Работа учителя над теоремой многоэтапна. Выделим основные из этих этапов: 1)актуализация знаний, мотивация изучения теоремы; 2)формулировка теоремы и усвоение ее содержания; 3) доказательство теоремы; 4) закрепление и применение теоремы
Заметим, что в каждом конкретном случае учитель сам решает, какие этапы с какой полнотой использовать, а без каких можно обойтись. Это зависит от особенностей класса, предыдущего опыта учителя, сложности теоремы для восприятия и др.
1-ый этап – актуализация знаний (опорное повторение) и мотивация изучения теоремы.
Технология организации опорного повторения: учитель
– разбивает доказательство на максимальное число шагов;
– вычленяет все математические факты, на которые опирается доказательство;
– анализирует, все ли они и в какой степени известны учащимся;
– организует опорное повторение в форме беседы, фронтального опроса, системы подготовительных задач (чаще всего “на готовых чертежах” – см. далее).
Мотивация изучения теоремы чаще всего связывается учителем с решением практической задачи, в которой необходим факт, отраженный в теореме (см. пример на с. 30).
2-й этап – введение формулировки теоремы и усвоение ее содержания .
Опишем два основных способа введения формулировки теоремы.
1-й способ. Учитель сам формулирует теорему с предварительной мотивировкой либо без нее.
Спешить с формулировкой не следует. Только в том случае, если она проста, доходчива, можно начинать с формулировки. Если формулировка не отличается простотой, то учитель прежде всего вычерчивает фигуру, выясняет и записывает на доске условие, заключение теоремы и только после этого формулирует ее полностью.
Преимущества способа – краткость, четкость, экономия времени; недостаток – возможен формализм, догматизм.
2-й способ. Учащиеся подготавливаются к самостоятельному формулированию теоремы.
В планиметрии для этого часто используют упражнения на построение и измерение соответствующих фигур.
Пример . Для самостоятельного открытия учащимися теоремы о хордах окружности учитель предлагает следующие вопросы и задания:
– Проведите в окружности две неравные хорды.
– Установите на глаз, какая из них ближе к центру.
– Сформулируйте свой вывод.
Преимущества способа – развитие творческих способностей учеников, повышение интереса к изучению геометрии; недостатки – большие затраты времени, возможное распыление внимание на несущественные детали.
После того, как теорема сформулирована, работаем над уточнением: оговариваем терминологию, выделяем условие и заключение теоремы. Параллельно выполняется краткая запись данных и того, что требуется доказать; строится чертеж.
Требования к чертежу:
– должен быть изображен общий, а не частный случай;
– размеры чертежа должны быть оптимальны;
– данные и искомые выделяются на чертеже цветом, используются специальные метки и символы для обозначения.
3-й этап – доказательство теоремы .
Ранее (см. 3. 2) мы охарактеризовали основные логические и математические методы доказательства теорем.
Учебник во много определяет выбор метода доказательства: логического (прямое или косвенное, аналитическое, синтетическое или метод от противного) и математического (метод геометрических преобразований или метод равенства или подобия треугольников).
Учитель должен хорошо разбираться в структуре всех видов доказательства, уметь перевести синтетическое доказательство в аналитическое и наоборот ; осознанно выбрать аналитический или синтетический путь рассуждений на уроке (в зависимости от возраста и уровня подготовки учащихся, профиля класса, возможных затрат времени и др.).
Учащиеся должны понимать, что процесс доказательства заключается в построении последовательной цепочки рассуждений, обоснованных с помощью уже известных математических фактов. Заключение – последнее ее звено.
Как мы знаем, каждый шаг этой цепочки – силлогизм. В школе нет возможности, да и необходимости вводить термины “силлогизм”, “большая посылка”, “меньшая посылка”. Обычно в обучении геометрии в основной школе пользуются терминами “шаг”, “этап”: на каждом шаге доказательства указывается утверждение и его обоснование.
На первых порах для понимания структуры доказательства, после того, как оно найдено, полезно оформление его в виде двух колонок, в одной из которых – утверждения, в другой – обоснования.
Пример . Признак параллельности прямых.
Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Наибольшая трудность – усвоение логики доказательства. Большую помощь тут могут оказать специальные карточки, которые могут применяться в качестве самостоятельной работы, домашнего задания, задания для индивидуального опроса и др. 1
Техника их изготовления проста: опуская некоторые пункты в колонках “утверждение”, “обоснование”, получаем один из вариантов индивидуальной карточки, который может быть использован как лист с печатной основой (ученик вписывает недостающие фрагменты доказательства).
Методика использования карточек: выдается карточка, предлагается заполнить пустые места; разным группам учащихся предлагаются карточки с различной насыщенностью текста, осуществляя таким образом индивидуализацию обучения математике.
Для подготовки учащихся к изучению доказательства теоремы многие учителя пользуются приемом составления плана доказательства . Обычно выделяется два этапа.
1 подход . Дается готовый план доказательства новой теоремы, учащимся предлагается самим доказать ее с помощью плана.
Пример. К теореме «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом» предлагается такой план:
1. Провести диагональ
2. Доказать равенство полученных треугольников
3. Доказать параллельность противоположных сторон четырехугольника
4. Сделать вывод.
План демонстрируется классу, например, на экране с помощью интерактивной доски, мультимедиапроектора или кодоскопа. Такую новую форму задания учащиеся воспринимают с исключительным интересом. Как только план появляется на экране, они затихают – думают. Очень многие изъявляют затем желание отвечать. Чем объяснить такой повышенный интерес?
Во-первых, план разбивает доказательство теоремы на ряд простых, элементарных шагов, которые учащиеся уже могут выполнить. Если они еще не научились их выполнению, то план давать не стоит.
Во-вторых, учащиеся чувствуют, что с помощью плана они смогут доказать новую теорему. Не слушать и запоминать, а самостоятельно доказать. Это весьма импонирует им.
В-третьих, план позволяет охватить все доказательство в целом, добиться полноты понимания. Следовательно, ослабляется отрицательное влияние, когда установка на запоминание затрудняет понимание. Это приводит к уверенности, возрастает желание работать.
2-й подход . Учащихся учат составлять план уже доказанной теоремы. Сначала эта работа выполняется коллективно, а затем самостоятельно. Причем, здесь учителю приходится неоднократно показывать образцы составления плана. Учащиеся свободно воспринимают готовый план, но не сразу у них появляются умения и навыки составления плана. Очень хорошие результаты получаются в тех случаях, когда для доказательства нескольких теорем дается один общий план. Такие теоремы, объединенные общей идеей, усваиваются особенно продуктивно.
Как мы уже говорили, в учебниках планиметрии представлены краткие синтетические доказательства теорем. Учитель должен систематически учить учащихся:
1) конструировать доказательства из шагов;
2) превращать сокращенные книжные доказательства в развернутые цепочки шагов с указанием обоснований;
3) оформлять полные записи доказательства отдельных теорем.
Приведем пример полной записи доказательства теоремы по шагам.
Пример . Полное доказательство признака параллельности прямых (формулировка и краткая запись доказательства даны на предыдущей странице).
Пусть при пересечении прямых а и в секущей с имеем углы, например, 2 и 3 – вертикальные, 1 и 3 – накрест лежащие.
1. Так как 3 и 2 – вертикальные углы, то 3 = 2 (вертикальные углы равны).
2. Так как 1 = 2 и 3 = 2, то 1 = 3 (если правые части в верных равенствах равны, то равны их левые части).
3. Так как 1 и 3 – накрест лежащие углы при пересечении прямых а и в секущей с и 1 = 3, то а в (если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны).
Теорема доказана .
В процессе доказательства необходимо полностью использовать условие теоремы. Один из путей – обсуждение, на каких этапах и как применена та или другая часть условия, все ли они использованы при доказательстве.
Для обеспечения усвоения доказательства широко применяется прием двукратного доказательства : сначала обсуждается только идея, план; доказательство излагается фрагментарно. После этого доказательство излагается полностью, со всеми тонкостями и нюансами.
В опыте В.Ф. Шаталова используется сверхмногократное повторение доказательства, причем, часто на уровне идеи, плана.
4-й этап – закрепление и применение теоремы
Этап закрепления теоремы предполагает работу по выявлению, поняты ли сущность самой теоремы, идея, метод доказательства и отдельные его шаги. Приемы закрепления могут быть таковы:
– в процессе беседы с учащимися еще раз выделить основную идею, метод и шаги доказательства;
– предложить объяснить отдельные шаги доказательства;
– перечислить все аксиомы, теоремы и определения, которые используются в доказательстве;
– выяснить, где используется то или иное условие, все ли они оказались использованными;
– нет ли других способов доказательства;
– при закреплении полезно варьировать обозначения на чертеже, а также сам чертеж и т.п.
