Текстовая задача. Проценты, сплавы, растворы, задачи на движение по окружности и нахождение средней скорости

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Елена сделала вклад в банк в размере 5500 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Спустя год Наталья положила такую же сумму в этот же банк и на тех же условиях. Ещё через год Елена и Наталья одновременно закрыли вклады и забрали деньги. В результате Елена получила на 739,2 рубля больше, чем получила Наталья. Найдите, какой процент годовых начислял банк по вкладам?

Показать решение

Решение

Пусть процент годовых будет x , тогда через год вклад Елены составил:

5500 + 0, 01x \cdot 5500 = 5500(1 + 0,01x) рублей, а ещё через год — 5500(1 + 0,01x)^2 рублей. Вклад Натальи лежал в банке только год, потому он равен 5500(1 + 0,01x) рублей. А разность между получившимися вкладами Елены и Натальи составила 739,2 рубля.

Составим и решим уравнение:

5500(1+ 0,01x)^2-5500(1+0,01x)= 739,2,

(1+0,01x)^2-(1+0,01x)=0,1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,\enspace x_2=12.

Банк начислял 12% годовых.

Ответ

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Предприниматель Петров получил в 2005 году прибыль в размере 12\,000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 110\% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2008 год?

Показать решение

Решение

В 2005 году прибыль составляла 12\,000 рублей, каждый следующий год она увеличивалась на 110\% , то есть становилась 210\% = 2,1 от предыдущего года. Через три года она будет равна 12\,000 \cdot 2,1^3 = 111\,132 рубля.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 12\% железа, второй — 28\% железа. Масса второго сплава больше массы первого на 2 кг. Из этих двух сплавов изготовили третий сплав с содержанием железа 21\% . Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Показать решение

Решение

Обозначим массу первого сплава через x кг. Тогда масса второго сплава (x + 2) кг. Содержание железа в первом сплаве равно 0,12x кг, во втором сплаве — 0,28(x + 2) кг. Третий сплав имеет массу x + x + 2 = 2x + 2 (кг), и в нём содержание железа равно 2(x + 1) \cdot 0,21 = 0,42(x + 1) кг.

Составим и решим уравнение:

0,12x+ 0,28(x + 2) = 0,42(x+1),

6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),

X = 7.

Третий сплав имеет массу 2 \cdot 7 + 2 = 16 (кг).

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Цена телевизора в магазине ежеквартально (в квартале — три месяца) уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Известно, что телевизор, стоимостью 50 000 рублей был продан спустя два квартала за 41 405 рублей. Найдите, на сколько процентов ежеквартально уменьшалась стоимость телевизора.

Показать решение

Решение

Цена телевизора первоначально была 50 000 руб. Через квартал она стала 50\,000-50\,000\cdot0,01x = 50\,000(1-0,01x) рублей, где x — количество процентов, на которые уменьшается ежеквартально цена телевизора. Через два квартала его цена стала

50\,000(1-0,01x)(1-0,01x)=50\,000(1-0,01x)^2.

Составим и решим уравнение:

50\,000(1-0,01x)^2=41\,405,

(1-0,01x)^2=0,8281,

1-0,01x=0,91,

x=9.

Итак, на 9 процентов уменьшалась цена телевизора ежеквартально.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

В 2005 году в посёлке проживало 55 000 человек. В 2006 году, в результате строительства новых домов, число жителей увеличилось на 6% , а в 2007 году — на 10% по отношению к 2006 году. Найдите, число жителей посёлка в 2007 году.

Показать решение

Решение

В 2006 году число жителей посёлка выросло на 6% , т.е. стало 106% , что равно 55\,000 \cdot 1,06 = 58\,300 (жителей). В 2007 году число жителей посёлка выросло на 10% (стало 110% ) по сравнению с 2006 годом, т.е. число жителей посёлка стало 58\,300 \cdot 1,1 = 64\,130 человек.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Показать решение

Решение

В 3 литрах 14% -ного водного раствора содержится 3\cdot0,14=0,42 л. некоторого вещества. Добавили 4 литра воды, стало 7 литров раствора. В этих 7 литрах нового раствора — 0,42 л некоторого вещества. Найдём концентрацию нового раствора: 0,42:7\cdot100=6 % .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип задания: 11
Тема: Задачи на проценты

Условие

Строительные фирмы учредили компанию с уставным капиталом 150 млн рублей. Первая фирма внесла 20% уставного капитала, вторая фирма — 22,5 млн рублей, третья — 0,3 уставного капитала, четвертая фирма внесла оставшуюся часть.

