Данный урок является уроком обобщения и систематизации знаний по изученной теме.В ходе урока учащиеся имеют возможность проверить свои знания по темам "Вписанный угол" и "Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности", решить задачи открытого банка ОГЭ.
Просмотр содержимого документа
«Тема урока "Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности" 9 класс»
Урок № ____ (геометрия 9 класс)
Пропорциональность отрезков, хорд и секущих
Цель урока : закрепить свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства секущих отрезков и показать, как они используются при решении задач.
Задачи урока:
образовательная: проверить знания теоретического материала по темам «Углы, вписанные в окружность. Пропорциональность отрезков, хорд и секущих»
развивающая: развитие познавательного интереса, любознательности, умение анализировать, наблюдать и делать выводы;
воспитательная: повышать заинтересованность в изучении предмета математики; воспитание самостоятельности, активности.
Ход урока
Орг.момент (1 мин)
Проверка домашнего задания (фронтально) (3 мин.)
Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальная работа с классом. (7 мин.)
| Что такое окружность, центр окружности, радиус? Является ли радиусом этой окружности Отрезок ОС; Отрезок ОD; Отрезок ОВ, ОА? Что такое хорда окружности? Какая хорда называется диаметром? Постройте полупрямую DС. Как называется такая полупрямая? |
|
|
| С какими углами, связанными с окружностью, вы уже знакомы? Дайте определение и назовите их на чертеже. Как связаны градусные меры этих углов? Как связаны их градусные меры с дугой, на которую они опираются? |
| Какие следствия из теоремы о вписанном в окружность угле нами изучены? |
|
|
|
|
| Сформулируйте свойство отрезков пересекающихся хорд окружности. |
|
| Сформулируйте свойство отрезков секущих окружности. |
Тренировочные упражнения. Решение задач (14 мин.)
Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите длину АМ, если АР = 2 дм, АТ = 24 дм, АМ: КА = 3: 4.
Из одной точки проведены к окружности две секущие, внутренние отрезки которых соответственно равны 8 и 16. Внешний отрезок второй секущей на 1 меньше внешнего отрезка первой. Найти длину каждой секущей.
Самостоятельная работа с взаимопроверкой (12 мин).
| Вариант 1 | Вариант 2 |
|
Центральный угол на 59 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах. | Центральный угол на 52 0 больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах. |
 В окружности с центром O AC и BD AOD равен 138 0 . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах. | 2) В окружности с центром O AC и BD - диаметры. Центральный угол AOD равен 146 0 . Найдите вписанный угол ACB . Ответ дайте в градусах. |
| Хорды АВ и СD пересекаются в точке М. СМ=2 см, МD=6 см, ВМ=3 см. Найдите длину отрезка АМ. | Хорды АВ и СD пересекаются в точке М. СМ=2 см, МD=12 см, ВМ=3 см. Найдите длину отрезка АМ. |
| Дано: ВС=12 см. ВЕ=4 см. ВА=16 см. | Дано: ВС=12 см. ВЕ=5 см. ВА=15 см. |
| Вариант 1 | Вариант 2 |
Подведение итогов урока (2 мин). Рефлексия.
Сообщение домашнего задания (2 мин)
Домашнее задание по карточке.
Решить задачи:
1. Хорды MN и KL пересекаются в точке А, причем хорда MN делится точкой А на отрезки, равные 1 см и 15 см. На какие отрезки точка А делит хорду KL, если KL в два раза меньше MN.
2. Хорды АВ и СD пересекаются в точке М. Найдите длину хорды АВ, если СМ=4 см, DМ=9 см, АМ:МВ=4.
V. Итог урока
У. Назоваите все получившиеся вписанные углы (рис. 30).
Д. САВ; АВС; ВС.
У. Назовите все углы между касательной и хордами.
Д. NAB; NBA; KBC; KCB; MCA; MAC.
У. Какие из них будут равны и почему?
Д. NAB = NBA; KBC= KCB; MCA = MAC. У каждой пары этих углов между касательной и хордой заключена одна и таже дуга, поэтому они численно равны половине, то есть равны между собой.
