Инструкция
Многоугольник, лежащий в основании призмы, может быть правильным, то есть таким, все стороны которого равны, и неправильным. Если в основании призмы лежит правильный многоугольник, то вычислить его площадь можно по формуле S=1/2P*r, где S - это площадь многоугольника, P - это периметр многоугольника (сумма длин всех его сторон), а r - радиус окружности, вписанной в многоугольник.
Наглядно представить себе радиус вписанной в правильный многоугольник окружности можно, разделив многоугольник на равные треугольники. Высота, проведенная из вершины каждого треугольника к стороне многоугольника, являющейся основанием треугольника, и будет радиусом вписанной окружности.
Если же многоугольник неправильный, то для вычисления площади призмы необходимо разбить его на треугольники и отдельно находить площадь каждого треугольника. Площади треугольников находим по формуле S=1/2bh, где S - это площадь треугольника, b - его сторона, а h - высота, проведенная к стороне b. После того, как вы вычислили площади всех треугольников, составляющих многоугольник, просто суммируйте эти площади, чтобы получить общую площадь основания призмы.
Призма - геометрическая фигура, многогранник с двумя равными и параллельными гранями, называемыми основаниями и имеющими форму многоугольника. Другие грани имеют с основаниями общие стороны и называются боковыми.
Евклид, древнегреческий математик и основоположник элементарной геометрии, дал такое определение призмы - телесная фигура, заключенная между двумя равными и параллельными плоскостями (основаниями) и с боковыми гранями – параллелограммами. В античной математике еще не было понятия ограниченной части плоскости, которое ученый подразумевал под словом «телесная фигура». Таким образом, призма , также как и любая другая геометрическая фигура, не является пустой.Несколько основных определений: боковая поверхность – совокупность всех боковых граней. полная поверхность – совокупность всех граней (оснований и боковой поверхности); высота – отрезок, перпендикулярный основаниям призмы и соединяющий их; диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, которые не принадлежат одной грани; диагональная плоскость – это плоскость, проходящая через диагональ основания призмы и ее боковое ребро; диагональное сечение – параллелограмм, который получается при пересечении призмы и диагональной плоскости. Частные случаи диагонального сечения: прямоугольник, квадрат, ромб; перпендикулярное сечение – плоскость, проходящая перпендикулярно боковым ребрам.Основные свойства призмы: основания призмы – параллельные и равные многоугольники; боковые грани призмы – всегда параллелограммы; боковые ребра призмы параллельны друг другу и имеют равную длину.Различают прямую, наклонную и правильную призму: у прямой призмы все боковые ребра перпендикулярны основанию; у наклонной призмы боковые ребра неперпендикулярны основанию; правильная призма – многогранник с правильными многоугольниками в основаниях, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Правильная призма является прямой.Основные числовые характеристики призмы: объем призмы равен произведению площади основания на высоту; площадь боковой поверхности – произведение периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра; площадь полной поверхности призмы – сумма всех площадей ее боковых граней и площади основания, умноженной на два.
Видео по теме
Видео по теме
Источники:
- площадь призмы
Инструкция
Если в условиях задачи приведен объем (V) пространства, ограниченного гранями призмы , и площадь ее основания (s), для вычисления высоты (H) используйте формулу, общую для призм с основанием любой геометрической формы. Разделите объем на площадь основания: H=V/s. Например, при объеме в 1200 см³ и площади основания, равной 150 см², высота призмы должна быть равна 1200/150=8 см.
Если четырехугольник, лежащий в основании призмы , имеет форму какой-либо правильной фигуры, вместо площади в вычислениях можно использовать длины ребер призмы . Например, при квадратном основании площадь в формуле предыдущего шага замените второй степенью длины его ребра (a):H=V/a². А в случае прямоугольника в ту же формулу подставьте произведение длин двух смежных ребер основания (a и b):H=V/(a*b).
Для вычисления высоты (H) правильной четырехугольной призмы может оказаться достаточным знания полной площади поверхности (S) и длины одного ребра основания (a). Так как общая площадь складывается из площадей двух оснований и четырех боковых граней, а в таком многограннике основанием является квадрат, площадь одной боковой поверхности должна быть равна (S-a²)/4. Эта грань имеет два общих ребра с квадратными основаниями известного размера, значит, для вычисления длины другого ребра разделите полученную площадь на сторону квадрата: (S-a²)/(4*a). Так как рассматриваемая призма является прямоугольной, то ребро вычисленной вами длины примыкает к основаниям под углом 90°, т.е. совпадает с высотой многогранника: H=(S-a²)/(4*a).
В правильной четырехугольной призме для вычисления высоты (H) достаточно знания длины диагонали (L) и одного ребра основания (a). Рассмотрите треугольник, образуемый этой диагональю, диагональю квадратного основания и одним из боковых ребер. Ребро здесь - неизвестная величина, совпадающая с искомой высотой, а диагональ квадрата, основываясь на теореме Пифагора, равна произведению длины стороны на корень из двойки. В соответствии с той же теоремой выразите искомую величину (катет) через длины диагонали призмы (гипотенузы) и диагонали основания (второй катет): H=√(L²-(a*V2)²)=√(L²-2*a²).
Призма – это прибор, который разделяет нормальный свет на отдельные цвета: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый. Это светопроницаемый объект, с плоской поверхностью, которая преломляет световые волны в зависимости от их длин и благодаря этому позволяет увидеть свет в разных цветах. Сделать призму самостоятельно довольно легко.
