Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

В статье приведена самая важная теоретическая информация и необходимые для решения конкретных задач формулы. По полочкам разложены важные утверждения и свойства фигур.

Определение и важные факты

Планиметрия - это раздел геометрии, рассматривающий объекты на плоской двумерной поверхности. Можно выделить некоторые подходящие примеры: квадрат, круг, ромб.

Среди всего прочего стоит выделить точку и прямую. Они являются двумя основными понятиями планиметрии.

Уже на них строятся все остальное, например:

Аксиомы и теоремы

Подробнее разберемся с аксиомами. В планиметрии это наиважнейшие правила, по которым работает вся наука. Да и не только в ней. По определению, речь идет об утверждениях, не требующих доказательств.

Аксиомы, которые буду рассмотрены ниже, входят в так называемую Евклидовую геометрию.

• Есть две точки. Через них всегда можно провести единственную прямую.
• Если существует прямая, то есть точки, которые на ней лежат, и точки, не лежащие на ней.

Это 2 утверждения принято называть аксиомами принадлежности, а следующие - порядка:

• Если на прямой расположены три точки, то одна из них обязательно находится между двумя другими.
• Плоскость делится любой прямой на две части. Когда концы отрезка лежат на одной половине, то значит и весь объект принадлежит ей. В ином случае исходная прямая и отрезок имеют точку пересечения.

Аксиомы мер:

• Каждый отрезок имеет длину, отличную от нуля. Если точка разбивает его на несколько частей, то их сумма будет равна полной длине объекта.
• У каждого угла есть определенная градусная мера, которая не равна нулю. Если разбить его лучом, то исходный угол будет равен сумме образованных.

Параллельность:

• На плоскости расположена прямая. Через любую точку, не принадлежащую ей, можно провести лишь одну прямую, параллельную данной.

Теоремы в планиметрии - это уже не совсем фундаментальные утверждения. Обычно их принимают как факт, но каждая из них имеет доказательство, построенное на основных понятиях, упомянутых выше. Кроме того, их очень много. Разобрать все будет довольно трудно, но в представленном материале будут присутствовать некоторые из них.

Со следующими двумя стоит ознакомиться пораньше:

• Сумма смежных углов равна 180 градусам.
• Вертикальные углы имеют одинаковую величину.

Эти две теоремы могут пригодиться в решении геометрических задач, связанных с n-угольниками. Они довольно просты и интуитивно понятны. Стоит их запомнить.

Треугольники

Треугольник - это геометрическая фигура, состоящая из трех последовательно соединенных отрезков. Классифицируют их по нескольким признакам.

По сторонам (соотношения выплывают из названий):

По углам:

• остроугольный;
• прямоугольный;
• тупоугольный.

Два угла независимо от ситуации всегда будут острыми, а третий определяется первой частью слова. То есть у прямоугольного треугольника один из углов равен 90 градусам.

Свойства:

• Чем больше угол, тем больше противоположная ему сторона.
• Сумма всех углов - 180 градусов.
• Площадь можно вычислить по формуле: S = ½ ⋅ h ⋅ a, где a - сторона, h - проведенная к ней высота.
• Всегда можно вписать окружность в треугольник или же описать ее вокруг него.

Об одной из основных формул планиметрии говорит теорема Пифагора. Работает она исключительно для прямоугольного треугольника и звучит так: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: AB 2 = AC 2 + BC 2 .

Под гипотенузой подразумевают сторону, противоположную углу 90°, а под катетами - прилежащие.

Четырехугольники

Информации на эту тему чрезвычайно много. Ниже приведена лишь самая важная.

Некоторые разновидности:

1. Параллелограмм - противоположные стороны равны и попарно параллельны.
2. Ромб - параллелограмм, чьи стороны имеют одинаковую длину.
3. Прямоугольник - параллелограмм с четырьмя прямыми углами
4. Квадрат - одновременно ромб и прямоугольник.
5. Трапеция - лишь две противоположные стороны параллельны.

