Cách giải bất đẳng thức logarit. Giải bất đẳng thức logarit đơn giản

Trong số rất nhiều bất đẳng thức logarit, bất đẳng thức với cơ sở biến đổi. Chúng được giải bằng một công thức đặc biệt, vì lý do nào đó hiếm khi được dạy ở trường:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Thay vì đánh dấu vào hộp kiểm “∨”, bạn có thể đặt bất kỳ dấu bất đẳng thức nào: nhiều hơn hoặc ít hơn. Điều chính là trong cả hai bất đẳng thức, các dấu đều giống nhau.

Bằng cách này, chúng ta loại bỏ logarit và đưa vấn đề về một bất đẳng thức hợp lý. Vấn đề sau dễ giải quyết hơn nhiều, nhưng khi loại bỏ logarit, các vấn đề có thể phát sinh. rễ phụ. Để cắt chúng đi, chỉ cần tìm diện tích là đủ giá trị chấp nhận được. Nếu bạn quên ODZ của logarit, tôi thực sự khuyên bạn nên lặp lại nó - xem phần “Logarit là gì”.

Mọi thứ liên quan đến phạm vi giá trị có thể chấp nhận được phải được viết ra và giải quyết riêng:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Bốn bất đẳng thức này tạo thành một hệ thống và phải được thỏa mãn đồng thời. Khi tìm thấy phạm vi giá trị có thể chấp nhận được, tất cả những gì còn lại là giao nó với giải pháp bất bình đẳng hợp lý- và câu trả lời đã sẵn sàng.

Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:

Đầu tiên, hãy viết ODZ của logarit:

Hai bất đẳng thức đầu tiên được thỏa mãn một cách tự động, nhưng bất đẳng thức cuối cùng sẽ phải được viết ra. Vì bình phương của số bằng 0 khi và chỉ khi chính số đó bằng 0, ta có:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Hóa ra ODZ của logarit đều là các số ngoại trừ 0: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Bây giờ chúng ta giải bất đẳng thức chính:

Chúng tôi thực hiện chuyển đổi từ bất đẳng thức logaritđến lý trí. Bất đẳng thức ban đầu có dấu “nhỏ hơn”, nghĩa là bất đẳng thức thu được cũng phải có dấu “nhỏ hơn”. Chúng tôi có:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x ) (3 + x ) x 2< 0.

Các số 0 của biểu thức này là: x = 3; x = −3; x = 0. Hơn nữa, x = 0 là nghiệm của bội số thứ hai, nghĩa là khi đi qua nó thì dấu của hàm số không đổi. Chúng tôi có:

Chúng ta nhận được x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Bộ này hoàn toàn chứa trong ODZ của logarit, có nghĩa đây là đáp án.

Chuyển đổi bất đẳng thức logarit

Thường thì bất đẳng thức ban đầu khác với bất đẳng thức trên. Điều này có thể được sửa chữa dễ dàng bằng cách sử dụng các quy tắc tiêu chuẩn để làm việc với logarit - xem “Các thuộc tính cơ bản của logarit”. Cụ thể là:

  1. Bất kỳ số nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng logarit với cơ số cho trước;
  2. Tổng và hiệu của các logarit có cùng cơ số có thể được thay thế bằng một logarit.

Riêng biệt, tôi muốn nhắc bạn về phạm vi giá trị có thể chấp nhận được. Vì có thể có nhiều logarit trong bất đẳng thức ban đầu nên cần phải tìm VA của từng logarit. Như vậy, sơ đồ chung Giải bất đẳng thức logarit như sau:

  1. Tìm VA của mỗi logarit có trong bất đẳng thức;
  2. Giảm bất đẳng thức về bất đẳng thức chuẩn bằng cách sử dụng các công thức cộng và trừ logarit;
  3. Giải bất phương trình thu được theo sơ đồ trên.

Nhiệm vụ. Giải bất đẳng thức:

Hãy tìm miền định nghĩa (DO) của logarit thứ nhất:

Chúng tôi giải quyết bằng cách sử dụng phương pháp khoảng. Tìm các số 0 của tử số:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Sau đó - các số 0 của mẫu số:

x − 1 = 0;
x = 1.