У. Какой их углов треугольника равен каждой из этих трех пар и почему?
Д. NAB = NBA = C; KBC = KCB = A; MCA = MAC = B. Так как угол между касательной и хордой равен вписанном углу,опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой.
У. Что можно сказать про вид треугольников ANB; BKC; CMA?
Д. они равнобедренные, так как в каждом из этих треугольников есть по два равных угла.
V I. Домашнее задание
№656, 663 по учебнику Атанасян.
Выучить теорию (подготовка к тесту).
Урок 6 – 7
Тема. Пропорциональность отрезков хорд и секущих.
Цели урока. Проверить знания учащихся и понимание темы: «Вписанный угол»; рассмотреть теоретический материал (о хордах и секущих); закрепить навыки решения задач.
I. Вопросы по домашнему заданию
II. Проверка знаний
Проверка теории, проверка знаний учащихся по теме «Вписанный угол» носит характер теста. Тест проверяет не только фактическое знание определений, свойств, но и понимание связей между понятиями. Поэтому некоторые вопросы сформированы не строго в соответствии с учебником. На выполнение отводится 5-7 минут. Работы необходимо оценить. Если ученик не справился, то рекомендуется проверить его на знание формулировок из учебника.
Тест проводится в конце темы, так как необходимо отработать все связи между дугой, центральным и вписанным углами.
Учащимся при выполнении теста нужно написать только соответствующие номера. Мы экономим время и заставляем учащихся размышлять.
После проведения теста можно ответить на вопрос, вызвавший интерес у большинства учащихся.
Тест (по учебнику Л. С. Атанасян)
Соедините начало и окончание фразы так, чтобы получилось верное утверждение. В ответе укажите номера левой и правой частей задания, например: 2-5.
Вариант 1
|
Угол называется вписанным... Угол называется центральным… Градусная мера дуги… 4.Дуге, величиной 180°, соответствует вписанный угол… 5.Удвоенная градусная мера вписанного угла равна.. 6. Вписанный угол равен 90°… 7. Два вписанных угла, опирающихся на одну дугу… 8.Угол между касательной и хордой, проведенной в точке касания… 9. Градусная мера дуги, заключенной между сторонами вписанного угла… 10. полуокружность имеет градусную меру… |
1.…градусной мерой дуги, на которую он опирается. 2.…если он опирается на диаметр. 3.…равен половине дуги, заключенной между ними. 4.…имеют одинаковую градусную меру. 5.…в 2 раза больше его градусной меры. 6.…равную 180° 7.…если его вершина является центром окружности. 8.…имеющий градусную меру 90°. 9.…если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. 10.…равна градусной мере соответствующего центрального угла. |
Вариант 2
|
1. Угол, образованный двумя хордами, выходящими из одной точки окружности... 2. Угол, образованный двумя радиусами... 3. Градусная мера вписанного угла... 4. Угол, опирающийся на диаметр... 5. Вписанные углы имеют одинаковую градусную меру, если... 6. Градусная мера дуги... 7. Угол между касательной и хордой... 8. Дуга, заключенная между сторонами вписанного угла... 9. Касательная к окружности... 10. Градусная мера центрального угла… |
1....равен 90°. 2....равен половине дуги, заключенной между ними. 3....равна удвоенной градусной мере этого угла. 4....называется центральным углом. 5....перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. 6....называется вписанным углом. 7....равна градусной мере дуги, заключенной между его сторонами. 8....равна половине дуги, на которую он опирается. 9....равна градусной мере соответствующего центрального угла. 10....они опираются на одну и ту же дугу. |
Ответы: 1-6; 2-4; 3-8; 4-1; 5-10; 6-9; 8-3; 9-5; 10-7.
Соедините начало и окончание фразы так, чтобы получилось верное утверждение. В ответе укажите номера левой и правой частей задания, например: 2-5.