Свойства:

• Сума внутренних углов равна 360 градусам.
• Площадь всегда можно вычислить по формуле: S=√(p-a)(p-b)(p-c)(p-d), где p - половина периметра, a, b, c, d - стороны фигуры.
• Если вокруг четырехугольник можно описать окружность, тогда его называю выпуклым, если нет - невыпуклым.

Н а этой странице собраны теоремы планиметрии, которые репетитор по математике может использовать в подготовке способного ученика к серьезному экзамену: олимпиаде или экзамену в МГУ (в подготовке на Мехмат МГУ, ВМК), к олимпиаде в Высшей Школе Экономики, к олимпиаде в Финансовой Академии и в МФТИ. Знание этих фактов открывает перед репетитором большие возможности по составлению конкурсных задач. Достаточно «обыграть» какую-нибудь упомянутую теорему на числах или дополнить ее элементы несложными взаимосвязями с другими математическими объектами, и получится вполне приличная олимпиадная задачка. Многие свойства присутствуют в сильных школьных учебниках в качестве задач на доказательство и специально не выносятся в заголовки и разделы параграфов. Я постарался исправить этот недостаток.

Математика — необъятный предмет, а количество фактов, которые можно выделять как теоремы — бесконечно. Репетитор по математике не может физически знать и помнить все. Поэтому какие-то хитрые взаимосвязи между геометрическими объектами каждый раз открываются преподавателю заново. Собрать все их на одной странице сразу — невозможно физически. Поэтому я буду заполнять страницу постепенно, по мере использования теорем на своих уроках.

Советую начинающим репетиторам по математике быть осторожнее в использовании дополнительных справочных материалов, поскольку большинство этих фактов школьники не знают.

Репетитор по математике о свойствах геометрических фигур

1) Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекается с биссектрисой противоположного ей угла на окружности, описанной около данного треугольника. Это следует из равенства дуг, на которые серединный перпендикуляр делит нижнюю дугу, и из теоремы о вписанном угле в окружность.

2) Если из одной вершины в треугольнике проведены биссектриса b, медиана m и высота h, то биссектриса будет лежать между двумя другими отрезками, а длины всех отрезков подчиняются двойному неравенству .

3) В произвольном треугольнике расстояние от любой его вершины до его ортоцентра (точки пересечения высот) в 2 раза больше расстояния от центра описанной около этого треугольника окружности до противоположной этой вершине стороны. Для доказательства можно провести через вершины треугольника прямые, параллельные его высотам. Затем использовать подобие исходного и полученного треугольника.

4) Точка пересечения медиан M любого треугольника (его центр тяжести) вместе с ортоцентром треугольника H и центром описанной окружности (точка O) лежат на одной примой, причем . Это следует из предыдущего свойства и из свойства точки пересечения медиан.

5) Продолжение общей хорды двух пересекающихся окружностей делит отрезок их общей касательной на две равные части. Это свойство верно независимо от характера этого пересечения (то есть от расположения центров окружностей). Для доказательства можно воспользоваться свойством квадрата отрезка касательной.

6) Если в треугольнике проведена биссектриса его угла, то её квадрат равен разности произведений сторон угла и отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону.

То есть имеет место следующее равенство

7) Знакома ли Вам ситуация, когда к гипотенузе проводится высота из вершины прямого угла? Наверняка. А знаете ли Вы, что все треугольники, которые при этом получаются подобны? Наверняка знаете. Тогда наверняка не знаете, что любые соответствующие элементы этих треугольников образуют равенство, повторяющее теорему Пифагора, то есть, например, , где и — радиусы вписанных окружностей в малые треугольники, а — радиус окружности, вписанной в большой треугольник.