Chúng tôi đánh dấu số 0 và dấu trên mũi tên tọa độ:

Chúng ta nhận được x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logarit thứ hai sẽ có cùng VA. Nếu bạn không tin tôi, bạn có thể kiểm tra nó. Bây giờ chúng ta biến đổi logarit thứ hai sao cho cơ số là hai:

Như bạn có thể thấy, số ba ở đáy và phía trước logarit đã bị giảm. Chúng tôi có hai logarit với cơ sở giống nhau. Hãy cộng chúng lại:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Chúng tôi thu được bất đẳng thức logarit tiêu chuẩn. Chúng tôi loại bỏ logarit bằng công thức. Vì bất đẳng thức ban đầu chứa dấu “nhỏ hơn” nên kết quả biểu hiện hợp lý cũng phải nhỏ hơn 0. Chúng tôi có:

(f(x) − g(x)) (k(x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Chúng tôi có hai bộ:

  1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
  2. Câu trả lời của thí sinh: x ∈ (−1; 3).

Vẫn còn phải giao nhau với các tập hợp này - chúng ta nhận được câu trả lời thực sự:

Chúng tôi quan tâm đến giao điểm của các tập hợp, vì vậy chúng tôi chọn các khoảng được tô bóng trên cả hai mũi tên. Chúng ta nhận được x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - tất cả các điểm đều bị thủng.

Bạn có nghĩ rằng vẫn còn thời gian trước Kỳ thi Thống nhất và bạn sẽ có thời gian để chuẩn bị? Có lẽ điều này là như vậy. Nhưng trong mọi trường hợp, học sinh bắt đầu chuẩn bị càng sớm thì càng vượt qua kỳ thi thành công. Hôm nay chúng tôi quyết định dành một bài viết về bất đẳng thức logarit. Đây là một trong những nhiệm vụ, đồng nghĩa với cơ hội nhận được thêm tín dụng.

Bạn đã biết logarit là gì chưa? Chúng tôi thực sự hy vọng như vậy. Nhưng ngay cả khi bạn không có câu trả lời cho câu hỏi này thì đó cũng không phải là vấn đề. Hiểu logarit là gì rất đơn giản.

Tại sao 4? Bạn cần nâng số 3 lên lũy thừa này để có được 81. Khi đã hiểu nguyên lý, bạn có thể tiến hành các phép tính phức tạp hơn.

Bạn đã trải qua sự bất bình đẳng cách đây vài năm. Và kể từ đó bạn liên tục gặp phải chúng trong toán học. Nếu bạn gặp vấn đề khi giải bất đẳng thức, hãy xem phần thích hợp.
Bây giờ chúng ta đã làm quen với các khái niệm riêng lẻ, hãy chuyển sang xem xét chúng một cách tổng quát.

Bất đẳng thức logarit đơn giản nhất.

Các bất đẳng thức logarit đơn giản nhất không chỉ giới hạn trong ví dụ này; còn ba bất đẳng thức nữa, chỉ khác dấu. Tại sao điều này là cần thiết? Để hiểu rõ hơn cách giải bất phương trình bằng logarit. Bây giờ hãy đưa ra một ví dụ dễ áp ​​dụng hơn, vẫn khá đơn giản; chúng ta sẽ để lại các bất đẳng thức logarit phức tạp sau này.

Làm thế nào để giải quyết điều này? Tất cả bắt đầu với ODZ. Bạn nên biết thêm về nó nếu bạn muốn giải bất kỳ bất đẳng thức nào một cách dễ dàng.

ODZ là gì? ODZ cho bất đẳng thức logarit

Chữ viết tắt là viết tắt của phạm vi các giá trị chấp nhận được. Công thức này thường xuất hiện trong các nhiệm vụ của Kỳ thi Thống nhất. ODZ sẽ hữu ích cho bạn không chỉ trong trường hợp bất đẳng thức logarit.

Hãy nhìn lại ví dụ trên. Chúng tôi sẽ xem xét ODZ dựa trên nó để bạn hiểu nguyên tắc và việc giải các bất đẳng thức logarit không đặt ra câu hỏi. Từ định nghĩa logarit, 2x+4 phải lớn hơn 0. Trong trường hợp của chúng tôi, điều này có nghĩa như sau.

Con số này, theo định nghĩa, phải dương. Giải bất phương trình trên. Điều này thậm chí có thể được thực hiện bằng miệng; ở đây rõ ràng là X không thể nhỏ hơn 2. Giải pháp cho bất đẳng thức sẽ là định nghĩa về phạm vi các giá trị có thể chấp nhận được.
Bây giờ chúng ta chuyển sang giải bất đẳng thức logarit đơn giản nhất.

