ВПИСАНІ ТА ОПИСАНІ МНОГОКУТНИКИ,
§ 106. ВЛАСТИВОСТІ ВПИСАНИХ І ОПИСАНИХ ЧОТИРОХУГОЛЬНИКІВ.
Теорема 1. Сума протилежних кутіввписаного чотирикутника дорівнює 180 °.
Нехай у коло з центром О вписано чотирикутник ABCD (чорт. 412). Потрібно довести, що / А+ / З = 180 ° і / В+ / D = 180 °.
/
А, як вписаний в коло О, вимірюється 1/2 BCD.
/
З, як вписаний у ту ж коло, вимірюється 1/2 BAD.
Отже, сума кутів А і З вимірюється напівсумою дуг BCD і BAD у сумі ці дуги складають коло, тобто мають 360°.
Звідси /
А+ /
З = 360 °: 2 = 180 °.
Аналогічно доводиться, що і / В+ / D = 180 °. Однак це можна вивести й іншим шляхом. Ми знаємо, що сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутникадорівнює 360 °. Сума кутів А і С дорівнює 180 °, отже, на суму інших двох кутів чотирикутника залишається теж 180 °.
Теорема 2(Зворотній). Якщо у чотирикутнику сума двох протилежних кутів дорівнює 180 ° , то біля такого чотирикутника можна описати коло.
Нехай сума протилежних кутів чотирикутника ABCD дорівнює 180 °, а саме
/
А+ /
З = 180 ° і /
В+ /
D = 180 ° (чорт. 412).
Доведемо, що біля такого чотирикутника можна описати коло.
Доведення. Через будь-які 3 вершини цього чотирикутника можна провести коло, наприклад через точки А, В і С. Де буде точка D?
Точка D може зайняти тільки одне з наступних трьохположень: опинитися всередині кола, опинитися поза коло, опинитися на колі кола.
Припустимо, що вершина опиниться всередині кола і займе положення D" (чорт. 413). Тоді в чотирикутнику ABCD" матимемо:
/ В+ / D" = 2 d.
Продовживши бік AD" до перетину з колом у точці Е і з'єднавши точки Е і С, отримаємо вписаний чотирикутник АВСЕ, в якому за прямою теоремою
/ B + / Е = 2 d.
З цих двох рівностей випливає:
/
D" = 2 d - /
B;
/
E = 2 d - /
B;
/ D" = / E,
але цього не може бути, оскільки / D", як зовнішній щодо трикутника CD"E, має бути більше кута Е. Тому точка D не може опинитися всередині кола.
Також доводиться, що вершина D неспроможна зайняти положення D" поза кола (чорт. 414).
Залишається визнати, що вершина D повинна лежати на колі кола, тобто збігатися з точкою Е, отже, біля чотирикутника ABCD можна описати коло.
Наслідки. 1. Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло.
2. Навколо рівнобедреної трапеціїможна описати коло.
В обох випадках сума протилежних кутів дорівнює 180 °.
Теорема 3.В описаному чотирикутнику суми протилежних сторінрівні. Нехай чотирикутник ABCD описаний біля кола (чорт. 415), тобто сторони його АВ, ВС, CD та DA - дотичні до цього кола.
Потрібно довести, що АВ+CD=AD+ВС. Позначимо точки дотику літерами М, N, К, Р, На підставі властивостей дотичних, проведених до кола з однієї точки (§ 75), маємо:
АР = АК;
ВР = ВМ;
DN = DK;
CN = СМ.
Складемо почленно ці рівності. Отримаємо:
АР+ВР+DN+CN=АК+ВМ+DK+СМ,
тобто АВ + CD = AD + ВС, що потрібно було довести.
Вправи.
1. У вписаному чотирикутнику два протилежні кути відносяться як 3: 5,
інші два ставляться як 4: 5. Визначити величину цих кутів.
2. В описаному чотирикутнику сума двох протилежних сторін дорівнює 45 см. Інші дві сторони відносяться як 0,2: 0,3. Знайти довжину цих сторін.
Чотирьохкутник є вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі.Таке коло є описаним близько чотирикутника.
Як не кожен чотирикутник можна описати навколо кола, також не кожен можна вписати в коло.
Випуклий чотирикутник, вписаний в коло, має властивість: його протилежні кути в сумі становлять 180°. Так, якщо дано чотирикутник ABCD, у якого кут A протилежний куту C, а кут B протилежний куту D, то ∠A + ∠C = 180° та ∠B + ∠D = 180°.
Взагалі, якщо одна пара протилежних кутів чотирикутника в сумі становить 180 °, то й інша пара в сумі складатиме стільки ж. Це випливає з того, що у опуклого чотирикутника сума кутів завжди дорівнює 360°. У свою чергу цей факт випливає з того, що у опуклих багатокутниківсума кутів визначається за формулою 180 ° * (n - 2), де n - кількість кутів (або сторін).
Довести властивість вписаного чотирикутника можна наступним чином. Нехай в коло O вписано чотирикутник ABCD. Потрібно довести, що B + ∠D = 180°.
Кут B є вписаним у коло. Як відомо, такий кут дорівнює половинідуги, на яку спирається. У даному випадкукут B спирається на дугу ADC, отже, ∠B = ½◡ADC. (Оскільки дуга дорівнює куту між радіусами, що її утворюють, то можна записати, що ∠B = ½∠AOC, внутрішня область якого містить точку D.)
З іншого боку, кут D чотирикутника спирається на дугу ABC, тобто ∠D = ½◡ABC.
Так як сторони кутів B і D перетинають коло в одних і тих самих точках (A і C), то вони поділяють коло тільки на дві дуги - ◡ADC і ◡ABC. Так як повне колоу сумі становить 360°, то ◡ADC + ◡ABC = 360°.
Таким чином вийшли такі рівності:
∠B = ½◡ADC
∠D = ½◡ABC
◡ADC + ◡ABC = 360°
Виразимо суму кутів:
∠B + ∠D = ½◡ADC + ½◡ABC
Винесемо ½ за дужку:
∠B + ∠D = ½(◡ADC + ◡ABC)
Замінимо суму дуг їх числовим значенням:
∠B + ∠D = ½ * 360 ° = 180 °
Ми отримали, що сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180 °. Це й потрібно було довести.
Те, що вписаний чотирикутник має таку властивість (сума протилежних кутів дорівнює 180°), ще не означає, що будь-який чотирикутник, у якого сума протилежних кутів дорівнює 180° можна вписати в коло. Хоча насправді це так. Цей фактназивається ознакою вписаного чотирикутникаі формулюється так: якщо сума протилежних кутів опуклого чотирикутника дорівнює 180 °, то біля нього можна описати коло (або вписати його в коло).
Довести ознаку вписаного чотирикутника можна шляхом протилежного. Нехай дано чотирикутник ABCD, у якого протилежні кути B та D у сумі становлять 180°. При цьому кут D не лежить на колі. Тоді візьмемо на прямий, що містить відрізок CD таку точку E, щоб вона лежала на колі. Вийде вписаний чотирикутник ABCE. У цього чотирикутника протилежні кути B і E, отже, вони становлять у сумі 180°. Це випливає із властивості вписаного чотирикутника.
Виходить, що ∠B + ∠D = 180° та ∠B + ∠E = 180°. Однак кут D чотирикутника ABCD по відношенню до трикутника AED є зовнішнім, а отже, більший за кут E цього трикутника. Таким чином, ми дійшли суперечності. Значить, якщо сума протилежних кутів чотирикутника у сумі становить 180°, він завжди може бути вписаний в окружність.
Теорема 1 . Сума протилежних кутів вписаного чотирикутника дорівнює 180 °.
Нехай у коло з центром О вписано чотирикутник ABCD (рис. 412). Потрібно довести, що ∠А + ∠С = 180° та ∠В + ∠D = 180°.
∠А, як вписаний в коло О, вимірюється 1/2 \(\breve(BCD)\).
∠С, як вписаний у той самий коло, вимірюється 1 / 2 \(\breve(BAD)\).
Отже, сума кутів А і З вимірюється напівсумою дуг BCD і BAD у сумі ці дуги становлять коло, тобто. мають 360 °.
Звідси ∠А + ∠С = 360 °: 2 = 180 °.
Аналогічно доводиться, що ∠В + ∠D = 180°. Однак це можна вивести й іншим шляхом. Ми знаємо, що сума внутрішніх кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 °. Сума кутів Аі С дорівнює 180 °, отже, на суму інших двох кутів чотирикутника залишається теж 180 °.
Теорема 2 (зворотний). Якщо у чотирикутнику сума двох протилежних кутів дорівнює 180 ° , то біля такого чотирикутника можна описати коло.
Нехай сума протилежних кутів чотирикутника ABCD дорівнює 180 °, а саме
∠А + ∠С = 180° та ∠В + ∠D = 180°(рис. 412).
Доведемо, що біля такого чотирикутника можна описати коло.
Доведення. Через будь-які 3 вершини цього чотирикутника можна провести коло, наприклад через точки А, В і С. Де буде точка D?
Точка D може зайняти лише одне з наступних трьох положень: опинитися всередині кола, опинитися поза коло, опинитися на колі кола.
Припустимо, що вершина опиниться всередині кола і займе положення D' (рис. 413). Тоді в чотирикутнику ABCD' матимемо:
∠В + ∠D' = 2 d.
Продовживши сторону AD' до перетину з колом у точці Е і з'єднавши точки Е і С, отримаємо вписаний чотирикутник АВСЕ, в якому за прямою теоремою
∠B + ∠Е = 2 d.
З цих двох рівностей випливає:
∠D' = 2 d- ∠B;
∠E = 2 d- ∠B;
але цього бути не може, тому що ∠D', як зовнішній щодо трикутника CD'E, повинен бути більшим за кут Е. Тому точка D не може опинитися всередині кола.
Також доводиться, що вершина D неспроможна зайняти положення D" поза кола (рис. 414).
Залишається визнати, що вершина D повинна лежати на колі кола, тобто збігатися з точкою Е, отже, біля чотирикутника ABCD можна описати коло.
Наслідки.
1. Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло.
2. Навколо рівнобедреної трапеції можна описати коло.
В обох випадках сума протилежних кутів дорівнює 180 °.
Теорема 3. В описаному чотирикутнику суми протилежних сторін дорівнюють. Нехай чотирикутник ABCD описаний біля кола (рис. 415), тобто сторони його АВ, ВС, CD та DA - дотичні до цього кола.
Потрібно довести, що АВ+CD=AD+ВС. Позначимо точки дотику літерами М, N, К, Р, На підставі властивостей дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо:
Складемо почленно ці рівності. Отримаємо:
АР+ВР+DN+CN=АК+ВМ+DK+СМ,
тобто АВ + CD = AD + ВС, що потрібно було довести.
Інші матеріалиТема «Окружність, описана навколо правильного багатокутника» досить докладно розглядається в рамках шкільної програми. Незважаючи на це, завдання, які стосуються даному розділупланіметрії, викликають у багатьох старшокласників певні складнощі. При цьому розуміти принцип вирішення завдань ЄДІз колом, описаним біля багатокутника, повинні випускники з будь-яким рівнем підготовки.
Як підготуватися до єдиного держекзамену?
Для того щоб завдання ЄДІна тему «Окружність, описана біля правильного багатокутника» не викликали у учнів труднощів, займайтеся разом із освітнім порталом «Школково». З нами ви зможете повторити теоретичний матеріалза темами, які викликають у вас проблеми. Теореми та формули, які раніше здавалися досить складними, у нас викладено доступно та зрозуміло.
Щоб освіжити в пам'яті основні визначення та поняття про кути та центр кола, описаного біля багатокутника, а також теореми, пов'язані з довжинами відрізків, випускникам достатньо перейти до розділу «Теоретична довідка». Тут ми розмістили матеріал, складений нашими досвідченими співробітниками спеціально для учнів з різним рівнемпідготовки.
Щоб закріпити засвоєну інформацію, старшокласники можуть попрактикуватися у виконанні вправ. на освітньому порталі«Школково» у розділі «Каталог» представлена велика база завдань різної складності для максимально ефективної підготовкидо ЄДІ. У кожному завданні на сайті прописаний алгоритм вирішення та дано правильну відповідь. База вправ «Школково» регулярно оновлюється та доповнюється.
Практикуватися у виконанні завдань на нашому сайті учні з Москви та інших російських містможуть в онлайн-режимі. У разі потреби будь-яку вправу можна зберегти у розділі «Вибране». Надалі до цього завдання можна буде повернутися і, наприклад, обговорити алгоритм його вирішення шкільним викладачемчи репетитором.