7,265; 11,638; 0,23; 8,5; 300,499; 6,5108; 0,8.
1273. Старинная русская мера массы пуд равна 16,38 кг. Округлите это значение до целых, до десятых. Старинная русская мера длины верста равна 1067 м. Округлите это значение до десятков, до сотен. Старинная русская мера длины сажень равна 2,13 м. Округлите это значение до целых, до десятых.
1274. Округлите дроби:
а) 2,781; 3,1423; 203,962; 80,46 до десятых;
б) 0,07268; 1,35506; 10,081; 76,544; 4,455 до сотых;
в) 167,1; 2085,04; 444,4; 300,7; 137 до десятков.
1275. Одна деталь имеет массу 13,26 кг, вторая - 14,43 кг, третья - 1,66 кг, а четвертая - 15,875 кг. Найдите общую массу этих четырех деталей и округлите результат до десятых долей килограмма. Сравните ответ с результатом, полученным, если сначала округлить данные задачи до десятых долей, а потом ее решить.
1276. Трасса лыжных гонок состоит из 4 участков. Первый участок имеет длину 4,35 км, второй - 5,75 км, третий - 6,95 км и четвертый - 2,8 км. Найдите длину всей трассы и округлите ответ:
а) до десятых долей километра;
б) до целых километров.
1277. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если АВ = 6,2 дм, CD больше АВ на 3,14 дм, но меньше ВС на 2,31 дм; AD больше ВС на 1,2 дм. Ответ округлите:
а) до десятых долей дециметра;
б) до целых дециметров.
1278. Вычислите устно:
1279. Восстановите цепочку вычислений:
1) В школу завезли 24 т угля. За зиму израсходовали привезенного угля. Сколько тонн угля осталось?
2) Маляры израсходовали - купленной краски для ремонта школы. Сколько краски осталось, если купили ее 300 кг?
1297. Округлите дроби:
а) 1,69; 1,198; 37,444; 37,5444; 802,3022 до целых;
б) 0,3691; 0,8218; 0,9702; 81,3501 до десятых.
1298. Для каждого из чисел найдите натуральные приближенные значения с недостатком и с избытком: 3,97; 21,609; 10,394; 1,057.
1299. Запишите число, которое:
а) меньше миллиона в 10 раз; на 10;
б) больше миллиона в 10 раз; на 10;
в) больше числа 709 в 100 раз; в 1000 раз;
г) меньше числа 623 100 000 в 10 раз; в 1000 раз; в 100 000 раз.
1300. Найдите значение выражения:
а) 8000 60 000; в) 250 000 600 40;
б) 1700 800 000; г) 19 000 20 000 50.
1301. Собственная скорость теплохода 21,6 км/ч. Скорость течения 4,9 км/ч. Найдите скорость теплохода по течению и против течения.
1302. Теплоход шел по озеру 3 ч со скоростью 27 км/ч, а потом 4 ч по реке, впадающей в это озеро. Найдите весь путь, который прошел теплоход за эти 7 ч, если скорость течения реки 3 км/ч.
1303. В сокровищнице Кощея Бессмертного 32 000 ларцов, в каждом ларце 210 одинаковых по массе слитков золота и серебра. Какова масса запасов золота и серебра у Кощея, если масса десятка слитков 900 г?
1304. Поставьте вместо звездочек пропущенные цифры:
В науке ы промышленности, в сельском хозяйстве при расчетах десятичные дроби используются значительно чаще, чем обыкновенные.
Это связано с простотой правил вычислений с десятичными дробями, похожестью их на правила действий с натуральными числами.
Правила вычислении с десятичными дробями описал знаменитый ученый Средневековья аль-Кашп Джемшйд Ибн Масуд, работавший в городе Самарканде в обсерватории Улугбека в начале XV века.
Записывал аль-Каши десятичные дроби так же, как принято сейчас, но он не пользовался запятой: дробную часть он записывал красными чернилами или отделял вертикальной чертой.
Но об этом в Европе в то время не узнали, и только через 150 лет десятичные дроби были заново изобретены фламандским инженером и ученым Симоном Стевином. Стевин записывал десятичные дроби довольно сложно.
Например, число 24,56 выглядело так: 
- вместо запятой нуль в кружке (или 0 над целой частью), цифрами 1, 2, 3, ... помечалось положение остальных знаков.