Chúng tôi loại bỏ logarit ở cả hai vế của bất đẳng thức. Kết quả là chúng ta còn lại gì? Sự bất bình đẳng đơn giản.

Nó không khó để giải quyết. X phải lớn hơn -0,5. Bây giờ chúng tôi kết hợp hai giá trị thu được thành một hệ thống. Như vậy,

Đây sẽ là phạm vi giá trị chấp nhận được cho bất đẳng thức logarit đang được xem xét.

Tại sao chúng ta lại cần ODZ? Đây là cơ hội để loại bỏ những câu trả lời sai và không thể thực hiện được. Nếu câu trả lời không nằm trong phạm vi giá trị có thể chấp nhận được thì đơn giản là câu trả lời đó không có ý nghĩa. Điều này cần được ghi nhớ từ lâu, vì trong Kỳ thi Thống nhất thường cần phải tìm kiếm ODZ và nó không chỉ liên quan đến các bất đẳng thức logarit.

Thuật toán giải bất đẳng thức logarit

Giải pháp bao gồm một số giai đoạn. Đầu tiên, bạn cần tìm phạm vi giá trị có thể chấp nhận được. Sẽ có hai giá trị trong ODZ, chúng ta đã thảo luận về vấn đề này ở trên. Tiếp theo, bạn cần phải giải bất đẳng thức đó. Các phương pháp giải như sau:

  • phương pháp thay thế số nhân;
  • phân hủy;
  • phương pháp hợp lý hóa.

Tùy thuộc vào tình huống, nên sử dụng một trong các phương pháp trên. Hãy chuyển trực tiếp đến giải pháp. Hãy để chúng tôi tiết lộ phương pháp phổ biến nhất, phù hợp để giải quyết các nhiệm vụ của Kỳ thi Thống nhất trong hầu hết các trường hợp. Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét phương pháp phân rã. Nó có thể hữu ích nếu bạn gặp phải một bất đẳng thức đặc biệt phức tạp. Vì vậy, một thuật toán để giải bất đẳng thức logarit.

Ví dụ về giải pháp :

Không phải vô cớ mà chúng ta nhận ra chính xác sự bất đẳng thức này! Hãy chú ý đến cơ sở. Hãy nhớ: nếu nó nhiều hơn một, dấu vẫn giữ nguyên khi tìm thấy phạm vi giá trị chấp nhận được; V. nếu không thì bạn cần thay đổi dấu bất đẳng thức.

Kết quả là ta thu được bất đẳng thức:

Bây giờ chúng tôi trình bày bên trái về dạng của phương trình, bằng 0. Thay vì dấu “nhỏ hơn” chúng ta đặt “bằng” và giải phương trình. Vì vậy, chúng ta sẽ tìm thấy ODZ. Chúng tôi hy vọng rằng với giải pháp này phương trình đơn giản bạn sẽ không gặp bất kỳ vấn đề gì. Câu trả lời là -4 và -2. Đó không phải là tất cả. Bạn cần hiển thị các điểm này trên biểu đồ, đặt “+” và “-”. Cần phải làm gì cho việc này? Thay thế các số trong các khoảng vào biểu thức. Trường hợp các giá trị dương, chúng ta đặt dấu “+” ở đó.

Trả lời: x không thể lớn hơn -4 và nhỏ hơn -2.

Chúng ta đã tìm thấy phạm vi giá trị chấp nhận được chỉ cho phía bên trái, bây giờ chúng ta cần tìm phạm vi giá trị chấp nhận được cho phía bên phải. Điều này dễ dàng hơn nhiều. Trả lời: -2. Chúng tôi giao nhau cả hai khu vực kết quả.

Và chỉ bây giờ chúng ta mới bắt đầu giải quyết vấn đề bất bình đẳng.

Hãy đơn giản hóa nó càng nhiều càng tốt để dễ giải quyết hơn.

Chúng tôi lại sử dụng phương pháp khoảng trong giải pháp. Hãy bỏ qua việc tính toán; mọi thứ đã rõ ràng từ ví dụ trước. Trả lời.

Nhưng phương pháp này phù hợp nếu bất đẳng thức logarit có cùng cơ sở.