8) Если вам попался произвольный четырехульник со всеми известными сторонами a,b,c и d, то его площадь можно легко посчитать по по формуле, напоминающей формулу Герона:
, где x – сумма любых двух противоположных углов четырехугольника. Если данный четырехугольника является вписанным в окружность, то и формула принимает вид:
и называется формулой Брахмагупты

9) Если ваш четырехугольник описан около окружности (то есть окружность в него вписана), то площадь четырехугольника вычисляется по формуле

Средний уровень

Основные аксиомы планиметрии. Исчерпывающий гид (2019)

1. Основные понятия планиметрии

Почему все в картинках и без слов? А нужны ли слова? Мне кажется, на первых порах не очень нужны. Вообще-то, математики, конечно, умеют все описывать словами, и такие описания ты можешь найти в следующих уровнях теории, а сейчас продолжим картинками.

Что же еще? Ах да, нам же нужно научиться измерять отрезки и углы.

У каждого отрезка есть длина - число, которое этому отрезку (зачем-то …) поставили в соответствие. Длину принято измерять … линейкой, конечно, в сантиметрах, миллиметрах, метрах и даже в километрах.

А теперь измерение углов . Углы почему-то принято измерять в градусах. Почему? На это есть исторические причины, но мы сейчас занимаемся не историей. Поэтому придется принять просто как должное следующее соглашение.

В развернутом угле градусов.

Для краткости пишут: . При этом, конечно же, величину всех остальных углов можно найти, если выяснить, какую часть от развернутого угла составляет данный угол . Инструмент для измерения углов называется транспортир. Думаю, ты его уже не раз в жизни видел.

2. Два основных факта об углах

I. Смежные углы в сумме составляют.

Это совсем естественно, не правда ли? Ведь смежные углы вместе составляют развернутый угол!

II. Вертикальные углы равны.

Почему? А смотри:

Что теперь? Ну, конечно, отсюда следует, что. (Достаточно, например, вычесть из первого равенства второе. А вообще-то, можно просто посмотреть на картинку).

Чему равна величина прямого угла?

Ну конечно, ! Ведь.

4. Острый и тупой угол.

Вот, в общем-то и все, что тебе нужно знать для начала. Почему же мы ни слова не сказали об аксиомах ?

Аксиомы - это правила действия с основными объектами планиметрии, самые первые утверждения о точках и прямых. Эти утверждения берутся за основу, не доказываются.

Почему же все-таки мы их не формулируем и не обсуждаем? Понимаешь, аксиомы планиметрии в некотором смысле просто описывают ясные интуитивно соотношения довольно длинным математическим языком. Четкое осознание аксиоматики необходимо чуть позже, когда ты привыкнешь к геометрическим понятиям на уровне здравого смысла. Тогда - добро пожаловать в - там есть довольно подробное обсуждение аксиом. А пока попробуй поступать как совсем древние греки, до времен Евклида - просто решай задачи, пользуясь здравым смыслом. Уверяю тебя, множество задач тебе поддадутся!

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Представь, что ты вдруг очутился на другой планете, ну или… в компьютерной игре.

Перед тобой набор неизвестных продуктов, а твоя задача - приготовить из этого набора как можно больше вкусных блюд. Что тебе понадобится? Конечно же, правила, инструкции - что можно делать с теми или иными продуктами. А то вдруг ты сваришь то, что едят только в сыром виде или, наоборот, положишь в салат то, что непременно нужно варить или жарить? Так что, без инструкций - никуда!

Хорошо, но к чему такое вступление? Причем тут геометрия? Понимаешь, великое множество утверждений о всяких фигурах в геометрии и есть то самое множество «блюд», которые мы должны научиться готовить. Но из чего? Из основных объектов геометрии! А вот инструкция по их «употреблению» называется умными словами «система аксиом» .

Так что, внимание!

Основные объекты и аксиомы планиметрии.

Точка и прямая

Это и есть самые главные понятия планиметрии. Математики говорят, что это «неопределяемые понятия». Как так? А вот так, нужно же с чего-то начинать.

Теперь первые правила обращения с точками и прямыми. Эти правила математики называют «аксиомы» - утверждения, которые принимаются за основу, из которых потом все основное будет выводиться (помнишь, что у нас большая кулинарная миссия по «приготовлению» геометрии?). Так вот, первая серия аксиом называется

I. Аксиомы принадлежности.

Обрати внимание, эта аксиома позволяет рисовать так:

Вот так: было две точки:

И тут же нашлась прямая:

А другой - нет!

