Властивості числових нерівностей та його формулювання. Відеоурок «Властивості числових нерівностей

Список литературы.

• Моро М. І.. Математика. Навч. для 1 кл. поч. шк. У 2 ч. Ч. 1. (Перше півріччя) / М. І. Моро, С. І. Волкова, С. В. Степанова. - 6-те вид. - М.: Просвітництво, 2006. - 112 с.: Іл. + Дод. (2 відд. арк. іл.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – М.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.

З нерівностями ми познайомилися у школі, де застосовуємо числові нерівності. У статті розглянемо характеристики числових нерівностей, яких будуються принципи роботи з ними.

Властивості нерівностей аналогічні властивостям числових нерівностей. Буде розглянуто властивості, його обґрунтування, наведемо приклади.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Числові нерівності: визначення, приклади

При запровадженні поняття нерівності маємо, що й визначення проводиться у вигляді записи. Є вирази алгебри, які мають знаки ≠ ,< , >, ≤ , ≥ . Дамо визначення.

Визначення 1

Числовою нерівністюназивають нерівність, у запису якого обидві сторони мають числа та числові вирази.

Числові нерівності розглядаємо ще школі після вивчення натуральних чисел. Такі операції порівняння вивчаються поетапно. Початкові маю вигляд 1< 5 , 5 + 7 >3 . Після цього правила доповнюються, а нерівності ускладнюються, тоді отримуємо нерівності виду 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2< 0 .

Властивості числових нерівностей

Щоб правильно працювати з нерівностями, необхідно використовувати властивості числових нерівностей. Вони йдуть із поняття нерівності. Таке поняття задається за допомогою твердження, яке позначається як "більше" або "менше".

Визначення 2

• число a більше b, коли різницю a - b - позитивне число;
• число a менше b, коли різницю a - b – від'ємне число;
• число a дорівнює b коли різниця a - b дорівнює нулю.

Визначення використовується при розв'язанні нерівностей з відносинами "менше або одно", "більше або одно". Отримуємо, що

Визначення 3

• a більше або дорівнює b коли a - b є невід'ємним числом;
• a менше або дорівнює b коли a - b є непозитивним числом.

Визначення буде використано при доказах властивостей числових нерівностей.

Основні властивості

Розглянемо 3 основні нерівності. Використання знаків< и >характерно при властивостях:

Визначення 4

• антирефлексивності, Що говорить про те, що будь-яке число a з нерівностей a< a и a >a вважається неправильним. Відомо, що для будь-якого a має місце бути рівність a − a = 0 , звідси отримуємо, що а = а. Значить, a< a и a >a неправильно. Наприклад, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 є неправильними.
• асиметричності. Коли числа a та b є такими, що a< b , то b >a якщо а > b , то b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Аналогічним чином доводиться і його частина.

Приклад 1

Наприклад, при заданій нерівності 5< 11 имеем, что 11 >5 , отже його числова нерівність − 0 , 27 > − 1 , 3 перепишеться у вигляді − 1 , 3< − 0 , 27 .

Перед тим, як перейти до наступної властивості, зауважимо, що за допомогою асиметричності можна читати нерівність праворуч наліво та навпаки. Таким чином, числову нерівність можна змінювати та змінювати місцями.

Визначення 5

• транзитивності. Коли числа a, b, c відповідають умові a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b і b > c тоді a > c .

Доказ 1

Перше твердження можна довести. Умова a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Аналогічним чином доводиться друга частина із властивістю транізитивності.

Приклад 2

Розібрану властивість розглядаємо на прикладі нерівностей − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 і 1 8 > 1 32 випливає, що 1 2 > 1 32 .

Числові нерівності, які записуються за допомогою нестрогих знаків нерівності, мають властивість рефлексивності, тому що a ≤ a і a ≥ a можуть мати випадок рівності а = а. їм властива асиметричність та транзитивність.

Визначення 6

Нерівності, що мають у записі знаки ≤ і ≥, мають властивості:

• рефлексивності a ≥ a та a ≤ a вважаються вірними нерівностями;
• антисиметричності, коли a b, тоді b a, і якщо a b, тоді b a.
• транзитивності, коли a b і b c , тоді a c , а також, якщо a b і b c , то a c .

Доказ провадиться аналогічним чином.

Інші важливі властивості числових нерівностей

Для доповнення основних властивостей нерівностей використовуються результати, що мають практичне значення. Застосовується принцип методу оцінка значень виразів, у яких і базуються принципи розв'язання нерівностей.

Цей пункт розкриває характеристики нерівностей одного символу суворого неарвенства. Аналогічно виготовляється для нестрогих. Розглянемо на прикладі, сформулювавши нерівність якщо a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• якщо a > b, то a + c > b + c;
• якщо a ≤ b , то a + c ≤ b + c;
• якщо a b , то a + c b + c .

Для зручного подання дамо відповідне твердження, яке записується та наводяться докази, показуються приклади використання.