Giải phương trình logarit và bất đẳng thức bằng vì những lý do khác nhau giả định trước một sự giảm ban đầu xuống một cơ sở. Tiếp theo, sử dụng phương pháp được mô tả ở trên. Nhưng còn nhiều hơn nữa trường hợp khó khăn. Hãy xem xét một trong những điều nhất loài phức tạp bất đẳng thức logarit.

Bất đẳng thức logarit có cơ số thay đổi

Làm thế nào để giải quyết các bất đẳng thức có tính chất như vậy? Có, và những người như vậy có thể được tìm thấy trong Kỳ thi Thống nhất. Giải bất đẳng thức theo cách sau đây cũng sẽ có lợi cho bạn quá trình giáo dục. Chúng ta hãy xem xét vấn đề một cách chi tiết. Hãy vứt bỏ lý thuyết và đi thẳng vào thực hành. Để giải bất đẳng thức logarit, bạn chỉ cần làm quen với ví dụ một lần là đủ.

Để giải bất đẳng thức logarit có dạng đã trình bày, cần phải quy đổi vế phải về logarit có cùng cơ số. Nguyên tắc này giống như những chuyển đổi tương đương. Kết quả là, sự bất bình đẳng sẽ trông như thế này.

Thật ra, tất cả những gì còn lại là tạo ra một hệ bất đẳng thức không có logarit. Bằng phương pháp hợp lý hóa, chúng ta chuyển sang hệ thống tương đương sự bất bình đẳng Bạn sẽ hiểu chính quy tắc này khi thay thế các giá trị thích hợp và theo dõi những thay đổi của chúng. Hệ sẽ có các bất đẳng thức sau.

Khi sử dụng phương pháp hợp lý hóa khi giải bất phương trình, bạn cần nhớ những điều sau: phải trừ một căn số, x, theo định nghĩa logarit, trừ hai vế của bất đẳng thức (phải từ trái), nhân hai biểu thức và đặt dưới dấu ban đầu so với 0.

Giải pháp tiếp theo được thực hiện bằng phương pháp khoảng thời gian, mọi thứ ở đây đều đơn giản. Điều quan trọng là bạn phải hiểu sự khác biệt trong các phương pháp giải pháp, khi đó mọi thứ sẽ bắt đầu diễn ra dễ dàng.

Có nhiều sắc thái trong bất đẳng thức logarit. Đơn giản nhất trong số đó là khá dễ dàng để giải quyết. Làm thế nào bạn có thể giải quyết từng vấn đề mà không gặp vấn đề gì? Bạn đã nhận được tất cả các câu trả lời trong bài viết này. Bây giờ bạn còn một chặng đường dài luyện tập phía trước. Không ngừng luyện tập giải quyết nhất nhiệm vụ khác nhau như một phần của kỳ thi và bạn có thể nhận được điểm cao nhất. Chúc bạn may mắn trong nhiệm vụ khó khăn của bạn!

Duy trì sự riêng tư của bạn là quan trọng đối với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách quyền riêng tư mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng xem lại các biện pháp bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.

Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân

Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để nhận dạng hoặc liên hệ với một người cụ thể.

Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của mình bất cứ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.

Dưới đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.

Chúng tôi thu thập những thông tin cá nhân nào:

  • Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn e-mail vân vân.

Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:

  • Được chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên lạc với bạn và thông báo cho bạn về ưu đãi độc đáo, chương trình khuyến mãi và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
  • Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi các thông báo và liên lạc quan trọng.
  • Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ như kiểm toán, phân tích dữ liệu và nghiên cứu khác nhauđể cải thiện các dịch vụ chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các đề xuất liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
  • Nếu bạn tham gia rút thăm trúng thưởng, cuộc thi hoặc chương trình khuyến mãi tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.

Tiết lộ thông tin cho bên thứ ba

Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.

Ngoại lệ:

  • Trong trường hợp cần thiết, theo quy định của pháp luật, thủ tục tố tụng, V sự thử nghiệm và/hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc phù hợp cho mục đích bảo mật, thực thi pháp luật hoặc các mục đích quan trọng khác.
  • Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập cho bên thứ ba kế thừa hiện hành.

Bảo vệ thông tin cá nhân

Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, trộm và lạm dụng cũng như truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.

Tôn trọng quyền riêng tư của bạn ở cấp độ công ty

Để đảm bảo thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các tiêu chuẩn về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm ngặt các biện pháp bảo mật.