Вариант 1
|
1.Угол является вписанным... 2. Угол является центральным... 3. Два плоских угла с общими сторонами... 4.Градусная мера дуги... 5.Градусная мера центрального угла... 6.Удвоенная градусная мера вписанного угла равна... 7.Вписанный угол равен 90°... 8.Два вписанных угла, опирающихся на одну дугу... 9.Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания... 10.Градусная мера дуги, заключенной между сторонами вписанного угла... |
1....равна градусной мере дуги, на которую он опирается. 2....если он опирается на диаметр. 3....имеют одинаковые градусные меры. 4....градусной мере дуги, заключенной между его сторонами. 5....равен половине дуги, заключенной между ними. 6.…в два раза больше его градусной меры. 7....если он образован радиусами. 8....называются дополнительными. 9....если он образован хордами, проведенными из одной точки окружности. 10....равна градусной мере соответствующего центрального угла. |
Ответы: 1-9; 2-7; 3-8; 4-10; 5-1; 6-4; 7-2; 8-3; 9-5; 10-6.
Вариант 2
|
1. Угол, образованный двумя хордами, выходящими из одной точки окружности... 2.Угол, образованный двумя радиусами... 3.Два плоских угла называются дополнительными... 4.Градусная мера центрального угла... 5.Градусная мера вписанного угла... Градусная мера дуги... Угол, опирающийся на диаметр... Два вписанных угла, опирающихся на одну дугу... Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания... Дуга, заключенная между сторонами вписанного угла... |
Равен половине дуги, заключенной между ними. Равен 90°. Имеют одинаковую градусную меру. Называется вписанным. Равна удвоенной градусной мере этого угла. Называется центральным. Равна половине соответствующего центрального угла. Если они имеют общие стороны. Равна градусной мере соответствующего центрального угла. Равна градусной мере дуги, заключенной между его сторонами. |
Ответы. 1-4; 2-6; 3-8; 4-10; 5-7; 7-2; 8-3; 9-1; 10-5.
III. Объяснение нового материала
У.
Запишем
тему урока и разберем задачу по
готовому чертежу устно,(рис. 31)
У. В окружности проведены диаметр АС , хорды BD , СВ и AD и касательная CN , которая образует с продолжением хорды AD угол 30°.
Найти DBC .
Рассуждения по задаче:
1) Как называется угол DBC , на какую дугу он опирается?
2) Что можно сказать об угле CAN ?
3) Свойство касательной CN.
4) Как можно вычеслить величину угла CAN и почему?
Вывод: DBC = 60°
Во время рассуждений отмечаем на чертеже равные углы, а также ACN = 90 °. Далее предлагаем рассмотреть треугольники ВСМ и AMD. Эти треугольники подобны (можно подсказать, если не увидят сами).
Для доказательства подобия треугольников надо вспомнить признаки подобия.
На чертеже уже отмечены равные углы CBM = CAD (опираются на одну дугу). Остается только заметить вертикальные углы:
ВМС = AMD , ВСМ ~ ∆ AMD (по двум углам).
Что нужно сказать про соответственные стороны подобных треугольников? Составьте пропорцию:
BMAM = CMDM = BCAD.
У. . Чем являются в окружности отрезки, которые вошли в пропорцию?
Д. Части хорд и диаметра.
У. То есть можно предположить, что есть связь между пересекающимися хордами в окружности.
Сформулируем теорему: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Доказательство проводится по учебнику Атанасян, учащиеся подготовлены к восприятию теоремы, и ее запись не должна занять много времени.
Считаем, что необходимо рассмотреть теорему о секущих.
Готовим чертеж для теоремы и выясняем, что понимаем под секущей к окружности: прямая, пересекающая окружность в двух точках.
Записываем формулировку теоремы : если из точки, лежащей
вне окружности, проведены две секущие, то произведения секущей на свои внешние части равны. (Или: если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно,
то АР BP = = CP - DP .)
Дано: BP и DP - секущие (рис. 32).
Доказать: BP АР = PD PC.
Доказательство:
1. Выполним дополнительное построение: ВС nAD .