Запятая или точка для отделения целой части стали использоваться с XVII века.
В России учение о десятичных дробях изложил Леонтий Филиппович Магницкий в 1703 году в первом учебнике математики «Арифметика, сирень наука числительная».
Н.Я. ВИЛЕНКИН, B. И. ЖОХОВ, А. С. ЧЕСНОКОВ, C. И. ШВАРЦБУРД, Математика 5 класс, Учебник для общеобразовательных учреждений
Округление с недостатком и избытком
В предыдущем разделе в условии задачи была просьба округлить ответ до целого значения.
Чаще нам не предлагают округлить ответ, хотя это надо делать по смыслу задачи.
Это происходит, поскольку надо выполнить действие деления, которое часто дает в результате дробное число.
Но ведь не может количество предметов быть дробным.
И тогда мы округляем полученное дробное число до целого либо с недостатком, либо с избытком.
Когда же с недостатком, а когда с избытком?
Рассмотрим примеры.
Задача 1. Один метр ткани стоит 67 руб. какое наибольшее целое число метров ткани можно приобрести на 850 рублей?
850: 67 = 12,6865 (м) Целое число метров 12.
Здесь округлили с недостатком , так как ответ 12 <12, 6865.
Ответ: 12.
Задача 2 . В упаковке 480 кусков мела. За один учебный день школа расходует 300 кусков мела. Какое наименьшее число упаковок с мелом нужно купить в школу на 6 учебных дней?
300 · 6 = 1800 Кусков мела – расход на 6 дней
1 пачка – 480 кусков мела
х пачек – 1800 кусков мела
х = 1800: 480 = 3,75 упаковок Число целых упаковок на 6 дней нужно 4 шт.
Здесь округлили с избытком , так как ответ 4>3,75/
Подсказка:
Если в такого типа задаче требуется найти наибольшее значение, то ответ надо округлять с недостатком (брать меньшее целое число)
Если надо найти наименьшее значение , то ответ надо округлять с избытком (брать большее число).
Задачи с предварительным действием
Задача 3. В летнем лагере 172 ребенка и 24 воспитателя. В автобус помещается не более 30 пассажиров. Сколько автобусов требуется, чтобы перевезти всех из лагеря в город?
Всего 172 + 24 = 196 человек
196: 30 = 6,533 – целое число автобусов для перевозки всего 7
Ответ: 7.
Задача 4. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?
Решение:
Для приготовления 6 литров маринада потребуется 12*6=72 г лимонной кислоты. Разделим 72 на 10.
Значит, нужно будет купить 8 пакетиков.
Ответ: 8.
Четные и нечетные числа
Четное число = кратное двум (2,4,6,8,10,12,…), нечетное – не кратное двум (3,5,7,9,11,13,…).
Задача 5. На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Ромашки стоят 25 рублей за штуку. У Вани есть 120 рублей. Из какого наибольшего числа ромашек он может купить букет Маше на день рождения?
1 ромашка – 25 р
Значит Ваня сможет купить 4 ромашки. Но надо, чтобы число ромашек было нечетным. Т.е. 3 ромашки.
Акции и бонусы (или усложненное условие)
Задача 6. В магазине акция: приобретая 3 коробки конфет, четвёртую коробку покупатель получает в подарок. Какое наибольшее число коробок конфет получит покупатель на 1200 руб., если коробка конфет стоит 160 руб.?
1кор. – 160руб.
х кор. – 1200руб.
х = 1200: 160 = 7,5 кор. Целое число кор. = 7
7: 3 = 2,333кор. Целое число коробок, полученных в подарок = 2
7 + 2 = 9 кор.
Ответ: 9.
Задача 7. Для приготовления яблочного варенья на 1 кг яблок нужно кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 7 кг яблок?
1 кг яблок – 1,2 кг сахара
7 кг яблок – х кг сахара
х = 7·1,2/1=8,4 кг сахара
Итак, необходимо для варенья 8,4 кг сахара.
В задаче спрашивается: сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить?
Чтобы сахара хватило на варенье, 8 упаковок будет недостаточно. Надо купить 9. Одна упаковка израсходуется не полностью.
В этой задаче мы округлили с избытком.
Задача 8. В университетскую библиотеку привезли новые учебники по обществознанию для 2-3 курсов, по 110 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 6 полок, на каждой полке помещается 20 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?