Смотри также видео "Текстовые задачи на ЕГЭ по математике" .
Текстовая задача - это не только задача на движение и работу. Есть еще задания на проценты, на растворы, сплавы и смеси, на движение по окружности и нахождение средней скорости. О них мы и расскажем.

Начнем с задач на проценты. С этой темой мы уже познакомились в задаче 1 . В частности, сформулировали важное правило: за мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.

Мы также вывели полезные формулы:

если величину увеличить на процентов, получим .
если величину уменьшить на процентов, получим .
если величину увеличить на процентов, а затем уменьшить на , получим .

если величину дважды увеличить на процентов, получим
если величину дважды уменьшить на процентов, получим

Воспользуемся ими для решения задач.

В году в городском квартале проживало человек. В году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на , а в году - на по сравнению с годом. Сколько человек стало проживать в квартале в году?

По условию, в году число жителей выросло на , то есть стало равно человек.

А в году число жителей выросло на , теперь уже по сравнению с годом. Получаем, что в году в квартале стало проживать жителей.

Следующая задача предлагалась на пробном ЕГЭ по математике в декабре года. Она проста, но справились с ней немногие.

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили рублей. К вечеру понедельника они подорожали на и стали стоить . Теперь уже эта величина принимается за , и к вечеру вторника акции подешевели на по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:

	в понедельник утром	в понедельник вечером	во вторник вечером
Стоимость акций

По условию, акции в итоге подешевели на .

Получаем, что

Поделим обе части уравнения на (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.

По смыслу задачи, величина положительна.
Получаем, что .

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через два года был продан за рублей.

Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил рублей. Его цена два раза уменьшилась на , и теперь она равна

Четыре рубашки дешевле куртки на . На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Пусть стоимость рубашки равна , стоимость куртки . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет от цены куртки, то есть
.

Стоимость одной рубашки - в раза меньше:
,
а стоимость пяти рубашек:

Получили, что пять рубашек на дороже куртки.

Ответ: .

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на . Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на . Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем «ситуация » и «ситуация ».

	муж	жена	дочь	Общий доход
В реальности
Ситуация
Ситуация

Осталось записать систему уравнений.

Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти , и по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму . Получим:

Это значит, что зарплата мужа составляет от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение , упростим и получим, что

Значит, стипендия дочки составляет от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет общего дохода.

Ответ: .

Следующий тип задач - задачи на растворы, смеси и сплавы. Они встречаются не только в математике, но и в химии. Мы расскажем о самом простом способе их решения.

В сосуд, содержащий литров -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично - так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .

Первый сосуд содержал литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

Смешали некоторое количество -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна . Масса второго - тоже . В результате получили раствор массой . Рисуем картинку.

Получаем:

Ответ: .

Виноград содержит влаги, а изюм - . Сколько килограммов винограда требуется для получения килограммов изюма?

Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог - знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось воды, значит, «сухого вещества» было . В изюме воды и «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось кг изюма. Тогда

От от

Составим уравнение:

и найдем .

Ответ: .

Имеется два сплава. Первый сплав содержит никеля, второй - никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой кг, содержащий никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой .

Запишем простую систему уравнений:

Первое уравнение - масса получившегося сплава, второе - масса никеля.

Решая, получим, что .

Ответ: .

Смешав -процентный и -процентный растворы кислоты и добавив кг чистой воды, получили -процентный раствор кислоты. Если бы вместо кг воды добавили кг -процентного раствора той же кислоты, то получили бы -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов -процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса первого раствора , масса второго равна . Масса получившегося раствора равна . Запишем два уравнения, для количества кислоты.

Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на , поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.

Ответ: .

Задачи на движение по окружности также оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется формула . Но есть одна хитрость, о которой мы расскажем.

Из пункта круговой трассы выехал велосипедист, а через минут следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за и . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через минут, то есть через часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути минут, то есть часа.

Запишем эти данные в таблицу:


велосипедист
мотоциклист

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть .

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через минут, то есть через часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.


велосипедист
мотоциклист

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг - это длина трассы, она равна км. Получим второе уравнение:

Решим получившуюся систему.

Получим, что . В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Ответ: .

Часы со стрелками показывают часов минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Это, пожалуй, самая сложная задача из вариантов ЕГЭ. Конечно, есть простое решение - взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через часа, ровно в ..
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая часть круга. Пусть их скорости равны (круг в час) и (круга в час). Старт - в .. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на круга больше, поэтому уравнение будет таким:

Решив его, получим, что часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через часа. Пусть во второй раз они поравняются через время . Минутная стрелка пройдет расстояние , а часовая , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

Решив его, получим, что часа. Итак, через часа стрелки поравняются во второй раз, еще через часа - в третий, и еще через часа - в четвертый.