BCAD = PC/AP = BP/PD → PC PD = AP BP.
Продолжим рассмотрение взаимного расположения секущих и окружности. Если изменить данный чертеж таим образом, что секущая РВ займет положение касательной, то наша теорема будет формулироваться так: если из одной точки вне окружности проведены секущая и касательная к этой окружности, то квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
P
Итак,
надо доказать, что
BP
2
= PD PC.
Проведем хорды ВС и BD.
BDC = ½ u ВС (как вписанный);
СВР = ½ u ВС (угол между касательной и хордой), следовательно
BDC = CBP .
∆BPD ~ ∆ CPB по двум углам.
Запишем пропорцию:
BD/BC = BP/PC =PD/BP, значит BP 2= PC PD.
Можно, записав формулировку теоремы, решить задачу № 670 (Ата- насян) и таким образом провести доказательство теоремы. Так как принцип доказательства повторяется, во всех трех теоремах он основан на подобии, то можно попросить провести доказательство у доски одного из учащихся.
Задача
1
KL и MN- секущие (рис. №34). Какое свойство можно сформулировать? (Обсуждаем и готовим чертеж, решаем задачу по этому чертежу.)
Хорды MN и КL пересекаются в точке С. Определите длину отрезка CL , если KC = 3см, МС = 3 см; Сн = 9 см. теме "Центральные и вписанные углы ". Обобщить и... . Сегодня у нас заключительный урок по теме : "Центральные и вписанные углы ". Повторяем, обобщаем, приводим...
Пояснительная записка 3 стр. Общие положения 3 стр. Общая характеристика учебного предмета. 3 стр. Цели и задачи изучения геометрии в основной школе 4 стр
Пояснительная запискаРеальных процессов и явлений. 1.3. Цели и задачи изучения геометрии в основной... теме «Центральные и вписанные углы ». Урок закрепления изученного. Систематизация теоретических знаний по теме . Решение задач. Знать: понятия центрального и вписанного угла ...
... . Урок по теме «Формулы радиусов вписанных и описанных окружностей правильных многоугольников" Цели урока : ... центральным углом α. Угол с вершиной в центре окружности называется её центральным углом . Если центральный угол меньше развернутого угла ...
Урок № Тема Дата
УрокУрок № Тема Дата Формируемые в теме Понятия Знания, умения, навыки Вид... центральные и вписанные углы Фронтальная, индивидуальная. Решение упражнений Глава IX . Векторы (9 часов) Основная цель : Формирование...
Основная образовательная программа начального общего образования (4 класс, реализующий фкгс)
Основная образовательная программаЗадачи на нахождение доли целого и целого по его доле. ... углы . Центральный угол и угол, вписанный в окружность. Измерение углов . Транспортир. Построение углов с... -Проведение олимпийского урока в рамках классного часа по теме « Игры 2014года...
Пропорциональность отрезков хорд и секущей.
Свойство отрезков касательной.
Теорема о геометрическом месте точек.
Описанная окружность. Треугольник, вписанный в окружность.
Окружность, вписанная в треугольник.
По всем понятиям и утверждениям предложены задачи.
Презентация рассчитана на серию уроков. Может использоваться при дистанционном обучении.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
ТЕМА: ” ОКРУЖНОСТЬ ” .
Окружность. Радиус. Хорда. Диаметр. Центральный угол. Центральный угол. Вписанный угол. Задача. Свойство вписанного угла. Задача. Теорема о полусумме дуг. Задача. Теорема о полуразности дуг. Задача. Произведение отрезков пересекающихся хорд. Пропорциональность отрезков хорд и секущей. Свойство отрезков касательной. Задача. Геометрическое место точек. Теорема о геометрическом месте точек. Серединный перпендикуляр. Описанная окружность. Треугольник, вписанный в окружность. Задача. Задача. Касательная к окружности. Окружность, вписанная в треугольник. Задача. Окружность, описанная около четырехугольника. Задача. Окружность, вписанная в четырехугольник. Задача.