110 книг ·2 курса = 220 книг
6 полок · 20 книг = 120 книг умещается в шкафу
Полностью этими книгами заполнится только один шкаф. Второй шкаф будет заполнен не до конца.
Здесь мы округлили с недостатком.
Задача 9. В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 166 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?
Решение:
166·40=6640 г сахара,
6640·5=33200 г. - на 5 дней.
33200: 1000 = 33,2.
Округляем с избытком до целого значения.
Если у вас возникли вопросы или пожелания, пишите в комментариях.
Умение решать химические задачи –
важная составляющая знаний по предмету. Согласно
государственному стандарту образования по химии
учащиеся, оканчивающие школу, должны уметь
решать более десятка типов стандартных задач.
Среди них и задачи на «избыток–недостаток».
Предлагаю свой вариант подачи материала по
решению таких задач в курсе химии 9-го класса.
На изучение этой темы отвожу 2–2,5 урока, в
зависимости от уровня способностей учеников
класса. Ознакомление с алгоритмом решения задач
данного типа происходит в рамках изучения темы
«Теория электролитической диссоциации». Однако
если класс сильный, то в рамках эксперимента этот
тип задач иногда изучаем и в конце 8-го класса в
главе «Галогены», а высвободившееся время можно
потратить на изучение органической химии в курсе
9-го класса.
На первом уроке разбираю два типа задач на
«избыток–недостаток»:
одно из двух
вступивших в реакцию веществ дано в избытке;
оба вступивших в
реакцию вещества расходуются на взаимодействие
друг с другом без остатка, т. е. даны в
стехиометрических количествах.
В качестве домашнего задания обязательно
предлагаются две-три задачи, подобные изученным
на уроке.
На втором уроке закрепляю и углубляю изученный
материал, ввожу понятия «процентная
концентрация растворов веществ», вступивших в
реакцию, «плотность растворов». Кроме того,
усложняю задачи, вводя «процентное содержание
примесей в исходном веществе» и т. д. Такой прием
позволяет повторить элементы уже изученного
материала, сэкономить время. В конце второго
урока изучения темы или в начале третьего
провожу небольшую самостоятельную работу на
закрепление изученного материала, включающую
одну-две задачи, причем самостоятельная работа
предлагается в трех уровнях сложности, в
зависимости от способностей ученика.
Урок 1
Решение задач на «избыток–недостаток»
Цели .
- научить алгоритму решения задач нового типа;
- закрепить навыки устного счета;
- повторить правила расчета относительных молекулярных масс веществ;
- закрепить правила грамотного оформления условия задачи;
- формировать навыки химического мышления, логики, а также способствовать воспитанию гармоничной, всесторонне развитой личности.
ХОД УРОКА
Рассмотрим вариант,
когда одно из вступивших в реакцию веществ дано в
избытке, другое – в недостатке.
Решая химические задачи, следует не забывать о
правилах их грамотного оформления по схеме: дано,
найти, решение, ответ.
ЗАДАЧА 1. На 47 г оксида калия подействовали раствором, содержащим 40 г азотной кислоты. Найдите массу образовавшегося нитрата калия.
Дано :
m (K 2 O) = 47 г,
m (HNO 3) = 40 г.Найти :
m (КNO 3).
Решение
M r (K 2 O) = 2A r (K) + 1A r (O) = 2 39 + 1 16 = 94,
M r (HNO 3) = 1A r (H) + 1A r (N) + 3A r (O) = 1 1 + 1 14 + 3 16 = 63,
M r (KNO 3) = 1A r (K) + 1A r (N) + 3A r (O) = 1 39 + 1 14 + 3 16 = 101.
Для удобства расчета за х 1 примем массу НNО 3 и найдем, какое из веществ, вступивших в реакцию, дано в избытке, какое – в недостатке.
47/94 = х 1 /126, х 1 = 63 г.
Следовательно, азотная кислота дана в недостатке, т. к. по условию ее 40 г, а по расчету необходимо 63 г, поэтому расчет ведем по HNO 3:
40/126 = х /202, х = 64 г.
Ответ . m (КNO 3) = 64 г.
ЗАДАЧА 2 . На 24 г металлического магния подействовали 100 г 30%-го раствора соляной кислоты. Найдите массу образовавшегося хлорида магния.
Дано :
m (Mg) = 24 г,
m (р-р HCl) = 100 г,
(HCl) = 30%.Найти :
m (MgCl 2).