Если тебе все это кажется слишком очевидным, то вспомни, что ты - на другой планете и до сих пор совершенно не знал, что делать с объектами «точка» и «прямая» .

Луч, отрезок, угол.

Вот теперь мы научились наносить точки на прямые и проводить прямые через точки, поэтому уже можем приготовить первые простейшие "блюда" - , отрезок , угол.

1) ЛУЧ

Вот он,

2) ОТРЕЗОК

Теперь наведем порядок. Следующая серия аксиом так и называется:

II. Аксиомы порядка.

Теперь - следующий уровень. Нам нужны инструкции по измерению отрезков и углов. Эти аксиомы называются

III. Аксиомы мер для отрезков и углов.

А теперь уже совсем странно.

IV. Аксиомы существования треугольника, равного данному.

Более понятными являются два следствия из этой аксиомы:

Ну, и последняя легендарная аксиома параллельных !

Но сперва определение :

V. Аксиома параллельных.

Ну вот, и закончились аксиомы планиметрии ! Слишком много их? Но представь себе, все они нужны. Для каждой из них есть хитрое-хитрое рассуждение, которое показывает, что если удалить эту аксиому, то развалится всё здание геометрии! Ну, или останется нечто, совершенно непохожее на то, к чему мы привыкли.

А теперь два основных факта об углах!

Смежные и вертикальные углы.

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало - вершиной

Это совсем простая теорема, правда?

Ведь общая сторона смежных углов просто-напросто разбивает развернутый угол на два угла и поэтому (ВНИМАНИЕ: работает Аксиома 3.2!) сумма смежных углов равна величине развернутого, то есть.

Проще нарисовать, чем описывать - смотри картинку.

Эта тоже легкая теорема. Убедись:

Острый и тупой угол.

КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Аксиомы принадлежности:

• Аксиома 1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
• Аксиома 2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Аксиомы порядка:

• Аксиома 3. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
• Аксиома 4. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Аксиомы мер для отрезков и углов:

• Аксиома 5. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
• Аксиома 6. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Аксиомы существования треугольника, равного данному:

Аксиома параллельных:

• Аксиома 8. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Основные факты об углах:

• Теорема. Сумма смежных углов равна.

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время .

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

1. Открой доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб.
2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - 999 руб.

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Во втором случае мы подарим тебе тренажер “6000 задач с решениями и ответами, по каждой теме, по всем уровням сложности”. Его точно хватит, чтобы набить руку на решении задач по любой теме.

На самом деле это намного больше, чем просто тренажер - целая программа подготовки. Если понадобится, ты сможешь ею так же воспользоваться БЕСПЛАТНО.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Но тут же ученику предложили доказать, что сумма углов в треугольнике равна 180°. Учащийся сослался на свойства параллельных прямых. Но сами свойства параллельных прямых он стал доказывать на основе признаков параллельности прямых. Круг замкнулся. Поэтому в повторении теории будьте последовательны и внимательны. При чтении доказательства теоремы особое внимание обращайте на то, где в доказательстве использованы условия теоремы, какие ранее доказанные теоремы при этом использовались.
В настоящем параграфе формулировки теорем приведены по учебнику А. В. Погорелова «Геометрия. 7–9 классы».

Основные теоремы планиметрии и следствия из них

1. Теоремы о прямых (параллельность и перпендикулярность на плоскости)

Свойства параллельных прямых.
Две прямые, параллельные третьей, параллельны (рис. 57).
(а||с, b||с) ? а||b.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180° (рис. 58).
а||b ? ? = ?
? + ? = 180°.

Признаки параллельности прямых.
Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны (рис. 59):
внутренние накрест лежащие углы равны? а||b.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма образовавшихся внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. 60):
а||b.