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки – центра окружности. Расстояние от центра О окружности до лежащей на ней точки А равно 5 см. Докажите, что расстояние от точки О до точки В этой окружности равно 5 см, а расстояние от О до точек С и D , не лежащих на ней, не равно 5 см. Окружность. О C D А В назад
РАДИУС. Радиусом называется отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности. Точки X,Y,Z лежат на окружности с центром М. Является ли радиусом этой окружности Отрезок MX; Отрезок YZ ? Y X Z назад
ХОРДА. Что такое хорда окружности? Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности. назад О А В
ДИАМЕТР. Что такое диаметр окружности? Диаметром называется хорда, проходящая через центр. назад О А В
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности. Градусная мера центрального угла соответствует градусной мере дуги, на которую он опирается (если дуга меньше полуокружности). Назовите по рисунку все центральные углы. О С А В m назад
Если центральные углы данной окружности равны, то соответствующие им дуги попарно равны. Сформулируйте обратное утверждение. А О С В D назад
ВПИСАННЫЙ УГОЛ. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Какие из углов являются вписанными в окружность? назад А В С
Угол ABC- вписанный в окружность. АС – диаметр. Докажите, что угол ABC - прямой. Задача. назад О А С В
СВОЙСТВО ВПИСАННОГО УГЛА. Докажите, что равны все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки. назад
ЗАДАЧА. Точки А, В и С лежат на окружности с центром О, АВС = 50 , АВ: СВ = 5: 8. Найдите эти дуги и АОС. назад
ДОКАЖИТЕ ПО РИСУНКУ ТЕОРЕМУ. Угол ( АВС), вершина которого лежит внутри окружности, измеряется полусуммой двух дуг (АС и D Е), одна из которых заключена между его сторонами, а другая между продолжениями сторон. АВС = 0,5 ( D Е + АС). D Е А С назад
ЗАДАЧА. Хорды МК и РТ пересекаются в точке А. Найдите длину АМ, если АР = 2 дм, АТ = 24 дм, АМ: КА = 3: 4. назад
ДОКАЖИТЕ ПО РИСУНКУ ТЕОРЕМУ. Угол ( АВС), вершина которого лежит вне окружности и стороны пересекаются с окружностью, измеряется полуразностью двух дуг (АС и D Е), заключенных между его сторонами. АВС = 0,5 ( D Е + АС). В D Е А С назад
ЗАДАЧА. Расстояние от точки А до центра окружности радиуса 5 см равно 10 см. Через точку А проведена секущая, которая пересекает окружность в точках В и С. Найти АС, если точка В делит отрезок АС пополам. назад
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ХОРД. Произведение длин отрезков пересекающихся хорд равны. Сформулируй эту теорему со словами «если», «то». Проверь себя: «Если хорды АВ и С D пересекаются в точке М, то АМ ВМ = СМ D М С В м А D назад
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩЕЙ. Произведение длин отрезков секущей равно квадрату длины отрезка касательной. Если через точку М проведена секущая к окружности и касательная, причем точки А и В – точки пересечения окружности с секущей, а С – точка касания, то АМ ВМ = СМ. М С В А назад
СВОЙСТВА ОТРЕЗКОВ КАСАТЕЛЬНОЙ. Отрезки двух касательных, проведенных к окружности из точки вне ее, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром. Докажите теорему самостоятельно. А О С В назад
ЗАДАЧА. Из точки М к окружности с центром О и радиусом 8 см проведены касательные АМ и ВМ (А и В – точки касания). Найти периметр треугольника АВМ, если угол АОВ равен 120 . назад
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК. Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством. Объясните, почему окружность является геометрическим местом точек, равноудалённых от данной точки. назад О А В
ТЕОРЕМА О ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ МЕСТЕ ТОЧЕК. Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки и проходящая через его середину. Дано: а; АВ а; АО = ОВ. Доказать: а - геометрическое место точек, равноудалённых от А и В. Будет ли теорема доказана, если установить, что любая точка прямой а равноудалена от А и В. назад А В О М а
СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР. Серединным перпендикуляром к отрезку АВ называется прямая, проходящая через середину отрезка АВ перпендикулярно к нему. Докажите, что центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к любой хорде этой окружности. назад
ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ. ТРЕУГОЛЬНИК, ВПИСАННЫЙ В ОКРУЖНОСТЬ. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины. В этом случае треугольник называется вписанным в окружность. Докажите, что стороны вписанного треугольника являются хордами описанной около него окружности. Где лежит центр окружности, описанной около треугольника? назад
Где лежит центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника? Задача. назад О А С В
ЗАДАЧА. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 10, 12, и 10 см. назад
КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности Общая точка окружности и касательной называется точкой касания. Что можно сказать о сторонах треугольника С D Е по отношению к окружности? назад
ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. В этом случае треугольник называется описанным около окружности. Где лежит центр окружности, вписанной в треугольник? Треугольник ABC- описанный около окружности. Какие из треугольников AOM, MOB, BON, NOC, COK, KOA- равные? назад
ЗАДАЧА. В прямоугольном треугольнике один из углов 30 . Найдите меньшую сторону треугольника, если радиус вписанной окружности равен 4 см. назад
ОКРУЖНОСТЬ, ОПИСАННАЯ ОКОЛО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА. Если около выпуклого четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равны двум прямым углам. Докажите: А + С = 180 . Сформулируйте обратное утверждение. Около каких четырехугольников можно описать окружность? Почему? В С D A назад
ЗАДАЧА. Диагональ трапеции составляет с большим основанием угол 30 , а центр окружности, описанной возле трапеции, принадлежит этому основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковая сторона равна 2 см. назад
ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК Если в четырехугольник можно вписать окружность, то сумма длин его противоположных сторон равны. Докажите: АВ+С D = ВС+А D . Сформулируйте обратное утверждение. В какие четырехугольники можно вписать окружность? В С D А N P K M назад
ЗАДАЧА. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, если ее основания равны 2 см и 8 см. назад
Урок геометрии в 8 классе по теме
«Пропорциональность отрезков хорд, касательных и секущих»
Цели урока:
выявить закономерности между отрезками хорд, касательных и секущих; определить меру угла (не являющимся ни центральным, ни вписанным) между касательной и хордой, проведенной в точку касания;
обеспечить восприятие нового материала по средствам геометрической иллюстрации и записи формул;
подвести учащихся к самостоятельному открытию доказательства теорем через наводящие вопросы по раннее пройденному материалу; формирование навыков доказательства;
обучение алгоритмизации поставленной задачи и использование накопленного знания для ее решения;
воспитание грамотности оформления геометрического доказательства;
формирование суждений и умозаключений путем методов анализа, синтеза, индукции;
формирование у учащихся таких черт, как аккуратность, четкость и логичность в формировании и оформлении мыслей;
развитие абстрактного мышления, активизация мыслительных процессов, развитие зрительной и слуховой памяти, речевых навыков у учащихся.
Тип урока: изучение нового материала.
План урока.
Пропорциональности отрезков диаметра и хорды; пропорциональность отрезков хорд.
Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания.
Пропорциональность отрезков секущей и касательной, пропорциональность отрезков секущих.
Подготовка к изучению нового теоретического материала по средствам опроса учащихся по основным теоретическим положениям об окружности и элементах, связанных с ней (касательных, секущих, хордах, углах).
Изложение теоретического материала.
Подведение итогов урока: опрос учащихся по формулировкам теорем, идеи доказательства теорем, запись домашнего задания с комментариями учителя.
Подготовка к изучению нового материала.
Напоминание основных положений тем «Взаимное расположение окружности и прямой», «Касательная к окружности», «Свойства отрезков касательных», «Центральный угол», «Вписанный угол. Измерение вписанного угла через центральный угол». Следует осветить следующие вопросы:
Подобные треугольники; признаки подобия треугольников.
Взаимное расположение прямой и окружности: определение секущей, хорды как отрезка секущей, лежащего внутри круга; касательной.