Применение теоремы организуется в процессе решения задач, в которых она используется. Нужно иметь в виду, что не всегда учебник предлагает систему задач на применение конкретной теоремы, чаще даются отдельные задачи, которые опытный учитель может дополнять. Применяются теоремы и при доказательстве других теорем последующего курса планиметрии и стереометрии.
Как доказывать теоремы?
Процедура доказательства теоремы только кажется сложной. Достаточно уметь логически мыслить, иметь необходимые знания по данной научной дисциплине, и доказать теорему для вас не составит труда. Важно выполнять все действия четко в правильной последовательности.
В некоторых науках, к примеру, в алгебре и геометрии, одним из важнейших умений является умение доказывать теоремы. Это связано с тем, что доказанные теоремы впоследствии пригодятся для того, чтобы решать задачи. Нужно не просто выучить алгоритм доказательства, а суметь понять ее суть. Давайте разберемся, как доказывать теоремы.
Доказательство теорем
Для начала следует сделать чертеж, он должен быть четким и аккуратным. После этого нужно отметить на нем заданные условия. В графе «Дано» нужно записать все величины, которые вам изначально известны, и то, что нужно доказать. После этого можно заняться доказательством. По сути, это цепочка логически выстроенных мыслей, которые позволяют показать то, что какое-либо утверждение является верным. Доказательство теоремы подразумевает использование других теорем, аксиом, применение действия от противного и т.д.
Итак, доказательством теоремы является определенная последовательность действий, позволяющих получить утверждение, истинность которого нельзя оспорить. Как правило, наиболее трудным во время доказательства является как раз поиск последовательности логических рассуждений. Если же это удастся, то вы сможете доказать то, что от вас требовалось.
Как доказывать теоремы по геометрии без труда
Чтобы упростить себе задачу, можно разбить теорему на части, и доказывать каждую из них по отдельности, что в итоге приведет вас к результату. В некоторых случаях эффективно использовать метод «доказательства от противного». Тогда нужно начинать со слов «предположим обратное». Следует объяснить, почему в данном случае то или иное заключение невозможно. Заканчивать нужно словами «значит, первоначальное утверждение является верным. Теорема доказана».
Еще больше полезной информации по геометрии можно найти в разделе .
Усвоить содержание теорем (правил, формул, тождеств и т. д.), которые изучаются в школе, не так уж трудно. Для этого необходимо систематически пытаться понять смысл теоремы (правил, формул, тождеств и т. д., как можно чаще применять их при решении задач, при доказательстве других теорем. Такая работа, как показывает практика, приводит к непроизвольному усвоению их содержания, запоминанию их формулировок. Значительно труднее научиться доказывать теоремы. При этом речь идет не о запоминании доказательства той или иной теоремы, которая была рассмотрена на уроке. Специально запоминать доказательство не нужно, нужно научиться самому доказывать теоремы. Доказательства теорем в учебнике следует рассматривать как образец (эталон) рассуждений при доказательстве какого-либо утверждения.
Что значит доказать теорему, что такое доказательство?
Доказательство в широком смысле — это логическое рассуждение, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других положений.
Поэтому, когда вы убеждаете своего товарища в чем-либо или отстаиваете в споре с ним свое мнение, свою точку зрения, то вы по существу производите доказательство (умело или неумело — это уже другой вопрос) . В жизни все время, каждодневно в общении с другими людьми, приходится доказывать те или иные мысли, утверждения, приходится убеждать в чем-то, т. е. доказывать.
Доказательство математических теорем есть частный случай доказательства вообще. Оно отличается от доказательства в житейских условиях или в других науках тем, что оно совершается по возможности чисто дедуктивным способом (от латинского слова дедукция — выведение), т. е. выведением новой доказываемой мысли (утверждения, суждения) из ранее доказанных или принятых без доказательства мыслей (аксиом) по правилам логики без каких-либо ссылок на примеры или опыт. В других науках, в житейских обстоятельствах мы для доказательства часто прибегаем к примерам, к опыту. Мы говорим: «Смотри» — и это может служить доказательством. В математике такой способ доказательства недопустим, ссылаться, например, на очевидные отношения, иллюстрируемые чертежом, не разрешается. Математическое доказательство должно представлять собой цепочку логических следствий из исходных аксиом, определений, условий теоремы и ранее доказанных теорем до требуемого заключения.