Визначення 7

Додавання чи обчислення числа до обох сторін. Інакше кажучи, коли a та b відповідають нерівності a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Доказ 2

Щоб довести це, необхідно, щоб рівняння відповідало умові a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Приклад 3

Наприклад, якщо обидві частини нерівності 7 > 3 збільшуємо на 15 тоді одержуємо, що 7 + 15 > 3 + 15 . Це дорівнює 22> 18 .

Визначення 8

Коли обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме число c , отримаємо правильну нерівність. Якщо взяти число з негативним, знак зміниться на протилежний. Інакше це виглядає так: для a та b нерівність виконується, коли a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b · c.

Доказ 3

Коли є випадок c > 0 необхідно скласти різницю лівої і правої частин нерівності. Тоді отримуємо, що a · c - b · c = (a - b) · c. З умови a< b , то a − b < 0 , а c >0 тоді добуток (a − b) · c буде негативним. Звідси випливає, що a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

За доказом розподіл на ціле число можна замінити множенням на зворотне заданому, тобто 1 c . Розглянемо приклад якості на певних числах.

Приклад 4

Дозволено обидві частини нерівності 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Тепер сформулюємо два результати, що випливають, які використовуються при вирішенні нерівностей:

• Наслідок 1. При зміні знаків частин числової нерівності змінюється сам знак нерівності на протилежний, як a< b , как − a >− b . Це відповідає правилу множення обох частин на -1. Воно застосовується для переходу. Наприклад, − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Наслідок 2. При заміні оберненими числами частин числової нерівності на протилежний, змінюється його знак, причому нерівність залишиться правильним. Звідси маємо, що a та b є позитивними числами, a< b , 1 a >1 b.

При розподілі обох частин нерівності a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 маємо, що 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1b може вийти невірним.

Приклад 5

Наприклад, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 є невірною рівністю.

Усі пункти поєднує те, що дії над частинами нерівності дають правильну нерівність на виході. Розглянемо властивості, де спочатку є кілька числових нерівностей, яке результат отримаємо при додаванні чи множенні його частин.

Визначення 9

Коли числа a, b, c, d справедливі для нерівностей a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Доказ 4

Доведемо, що (a + c) − (b + d) є негативним числом, тоді отримаємо, що a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Властивість застосовується для почленного додавання трьох, чотирьох і більше числових нерівностей. Числам a 1 , a 2 , … , a n і b 1 , b 2 , … , b n справедливі нерівності a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Приклад 6

Наприклад, за даних трьох числових нерівностей одного знака − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Визначення 10

Почленное множення обох частин дає у результаті позитивне число. При a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Доказ 5

Щоб довести це, необхідно обидві частини нерівності a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Ця властивість вважається справедливою кількості чисел, куди необхідно помножити обидві частини нерівності. Тоді a 1 , a 2 , … , a nі b 1 , b 2 , … , b nє позитивними числами, де a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Зауважимо, що з запису нерівностей є непозитивні числа, їх почленное множення призводить до неправильним нерівностей.

Приклад 7

Наприклад, нерівність 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Наслідок: Почленное множення нерівностей a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Властивості числових нерівностей

Розглянемо нижче наведену властивості числових нерівностей.

1. a< a , a >a - неправильні нерівності,
   a ≤ a , a ≥ a - правильні нерівності.
2. Якщо a< b , то b >a – антисиметричність.
3. Якщо a< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Якщо a< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Якщо a< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Якщо a< b и c - отрицательное число, то a · c >b · c.

Наслідок 1: якщо a< b , то - a >- b.

Наслідок 2: якщо a та b - позитивні числа та a< b , то 1 a >1 b.

1. Якщо a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Якщо a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n - позитивні числа та a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Слідство 1: якщо a< b , a і b - Позитивні числа, то a n< b n .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

1) Основне поняття нерівності

2) Основні властивості числових нерівностей. Нерівності, що містять змінну.

3) Графічне розв'язання нерівностей другого ступеня

4) Системи нерівностей. Нерівності та системи нерівностей із двома змінними.

5) Вирішення раціональних нерівностей методом інтервалів

6) Вирішення нерівностей, що містять змінну під знаком модуля

1. Основне поняття нерівності

Нерівність - співвідношення між числами (або будь-якими математичними виразами, здатними приймати чисельне значення), що вказує, яке з них більше або менше іншого. Над цими висловлюваннями можна за певними правилами виробляти такі дії: додавання, віднімання, множення і розподіл (причому при множенні або розподілі Н. на негативне число сенс його змінюється на протилежний). Одне з основних понять лінійного програмування — лінійні нерівностівиду

a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n * b,

де a 1 ,..., a n, b- Постійні та знак * - один із знаків нерівності, напр. ≥,

· Алгебраїчні

· трансцендентні

Алгебраїчні нерівності поділяються на нерівності першої, другої, і т. д. ступеня.

Нерівність – алгебраїчна, другого ступеня.

Нерівність – трансцендентна.