Bất đẳng thức logarit

Trong các bài học trước, chúng ta đã làm quen với các phương trình logarit và bây giờ chúng ta đã biết chúng là gì và cách giải chúng. Bài học hôm nay sẽ tập trung nghiên cứu về bất đẳng thức logarit. Những bất đẳng thức này là gì và sự khác biệt giữa việc giải phương trình logarit và bất đẳng thức là gì?

Bất đẳng thức logarit là bất đẳng thức có một biến xuất hiện dưới dấu logarit hoặc ở gốc của nó.

Hoặc, chúng ta cũng có thể nói rằng bất đẳng thức logarit là bất đẳng thức trong đó giá trị chưa biết của nó, như trong phương trình logarit, sẽ xuất hiện dưới dấu của logarit.

Bất đẳng thức logarit đơn giản nhất có dạng sau:

trong đó f(x) và g(x) là một số biểu thức phụ thuộc vào x.

Hãy xem xét điều này bằng ví dụ sau: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Giải bất đẳng thức logarit

Trước khi giải các bất đẳng thức logarit, cần lưu ý rằng khi giải chúng tương tự như bất đẳng thức hàm mũ, cụ thể là:

Đầu tiên, khi chuyển từ logarit sang biểu thức dưới dấu logarit, chúng ta cũng cần so sánh cơ số của logarit với 1;

Thứ hai, khi giải bất đẳng thức logarit bằng phép biến đổi, chúng ta cần giải các bất đẳng thức theo biến số cho đến khi thu được bất đẳng thức đơn giản nhất.

Nhưng bạn và tôi đã xem xét các khía cạnh tương tự của việc giải bất đẳng thức logarit. Bây giờ chúng ta hãy chú ý đến một sự khác biệt khá đáng kể. Bạn và tôi đều biết rằng hàm logarit có khu vực hạn chế do đó, khi chuyển từ logarit sang biểu thức dưới dấu logarit, bạn cần tính đến phạm vi giá trị cho phép (APV).

Nghĩa là, cần lưu ý rằng khi quyết định phương trình logarit Trước tiên, bạn và tôi có thể tìm ra nghiệm nguyên của phương trình, sau đó kiểm tra nghiệm này. Nhưng việc giải bất đẳng thức logarit sẽ không diễn ra theo cách này, vì khi chuyển từ logarit sang biểu thức dưới dấu logarit, cần phải viết Bất đẳng thức DZ.

Ngoài ra, cần nhớ rằng lý thuyết về bất đẳng thức bao gồm số thực, dương và số âm, cũng như số 0.

Ví dụ: khi số “a” là dương thì bạn cần sử dụng ký hiệu sau: a >0. Trong trường hợp này, cả tổng và tích của các số này cũng sẽ dương.

Nguyên tắc chính để giải bất đẳng thức là thay thế nó bằng bất đẳng thức đơn giản hơn, nhưng điều quan trọng chính là nó tương đương với bất đẳng thức đã cho. Hơn nữa, chúng ta cũng thu được bất đẳng thức và lại thay thế nó bằng bất đẳng thức có dạng đơn giản hơn, v.v.

Khi giải bất phương trình bằng một biến, bạn cần tìm tất cả các nghiệm của nó. Nếu hai bất đẳng thức có cùng biến x thì các bất đẳng thức đó tương đương với điều kiện nghiệm của chúng trùng nhau.

Khi thực hiện nhiệm vụ giải bất phương trình logarit, bạn phải nhớ rằng khi a > 1 thì hàm logarit tăng và khi 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Các phương pháp giải bất đẳng thức logarit

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số phương pháp áp dụng khi giải bất đẳng thức logarit. Để hiểu rõ hơn và dễ hiểu hơn, chúng tôi sẽ cố gắng hiểu chúng bằng các ví dụ cụ thể.

Chúng ta đều biết rằng bất đẳng thức logarit đơn giản nhất có dạng sau:

Trong bất đẳng thức này, V – là một trong các dấu bất đẳng thức sau:<,>, ≤ hoặc ≥.

Khi cơ số của logarit đã cho lớn hơn một (a>1), thực hiện chuyển đổi từ logarit sang biểu thức dưới dấu logarit, thì trong phiên bản này, dấu bất đẳng thức được giữ nguyên và bất đẳng thức sẽ có dạng sau:

tương đương với hệ thống này:


Trong trường hợp cơ số của logarit lớn hơn 0 và nhỏ hơn một (0

Điều này tương đương với hệ thống này:


Chúng ta hãy xem thêm các ví dụ về giải các bất đẳng thức logarit đơn giản nhất được hiển thị trong hình dưới đây:



Giải ví dụ

Bài tập. Hãy thử giải bất đẳng thức này:


Giải quyết phạm vi các giá trị chấp nhận được.