Таким образом, при доказательстве теоремы мы сводим ее к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь еще к другим и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения должен быть конечным, и поэтому всякое доказательство в конце концов сводит доказываемую теорему к исходным определениям и принятым без доказательства аксиомам.
Следовательно, аксиомы служат не только для косвенного определения первичных понятий, но и в качестве оснований для доказательства всех теорем математики. Вот почему в числе аксиом встречаются и такие, которые указывают особые свойства понятий, имеющих логические определения. Так, например, параллельные прямые в курсе геометрии являются не первичным понятием, а определяемым. Однако одно из свойств параллельных прямых, а именно что ч ерез точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной , мы вынуждены принять за аксиому, ибо, как было установлено великим русским геометром Н. И. Лобачевским (1792—1856), а также немецким математиком К. Ф. Гауссом (1777—1855) и венгерским математиком Я. Больяй (1802—1860), доказать это свойство параллельных прямых на основе лишь остальных аксиом геометрии невозможно.
Всякий шаг доказательства состоит из трех частей:
1) предложение (аксиома, теорема, определение), на основе которого производится этот шаг доказательства; это основание шага доказательства называется посылкой или аргументом;
2) логическое рассуждение, в процессе которого посылка применяется к условиям теоремы или к ранее полученным следствиям;
3) логическое следствие применения посылки к условиям или ранее полученным следствиям.
В последнем шаге доказательства теоремы в качестве следствия получаем утверждение, которое необходимо было доказать. Покажем процесс доказательства на примере такой теоремы: «Диагонали прямоугольника равны».
В этой теореме нам дан произвольный (любой) прямоугольник, Для того чтобы легче было рассуждать в процессе доказательства, поступают следующим образом. Начертим вполне определенный прямоугольник ABCD, но при доказательстве не будем использовать какие-либо частные особенности этого прямоугольника (например, что его сторона АВ примерно в 2 раза больше стороны AD и т. д.). Поэтому наши рассуждения относительно этого определенного прямоугольника будут верны и для любого другого прямоугольника, т. е. они будут иметь общий характер для всех прямоугольников.
Проведем диагонали АС и BD. Рассмотрим полученные треугольники ABC и ABD. У этих треугольников углы ABC и BAD равны как прямые, катет АВ — общий, а катеты ВС и AD равны как противоположные стороны прямоугольника. Следовательно, эти треугольники равны. Отсюда следует, что стороны АС и BD также равны, что и требовалось доказать.
Все доказательство этой теоремы можно изобразить в виде следующей схемы.
| № шага | Посылки (аргументы) | Условия | Следствия |
| 1. | Определение: прямоугольник — это четырехугольугольник, у которого все углы прямые | ABCD - прямоугольник |
A - прямой
B> - прямой. |
| 2. | Теорема: Прямые углы равны. |
A - прямой
B - прямой. |
A = B. |
| 3. | Теорема: Противоположные стороны прямоугольника равны. | ABCD - прямоугольник | BC=AD |
| 4. | Первый признак равенства двух треугольников. | ВС=AD, AB=AB, B = A | ABC= BAD. |
| 5. | Определение равенства треугольников. |
ABC =
BAD,
AC и BD соответственные стороны |
AC=BD. |
Самое трудное в доказательстве — это найти последовательность посылок (аксиом, теорем, определений), применяя которые к условиям теоремы или промежуточным результатам (следствиям) в конечном итоге можно получить нужное следствие — доказываемое положение.
Какими правилами нужно руководствоваться при поиске этой последовательности? Очевидно, что эти правила не могут носить обязательный характер, они лишь указывают возможные пути поиска. Поэтому они называются эвристическими правилами или просто эвристиками (от греческого слова эврика — нахожу, нашел). Многие выдающиеся математики, такие, как Папп (древнегреческий математик, живший в III в.), Блез Паскаль (1623—1662), Рене Декарт (1596—1650), Жак Адамар (1865—1963), Дьердж Пойя (1887) и многие другие, занимались разработкой эвристик для поиска доказательства теорем и решения задач. Вот некоторые эвристические правила, которые полезно помнить:
1. Полезно заменять названия объектов, о которых идет речь в теореме (задаче), их определениями или признаками.