Определение центрального угла; определение вписанного угла; градусная мера центрального угла; измерение вписанного угла через центральный; следствия из теоремы о вписанном угле.
Изучение и конспектирование нового теоретического материала.
2.1. Пропорциональность отрезков хорд.
В эту теоретическую часть входит теорема о пропорциональности отрезков хорды и диаметра, имеющих одну общую точку, следствие для случая для двух хорд, обобщение на случай любого количества хорд, проходящих через одну общую точку.
Теорема 1: Если через точку (М), взятую внутри круга, проведена какая-нибудь хорда (АВ) и диаметр (CD
), то произведение отрезков хорды () равно произведению отрезков диаметра (
)(Рис. 1.).
Д
ано:
Окр(О; ОА
), 
− диаметр, АВ
− хорда, 
.
Доказать: = .
Доказательство:
Чтобы доказать равенство, достаточно сравнить отношения 
и 
. Пропорциональные отрезки- это сходственные стороны в подобных треугольниках. Рассмотрим треугольники 
и 
. Эти треугольники будут подобны по первому признаку подобия треугольников: как вертикальные; как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AND
. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, т. е.
, или 
, или =
.
Следствие 2: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (Рис.2.).
Дано:
Окр(О; ОА
), АВ,
EF
− хорды, 
.
Доказать:
=
.
Доказательство: Проведем диаметр CD через точку М . Тогда, по теореме 1, для хорды АВ : = ;
для хорды EF
: 
=
.
Т. к. равные правые части равенств, то равны и левые части, т. е.
Следствие 3 (обобщение следствия 1): Если через точку (М), взятую внутри круга, проведено сколько угодного хорд (AB , EF , KL ,…), то произведение отрезков каждой хорды есть число, постоянное для всех хорд (т. к. для каждой хорды это произведение равно произведению отрезков диаметра, проходящего через взятую точку).
Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания.
Данный пункт позволяет определить меру угла между касательной и хордой, проведенной в точку касания (не являющегося ни центральным, ни вписанным в окружность углом). Так же, позволяет доказать теорему о пропорциональности отрезков касательной и секущей.
Теорема 4: Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, измеряется половиной дуги, стягивающей эту хорду (Рис. 3.).
Д
ано:
Окр(О, ОА
), АС
– касательная, А
– точка касания,
АВ – хорда.
Доказать:
.
Доказательство:
Обозначим искомый 
через 
. Т. к. АС
– касательная, то 
. Рассмотрим 
- равнобедренный (АО, ВО
– радиусы), тогда
Найдем ,
с другой стороны 
, следовательно, 
, или 
.
Пропорциональность отрезков касательной и секущих.
Данная часть позволяет определить пропорциональные отрезки для касательной и секущей, проведенной из одной точки, для двух и более секущих, проведенных из одной точки к данной окружности.
Теорема 5: Если из точки (М), взятой вне круга, проведены к нему какая-нибудь секущая (МА) и касательная (МС), то произведение секущей (МА) на ее внешнюю часть (МВ) равно квадрату касательной (МС) (Рис. 4.).
Д
ано:
Окр(О, ОА
), МС
– касательная, МА
– секущая,
МВ – внешняя часть секущей МА .
Доказать:
.
Доказательство:
Чтобы доказать равенство достаточно сравнить отношения 
и 
, т. е. рассмотреть 
и 
. Покажем что они подобные. В самом деле, 
- общий, 
как вписанный, а 
по теореме 4 (как угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания), т.е. .
Итак, подобен (по 1 ому признаку подобия треугольников), а, следовательно, = , или .
Следствие 6: Если из точки, взятой вне круга, проведено к нему сколько угодно секущих, то произведение каждой секущей на ее внешнюю часть есть число постоянное для всех этих секущих (т. к. для каждой секущей это произведение равно квадрату касательной, проведенной через взятую точку).
Подведение итогов.
Первичное закрепление теоретического материала через проговаривание формулировок теорем и следствий, идей их доказательства.