2. Основні властивості числових нерівностей. Нерівності, що містять змінну

1) Графіком квадратичної функції y = ах 2 + bх + сє парабола з гілками, спрямованими вгору, якщо а > 0, і вниз, якщо а (іноді кажуть, що парабола спрямована опуклістю вниз, якщо а > 0і опуклістю вгору, якщо а). При цьому можливі три випадки:

2) Парабола перетинає вісь 0х (тобто рівняння ах 2 + bх + с = 0має два різні корені). Тобто якщо а

y = ах 2 + bх + сa>0 D>0 y = ах 2 + bх + сa D>0,

Парабола має вершину на осі 0х (тобто рівняння ах 2 + х + с = 0має один корінь, так званий дворазовий корінь) Тобто, якщо d=0, то при a>0 розв'язком нерівності служить вся числова пряма, а при a ах 2 + х + с

y = ах 2 + bх + сa>0 D= 0 y = ах 2 + bх + сa D=0,

3) Якщо d0 і нижче за її при a

y = ах 2 + bх + сa>0 D0 y = ах 2 + bх + сa D 0,

4) Вирішити нерівність графічним способом

1. Нехай f(x) = 3х 2 -4х - 7 тоді знайдемо такі х, при яких f(x) ;

2. Знайдемо нулі функції.

f(x) при х.

Відповідь f(x) при х.

Нехай f(x)=х 2 +4х +5 тоді Знайдемо такі х за яких f(x)>0,

D=-4 Немає нулів.

4. Системи нерівностей. Нерівності та системи нерівностей із двома змінними

1) Безліч рішень системи нерівностей є перетин множини рішень нерівностей, що входять до неї.

2) Безліч розв'язків нерівності f(х;у)>0 можна графічно зобразити на координатній площині. Зазвичай лінія, задана рівнянням f(х; у) = 0, розбиває площину на 2 частини, одна з яких є розв'язком нерівності. Щоб визначити, яка частина, треба підставити координати довільної точки М(х0;у0) , що не лежить на лінії f(х;у)=0, в нерівність. Якщо f(х0; у0) > 0 то рішенням нерівності є частина площини, що містить точку М0. якщо f(х0; у0)

3) Безліч рішень системи нерівностей є перетин множини рішень нерівностей, що входять до неї. Нехай, наприклад, задана система нерівностей:

Для першої нерівності безліч розв'язків є коло радіусом 2 і з центром на початку координат, а для другого - напівплощина, розташована над прямою 2х+3у=0. Безліч рішень цієї системи служить перетинання зазначених множин, тобто. півколо.

4) Приклад. Вирішити систему нерівностей:

Рішенням 1-ї нерівності служить безліч, 2-го безліч (2; 7) і третьої - безліч.

Перетином зазначених множин є проміжок (2; 3), який і є безліч розв'язків системи нерівностей.

5. Вирішення раціональних нерівностей методом інтервалів

В основі методу інтервалів лежить наступна властивість двочлена ( х-а): крапка х=αділить числову вісь на дві частини - праворуч від точки α двочлен (х-α)>0, а зліва від точки α (х-α) .

Нехай потрібно вирішити нерівність (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, де ? 1 , ? 2 ...? α n)>0 методом інтервалів надходять в такий спосіб: на числову вісь наносять числа 1 , 2 ... n - 1 , n ; у проміжку праворуч від найбільшого їх, тобто. числа α n, ставлять знак "плюс", у наступному за ним праворуч наліво інтервалі ставлять знак "мінус", потім - знак "плюс", потім знак "мінус" і т.д. Тоді безліч усіх розв'язків нерівності (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0буде об'єднання всіх проміжків, у яких поставлено знак «плюс», а безліч розв'язків нерівності (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n) буде об'єднання всіх проміжків, у яких поставлено знак «мінус».

1) Вирішення раціональних нерівностей (тобто нерівностей виду P(x) Q(x) де - багаточлени) засноване на наступній властивості безперервної функції: якщо безперервна функціязвертається в нуль в точках х1 і х2 (х1; х2) і між цими точками немає іншого коріння, то в проміжках (х1; х2) функція зберігає свій знак.

Тому для знаходження проміжків знаковості функції y=f(x) на числовій прямій відзначають усі точки, в яких функція f(x) звертається в нуль або зазнає розриву. Ці точки розбивають числову пряму кілька проміжків, всередині кожного у тому числі функція f(x) безперервна і перетворюється на нуль, тобто. зберігає знак. Щоб визначити цей знак, достатньо знайти знак функції в будь-якій точці розглянутого проміжку числової прямої.

2) Для визначення інтервалів знаковості раціональної функції, тобто. Для вирішення раціональної нерівності, відзначаємо на числовому прямому корені чисельника і корені знаменника, які як і є корінням і точками розриву раціональної функції.

Розв'язання нерівностей методом інтервалів

Рішення. Область допустимих значеньвизначається системою нерівностей:

Для функції f(x)= - 20. Знаходимо f(x):

звідки x= 29 та x = 13.

f(30) = - 20 = 0,3 > 0,

f(5) = - 1 - 20 = - 10

Відповідь: }