Например, в рассмотренной выше теореме шла речь о прямоугольнике, и мы для доказательства использовали определение прямоугольника.
2. Если можно, то нужно доказываемое положение раздробить на части и доказывать каждую часть в отдельности.
Так, например, доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм» — можно разделить на две части: сначала доказать, что одна пара противоположных сторон данного четырехугольника параллельна, а затем доказать, что и вторая пара противоположных сторон также параллельна.
Так следует поступать всегда, когда есть возможность доказываемое утверждение разбить на несколько частей более простых утверждений.
3. В поисках доказательства теоремы полезно идти с двух сторон: от условий теоремы к заключению и от заключения к условиям.
Например, нужно доказать такую теорему: «Если некоторая последовательность такова, что любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, то эта последовательность — арифметическая прогрессия».
Пойдем от условия теоремы. Что нам дано? Дано, что каждый член последовательности, начиная со второго (обозначим его a n , где n ³ 2), есть среднее арифметическое предшествующего и последующего членов, т.
a
n-
1
и
a
n+1
. Значит, верно такое равенство:
(1)
Теперь пойдем от заключения. А что нам нужно доказать? Нужно доказать, что эта последовательность — арифметическая прогрессия. А какая последовательность называется арифметической прогрессией? Вспоминаем определение:
a n = a n-1 + d, где n 2, d — постоянное число. (2)
Сопоставляем данное нам условие (1) с заключением (2). Чтобы условие приняло форму заключения, надо преобразовать так:
2a n = a n-1 + a n+1 , (3)
Отсюда a n — a n-1 = a n+1 — a n . (4)
Левая и правая части (4) обозначают одно и то же, а именно разность между двумя последовательными членами заданной последовательности. Если в равенстве (4) п давать последовательно значения 2, 3 и т. д., то получим: а 2 —a 1 = а 3 — a 2 , затем а 3 - a 2 = a 4 - a 3 и т. д. Следовательно, все эти разности равны между собой, а это значит, что разность а п — а п -1 есть постоянное число, которое можно обозначить буквой, например, буквой d:
а п — а п-1 = d.
Отсюда получаем: a n = a n-1 + d, а это значит, что согласно определению (2) данная последовательность есть арифметическая прогрессия, что нам и надо было доказать.
Эту эвристику можно и так сформулировать: надо стараться сблизить условие и заключение теоремы, преобразуя их или заменяя их следствиями.
Известен и ряд более частных эвристических правил, которые применяются при поиске лишь некоторых теорем. Например, такая эвристика: для того чтобы доказать равенство каких-либо отрезков, надо найти или построить фигуры, соответствующими сторонами которых являются эти отрезки; если фигуры окажутся равными, то будут равны и соответствующие отрезки.
Изучая теоремы, нужно не просто запоминать их доказательство, а каждый раз думать и устанавливать, какими методами они доказываются, какими эвристическими правилами руководствовались при нахождении этих доказательств, как догадались (додумались) до этих доказательств.
В ряде случаев для доказательства теорем используется особый прием, называемый «доказательством от противного» или «приведением к нелепости».
Сущность этого приема заключается в том, что предполагают несправедливость (ложность) заключения данной теоремы и доказывают, что такое предположение приводит к противоречию с условием или с ранее доказанными теоремами или аксиомами. А так как любое утверждение может быть либо верным, либо неверным (ничего другого быть не может), то полученное противоречие показывает, что допущение о ложности заключения теоремы неверно и, следовательно, заключение верно, тем самым теорема доказана.
Приведем пример.
Теорема. Две прямые, порознь параллельные третьей, параллельны между собой.
Дано: а||с, b||с.
Доказать: а||b.
Докажем эту теорему методом от противного. Допустим, что заключение теомы неверно, т. е. прямая а непараллельна прямой b. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. А так как по условию каждая из этих прямых параллельна прямой с, то получается, что через точку М проведены две прямые а и b, параллельные одной и той же прямой с. А мы знаем по аксиоме параллельности, что через точку вне прямой можно провести не более одной прямой, параллельной данной. Пришли к противоречию с аксиомой. Это показывает, что наше предположение о непараллельности прямых а и b неверно, следовательно, а||b, что и требовалось доказать.