Bây giờ hãy thử nhân vế phải của nó với:

Hãy xem những gì chúng ta có thể nghĩ ra:



Bây giờ, hãy chuyển sang chuyển đổi biểu thức logarit con. Vì cơ số của logarit bằng 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Và từ đó suy ra khoảng mà chúng ta thu được hoàn toàn thuộc về ODZ và là nghiệm của bất đẳng thức đó.

Đây là câu trả lời chúng tôi nhận được:


Để giải bất đẳng thức logarit cần làm gì?

Bây giờ chúng ta hãy thử phân tích những gì chúng ta cần để giải thành công các bất đẳng thức logarit?

Đầu tiên, hãy tập trung toàn bộ sự chú ý của bạn và cố gắng không mắc sai lầm khi thực hiện các phép biến đổi được đưa ra trong bất đẳng thức này. Ngoài ra, cần nhớ rằng khi giải các bất phương trình như vậy, cần tránh việc mở rộng và thu hẹp các bất phương trình, điều này có thể dẫn đến việc mất hoặc thu được các nghiệm ngoại lai.

Thứ hai, khi giải bất phương trình logarit, bạn cần học cách suy nghĩ logic và hiểu sự khác biệt giữa các khái niệm như hệ bất phương trình và tập hợp bất phương trình, để có thể dễ dàng lựa chọn giải pháp cho bất phương trình, đồng thời được hướng dẫn bởi DL của nó.

Thứ ba, để giải thành công các bất đẳng thức đó mỗi em phải biết đầy đủ các tính chất các hàm cơ bản và hiểu rõ ý nghĩa của chúng. Các hàm như vậy không chỉ bao gồm logarit mà còn bao gồm số hữu tỉ, lũy thừa, lượng giác, v.v., tóm lại, tất cả những hàm mà bạn đã nghiên cứu xuyên suốt đi họcđại số.

Như bạn có thể thấy, khi nghiên cứu chủ đề về bất đẳng thức logarit, không có gì khó khăn trong việc giải các bất đẳng thức này, miễn là bạn cẩn thận và kiên trì để đạt được mục tiêu của mình. Để tránh mọi vấn đề trong việc giải bất đẳng thức, bạn cần thực hành càng nhiều càng tốt, giải các nhiệm vụ khác nhau, đồng thời ghi nhớ các phương pháp cơ bản để giải các bất đẳng thức đó và hệ thống của chúng. Nếu không giải được các bất phương trình logarit, bạn nên phân tích kỹ những sai lầm của mình để không tái phạm trong tương lai.

bài tập về nhà

Vì hấp thụ tốt hơn chủ đề và củng cố tài liệu được đề cập, giải quyết các bất đẳng thức sau:


Một bất đẳng thức được gọi là logarit nếu nó chứa hàm logarit.

Phương pháp giải bất phương trình logarit không khác gì, ngoại trừ hai điều.

Thứ nhất, khi chuyển từ bất đẳng thức logarit sang bất đẳng thức dưới hàm logarit nên tuân theo dấu của bất đẳng thức thu được. Nó tuân theo quy tắc sau.

Nếu cơ số của hàm logarit lớn hơn $1$ thì khi chuyển từ bất đẳng thức logarit sang bất đẳng thức của hàm logarit con thì dấu của bất đẳng thức được giữ nguyên, còn nếu nhỏ hơn $1$ thì đổi ngược lại .

Thứ hai, nghiệm của bất kỳ bất đẳng thức nào là một khoảng, và do đó, khi kết thúc việc giải bất đẳng thức của hàm logarit con, cần phải tạo ra một hệ gồm hai bất đẳng thức: bất đẳng thức thứ nhất của hệ này sẽ là bất đẳng thức của hàm logarit con, và thứ hai sẽ là khoảng của miền định nghĩa các hàm logarit có trong bất đẳng thức logarit.

Luyện tập.

Hãy giải các bất đẳng thức:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Cơ số của logarit là $2>1$ nên dấu không thay đổi. Áp dụng định nghĩa logarit, ta có:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )