቦችን) ያግኙ። ባለ ሁለት ጎን ውሱን አመጣጥ በሌለባቸው ነጥቦች ላይ ትኩረት ይስጡ።

3) የተግባሩን እሴቶች በቋሚ ቦታዎች እና በጊዜ ክፍተቶች ላይ ያሰሉ.

4) ከተገኙት እሴቶች ውስጥ ትልቁን (ትንሹን) ይምረጡ እና መልሱን ይፃፉ።

በዚህ ክፍል ላይ ያለው ተግባር በመጋጠሚያዎች ነጥብ ላይ ከፍተኛውን ዋጋ ይደርሳል.

በዚህ ክፍል ላይ ያለው ተግባር መጋጠሚያዎች ባሉበት ቦታ ላይ ዝቅተኛው እሴት ላይ ይደርሳል.

በጥናት ላይ ያለውን ተግባር ግራፍ በመመልከት የስሌቶቹን ትክክለኛነት ማረጋገጥ ይችላሉ.


አስተያየት፡-ተግባሩ በከፍተኛው ነጥብ ላይ ከፍተኛውን እሴት ይደርሳል, እና ዝቅተኛው በክፍሉ ወሰን ላይ.

ልዩ ጉዳይ።

ከፍተኛውን ማግኘት ያስፈልገናል እንበል እና ዝቅተኛ ዋጋበተወሰነ ጊዜ ውስጥ አንዳንድ ተግባራት። የአልጎሪዝም የመጀመሪያውን ነጥብ ከጨረሱ በኋላ, ማለትም. የመነሻ ስሌት, ግልጽ ይሆናል, ለምሳሌ, ብቻ ይወስዳል አሉታዊ እሴቶችበጠቅላላው የታሰበው ክፍል ላይ። አስታውስ ተዋጽኦው አሉታዊ ከሆነ, ከዚያም ተግባሩ ይቀንሳል. ተግባሩ በጠቅላላው ክፍል ላይ እንደሚቀንስ ደርሰንበታል። ይህ ሁኔታ በአንቀጹ መጀመሪያ ላይ በግራፍ ቁጥር 1 ላይ ይታያል.

ተግባሩ በክፍሉ ላይ ይቀንሳል, ማለትም. ምንም ጽንፍ ነጥብ የለውም. ከሥዕሉ ላይ ተግባሩ በክፍሉ የቀኝ ድንበር ላይ ትንሹን እሴት እና በግራ በኩል ትልቁን እሴት እንደሚወስድ ማየት ይችላሉ ። በክፍሉ ላይ ያለው ተወላጅ በሁሉም ቦታ አዎንታዊ ከሆነ ተግባሩ ይጨምራል። ትንሹ እሴት በክፍሉ ግራ ድንበር ላይ ነው, ትልቁ በቀኝ በኩል ነው.

በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ስለ አንድ ተግባር ጥናት የማግኘት ችሎታን እንዴት ተግባራዊ ማድረግ እንደሚቻል እናገራለሁ-ትልቁን ወይም ትንሹን እሴቱን ለማግኘት። እና ከዚያ ከተግባር B15 ጀምሮ በርካታ ችግሮችን እንፈታለን ባንክ ክፈትተግባራት ለ .

እንደተለመደው በመጀመሪያ ቲዎሪውን እናስታውስ።

በማንኛውም የተግባር ጥናት መጀመሪያ ላይ እናገኘዋለን

የአንድ ተግባር ትልቁን ወይም ትንሹን ዋጋ ለማግኘት በየትኞቹ ክፍተቶች ላይ ተግባሩ እንደሚጨምር እና በምን ላይ እንደሚቀንስ መመርመር ያስፈልግዎታል።

ይህንን ለማድረግ የተግባሩን አመጣጥ መፈለግ እና የቋሚ ምልክቶችን ክፍተቶች መመርመር አለብን ፣ ማለትም ፣ ተዋጽኦው ምልክቱን የሚይዝበት ክፍተቶች።

የተግባር አመጣጥ አወንታዊ የሆነባቸው ክፍተቶች የመጨመር ተግባራት ናቸው።

የተግባር አመጣጥ አሉታዊ የሆነባቸው ክፍተቶች የመቀነስ ተግባራት ክፍተቶች ናቸው።

111 1 . ተግባር B15ን እንፈታ (ቁጥር 245184)

እሱን ለመፍታት የሚከተለውን ስልተ ቀመር እንከተላለን።

ሀ) የተግባሩን ፍቺ ጎራ ይፈልጉ

ለ) የተግባሩን አመጣጥ እንፈልግ.

ሐ) ከዜሮ ጋር እናመሳስለው።

መ) የተግባሩ ቋሚ ምልክት ክፍተቶችን እንፈልግ.

ሠ) ተግባሩ ከፍተኛውን ዋጋ የሚወስድበትን ነጥብ ያግኙ.

ረ) በዚህ ነጥብ ላይ የተግባሩን ዋጋ ያግኙ.

ለዚህ ተግባር ዝርዝር መፍትሄን በቪዲዮ መማሪያ ውስጥ አብራራለሁ፡-

አሳሽህ ምናልባት አይደገፍም። አሰልጣኙን ለመጠቀም" የተዋሃደ የስቴት ፈተና ሰዓት"፣ ለማውረድ ይሞክሩ
ፋየርፎክስ

2. ተግባር B15ን እንፍታ (ቁጥር 282862)

የተግባሩን ትልቁን እሴት ያግኙ በክፍል ላይ

ተግባራቱ በከፍተኛው ነጥብ በ x=2 ክፍል ላይ ትልቁን ዋጋ እንደሚወስድ ግልጽ ነው። በዚህ ነጥብ ላይ የተግባሩን ዋጋ እንፈልግ፡-

መልስ፡ 5

3. ተግባር B15ን እንፈታ (ቁጥር 245180)፡-

የተግባሩን ትልቁን እሴት ያግኙ

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. ምክንያቱም በዋናው ተግባር ርዕስ ትርጉም ጎራ መሰረት = "4-2x-x^2>0"">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. አሃዛዊ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።በ. ODZ የተግባሩ መሆን አለመሆኑን እንፈትሽ። ይህንን ለማድረግ፣ የሁኔታው ርዕስ = "4-2x-x^2>0 እንደሆነ እንፈትሽ።"> при .!}

ርዕስ= "4-2(-1)-(-1))^2>0"፣

ይህ ማለት ነጥቡ የ ODZ ተግባር ነው

ከነጥቡ ወደ ቀኝ እና ወደ ግራ የመነጩን ምልክት እንመርምር፡-

ተግባራቱ ከፍተኛውን ዋጋ ሲወስድ እናያለን። አሁን የተግባሩን ዋጋ እዚህ ላይ እናግኝ፡-

ማሳሰቢያ 1. በዚህ ችግር ውስጥ የተግባርን ፍቺ ጎራ እንዳላገኘን አስተውል፡ ገደቦቹን ብቻ አስተካክለናል እና መነጩ ከዜሮ ጋር እኩል የሆነበት ነጥብ የተግባሩ ፍቺ ጎራ መሆኑን አጣራን። ይህ ለዚህ ተግባር በቂ ሆኖ ተገኝቷል. ይሁን እንጂ ይህ ሁልጊዜ አይደለም. እንደ ሥራው ይወሰናል.

ማስታወሻ 2. ባህሪን በሚያጠኑበት ጊዜ ውስብስብ ተግባርይህንን ደንብ መጠቀም ይችላሉ-

• ከሆነ ውጫዊ ተግባርየአንድ ውስብስብ ተግባር እየጨመረ ነው, ከዚያም ተግባሩ ከፍተኛውን እሴት ይይዛል, በተመሳሳይ ጊዜ ውስጣዊ ተግባሩ ከፍተኛውን እሴት ይይዛል. ይህ እየጨመረ ከሚሄደው ተግባር ፍቺ የሚከተለው ነው፡- አንድ ተግባር በጊዜ ክፍተት I ከሆነ ይጨምራል ከፍ ያለ ዋጋከዚህ የጊዜ ክፍተት ያለው ነጋሪ እሴት ከተግባሩ ትልቅ እሴት ጋር ይዛመዳል።
• የውስብስብ ተግባር ውጫዊ ተግባር እየቀነሰ ከሆነ ፣ ከዚያ ተግባሩ ትልቁን እሴቱን ይወስዳል ፣ በተመሳሳይ ጊዜ የውስጣዊው ተግባር አነስተኛውን እሴቱን ይወስዳል። . ይህ ከተቀነሰ ተግባር ፍቺ ይከተላል፡ አንድ ተግባር በክፍተቱ I ላይ ይቀንሳል ከዚህ ክፍተት ያለው ትልቅ እሴት ከተግባሩ ትንሽ እሴት ጋር የሚዛመድ ከሆነ።

በእኛ ምሳሌ, ውጫዊው ተግባር በጠቅላላው የፍቺ ጎራ ውስጥ ይጨምራል. በሎጋሪዝም ምልክት ስር አንድ መግለጫ አለ - ኳድራቲክ ሶስትዮሽ, ይህም, አሉታዊ መሪ Coefficient ጋር, ነጥብ ላይ ከፍተኛውን ዋጋ ይወስዳል . በመቀጠል ይህንን x እሴት ወደ ተግባር እኩልነት እንተካለን። እና ከፍተኛውን ዋጋ ያግኙ.

በአንድ ክፍል ላይ የአንድ ተግባር ትንሹን እና ትልቁን እሴት የመፈለግ ሂደት በሄሊኮፕተር ውስጥ በአንድ ነገር ዙሪያ (የተግባር ግራፍ) ፣ የተወሰኑ ነጥቦችን ከረጅም ርቀት መድፍ በመተኮስ እና በጣም የሚመርጥ በረራን ያስታውሳል። ለቁጥጥር ጥይቶች ከእነዚህ ነጥቦች ልዩ ነጥቦች. ነጥቦች በተወሰነ መንገድ እና መሰረት ይመረጣሉ አንዳንድ ደንቦች. በምን ህግ ነው? ስለዚህ ጉዳይ የበለጠ እንነጋገራለን.

ተግባሩ ከሆነ y = ረ(x) በጊዜ መካከል ቀጣይ ነው [ ሀ, ለ], ከዚያም በዚህ ክፍል ላይ ይደርሳል ቢያንስ እና ከፍተኛ ዋጋዎች . ይህ በ ውስጥ ሊከሰት ይችላል ጽንፈኛ ነጥቦች, ወይም በክፍሉ መጨረሻ ላይ. ስለዚህ, ለማግኘት ቢያንስ እና የተግባሩ ትልቁ እሴቶች በጊዜ ክፍተት ቀጣይነት ያለው [ ሀ, ለ] ፣ ሁሉንም እሴቶቹን ማስላት ያስፈልግዎታል ወሳኝ ነጥቦችእና በክፋዩ መጨረሻ ላይ, እና ከዚያ ትንሹን እና ትልቁን ከነሱ ይምረጡ.

ለምሳሌ, የተግባሩን ትልቁን ዋጋ ለመወሰን ይፈልጋሉ ረ(xክፍል ላይ [ ሀ, ለ] ። ይህንን ለማድረግ ሁሉንም ማግኘት ያስፈልግዎታል ወሳኝ ነጥቦችላይ ተኝቶ [ ሀ, ለ] .

ወሳኝ ነጥብ የሚለውን ነጥብ ይባላል ተግባር ተገልጿል, እና እሷ ተዋጽኦወይም ከዜሮ ጋር እኩል ነው ወይም የለም. ከዚያ በተግባሩ ወሳኝ ነጥቦች ላይ ያሉትን እሴቶች ማስላት አለብዎት. እና በመጨረሻም ፣ አንድ ሰው የተግባሩን እሴቶች በወሳኝ ነጥቦች እና በክፍሉ መጨረሻ ላይ ማወዳደር አለበት ( ረ(ሀ) እና ረ(ለ))። ከእነዚህ ቁጥሮች ውስጥ ትልቁ ይሆናል በክፍሉ ላይ ያለው ተግባር ትልቁ ዋጋ [ሀ, ለ] .

የማግኘት ችግሮች ትንሹ ተግባር እሴቶች .

የተግባሩን ትንሹን እና ትልቁን እሴቶችን አብረን እንፈልጋለን

ምሳሌ 1. የአንድ ተግባር ትንሹን እና ትላልቅ እሴቶችን ያግኙ በክፍል ላይ [-1, 2] .

መፍትሄ። የዚህን ተግባር መነሻ ያግኙ። ተዋጽኦውን ከዜሮ () ጋር እናመሳስለው እና ሁለት ወሳኝ ነጥቦችን እናገኝ። በ ላይ የአንድ ተግባር ትንሹን እና ትልቁን እሴቶችን ለማግኘት የተሰጠው ክፍልነጥቡ የክፍል (-1, 2) ስላልሆነ እሴቶቹን በክፋዩ መጨረሻ እና ነጥቡ ላይ ማስላት በቂ ነው ። እነዚህ የተግባር እሴቶች፡,,,. ያንን ተከትሎ ነው። ትንሹ የተግባር እሴት(ከዚህ በታች ባለው ግራፍ ላይ በቀይ የተገለፀው) ፣ ከ -7 ጋር እኩል ነው ፣ በክፍሉ በቀኝ በኩል - በቦታ ፣ እና ታላቅ(በተጨማሪም በግራፉ ላይ ቀይ), 9 እኩል ነው, - በወሳኙ ነጥብ.

አንድ ተግባር በተወሰነ ክፍተት ውስጥ ቀጣይነት ያለው ከሆነ እና ይህ ክፍተት ክፍል ካልሆነ (ነገር ግን ለምሳሌ, ክፍተት ነው, በክፍተቱ እና በክፍሎች መካከል ያለው ልዩነት: የክፍተቱ የድንበር ነጥቦች በክፍተቱ ውስጥ አልተካተቱም, ነገር ግን እ.ኤ.አ. የክፍሉ ድንበር ነጥቦች በክፍሉ ውስጥ ተካትተዋል) ፣ ከዚያ ከተግባሩ እሴቶች መካከል ትንሹ እና ትልቁ ላይሆን ይችላል። ስለዚህ, ለምሳሌ, ከታች ባለው ምስል ላይ የሚታየው ተግባር በ] -∞, +∞ [ ላይ ቀጣይ ነው እና ከፍተኛ ዋጋ የለውም.

ሆኖም፣ ለማንኛውም ክፍተት (የተዘጋ፣ ክፍት ወይም ማለቂያ የሌለው)፣ የሚከተለው ቀጣይነት ያለው ተግባር ንብረት እውነት ነው።

ምሳሌ 4. የአንድ ተግባር ትንሹን እና ትላልቅ እሴቶችን ያግኙ በክፍል ላይ [-1, 3] .

መፍትሄ። የዚህ ተግባር ተዋጽኦ እንደ ጥቅሱ መነሻ ሆኖ እናገኘዋለን፡-

.

ተዋጽኦውን ከዜሮ ጋር እናመሳስላለን፣ ይህም አንድ ወሳኝ ነጥብ ይሰጠናል። እሱ የክፍል [-1፣ 3] ነው። በአንድ የተወሰነ ክፍል ላይ የአንድ ተግባር ትንሹን እና ትልቁን እሴቶችን ለማግኘት በክፍሉ መጨረሻ እና በተገኘው ወሳኝ ነጥብ ላይ እሴቶቹን እናገኛለን-

እነዚህን እሴቶች እናወዳድር። ማጠቃለያ: እኩል -5/13, ነጥብ ላይ እና ከፍተኛ ዋጋከ 1 ነጥብ ጋር እኩል ነው.

የተግባሩን ትናንሽ እና ትላልቅ እሴቶችን አንድ ላይ መፈለግን እንቀጥላለን

የአንድ ተግባር ትንሹን እና ትልቁን እሴት በማግኘት ርዕስ ላይ ከተወያዩት የበለጠ ውስብስብ የሆኑትን ለመፍታት ለተማሪዎች ምሳሌዎችን የማይሰጡ አስተማሪዎች አሉ ፣ ማለትም ፣ ተግባሩ ብዙ ቁጥር ያለው ወይም ሀ. ክፍልፋይ፣ አሃዛዊው እና መለያቸው ፖሊኖሚሎች ናቸው። ነገር ግን በአስተማሪዎች መካከል ተማሪዎችን ሙሉ በሙሉ እንዲያስቡ ማስገደድ የሚወዱ ስላሉ እራሳችንን በእንደዚህ አይነት ምሳሌዎች ብቻ አንገድብም (የተዋጽኦዎች ሰንጠረዥ)። ስለዚህ, ሎጋሪዝም እና ትሪግኖሜትሪክ ተግባር ጥቅም ላይ ይውላል.

ምሳሌ 6. የአንድ ተግባር ትንሹን እና ትላልቅ እሴቶችን ያግኙ በክፍል ላይ .

መፍትሄ። የዚህን ተግባር መነሻው እንደ የምርት ተዋጽኦ :

ተዋጽኦውን ከዜሮ ጋር እናመሳሰለዋለን፣ ይህም አንድ ወሳኝ ነጥብ ይሰጣል፡. የክፍሉ ነው። በአንድ የተወሰነ ክፍል ላይ የአንድ ተግባር ትንሹን እና ትልቁን እሴቶችን ለማግኘት በክፍሉ መጨረሻ እና በተገኘው ወሳኝ ነጥብ ላይ እሴቶቹን እናገኛለን-

የሁሉም ድርጊቶች ውጤት፡- ተግባሩ ዝቅተኛውን እሴት ላይ ይደርሳል, ከ 0 ጋር እኩል ነው, በነጥብ እና በነጥብ እና ከፍተኛ ዋጋ፣ እኩል ሠ²፣ በነጥቡ ላይ።

ምሳሌ 7. የአንድ ተግባር ትንሹን እና ትላልቅ እሴቶችን ያግኙ በክፍል ላይ .

መፍትሄ። የዚህን ተግባር መነሻ ያግኙ፡-

ተዋጽኦውን ከዜሮ ጋር እናመሳሰለዋለን፡-

ብቸኛው ወሳኝ ነጥብ የክፍሉ ነው. በአንድ የተወሰነ ክፍል ላይ የአንድ ተግባር ትንሹን እና ትልቁን እሴቶችን ለማግኘት በክፍሉ መጨረሻ እና በተገኘው ወሳኝ ነጥብ ላይ እሴቶቹን እናገኛለን-

ማጠቃለያ፡- ተግባሩ ዝቅተኛውን እሴት ላይ ይደርሳል, እኩል , በነጥብ እና ከፍተኛ ዋጋ, እኩል , በነጥብ ላይ .

በተተገበሩ ጽንፈኛ ችግሮች ውስጥ የአንድ ተግባር ትንሹን (ከፍተኛ) እሴቶችን ማግኘት እንደ ደንቡ ዝቅተኛውን (ከፍተኛ) ለማግኘት ይወርዳል። ግን የበለጠ ተግባራዊ ፍላጎት ያላቸው ዝቅተኛው ወይም ከፍተኛው እራሳቸው አይደሉም ፣ ግን የተገኙበት የክርክር እሴቶች። የተተገበሩ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ, ይነሳል ተጨማሪ ችግር- ከግምት ውስጥ ያለውን ክስተት ወይም ሂደት የሚገልጹ ተግባራትን ማጠናቀር።

ምሳሌ 8. 4 አቅም ያለው የውሃ ማጠራቀሚያ፣ ትይዩ የሆነ ቅርጽ ያለው ካሬ መሠረትእና ከላይ ይክፈቱት, በቆርቆሮው ላይ ማድረግ ያስፈልግዎታል. እንዲወስድ የታክሱ ልኬቶች ምን መሆን አለባቸው አነስተኛ መጠንቁሳቁስ?

መፍትሄ። ፍቀድ x- የመሠረት ጎን; ሸ- ታንክ ቁመት; ኤስ- የሽፋኑ ስፋት ያለ ሽፋን; ቪ- የእሱ መጠን. የታክሱ ወለል ስፋት በቀመርው ይገለጻል, ማለትም. የሁለት ተለዋዋጮች ተግባር ነው። ለመግለፅ ኤስእንደ አንድ ተለዋዋጭ ተግባር, እኛ የምንጠቀመው ከየት ነው. የተገኘውን አገላለጽ በመተካት ሸወደ ቀመር ለ ኤስ:

ይህንን ተግባር እስከ ጽንፍ ድረስ እንመርምረው። በ] 0፣ +∞[ እና በሁሉም ቦታ ይገለጻል እና ይለያል

.

ተዋጽኦውን ከዜሮ () ጋር እናነፃፅራለን እና ወሳኙን ነጥብ እናገኛለን። በተጨማሪም, ተዋጽኦው በማይኖርበት ጊዜ, ነገር ግን ይህ እሴት በትርጉሙ ጎራ ውስጥ አልተካተተም እና ስለዚህ እጅግ በጣም ከፍተኛ ነጥብ ሊሆን አይችልም. ስለዚህ, ይህ ብቸኛው ወሳኝ ነጥብ ነው. ሁለተኛውን በቂ ምልክት በመጠቀም የአክራሪነት በሽታ መኖሩን እንፈትሽ። ሁለተኛውን ተዋጽኦን እንፈልግ። ሁለተኛው ተወላጅ ከዜሮ () ሲበልጥ. ይህ ማለት ተግባሩ በትንሹ ሲደርስ ማለት ነው . ከዚህ ጀምሮ ዝቅተኛው የዚህ ተግባር ብቸኛው ጫፍ ነው፣ ትንሹ እሴቱ ነው።. ስለዚህ, የታክሲው መሠረት ጎን 2 ሜትር መሆን አለበት, ቁመቱም መሆን አለበት.

ምሳሌ 9.ከነጥብ ሀበባቡር መስመር ላይ, እስከ ነጥቡ ድረስ ጋር, ከእሱ ርቀት ላይ ይገኛል ኤል፣ ጭነት መጓጓዝ አለበት። የክብደት አሃድ በክፍል ርቀት በባቡር የማጓጓዝ ዋጋ እኩል ነው፣ በሀይዌይ ደግሞ እኩል ነው። ወደ ምን ነጥብ ኤምመስመሮች የባቡር ሐዲድጭነትን ለማጓጓዝ አውራ ጎዳና መገንባት አለበት። ሀቪ ጋርበጣም ኢኮኖሚያዊ ነበር (ክፍል ABየባቡር ሐዲድ ቀጥተኛ ነው ተብሎ ይታሰባል)?

በዚህ አገልግሎት ይችላሉ የአንድ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴት ያግኙአንድ ተለዋዋጭ f (x) በ Word ውስጥ ከተቀረጸው መፍትሄ ጋር። ተግባር f (x,y) ከተሰጠ, ስለዚህ, የሁለት ተለዋዋጮችን ተግባር ጽንፍ መፈለግ አስፈላጊ ነው. እንዲሁም የመጨመር እና የመቀነስ ተግባራትን ክፍተቶች ማግኘት ይችላሉ።

የአንድ ተግባር ትልቁን እና ትንሹን እሴት ያግኙ

y =

ክፍል ላይ [ ;]

ቲዎሪ ያካትቱ

ተግባራትን ለማስገባት ደንቦች:

ለአንድ ተለዋዋጭ ተግባር ጽንፍ አስፈላጊ ሁኔታ

ቀመር f" 0 (x *) = 0 ነው። አስፈላጊ ሁኔታየአንድ ተለዋዋጭ ተግባር ጽንፍ, ማለትም. ነጥብ x * ላይ የመጀመሪያው የተግባር አመጣጥ መጥፋት አለበት። ተግባሩ የማይጨምር ወይም የማይቀንስባቸው ቋሚ ነጥቦች x c ይለያል።

የአንድ ተለዋዋጭ ተግባር ጽንፍ በቂ ሁኔታ

f 0 (x) ከ x አንፃር ሁለት ጊዜ የሚለይ ይሁን፣ የስብስቡ ንብረትዲ. በ x * ሁኔታው ​​ከተሟላ፡-

ረ" 0 (x *) = 0
ረ" 0 (x *) > 0

ከዚያ ነጥብ x * የአካባቢ (አለምአቀፍ) የተግባሩ ዝቅተኛ ነጥብ ነው።

በ x * ሁኔታው ​​ከተሟላ፡-

ረ" 0 (x *) = 0
ረ" 0 (x *)< 0

ከዚያ ነጥብ x * የአካባቢ (አለምአቀፍ) ከፍተኛ ነው።

ምሳሌ ቁጥር 1 ትልቁን ያግኙ እና ትንሹ እሴትተግባራት: በክፍል ላይ.
መፍትሄ።

ወሳኝ ነጥብ አንድ x 1 = 2 (f’(x)=0) ነው። ይህ ነጥብ የክፍሉ ነው. (ነጥቡ x=0 ወሳኝ አይደለም፣ከ0∉ ጀምሮ)።
በክፋዩ መጨረሻ እና በወሳኙ ነጥብ ላይ የተግባሩን እሴቶች እናሰላለን።
ረ(1)=9፣ ረ(2)= 5/2፣ ረ(3)=3 8/81
መልስ፡ f ደቂቃ = 5/2 በ x=2; f max =9 በ x=1

ምሳሌ ቁጥር 2. ከፍተኛ ቅደም ተከተሎችን በመጠቀም የተግባሩን ጽንፍ y=x-2sin(x) ያግኙ።
መፍትሄ።
የተግባሩን መነሻ ያግኙ፡ y'=1-2cos(x)። ወሳኝ ነጥቦችን እንፈልግ፡ 1-cos(x)=2፣ cos(x)=½፣ x=± π / 3 +2πk፣ k∈Z። y’’=2sin(x) እናገኛለን፣ አስላ፣ ትርጉሙ x= π / 3 +2πk፣ k∈Z የተግባሩ ዝቅተኛ ነጥቦች ናቸው። ፣ ማለትም x=- π/3 +2πk፣ k∈Z የተግባሩ ከፍተኛ ነጥቦች ናቸው።

ምሳሌ ቁጥር 3. በነጥብ x=0 አካባቢ ያለውን የጽንፈኛውን ተግባር መርምር።
መፍትሄ። እዚህ የተግባሩን ጽንፍ መፈለግ አስፈላጊ ነው. ጽንፈኛው x=0 ከሆነ፣ የእሱን አይነት (ቢያንስ ወይም ከፍተኛ) እወቅ። ከተገኙት ነጥቦች መካከል x = 0 ከሌለ, የተግባሩን ዋጋ ያስሉ f(x=0).
በአንድ የተወሰነ ነጥብ በእያንዳንዱ ጎን ላይ ያለው ተዋጽኦ ምልክቱን በማይቀይርበት ጊዜ ሊፈጠሩ የሚችሉ ሁኔታዎች ለተለያዩ ተግባራት እንኳን ሳይታክቱ እንደማይቀር ልብ ሊባል ይገባል-ይህም ሊከሰት ይችላል በአንደኛው ነጥብ x 0 ወይም በዘፈቀደ ትንሽ ሰፈር በሁለቱም በኩል የመነሻ ለውጦች ምልክት. በነዚህ ነጥቦች ላይ ተግባራትን በአክራሪነት ለማጥናት ሌሎች ዘዴዎችን መጠቀም አስፈላጊ ነው.