Другой пример.
Теорема. Среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше {значит: больше или равно) среднего геометрического этих чисел.
Эту теорему можно так записать:
Где а>0, b>0, (1)
Ее можно доказать как прямым способом, так и способом от противного. Докажем ее способом от противного.
Для этого допустим, что она неверна, т. е. среднее арифметическое меньше среднего геометрического двух положительных чисел: ; (2)
Умножим обе части (2) на 2 и возведем их в квадрат, получим: a 2 + 2ab + b 2 <.4ab или a 2 — 2ab + b 2 < 0. По формуле квадрата разности двух чисел получаем: (а — b) 2 < 0.
В результате получили явную нелепость: квадрат некоторого числа (а — b) отрицателен, чего быть не может. Следовательно, предположение о неверности теоремы привело к противоречию, что доказывает справедливость теоремы.
Таким образом, доказательство от противного некоторой теоремы состоит в том, что мы делаем допущение о неверности заключения теоремы. Затем делаем ряд логических умозаключений на основе этого допущения, в результате которых приходим к явно нелепому положению (к противоречию с условием или ранее доказанными теоремами, аксиомами). Далее рассуждаем так: если бы наше предположение было бы верным, то мы могли бы прийти лишь к верному выводу, а так как мы пришли к неверному выводу, то это означает, что наше предположение было ложным, следовательно, тем самым мы убедились, что заключение теоремы верно.
Заметим, что если в результате рассуждений мы не получили бы нелепости (противоречия), то это еще не означало бы, что предположение верно. Иными словами, если исходить из верности (справедливости) заключения теоремы и из этого предположения получить верное (очевидное) следствие, то это еще не значит, что предположение верно: может случиться, что исходная теорема как раз неверна.
На этом построены многие софизмы (умышленно ложно построенные умозаключения, кажущиеся лишь правильными), этим объясняются многие ошибки, допускаемые, при решении задач.
Рассмотрим, например, такое равенство: а — b = b — a (1), где а и b — произвольные числа. Допустим, что (1) верно, тогда возвысим обе части (1) в квадрат, получим:
a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2
Перенеся все члены в одну сторону и сделав приведение подобных, придем к совершенно верному равенству: 0 = 0. Но отсюда нельзя делать вывод, что и исходное равенство (1) верно. Если бы мы такой вывод сделали, то пришли бы к такому софизму: 2а = 2b или а = b, т. е. любые произвольные числа равны между собой. Ошибка состоит в том, что из равенства квадратов двух чисел не следует равенство самих этих чисел. Например, (-2) 2 = 2 2 , но -2 2.
Вот пример ошибочного решения задачи.
Задача. Решить уравнение 3 + x + 2 = 0 (1).
Допустим, что уравнение (1) имеет решение и, следовательно, равенство (1) верно. Тогда получим: З = — х — 2. Возведем обе части равенства в квадрат: 9х = х 2 + 4х + 4 или х 2 —5x + 4 = 0, отсюда x 1 =4, х 2 =1. Можно ли найденные значения х считать корнями уравнения (1)? Некоторые ученики отвечают на этот вопрос утвердительно, ибо ведь все преобразования уравнения верные. И все же ни одно из найденных значений х не является корнем (1). Это подтверждает проверка. Подставляя найденные значения х в (1), получаем явно нелепые равенства: 12 = 0 и 6 = 0.
А как все же решить это уравнение. Заметим, что выражение в левой части уравнения имеет смысл, если x 0. Тогда левая часть уравнения при любых допустимых значениях х принимает только положительные значения и ни как не может быть равной 0, следовательно, данное уравнение корней не имеет.
Таким образом вы должны учиться доказывать теоремы (формулы, тождества и т. д.), овладевать общими способами поиска доказательства теорем.
По способу связи аргументов от условия к заключению доказательства подразделяются на прямые и косвенные .
Прямое доказательство основано на каком-нибудь несомненном начале, из которого непосредственно устанавливается истинность теоремы.
Методы прямого доказательства:
– синтетический,
– аналитический,
– метод математической индукции.