Значит, если старт был в ., то в четвертый раз стрелки поравняются через
часа.

Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! :-)

На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:

,
где - средняя скорость, - общий путь, - общее время.

Если участков пути было два, то

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно , а время, затраченное на полет, равно . Общее время равно .
Средняя скорость равна км/ч.

Ответ: .

Покажем еще один эффектный прием, помогающий быстро решить систему уравнений в задаче 13.

Андрей и Паша красят забор за часов. Паша и Володя красят этот же забор за часов, а Володя и Андрей - за часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Мы уже решали задачи на работу и производительность . Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть - производительность Андрея, - производительность Паши, а - производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за - ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

	производительность	работа
Андрей
Паша
Володя
Вместе

Андрей и Паша покрасили забор за часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:

Аналогично,

Тогда

.

Можно искать , и по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что

Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за часов.

Уметь правильно и быстро решать текстовые задачи на проценты необходимо не только учащимся, которым предстоит сдача ЕГЭ по математике базового или профильного уровня, но и всем взрослым, поскольку подобные задания постоянно встречаются в повседневной жизни. Повышение цен, планирование семейного бюджета, выгодное вложение финансовых средств и множество других вопросов невозможно уладить без данных навыков. При подготовке к сдаче аттестационного испытания обязательно нужно повторить, как решать задачи на проценты: в ЕГЭ по математике они встречаются как в базовом, так и в профильном уровне.

Необходимо запомнить

Процент - это \(\frac{1}{100}\) часть от какого-либо числа. Обозначает долю чего-либо по отношению к целому. Письменный символ - \(\%\) . При подготовке к ЕГЭ по теме «Проценты» школьникам как в Москве, так и в других точках РФ необходимо запомнить следующую формулу:

Как ее применить?

Для того чтобы решить простое задание с процентами в ЕГЭ по математике, нужно:

Разделить имеющееся число на \(100\) .
Умножить полученное значение на то количество \(\%\) , которое нужно найти.

Например, для того чтобы вычислить \(10\%\) от числа \(300\) , нужно найти \(1\) процент, разделив \(300:100=3\) . И полученное от предыдущего действия число \(3\cdot10=30\) . Ответ: \(30\).

Это простейшие задания. Учащиеся 11 класса в ЕГЭ сталкиваются с необходимостью выполнить решение сложных задач на проценты. Как правило, речь в них идет о банковских вкладах или платежах. Ознакомиться с формулами и правилами их применения вы можете, перейдя в раздел «Теоретическая справка». Здесь вы сможете не только повторить основные определения, но и познакомиться с вариантами решения сложных задач на проценты по банковскому кредиту, а также с упражнениями из других разделов алгебры, например,

Решение задач по математике на применение основных понятий о процентах.

Задачи на проценты учат решать с 5 класса.

Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами:

нахождение процента от числа,
нахождение числа по его проценту,
нахождение процентного отношения.

На уроках с учениками разбирают, что сотая часть метра - это сантиметр, сотая часть рубля - копейка, сотая часть центнера - килограмм. Люди давно заметили, что сотые доли величин удобны в практической деятельности. Потому для них было придумано специальное название - процент.

Значит одна копейка - один процент от одного рубля, а один сантиметр - один процент от одного метра.

Один процент - это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.

Определение одного процента можно записать равенством: 1 % = 0,01 . а

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д.

Как найти 1% от числа?

Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Пример. Найти: 25% от 120.

25% = 0,25;
120 . 0,25 = 30.

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.

Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?

Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах - 25%.

Ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.

Пример. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

66: 60 = 1,1 - такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах =110%.

Ответ: 110%.

Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

6+ 34 =40 (кг) - масса всего сплава.
34: 40 = 0,85 = 85 (%) - сплава составляет медь.

Ответ: 85%.

Пример. Слонёнок за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе на 10%. Остался ли за этот год его вес прежним? Если изменился, то на сколько процентов и в какую сторону?

100 - 20 = 80 (%) - после весны.
80 + 80 . 0,3 = 104 (%) - после лета.
104 - 104 . 0,2 = 83,2 (%) - после осени.
83,2 + 83,2 . 0,1 = 91,52 (%) - после зимы.

Ответ: похудел на 8,48%.

Пример. Оставили на хранение 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды. Содержание воды в ягодах уменьшилось до 98%. Сколько крыжовника получится в результате?

100 - 99 = 1 (%) = 0,01 - доля сухого вещества в крыжовнике сначала.
20 . 0,01 = 0,2 (кг) - сухого вещества.
100 - 98 = 2 (%) = 0,02 - доля сухого вещества в крыжовнике после хранения.
0,2: 0,02 = 10 (кг) - стало крыжовника.