В качестве домашнего задания было предложено:
теоретическая задача: Диаметр АВ
данной окружности продолжен за точку В
. Через какую-нибудь точку С
этого продолжения проведена прямая 
. Если произвольную точку М
этого перпендикуляра соединим с точкой А
, то (обозначив через 
вторую точку пересечения с окружностью этой прямой) произведение 
есть величина постоянная для всякой точки М.
задачи № 666 и № 671 (учебник Л. С. Атанасяна) на применение формул для пропорциональных отрезков хорд, касательных и секущих;
задача № 660 на повторение темы «Вписанный угол»;
учить начитанный теоретический материал (т. к. следующее занятие предполагается начать с проверочной работы по данной теории).
Результативность. В ходе урока учащимися были выявлены закономерности между отрезками хорд, касательных и секущих; определена мера угла между касательной и хордой, проведенной в точку касания; было обеспечено восприятие учащимися нового материала по средствам геометрической иллюстрации и записи формул; осуществлялось воспитание у учащихся грамотности оформления геометрического доказательства.
Для доказательства теорем следует обратиться к пройденному материалу по теме «Окружность. Взаимное расположение прямой и окружности. Центральный и вписанный углы». Вспомнить понятие пропорциональности отрезков как сторон подобных треугольников.
Следует выделить отдельно пропорциональность отрезков двух хорд. Доказательство можно провести как письменно, так и устно в зависимости от конкретно взятого класса и темпа урока.
Запись теоретического материала (формулировки – под запись) на доске лучше осуществлять самому учителю в целях экономии времени, качества оформления, а учащихся максимально привлекать к открытию доказательства теорем.
При высоком темпе работы можно рассмотреть теоретическую задачу, предложенную в домашнем задании, выдвинуть идею доказательства, а оформление оставить на дом.
Для контроля изученного материала на следующем уроке следует провести фронтальный опрос теории в виде письменной работы, в которую можно включить простую задачу на основные формулы пропорциональности в круге.
Литература.
пропорциональность отрезков ? Очевидно, из подобия... например, уроку геометрии в VI классе на тему «Построение треугольника по двум углам... , образованные хордой и касательными к дуге в точках, служащих концами хорды , равны» ...
««Уравнение окружности» 9 класс» - Построить по полученным данным окружности в тетради. Заполните таблицу. Уравнение окружности. Координаты точки окружности. Координаты центра. Запишите формулу. Окружность. Работа в группах. Найдите координаты центра и радиус. Постройте в тетради окружности, заданные уравнениями. Начало координат. Составить уравнение окружности.
«Окружность 8 класс» - В любой треугольник можно вписать окружность. Проведем биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке О. Теорема. Следствия: Проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОM к сторонам?АВС. Вписанная окружность.
«Построение касательной к окружности» - Окружность и прямая имеют одну общую точку. Общие точки. Взаимное расположение прямой и окружности. Окружность и прямая. Окружность. Решение. Теорема об отрезках касательных. Повторение. Хорда. Касательная к окружности. Диаметр.
«Как найти длину окружности» - Какие неравенства выполняются для числа. Как изменится длина окружности. Как относятся периметры двух правильных n-угольников. Теорема. Как относятся длины двух окружностей. Найдите периметр правильного n-угольника. Найдите радианную меру углов. Каково приближенное значение числа. Найдите длину дуги окружности радиуса единица.
«Касательная к окружности» - Свойство + признак: если K – точка окружности, то KM – касательная? KM ? OK. Доказательство. Признак касательной. Тогда. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Отрезки AK и AM называются отрезками касательных, проведенными из A. Пусть d – расстояние от центра O до прямой KM.
«Эллипс» - Прикрепим концы нити к фокусам. Что же такое эллипс. Будем перемещать карандаш по бумаге так, чтобы нить оставалась натянутой. Точки F1, F2 называются фокусами эллипса. Постройка эллипса. Общая точка называется точкой касания. Касательная. Эллипс. Интересные факты. Кратеры на Луне также имеют форму эллипса.
Всего в теме 21 презентация