Синтетический метод : при построении цепочки силлогизмов мысль движется от условия теоремы к ее заключению.
В учебниках приводятся преимущественно синтетические доказательства. Их преимущества – полнота, сжатость, краткость. Недостатки – отсутствие мотивации шагов, обоснования дополнительных построений; они носят значительно более формальный характер, чем аналитические доказательства.
Пример
Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведения отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
Дано: АВ и СД – хорды окружности, Е – точка их пересечения.
Доказать: АЕ×ВЕ = СЕ×ДЕ. (1)
Доказательство (синтетическое)
Рассмотрим треугольники АДЕ и СВЕ. В этих треугольниках углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВМД, а углы 3 и 4 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников DАДЕ ~ DСВЕ. Отсюда следует, что , или АЕ×ВЕ = СЕ×ДЕ. Теорема доказана .
Аналитический метод : при поиске доказательства мысль движется от заключения теоремы к ее условию. Преимущества этого метода – есть отправное звено доказательства, дополнительные построения мотивированы, увеличивается творческая активность учащихся. Недостатки – большие потери времени, искусственные дополнительные построения трудно обосновать.
Пример . Теорема о хордах окружности.
Доказательство (аналитическое)
Чтобы доказать равенство (1), достаточно показать, что (2).
Для того, чтобы найти пропорцию (2), достаточно доказать подобие треугольников, стороны которых являются членами этой пропорции. Для получения таких треугольников соединяем точки С и В, А и Д.
Чтобы обосновать верность пропорции (2), достаточно доказать, что DАДЕ ~ DСВЕ. Эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников: Ð1 = Ð2 как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВМД, а Ð3 = Ð4 как вертикальные. Следовательно, теорема верна .
Любое аналитическое доказательство обратимо в синтетическое и наоборот. Это широко используется в учебном процессе. Технологии могут быть таковы:
1) синтетическое доказательство предваряется аналитическими поисками его плана;
2) синтетическое доказательство заменяется аналитическим, в качестве домашнего задания – изучение синтетического доказательства по учебнику;
3) при использовании лекционного метода (преимущественно за пределами курса основной школы) часто используется чисто синтетический метод доказательства.
Метод математической индукции не имеет распространения в геометрии, так как основан на свойствах множества натуральных чисел, выходит за рамки основной школы, поэтому мы не будет подвергать его специальному изучению.
Косвенное доказательство : истинность теоремы устанавливается посредством опровержения некоторых суждений, содержащихся в теореме.
Наиболее распространенный и единственно применимый в курсе планиметрии метод косвенного доказательства – доказательство от противного .
Логико-математическая сущность метода от противного: вместо прямой (р Þ q) доказывается обратная противоположной теорема ().
Поэтому доказательство методом от противного строится по следующей схеме:
1) пусть неверно q, то есть истинно ;
2) докажем, что ложно р, то есть истинно ;
3) убедились, что из ;
4) следовательно, р Þ q (в силу равносильности импликаций р Þ q и ), что и требовалось доказать.
Курс геометрии основной школы широко применяет доказательства от противного, начиная буквально с первых уроков в седьмом классе. При этом необходимо использовать алгоритмический подход.
Алгоритм доказательства от противного .
1. Допускаем, что заключение теоремы ложно. Тогда будет верно противоречащее ему утверждение.
2. Вычленяем возможные случаи.
3. Убеждаемся, что в каждом случае приходим к следствию, которое противоречит:
– условию теоремы,
– ранее установленным математическим фактам.
4. Наличие противоречия заставляет отказаться от принятого заключения.
5. Признаем справедливость заключения доказываемой теоремы.
Мы охарактеризовали основные логические методы доказательства теорем: прямые и косвенные, которые в свою очередь могут быть аналитическими и синтетическими, доказательствами от противного.
Можно говорить об основных математических методах доказательства теорем. В геометрии к ним можно отнести следующие базовые методы:
1) метод геометрических преобразований : эффективен, соответствует современной концепции обучения геометрии в школе, но требует развитого абстрактного и пространственного мышления; методика его использования в школе недостаточно отработана;
2) метод равенства и подобия треугольников – соответствует классической концепции обучения геометрии в школе, известен со времен Евклида, поэтому методика его хорошо разработана; навыки его применения формируются постепенно, в процессе решения задач и доказательства теорем.
Кроме указанных базовых математических методов доказательства теорем планиметрии можно говорить о более частных методах: метод симметрии, метод поворота, векторный метод, алгебраический метод, метод подобия, координатный метод и др.
Методы доказательства, используемые в курсе геометрии основной школы, можно обобщить в виде схемы I.
Алгебре периодически приходится доказывать теоремы. В доказанная теорема поможет вам при решении . Поэтому крайне важно не механически зазубрить доказательство, а вникнуть в суть теоремы, чтобы потом руководствоваться ею на практике.
Сначала изобразите четкий и аккуратный чертеж к теореме. Отметьте на нем латинскими буквами то, что вам изначально известно. Запишите все известные величины в графу «Дано». Далее в графе «Доказать» сформулируйте то, что доказать. Теперь можно приступать к доказательству. Оно цепочку логических мыслей, в результате чего показывается истинность -либо утверждения. При доказательстве теоремы можно (а порой – даже нужно) пользоваться различными положениями, аксиомами, от противного и даже другими, ранее доказанными, теоремами.
Таким образом, доказательство – это последовательность действий, в результате которого вы получите неоспоримое . Наибольшую трудность при доказательстве теоремы представляет нахождение именно той последовательности логических рассуждений, которые приведут к поиску того, что требовалось доказать.
Разбейте теорему на части и, доказывая, по отдельности, в итоге вы придете к искомому результату. Полезно овладеть навыком «доказательства от противного», в ряде случаев именно таким способом проще всего доказать теорему. Т.е. начните доказательство со слов «предположим обратное», и постепенно докажите, этого не может быть. Закончите доказательство словами «следовательно, первоначальное утверждение верно. Теорема доказана».
Франсуа Виет - известный французский математик. Теорема Виета позволяет решать квадратные уравнения по упрощенной схеме, которая в результате экономит время, затраченное на расчет. Но чтобы лучше понимать суть теоремы, следует проникнуть в суть формулировки и доказать ее.
Теорема Виета
Суть данного приема состоит в том, чтобы находить корни без помощи дискриминанта. Для уравнения вида x2 + bx + c = 0, где имеется два действительных разных корня, верно два утверждения.Первое утверждение гласит, что сумма корней данного уравнения приравнивается значению коэффициента при переменной x (в данном случае это b), но с противоположным знаком. Наглядно это выглядит так: x1 + x2 = −b.
Второе утверждение уже связано не с суммой, а с произведением этих же двух корней. Приравнивается же это произведение к свободному коэффициенту, т.е. c. Или, x1 * x2 = c. Оба этих примера решаются в системе.
Теорема Виета значительно упрощает решение, но имеет одно ограничение. Квадратное уравнение, корни которого можно найти, используя этот прием, должно быть приведенным. В приведенном уравнении коэффициента a, тот, что стоит перед x2, равен единице. Любое уравнение можно привести к подобному виду, разделив выражение первый коэффициент, но не всегда данная операция рациональна.
Доказательство теоремы
Для начала следует вспомнить, как по традиции принято искать корни квадратного уравнения. Первый и второй корни находятся , а именно: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Вообще делится на 2a, но, как уже говорилось, теорему можно применять только когда a=1.Из теоремы Виета известно, что сумма корней равна второму коэффициенту со знаком минус. Это значит, что x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
То же справедливо и для произведения неизвестных корней: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. В свою очередь D = b2-4c (опять же при a=1). Получается, что итог таков: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
Из приведенного простого доказательства можно сделать только один вывод: теорема Виета полностью подтверждена.
Вторая формулировка и доказательство
Теорема Виета имеет и другое толкование. Если говорить точнее, то не толкование, а формулировку. Дело в том, что если соблюдаются те же условия, что и в первом случае: имеется два различных действительных корня, то теорему можно записать другой формулой.Эта равенство выглядит следующим образом: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Если функция P(x) пересекается в двух точка x1 и x2, то ее можно записать в виде P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). В случае, когда P имеет вторую степень, а именно так и выглядит первоначальное выражение, то R является простым числом, а именно 1. Это утверждение верно по той причине, что в ином случае равенство выполняться не будет. Коэффициент x2 при раскрытии скобок не должен быть больше единицы, а выражение должно оставаться квадратным.