Ответ: 10 кг.

Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Пусть цена товара х руб., тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е.

0,75 .1,25х= 0,9375х,

тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к.

х - 0,9375х = 0,0625х;
0,0625 . 100% = 6,25%

Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (А: В) . 100%.

Пример. Найти число, если 15% его равны 30.

15% = 0,15;
30: 0,15 = 200.

х - данное число;
0,15 . х = 300;
х = 200.

Ответ: 200.

Пример. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна?

Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби).
480: 0,24= 2000 кг = 2 т

Ответ: 2 т.

Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

1 кг сушеных грибов - это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е.
1 кг: 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е.
10 кг: 0,05=20 кг.

Ответ: 20 кг.

Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

22 . 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества);
2,2: 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).

Ответ: 2,5 кг.

Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.

В задачах на банковские расчёты обычно встречаются простые и сложные проценты. В чём же состоит разница простого и сложного процентного роста? При простом росте процент каждый раз исчисляется, исходя из начального значения, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. При простом росте 100% - начальная сумма, а при сложном 100% каждый раз новые и равны предыдущему значению.

Пример. Банк платит доход в размере 4% в месяц от величины вклада. На счет положили 300 тысяч рублей, доход начисляют каждый месяц. Вычислите величину вклада через 3 месяца.

100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - доля увеличения вклада по сравнению с предыдущим месяцем.
300 . 1,04 = 312 (тыс. р) - величина вклада через 1 месяц.
312 . 1,04 = 324,48 (тыс. р) - величина вклада через 2 месяца.
324,48 . 1,04 = 337,4592 (тыс. р) = 337 459,2 (р)-величина вклада через 3 месяца.

Или можно пункты 2-4 заменить одним, повторив с детьми понятие степени: 300.1,043 =337,4592(тыс. р) = 337 459,2 (р) - величина вклада через 3 месяца.

Ответ: 337 459,2 рубля

Пример. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

Пример. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. Через сколько лет вложенная сумма удвоится?

Рассмотрим подобного плана задачи на конкретных примерах.

Пример. (Вариант 1 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)

Спортивный магазин проводит акцию. Любой джемпер стоит 400 рублей. При покупке двух джемперов - скидка на второй джемпер 75%. Сколько рублей придется заплатить за покупку двух джемперов в период акции?

Согласно условию задачи получается, что первый джемпер покупается за 100 % его исходной стоимости, а второй за 100 - 75 = 25 (%), т.е. всего покупатель должен заплатить 100 + 25 = 125 (%) от исходной стоимости. Далее можно рассмотреть решение тремя способами.

1 способ.

400 рублей принимаем за 100 %. Тогда в 1% содержится 400: 100 = 4 (руб.), а в 125 %
4 . 125 = 500 (руб.)

2 способ.

Процент от числа находится умножением числа на дробь, соответствующую проценту или умножением числа на данный процент и делением на 100.
400 . 1,25 = 500 или 400 . 125/100 = 500.

3 способ.

Применение свойства пропорции:
400 руб. - 100 %
х руб. - 125 %, получим х = 125 . 400 / 100 = 500 (руб.)

Ответ: 500 рублей.

Пример. (Вариант 4 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)

Средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша, равен 57 кг. Вес Гоши составляет 150 % среднего веса. Сколько килограммов весит Гоша?

Аналогично примеру, рассмотренному выше можно составить пропорцию:

57 кг - 100 %
х кг - 150 %, получим х = 57 . 150 / 100 = 85,5 (кг)

Ответ: 85,5 кг.

Пример. (Вариант 7 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 - 80с)

После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой. На сколько процентов уменьшилась цена в результате уценки?

1 способ.

Найдем сначала долю уменьшения цены. Если исходную цену принять за 1, то 1 - 0,52 = 0,48 составляет доля уменьшения цены. Тогда получаем, 0,48 . 100 % = 48 %. Т.е. на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.

2 способ.

Если исходную стоимость принять за А, то после уценки новая цена телевизора будет равняться 0,52А, т.е. она уменьшится на А - 0,52А = 0,48А.

Составим пропорцию:
А - 100%
0,48А - х %, получим х = 0,48А. 100 / А = 48 (%).

Ответ: на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.

Пример. (Вариант 9 № 16. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 - 80с)

Товар на распродаже уценили на 15%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?

До понижения цены товар стоил 100%. Цена на товар после распродажи уменьшилась на 15%, т.е. стала 100 - 15 = 85 (%), в рублях эта величина равна 680 рублей.

1 способ.

680: 85 = 8 (руб.) - в 1%
8 . 100 = 800 (руб.) - стоил товар до распродажи.

2 способ.

Это задача на нахождение числа по его проценту, решается делением числа на соответствующий ему процент и путем обращения полученной дроби в проценты, умножением на 100, или действием деления на дробь, полученную при переводе из процентов.
680: 85 . 100 = 800 (руб.) или 680: 0,85 = 800 (руб.)

3 способ.

С помощью пропорции:
680 руб. - 85 %
х руб. - 100 %, получим х = 680 . 100 / 85 = 800 (руб.)

Ответ: 800 рублей стоил товар до распродажи.

Решение задач на смеси и сплавы, с использованием понятий «процентное содержание», «концентрация», «% -й раствор».

Самые простые задачи этого типа приведены ниже.

Пример. Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

10 . 0,15 = 1,5 (кг) соли.

Ответ: 1,5 кг.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором (например, 15%-й раствор соли).

Пример. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

10 + 15 = 25 (кг) - сплав;
10: 25 . 100% = 40% - процентное содержание олова в сплаве;
15: 25 . 100% = 60% - процентное содержание цинка в сплаве.

Ответ: 40%, 60%.

В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?

Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде.

Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно. Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m.

концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина;
процентным содержанием данного вещества называется величина с×100%;

Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2, а концентрация.
Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.

При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом добавлении смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет P%, то это означает, что масса этого вещества составляет P% от массы всего соединения.

Пример. Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

300 . 0,87 = 261 (г).

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношения объема чистого компонента в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этого компонента.

Сумма концентраций всех компонентов, составляющих смесь, равна 1.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:
К = P/100%,
где К - концентрация вещества;
P - процентное содержание вещества (в процентах).

Пример. (Вариант 8 № 22. ОГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 - 80с)

Свежие фрукты содержат 75% воды, а высушенные - 25%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 45 кг высушенных фруктов?

Если в свежих фруктах содержится 75% воды, то сухого вещества будет 100 - 75 = 25 (%), а высушенные - 25%, то сухого вещества в них будет 100 - 25 = 75 (%).

При оформлении решения задачи, можно использовать таблицу:

Свежие фрукты х 25% = 0,25 0,25 . х

Высушенные фрукты 45 75% = 0,75 0,75 . 45 = 33,75

Т.к. масса сухого вещества для свежих и высушенных фруктов не меняется, то получим уравнение:

0,25 . х = 33,75;
х = 33,75: 0,25;
х = 135 (кг) - требуется свежих фруктов.

Ответ: 135 кг.

Пример. (Вариант 8 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

Смешав 70 % -й и 60 % -й растворы кислоты и добавив 2 кг чистой воды, получили 50 % -й раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90 % -го раствора той же кислоты, то получили бы 70 % -й раствор кислоты. Сколько килограммов 70 % -го раствора использовали для получения смеси?

Общая масса, кг | Концентрация сухого вещества | Масса сухого вещества
I х 70% = 0,7 0,7 . х
II у 60% = 0,6 0,6 . у
вода 2 - -
I + II + вода х + у + 2 50 % = 0,5 0,5 . (х + у + 2)
III 2 90 % = 0,9 0,9 . 2 = 1,8
I + II + III х + у + 2 70 % = 0,7 0,7 . (х + у + 2)

Используя последний столбик из таблицы составим 2 уравнения:

0,7 . х + 0,6 . у = 0,5 . (х + у + 2) и 0,7 . х + 0,6 . у + 1,8 = 0,7 . (х + у + 2).

Объединив их в систему, и решив ее, получим, что х = 3 кг.

Ответ: 3 килограмма 70 % -го раствора использовали для получения смеси.

Пример. (Вариант 2 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни - столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?

Из первого предложения задачи получаем следующие равенства:

3ч = 5в,
3в = 2к.
Из которых можно выразить: ч = 5в/3, к = 3в/2.

Таким образом можно составить пропорцию:
5в/3 - 100%
3в/2 - х %, получим х = (3 . 100 . в.3)/(2 . 5 . в), х = 90% составляет стоимость килограмма клубники от стоимости килограмма черешни.

Значит, на 100 - 90 = 10 (%) - килограмм клубники дешевле килограмма черешни.

Ответ: на 10 процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни.

Решение задач на «сложные» проценты, с использованием понятия коэффициента увеличения (уменьшения).

Чтобы увеличить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент увеличения К = (1 + 0,01р).

Чтобы уменьшить положительное число А на р процентов, следует умножить число А на коэффициент уменьшения К = (1 - 0,01р).

Пример. (Вариант 29 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 - 224с)

Цена товара была дважды снижена на одно и то же число процентов. На сколько процентов снижалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 5000 рублей, а окончательная 4050 рублей?

1 способ.

Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х. Пусть в первый и второй раз цена товара была понижена на х %, тогда после первого понижения цена товара стала (100 - х) %.

Составим пропорцию
5000 руб. - 100%
у руб. - (100 - х)%, получим у = 5000 . (100 - х) / 100 = 50 . (100 - х) рублей - стоимость товара после первого понижения.

Составим новую пропорцию уже по новой цене:
50 . (100 - х) руб. - 100%
z руб. - (100 - х)%, получим z = 50 . (100 - х) (100 - х) / 100 = 0,5 . (100 - х)2 рублей - стоимость товара после второго понижения.

Получим уравнение 0,5 . (100 - х)2 = 4050. Решив его, получим, что х = 10 % .

2 способ.

Т.к. цена товара снижалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.

Используя понятие коэффициента уменьшения, сразу получаем уравнение:
5000 . (1 - 0,01х)2 = 4050.

Ответ: на 10 % снижалась цена товара каждый раз.

Пример. (Вариант 30 № 22. ОГЭ-2015. Математика. Тип. экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под ред. Ященко, 2015 - 224с)

Цена товара была дважды повышена на одно и то же число процентов. На сколько процентов повышалась цена товара каждый раз, если его первоначальная стоимость 3000 рублей, а окончательная 3630 рублей?

Т.к. цена товара повышалась на одно и то же число %, обозначим число % за х, х % = 0,01 х.

Используя понятие коэффициента увеличения, сразу получаем уравнение:
3000 . (1 + 0,01х)2 = 3630.

Решив его, получим, что х = 10 %.

Ответ: на 10 % повышалась цена товара каждый раз.

Пример. (Вариант 4 №11. ЕГЭ-2016. Математика. Типов. тест. зад. ред Ященко 2016 -56с)

В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 9% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?

Пусть акции компании дорожали и дешевели на х %, х % = 0,01 х, а исходная стоимость акций была А. Используя все условия задачи, получаем уравнение:

(1 + 0,01 х)(1 - 0,01 х)А = (1 - 0,09)А,
1 - (0,01 х)2 = 0,91,
(0,01 х)2 = (0,3)2,
0,01 х = 0,3,
х = 30 %.

Ответ: на 30 процентов подорожали акции компании в четверг.

Решение «банковских» задач в новой версии ЕГЭ-2016 по математике.

Пример. (Вариант 2 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)

15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

Известно, что восьмая выплата составила 108 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Со 2-го по 14-е число производится выплата А/15 +0,01А.

После чего сумма долга составит 1,01А - А/15 - 0,01А = 14А/15.

Через 2 месяца получаем: 1,01. 14А/15.

Второй платеж А/15 + 0,01. 14А/15.

Тогда долг после второго платежа 13А/15.

Аналогично получаем, что восьмая выплата будет иметь вид:

А/15 + 0,01. 8А/15 = А/15 . (1 + 0,08) = 1,08А/15.

А по условию она равна 108 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:

1,08А/15 = 108,

А=1500 (тыс. руб.) - исходная сумма долга.

2) Чтобы найти сумму, которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования, мы должны найти сумму всех выплат по кредиту.

Сумма всех выплат по кредиту будет иметь вид:

(А/15 + 0,01А) + (А/15 + 0,01. 14А/15) + (А/15 + 0,01. 13А/15) + … + (А/15 + 0,01. А/15) = А + 0,01А/15 (15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1) = А + (0,01. 120А)/15 = 1,08А.

Значит, 1,08 . 1500 = 1620 (тыс. руб.) = 1620000 рублей нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.

Ответ: 1620000 рублей.

Пример. (Вариант 6 №17. ЕГЭ-2016. Математика. 50 типов. вар. ред. Ященко 2016)

15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяцев. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

1) Пусть А - сумма кредита, 1 % = 0,01.

Тогда 1,01А долг после первого месяца.

Со 2-го по 14-е число производится выплата А/24 +0,01А.

После чего сумма долга составит 1,01А - А/24 - 0,01А = А - А/24 = 23А/24.

При такой схеме долг становится на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Через 2 месяца получаем: 1,01. 23А/24.

Второй платеж А/24 + 0,01. 23А/24.

Тогда долг после второго платежа 1,01. 23А/24 - А/24 - 0,01. 23А/24 = 23А/24(1,01 - 0,01) - А/24 = 23А/24 - А/24 = 22А/24.

Таким образом получаем, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку следующую сумму:
А/24 +0,01А. 24/24 + А/24 + 0,01. 23А/24 + А/24 + 0,01. 22А/24 + … + А/24 + 0,01. 13А/24 =12А/24 + 0,01А/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = А/2 + 222А/2400 = 711А/1200.

А по условию она равна 177,375 тыс. рублей. Значит, можно составить и решить уравнение:
711А/1200 = 177,75,
А=300 (тыс. руб.) =300000 рублей - планируется взять в кредит.

Ответ: 300000 рублей.

Поговорим о задачах №19 ЕГЭ

Уже два года во вторую часть добавлена задача c экономическим содержанием, т. е. задачи на сложные банковские проценты.

Говорят, что имеем дело со «сложными процентами» в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.

В конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное количество процентов – р%. Тогда в конце n -го этапа значение некоторой величины А , исходное значение которой равнялось А 0 , определяется формулой:

При увеличении и

При уменьшении

Зная, что годовая процентная ставка депозита равна 12%, найти

эквивалентную ей месячную процентную ставку.

Решение:

Если положить в банк A рублей, то через год получим: A 1 = A 0 (1 +0,12)

Если проценты начислялись каждый месяц с процентной ставкой х , то по формуле сложных процентов через год (12 месяцев) А n = A 0 (1 + 0,01х) 12

Приравняв эти величины получим уравнение, решение которого позволит определить месячную процентную ставку A(1 +0,12) = A(1 +0,01x) 12

1.12 = (1 + 0,01x) 12

x = (-1)·100% ≈ 0.9488792934583046%

Ответ: месячная процентная ставка равна 0.9488792934583046%.

Из решения этой задачи можно видеть, что месячная процентная ставка не равна годовой ставке поделенной на 12.

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение:

Пусть сумма кредита равна а , ежегодный платеж равен х рублей, а годовые составляют k % . Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m =1+ 0,01 k . После первой выплаты сумма долга составит : а 1 = am - х. После второй выплаты сумма долга

составит:

а 2 = a 1 m – х=(ат-х)т-х=а 2 -тх-х=ат 2 -(1+т)х

По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому

откуда

При а = 9930000 и k =10 , получаем т =1,1 и

Ответ : 3993 000 рублей.

Теперь когда мы разобрались с этим предложенным во всех решебниках решением, давайте посмотрим на другое решение.

Пусть F = 9 930 000 – величина кредита, x – искомая величина ежегодного платежа.

Первый год:

Долг: 1,1F ;

Платеж: х ;

Остаток: 1,1F-х .

Второй год:

Долг: 1,1(1,1F-х) ;

Платеж: х ;

Остаток: 1,1(1,1F-х)-х .

Третий год:

Долг: 1,1(1,1F-х)-х );

Платеж: х ;

Остаток: 0, потому что по условию было всего три платежа.

Единственное уравнение

1,1(1,1(1,1F-х)-х)-х=0 . 1,331 F =3,31х, х=3993000

Ответ: 3 993 000 рублей.

Однако-1 ! Если предположить, что процентная ставка не красивые 10%, а страшные 13,66613%. Шансы где-то умереть по ходу умножений или сойти с ума при подробном расписывании множителя при величине долга за каждый год резко увеличились. Добавим к этому еще и не маленькие 3 года, а лет 25. Такое решение не сработает.

31 декабря 2014 года Андрей взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем Андрей переводит в банк 3 460 600 рублей. Какую сумму взял Андрей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Решение.

Пусть а – искомая величина, k% – процентная ставка по кредиту, х – ежегодный платеж. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга будет умножаться на коэффициент m = 1 + 0,01k . После первой выплаты сумма долга составит: а 1 = аm – х . После второй выплаты сумма долга составит:

а 2 = a 1 m – х=(ат-х)т-х=а 2 -тх-х=ат 2 -(1+т)х

После третьей выплаты сумма оставшегося долга:

По условию Андрей выплатил долг за три года,

то есть а 3 = 0 , откуда.

При x = 3 460 600, k% = 10% , получаем: m = 1,1 и =8 606 000 (рублей).

Ответ: 8 606 000 рублей.

31 декабря 2013 года Игорь взял в банке 100 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 51 000 рублей, во второй 66 600 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Игорю?

Решение

Пусть k % – искомая ставка по кредиту; m = (1 + 0,01 k ) – множитель оставшегося долга; a = 100 000 – сумма, взятая в банке; x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 – размеры первого и последнего трáншей.

После первой выплаты сумма долга составит: a 1 = ma – x 1 .

После второй выплаты сумма долга составит: a 2 = ma 1 – x 2 = a m 2 – m x 1 – x 2 . По условию, a 2 = 0 . Уравнение надо будет решить сначала относительно m , разумеется взяв только положительный корень:

100 000m 2 – 51 000m – 66 600 = 0; 500m 2 – 255m – 333 = 0.

Вот где начинаются трудности.