Решение
Рассчитаем относительные молекулярные массы интересующих нас веществ:
M r (HCl) = 1A r (H) + 1A r (Cl) = 1 + 35,5 = 36,5,
M r (MgCl 2) = 1A r (Mg) + 2A r (Cl) = 24 + 2 35,5 = 95.
Для удобства расчета за х 1 примем массу соляной кислоты и найдем, какое из веществ, вступивших в реакцию, дано в избытке, какое – в недостатке.
24/24 = х 1 /73, х 1 = 73 г.
Из расчета видно, что соляная кислота дана в недостатке, т. к. по условию задачи ее дано 30 г, а для реакции требуется 73 г. Следовательно, расчет ведем по соляной кислоте:
30/73 = х /95, х = 39 г.
Ответ . m (MgCl 2) = 39 г.
Рассмотрим вариант, когда оба вступивших в реакцию вещества даны в стехиометрических количествах, т. е. реагируют друг с другом без остатка.
ЗАДАЧА 1. На 36 г алюминия подействовали 64 г серы. Найдите массу образовавшегося сульфида алюминия.
Дано :
m (Al) = 36 г,
m (S) = 64 г.Найти :
m (Al 2 S 3).
Решение
Примем массу Al за х 1 и найдем, какое из веществ, вступивших в реакцию, дано в избытке, какое – в недостатке.
х 1 /54 = 64/96, х 1 = 36 г.
В данном случае вещества, вступившие в реакцию, взяты в стехиометрических количествах, поэтому расчет можно вести по любому из них:
64/96 = х /150, х = 100 г.
Ответ . m (Al 2 S 3) = 100 г.
ЗАДАЧА 2 . На раствор, содержащий 53 г карбоната натрия, подействовали раствором, содержащим 49 г серной кислоты. Найдите массу образовавшейся соли.
Дано :
m (Na 2 CO 3) = 53 г,
m (H 2 SO 4) = 49 г.Найти :
m (Na 2 SO 4).
Решение
Рассчитаем относительные молекулярные массы интересующих нас веществ:
M r ( Na 2 CO 3) = 2A r (Na) + 1A r (C) + 3A r (O) = 2 23 + 1 12 + 3 16 = 106.
M r (H 2 SO 4) = 2A r (H) + 1A r (S) + 4A r (O) = 2 1 + 1 32 + 4 16 = 98.
M r (Na 2 SO 4) = 2A r (Na) + 1A r (S) + 4A r (O) = 2 23 + 1 32 + 4 16 = 142.
Примем за х 1 массу cерной кислоты, чтобы узнать, какое вещество дано в избытке, какое – в недостатке.
53/106 = х 1 /98, х 1 = 49 г.
В данном случае оба вещества взяты в стехиометрических количествах, поэтому расчет можно вести по любому из них:
49/98 = х /142, х = 71 г.
Ответ . m (Na 2 SO 4) = 71 г.
Однако учитель, подбирая задачи для решения в классе, должен помнить, что в некоторых случаях (например, если кислота или кислотный оксид дан в избытке) решение задачи не ограничивается расчетом двух пропорций, т. к. реакция будет протекать дальше с образованием кислой соли. Это повысит сложность материала. На первых уроках при решении задач данного типа я не включаю в материал задачи на прохождение реакций с образованием кислых или основных солей.
Домашнее задание
ЗАДАЧА 1 . На 200 г 10%-го раствора серной кислоты подействовали 40 г оксида алюминия. Найдите массу образовавшейся воды.
Дано :
M (р-р H 2 SO 4) = 200 г,
(H 2 SO 4) = 10%,
m (Al 2 O 3) = 40 г.Найти:
m (Н 2 O).
Решение
Рассчитаем относительные молекулярные массы интересующих нас веществ:
M r (Al 2 O 3) = 2A r (Al) + 3A r (O) = 2 27 + 3 16 = 102,
M r (H 2 SO 4) = 2A r (H) + 1A r (S) + 4A r (O) = 2 1 + 1 32 + 4 16 = 98,
M r (H 2 O) = 2A r (H) + 1A r (O) = 2 1 + 1 16 = 18.
m (H 2 SO 4) = 200 10/100 = 20 г.
Найдем, какое из вступивших в реакцию веществ дано в избытке, а какое – в недостатке.
х 1 /102 = 20/294, х 1 = 6,94 г.
Из расчета видно, что Al 2 O 3 дан в избытке, следовательно, расчет ведем по кислоте:
20/294 = х /54, х = 3,67 г.
Ответ . m (Н 2 O) = 3,67 г.
ЗАДАЧА 2. На 40 г оксида меди(II) подействовали раствором серной кислоты, содержащим 49 г безводного вещества. Найдите массу образовавшейся соли.
Дано :
m (CuO) = 40 г,
m (H 2 SO 4) = 49 г.Найти :
M (СuSO 4).
Решение
Найдем, какое из веществ, вступивших в реакцию, дано в избытке, а какое – в недостатке.
х 1 /80 = 49/98, х 1 = 40 г.
Cогласно уравнению данной реакции вещества взяты в стехиометрических количествах, поэтому расчет можно вести по любому из них:
40/80 = х /160, х = 80 г.
Ответ . m (CuSO 4) = 80 г.
Друзья! В состав ЕГЭ по математике входят текстовые задачи, основанные на реальных примерах, которые приходится решать в повседневной жизни. После вычисления требуется округлить ответ до целого числа в большую или меньшую сторону. Задачи классифицируют на два типа «округление с недостатком» и «округление с избытком».
Можно было бы дать такой совет: если в задаче ЕГЭ речь идёт о сырках, шоколадках, тюльпанах, книгах в шкафу то ответ округляйте в меньшую сторону, если речь идёт о пассажирах, бумаге в пачках, лекарствах, маринаде и прочем, то округляйте в большую сторону.
Но я предлагаю вам удалить из головы такие сами выражения «недостаток» и «избыток», чтобы не запутать себя и лучше руководствоваться простым здравым смыслом. Задачи на самом экзамене могут быть совсем о других предметах, и запоминание подобной информации будет просто бессмысленно и нецелесообразно.
Рассмотрим задачи:
Сырок стоит 6 рублей 60 копеек. Какое наибольшее число сырков можно купить на 80 рублей?
Рассмотрим первый способ:
Понятно, что 80 рублей нужно разделить на 6р60коп, и мы получим количество сырков, которое можно купить на 80 рублей:
Получили двенадцать целых восемь шестьдесят шестых сырка. Понятно, что часть сырка в магазине не продадут, поэтому ответ округляем в меньшую сторону. Значит, наибольшее количество сырков, которое можно купить это 12.
Другой способ:
Подобные задачи можно решать путём перебора. По сумме 80 рублей и стоимости сырка видно, что 10 сырков можно купить точно, значит начнем с десяти:
Из данного решения следует, что 80 рублей хватит только на 12 сырков.
Ответ: 12
Шоколадка стоит 20 рублей. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 310 рублей в воскресенье?
Определим, сколько шоколадок можно приобрести на 310 рублей:
Округляем в меньшую сторону, так как половина шоколадки не продаётся. То есть на 310 рублей можно купить 15 шоколадок (310=15∙20+10, 10 рублей это сдача). В воскресенье за каждые две купленные дарят третью.
Предлагаю вам в подобных задачах для наглядности расписать сумму подобным образом:
15=2+2+2+2+2+2+2+1
Видно, что подарят 7 шоколадок (по одной на каждую пару). Значит всего можно приобрести 15+7=22 штуки.
Ответ: 22
На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 60 рублей за штуку. У Вани есть 400 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?
Определим максимальное количество тюльпанов, которое может купить Ваня:
Ваня может купить максимум 6 тюльпанов, округляем в меньшую сторону, так как четыре шестых тюльпана ему не продадут. Но полагается дарить нечётное число цветов, поэтому наибольшее число тюльпанов, которое он может подарить – это 5 штук.
Ответ: 5
В университетскую библиотеку привезли новые учебники по геометрии для 1-3 курсов, по 410 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 8 полок, на каждой полке помещается 20 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?
Сначала определим, сколько учебников помещается в одном шкафу:
8∙20 = 160 штук
Определяем, сколько всего завезли учебников. Т ри курса по 410 учебников на каждый, это
3∙410=1230 учебников.
Теперь необходимо найти сколько шкафов будет заполнено, разделим общее число учебников на количество учебников, которое помещается в один шкаф:
Значит, полностью учебниками заполнится 7 шкафов и ещё часть восьмого шкафа.
Ответ: 7