Вам понадобится
- Два листа бумаги
- Фольга
- Стакан
- Компакт Диск
- Кофейный столик
- Фонарик
- Булавка
Инструкция
Призму можно сделать из простого стакана. Наполните стакан водой чуть больше чем наполовину. Поместите стакан на край кофейного столика так, чтобы почти половина дна стакана повисла в воздухе. При этом следите, чтобы стаканчик стоял на столе устойчиво.
Положите два листа бумаги один за одним рядом с кофейным столом. Включите фонарик и посветите лучиков света сквозь стакан, так, чтобы он падал на бумагу.
Регулируйте положение фонарика и бумаги до тех пор пока не увидите на листах радугу – так ваш луч света раскладывается на спектры.
Если вы уже знакомы с призмой, и хотите для себя просто что-то уточнить, то вам вполне может хватить таблицы, что дана в конце статьи.
Мы же поведем подробный разговор.
Призмой (n-угольной призмой) называется многогранник, составленный из двух равных многоугольников и , лежащих в параллельных плоскостях, и параллелограммов .
Указанные в определении равные многоугольники – основания призмы .
Боковые грани – все грани, кроме оснований (являются параллелограммами ).
Боковые ребра – общие стороны боковых граней (параллельны между собой и равны ).
Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Высота призмы – перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания.
Диагональная плоскость – плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.
Диагональное сечение –пересечение призмы и диагональной плоскости.
Перпендикулярное сечение – пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.
Различают призмы прямые (боковые ребра перпендикулярны плоскости основания) и наклонные (не прямые).
Среди прямых призм выделяют правильные.
Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник (равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и т.п.).
Частным случаем призмы является .
Параллелепипед – это призма, основаниями которой являются параллелограммы.
Среди параллелепипедов выделяют наклонные, прямые и прямоугольные параллелепипеды.
Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани - прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники (или прямой параллелепипед с прямоугольником в основании).
Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
Частный случай прямоугольного параллелепипеда – куб.
Куб – прямоугольный параллелепипед, все грани которого – квадраты.
Призмой называется многогранник, две грани которого -угольники, а остальные граней - параллелограммы.
Боковые ребра призмы, как противоположные стороны параллелограммов, последовательно приложенных друг к другу, равны и параллельны.
Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.
Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности призмы. Боковая поверхность призмы состоит из параллелограммов.
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой . В противном случае призма называется наклонной .
У прямой призмы боковые грани – прямоугольники.
Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Прямая призма называется правильной , если она прямая, и ее основания - правильные многоугольники
Площадь поверхности и объём призмы
Пусть H - высота призмы, - боковое ребро призмы, - периметр основания призмы, площадь основания призмы, - площадь боковой поверхности призмы, - площадь полной поверхности призмы, - объем призмы, - периметр перпендикулярного сечения призмы, - площадь перпендикулярного сечения призмы. Тогда имеют место следующие соотношения.
Площадь боковой поверхности призмы. Здравствуйте, дорогие друзья! В этой публикации мы с вами разберём группу задач по стереометрии. Рассмотрим комбинацию тел – призмы и цилиндра. На данный момент эта статья завершает всю серию статей связанных с рассмотрением типов заданий по стереометрии.
Если в банке заданий будут появляться новые, то, конечно же, будут и дополнения на блоге в будущем. Но и того что уже есть вполне достаточно, чтобы вы могли научиться решать все задачи с кратким ответом в составе экзамена. Материала хватит на годы вперёд (программа по математике статична).
Представленные задания связаны с вычислением площади призмы. Отмечу, что ниже рассматривается прямая призма (и соответственно прямой цилиндр).
Без знания всяких формул, мы понимаем, что боковая поверхность призмы это все её боковые грани. У прямой призмы боковые грани это прямоугольники.
Площадь боковой поверхности такой призмы равна сумме площадей всех её боковых граней (то есть прямоугольников). Если речь идёт о правильной призме, в которую вписан цилиндр, то понятно, что все грани этой призмы являются РАВНЫМИ прямоугольниками.
Формально площадь боковой поверхности правильной призмы можно отразить так:
27064. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Боковая поверхность данной призмы состоит из четырёх равных по площади прямоугольников. Высота грани равна 1, ребро основания призмы равно 2 (это два радиуса цилиндра), следовательно площадь боковой грани равна:
Площадь боковой поверхности:
73023. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √0,12, а высота равна 3.
Площадь боковой поверхности данной призмы равна сумме площадей трёх боковых граней (прямоугольников). Для нахождения площади боковой грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота равна трём. Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху):
Имеем правильный треугольник в который вписана окружность с радиусом √0,12. Из прямоугольного треугольника АОС можем найти АС. А затем и AD (AD=2АС). По определению тангенса:
Значит AD=2АС=1,2.Таким образом, площадь боковой поверхности равна:
27066. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √75, а высота равна 1.
Искомая площадь равна сумме площадей всех боковых граней. У правильной шестиугольной призмы боковые грани это равные прямоугольники.
Для нахождения площади грани необходимо знать её высоту и длину ребра основания. Высота известна, она равна 1.
Найдём длину ребра основания. Рассмотрим проекцию (вид сверху):
Имеем правильный шестиугольник, в который вписана окружность радиуса √75.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВО. Нам известен катет ОВ (это радиус цилиндра). ещё можем определить угол АОВ, он равен 300 (треугольник АОС равносторонний, ОВ –биссектриса).
Воспользуемся определением тангенса в прямоугольном треугольнике:
АС=2АВ, так как ОВ является медианой, то есть делит АС пополам, значит АС=10.
Таким образом, площадь боковой грани равна 1∙10=10 и площадь боковой поверхности.