D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .

Тогда.

Ответ: 11%.

31 декабря 2013 года Маша взяла в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Маша переводит очередной транш. Если она будет платить каждый год по 2 788 425 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 991 625, то за 2 года. Под какой процент Маша взяла деньги в банке?

Решение

После двух лет выплаты сумма взятого кредита вычисляется по формуле:

После четырех лет выплаты сумма взятого кредита вычисляется по формуле:

Откуда

тогда.

Ответ: 12,5%.

31 декабря 2013 года Ваня взял в банке 9 009 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Ваня переводит в банк платеж. Весь долг Ваня выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение

Воспользуемся результатом из задачи 2.

Искомая разность х 3 -х 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 рублей.

Ответ: 1 036 00 рублей.

1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?

Надо понять простую истину – чем больше будет платеж по кредиту, тем меньше будет долг. Меньше будет долг – быстрее его выплатишь. Максимальный ежемесячный платеж, который может себе позволить кредитор, равен 300 000 рублей согласно условию. Если Всеволод Ярославович будет платить максимальный платеж, то он быстрее всего погасит долг. Другими словами, сможет взять кредит на наименьший период времени, что и требуется условием.

Попробуем решать задачу в лоб.

Прошел месяц. 1 июля 2013 года: долг (1 + 0,01)900 000 – 300 000 = 609 000.

Прошел месяц. 1 августа 2013 года: долг (1+ 0,01)609 000 – 300 000 = 315 090.

Прошел месяц. 1 сентября 2013 года: долг (1 +0,01)315 090 – 300 000= 18 240,9. Прошел месяц. 1 октября 2013 года: долг (1 0,01)1 240,9 = 18 423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.

Ответ: 4 месяца.

Решим задачу стандартным методом.

Воспользуюсь результатами задачи 3 с учётом следующего рассуждения: неравенство оставшейся части долга имеет вид a x ≤ 0 .

Пусть x – искомая величина, a = 900 000 – сумма, взятая в банке, k% = 1% – ставка по кредиту, y = 300 000 – ежемесячный платеж, m = (1 + 0,01k) – ежемесячный множитель оставшегося долга. Тогда, по уже известной формуле, получим неравенство: ≤0 ;

Получили неприятное неравенство, но верное.

Целую часть числа берем потому, что число платежей не может быть числом не целым. Берем ближайшее большее целое, меньшее взять не можем (потому что тогда останется долг) и видно, что полученный логарифм число не целое. Получается 4 платежа, 4 месяца.

Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение:

Сумма кредита на ситуацию не влияет. Возьмём у банка 4 рубля (делится на 4).

Через год долг банку увеличится ровно в х раз и станет равным 4х рублей.

Поделим его на 4 части, вернём 3х рублей и останемся должны х рублей.

Известно, что к концу следующего года придётся выплатить 4·1,21 рублей.

Известно, что и сумма долга за год превратилась из числа х в число х 2 .

Так как долг через два года фермером был полностью погашен, то

х 2 = 4·1,21 х = 2·1,1 х = 2,2

Коэффициент х означает то, что 100% за год превращаются в 220%.

А это означает, что процент годовых у банка такой: 220% - 100%

Ответ: 120%

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение:

Пусть фиксированная вносимая сумма х рублей.

Тогда после проведения всех операций, попрошестию первого года, сумма на вкладе стала

+х

После 2 года

После 3 года

После 4 года

После 5 года

Так как к концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%, то составим уравнение:

3900 ·8,25=3900·1,5 5 +х·(1,5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5

3900·5,5=3900·1,5 4 +х(1,5 3 +1,5 2 +1,5+1)

Ответ: 210рублей.

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накоплена сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение:

От суммы вклада ситуация не изменится. Положим в банк 4 рубля (делится на 4).

Через год сумма на счету увеличится ровно в p раз и станет равной 4p рублей.

Поделим её на 4 части, унесём домой p рублей, оставим в банке 3p рублей.

Известно, что к концу следующего года в банке оказалось 4·1,44 = 5,76 рублей.

Итак, число 3p превратилось в число 5,76. Во сколько раз оно увеличилось?

Таким образом, найден второй повышающий коэффициент x банка.

Интересно, что произведение обоих коэффициентов равно 1,92:

Из условия следует, что второй коэффициент на 0,4 больше первого.

p · x = p ·( p +0,4)=1,92

Уже сейчас коэффициенты можно подобрать: 1,2 и 1,6.

Но продолжим, однако, решать уравнение:

10p ·(10p+4)=192 пусть 10p=k

k ·(k+4)=192

k =12, т.е. р=1,2; а х=1,6

Ответ: 60%