Если при пересечении двух прямых третьей образующиеся соответственные углы равны, то прямые параллельны (рис. 61):
а||b.

Теоремы о существовании и единственности перпендикуляра к прямой. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну (рис. 62).

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один (рис. 63).

Прямая b – единственная прямая, проходящая через точку А перпендикулярно а.

Связь между параллельностью и перпендикулярностью.
Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны (рис. 64).
(а? с, b ? с) ? а||b.

Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой (рис. 65):
(а? b, b||с) ? а? с.

Рис. 65.

2 Теоремы об углах. Углы в треугольнике. Вписанные в окружность углы

Свойство вертикальных углов.
Вертикальные углы равны (рис. 66):
? = ?.

Свойство углов равнобедренного треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Верна и обратная теорема: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (рис. 67):
АВ = ВС? ?А = ?С.

Теорема о сумме углов в треугольнике.
Сумма внутренних углов треугольника равна 180° (рис. 68):
? + ? + ? = 180°.

Теорема о сумме углов в выпуклом n-угольнике.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°?(n – 2) (рис. 69).

Пример:?1 + ?2 + ?3 + ?4 + ?5 = 180°?(5–2) = 540°.

Теорема о внешнем угле треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним (рис. 70):
? = ? + ?.

Теорема о величине вписанного в окружность угла.
Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего q центрального угла (рис. 71):

Рис. 71.

3. Основные теоремы о треугольнике

Признаки равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 72).

ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1В1, АС = А1С1 и?A = ?A1.
Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 73).

ABC = ?A1B1C1 т. к. АC = А1C1, ?A = ?A1, ?C = ?C1.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 74).

ABC = ?A1B1C1 т. к. АB = А1B1, АC = А1C1, BC = B1C1.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 75).

ABC = ?A1B1C1 т. к. ?А = ?А1 = 90°; BC = B1C1; AB = A1B1.
Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 76).

АВС = ?А1В1С1, т. к. АВ = А1В1, ?А = ?A1 a ?С = ?С1 = 90°.

Свойство медианы равнобедренного треугольника.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой (рис. 77).

(АВ = ВС, АМ = МС) ? (?АВМ = ?МВС, ?АМВ = ?ВМС = 90°).

Свойство средней линии треугольника.
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине (рис. 78).

EF||AC, EF = 1/2АС, т. к. АЕ = ЕВ и BF = FC.

Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 79).

Рис. 79.

Теорема косинусов.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (рис. 80).

А2= b2+ с2– 2bc cos ?.
Теорема Пифагора (частный случай теоремы косинусов).
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (рис. 81).

С2= а2+ b2.

4. Пропорциональность и подобие на плоскости

Теорема Фалеса.
Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне (рис. 82).

(АВ = BC, AA1||BB1||CC1) ? A1B1 = В1С1, q и р – лучи, образующие угол?.
а, b, с – прямые, пересекающие стороны угла.

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщение теоремы Фалеса).
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (рис. 83).

Рис. 83.

Или

Свойство биссектрисы треугольника.
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую ему сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам (рис. 84).

Если? = ?, то

Или

Признаки подобия треугольников.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 85).

Треугольники ABC и A1B1C1 – подобные, т. к. ? = ?1 и? = ?1.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны (рис. 86).

Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к.

И? = ?1.
Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 87).

Треугольники ABC и A1B1C1 – подобны, т. к

5. Основные геометрические неравенства

Соотношение длин наклонной и перпендикуляра.
Если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то любая наклонная больше перпендикуляра, равные наклонные имеют равные проекции, из двух наклонных больше та, у которой проекция больше (рис. 88):
АА" < АВ < АС; если А"С > А"В, то АС > АВ.

Неравенство треугольника.
Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (рис. 89):
АС < АВ + ВС.

Связь между величинами сторон и величинами углов в треугольнике.
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол (рис. 90).
(BC < AB < AC) ? (?А < ?С < ?В).

Рис. 90.

6. Основные геометрические места точек на плоскости

Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от сторон угла, будет биссектриса данного угла (рис. 91).

АК = AT, где А – любая точка на биссектрисе.
Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух данных точек, будет прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину (рис. 92).

MA = MB, где М – произвольная точка на серединном перпендикуляре отрезка АВ.
Геометрическим местом точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, будет окружность с центром в этой точке (рис. 93).

Точка О равноудалена от точек окружности.

Местоположение центра окружности, описанной около треугольника.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины этих сторон (рис. 94).

А, В, С – вершины треугольника, лежащие на окружности.
АМ = МВ и АК = КС.
Точки М и К – основания перпендикуляров к сторонам АВ и АС соответственно.

Местоположение центра окружности, вписанной в треугольник.
Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис (рис. 95).

В?ABC отрезки AT и СК являются биссектрисами.

7. Теоремы о четырёхугольниках

Свойства параллелограмма.
У параллелограмма противолежащие стороны равны. У параллелограмма противолежащие углы равны.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 96).

АВ = CD, ВС = AD, ?BAD = ?BCD, ?АВС = ?ADC, AO = OC, BO = OD.

Признаки параллелограмма.
Если у четырёхугольника две стороны параллельны и равны, то он является параллелограммом (рис. 97).

ВС||AD, ВС = AD ? ABCD – параллелограмм.

Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм (рис. 98).

АО = ОС, ВО = OD ? ABCD – параллелограмм.

Свойства прямоугольника.
Для прямоугольника характерны все свойства параллелограмма (у прямоугольника противолежащие стороны равны; у прямоугольника противолежащие углы равны (90°); диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
Диагонали прямоугольника равны (рис. 99):
АС = BD.

Признак прямоугольника.
Если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.

Свойства ромба.
Для ромба характерны все свойства параллелограмма (у ромба противолежащие стороны равны – вообще все стороны по определению равны; у ромба противолежащие углы равны; диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (рис. 100).

AC ? BD, ?ABD = ?DВС = ?CDB = ?BDA, ?ВАС = ?CAD = ?ВСА = ?DCA.

Признак ромба.
Если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.

Свойства квадрата.
Квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба.

Признак квадрата.
Если диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом, то он – квадрат.

Свойство средней линии трапеции.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме (рис. 101).

Рис. 101.

Критерии вписанного и описанного четырехугольников.
Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы его противоположных углов равны по 180° (рис. 102).
?А + ?С = ?В + ?D = 180°.

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны (рис. 103).
AB + CD = AD + BC.

Рис. 103.

8. Теоремы об окружностях

Свойство хорд и секущих.
Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 104).

Если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS (рис. 105).

Число?.
Отношение длины окружности к её диаметру не зависит от радиуса окружности, то есть оно одно и то же для любых двух окружностей. Это число равно? (рис. 106).

Рис. 106.

9. Векторы

Теорема о разложении вектора по базису.
Если на плоскости даны два неколлинеарных вектора а и b и любой другой вектор с, то существуют единственные числа n и m, такие, что с = nа + mb (рис. 107).
где

Теорема о скалярном произведении векторов.
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных q величин (длин) на косинус угла между ними (рис. 108).
ОА? ОВ = ОА? OB ? cos ?.

Рис. 108.

Основные формулы планиметрии

Для треугольника (рис. 109):

Рис. 109.

Где a, b, с – стороны треугольника;
?, ?, ? – противолежащие им углы;
r и R – радиусы вписанной и описанной окружностей;
ha, ma, la – высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне а;
S – площадь треугольника;

– полупериметр треугольника.
Медианы в треугольнике делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины (рис. 110).

Рис. 110.

Для четырёхугольников:

Где а, b – длины оснований;
h – высота трапеции.

Площадь параллелограмма со сторонами а, b и углом? между ними вычисляется по формуле S = ab sin ?. Можно также воспользоваться формулой:

Где d1, d2– длины диагоналей, ? – угол между ними (или S = aha, где ha – высота).
Для произвольного выпуклого четырёхугольника (рис. 111):

Для правильного n-угольника:

(R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, аn – длина стороны правильного n-угольника).
Для окружности и круга (рис. 112):

Рис. 112.

И 1\2R2?, если? выражен в радианах.
Sсегмента = Sсектора – Sтреугольника.

Формулы аналитической планиметрии

Если даны точки A(x1; y1) и В(х2; у2), то

Уравнение прямой АВ:

Легко приводится к виду ах + by + с = 0, где вектор n = (а, b) перпендикулярен прямой.
Расстояние от точки А(х1; у1) до прямой ах + by + с = 0 равно

Расстояние между параллельными прямыми ах + by + с1 = 0 и ах + by + с2 = 0 равно

Угол между прямыми а1х + BLу + с1 = 0 и а2х + b2y + с2 = 0 вычисляется по формуле:

Уравнение окружности с центром в точке O(x0, y0) и радиусом R:(x – xo)2+ (y – yo)2= R2.

3.2. Вопросы для самопроверки

1. а) Какое вы знаете свойство вертикальных углов? (1)
2. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. (1)
3. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по стороне и двум углам. (1)
б) Докажите данный признак. (1)
4. а) Перечислите основные свойства равнобедренного треугольника. (1)
в) Докажите признак равнобедренного треугольника. (1)
5. а) Сформулируйте признак равенства треугольников по трём сторонам. (1)
б) Докажите данный признак. (1)
6. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны. (2)
7. а) Сформулируйте признаки параллельности прямых. (1)
в) Докажите обратные теоремы. (1)
8. Докажите теорему о сумме углов треугольника. (1)
9. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. (1)
10. а) Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников. (1)
б) Докажите признаки равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету; по гипотенузе и острому углу. (1)
11. а) Докажите, что из точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую единственный перпендикуляр. (1)
б) Докажите, что через точку, лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной. (1)
12. а) Где лежит центр описанной около треугольника окружности? (1)
13. а) Где лежит центр вписанной в треугольник окружности? (1)
б) Докажите соответствующую теорему. (1)
14. Докажите свойство касательной к окружности. (1)
15. а) Какие вы знаете свойства параллелограмма? (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
16. а) Какие вы знаете признаки параллелограмма? (1)
б) Докажите эти признаки. (1)
17. а) Какие вы знаете свойства и признаки прямоугольника? (1)
18. а) Какие вы знаете свойства и признаки ромба? (1)
б) Докажите эти свойства и признаки. (1)
19. а) Какие вы знаете свойства и признаки квадрата? (1)
б) Докажите эти свойства и признаки. (1)
20. а) Сформулируйте теорему Фалеса. (1)
б) Докажите эту теорему. (1)
21. а) Сформулируйте обобщенную теорему Фалеса (теорему о пропорциональных отрезках). (1)
б) Докажите эту теорему. (2)
22. а) Какие свойства средней линии треугольника вы знаете? (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
23. а) Какие вы знаете свойства средней линии трапеции? (1)
б) Докажите эти свойства. (1)
24. а) Сформулируйте теорему Пифагора. (1)
б) Докажите теорему Пифагора. (1)
в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (2)
25. Докажите, что любая наклонная больше перпендикуляра, и что из двух наклонных больше та, у которой больше проекция. (1)
26. а) Сформулируйте неравенство треугольника. (1)
б) Докажите неравенство треугольника. (2)
27. Даны координаты точек A(х1; у1) и В(х2; у2).
а) По какой формуле вычисляется длина отрезка AB? (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
28. Выведите уравнение окружности с центром в точке А(х0; у0) и радиусом R. (1)
29. Докажите, что любая прямая в декартовых координатах х, у имеет уравнение вида ах + by + с = 0. (2)
30. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(х1; у1) и В(х2; у2). Ответ: обоснуйте. (2)
31. Докажите, что в уравнении прямой у = kx + b число k есть тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. (2)
32. а) Какие вы знаете основные свойства движений? (2)
б) Докажите эти свойства. (3)
33. Докажите, что:
а) преобразование симметрии относительно точки является движением; (3)
б) преобразование симметрии относительно прямой является движением; (3)
в) параллельный перенос есть движение. (3)
34. Докажите теорему о существовании и единственности параллельного переноса. (3)
35. Докажите, что абсолютная величина вектора kа равна |к| ? |а|, при этом направление вектора kа при а? О совпадает с направлением вектора а, если k > 0, и противоположно направлению вектора а, если к < 0. (1)
36. Докажите, что любой вектор а можно разложить по векторам b и с (все три вектора лежат на одной плоскости). (1)
37. Даны векторы а = (а1; а2) и b = (BL; b2). Докажите, что

Где? – угол между векторами.
38. а) Какие вы знаете свойства скалярного произведения векторов? (1)
б) Докажите эти свойства. (2)
39. Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия. (1)
40. а) Какие вы знаете свойства преобразования подобия? (1)
б) Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы между лучами. (2)
41. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по двум углам. (1)
42. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними. (1)
б) Докажите этот признак. (1)
43. а) Сформулируйте признак подобия треугольников по трём сторонам. (1)
б) Докажите этот признак. (2)
44. а) Сформулируйте свойство биссектрисы треугольника. (1)
б) Докажите, что биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. (1)
45. а) Сформулируйте свойство вписанного в окружность угла. (1)
б) Докажите это свойство. (1)
46. а) Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS ? BS = CS ? DS. (1)
б) Докажите, что если из точки S к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS. (1)
47. а) Сформулируйте теорему косинусов для треугольника. (1)
б) Докажите эту теорему. (1)
48. а) Сформулируйте теорему синусов. (1)
б) Докажите эту теорему. (1)
в) Докажите, что в теореме синусов каждое из трёх отношений:

Равно 2R, где R – радиус описанной около треугольника окружности. (1)
49. Докажите, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. (2)
50. а) Чему равна сумма углов выпуклого n-угольника? (1)
б) Выведите формулу суммы углов выпуклого n-угольника. (1)
51. а) Докажите, что в правильный многоугольник можно вписать окружность. (1)
б) Докажите, что около правильного многоугольника можно описать окружность. (1)
52. Дан правильный n-угольник со стороной а. Выведите формулы:
а) радиусов вписанной и описанной окружностей; (1)
б) площади n-угольника; (1)
в) угла при вершине. (1)
53. Докажите, что отношение длины окружности к её диаметру не зависит от размера окружности. (3)
54. Как переводить углы из градусной меры в радианную и наоборот? (1)
55. Докажите, что площадь прямоугольника равна произведению длины прямоугольника на его ширину. (3)
56. а) По какой формуле вычисляется площадь параллелограмма? (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
57. а) По какой формуле вычисляется площадь треугольника? (через основание и высоту). (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
в) Выведите формулу Герона. (1)
58. а) По какой формуле вычисляется площадь трапеции? (1)
б) Выведите эту формулу. (1)
59. Выведите формулы:

Где a, b, c – длины сторон треугольника;
S – его площадь;
R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей. (1)
60. Пусть F1 и F2 – две подобные фигуры с коэффициентом подобия k. Как относятся площади этих фигур? Ответ: обоснуйте. (1)
61. а) По какой формуле вычисляется площадь круга? (1)
б) Выведите эту формулу. (3)
62. Выведите формулу площади кругового сектора. (2)
63. Выведите формулу площади кругового сегмента. (2)
64. а) Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (2)
б) Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. (2)
в) Докажите, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. (2)
г) Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. (1)
65. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. (1)
66. а) Сформулируйте теорему Чевы. (3)
б) Докажите эту теорему. (3)
67. а) Сформулируйте теорему Мене лая. (3)
б) Докажите эту теорему. (3)
в) Сформулируйте и докажите обратную теорему. (3)
68. а) Докажите, что если стороны одного угла параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо составляют 180°. (2)