Паралельність площин визначення ознаки властивості. Геометрія у просторі

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачіЄДІ з математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІз математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Вся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завданнята теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, розбір всіх типів завдань ЄДІ Стереометрія. Хитрі прийоми рішення, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Паралельності площин.
Якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом перетинаються прямим інший площині, то ці площини паралельні. Доведення. Нехай a і b - дані площини,а 1 іа 2 Доведення. Нехай- Прямі в площині , що перетинаються в точці А ,а 1 b 1 b 2 івідповідно паралельні їм прямі у площині Доведення. Нехай a і. Припустимо, що площині не паралельні, тобто вони перетинаються деякою прямоюз . Прямаа і 1 паралельна прямий і 1 , значить вона паралельна і площині . Пряма(Ознака паралельності прямої та площини). Пряма 2 паралельна прямий b 2 , ізначить вона паралельна і самій площині не паралельні, тобто вони перетинаються деякою прямою(Ознака паралельності прямої та площини). Пряма Доведення. Нехайналежить площині , отже хоча б одна з прямиха 1 іабо перетинає прямус, не паралельні, тобто вони перетинаються деякою прямоютобто має з нею загальну точку. Але пряма ітакож належить і площині отже, перетинаючи прямус, прямаа 1 іперетинає площину і, чого бути не може, тому що прямі прямаа 1 іпаралельні площині і. З цього випливає, що площині Доведення. Нехайі іне перетинаються, тобто вони паралельні.

Теорема 1 . Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.
Якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом перетинаються прямим інший площині, то ці площини паралельні. Доведення. Нехай a і- Паралельні площини, а g - Площина, що перетинає їх. Площина Доведення. Нехайперетнулася з площиною g по прямій а.Площина іперетнулася з площиною gпо прямій b.Лінії перетину . Прямаі ілежать у одній площині g і тому можуть бути або такими, що перетинаються, або паралельними прямими. Але, належачи двом паралельним площинам, вони можуть мати загальних точок. Отже, вони паралельні.

Теорема 2. Відрізки паралельних прямих, укладених між двома паралельними площинами, рівні.
Якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом перетинаються прямим інший площині, то ці площини паралельні. Доведення. Нехай a і- Паралельні площини, а . Пряма і і- Паралельні прямі, що перетинають їх. Через прямі . Прямаі іпроведемо площина g (ці прямі паралельні, значитьвизначають площину, причому лише одну). Площина Доведення. Нехайперетнулася з площиною g по прямій АВ . Площина іперетнулася з площиною gпо прямій СД. По попередній теоремі пряма не паралельні, тобто вони перетинаються деякою прямоюпаралельна прямий d. Прямі а,b,АВ а 1 ЦД належать площині g.Чотирикутник, обмежений цими прямими, є паралелограм (у нього протилежні сторонипаралельні). А коли це паралелограм, то протилежні сторони у нього рівні, тобто АТ = ВС

На цьому уроці ми розглянемо три властивості паралельних площин: про перетин двох паралельних площин третьою площиною; о паралельних відрізках, укладених між паралельними площинами; і про розтин сторін кута паралельними площинами. Далі вирішимо кілька завдань із використанням цих властивостей.

Тема: Паралельність прямих та площин

Урок: Властивості паралельних площин

Якщо дві паралельні площини пересічені третьою, лінії їх перетину паралельні.

Доведення

Нехай дані паралельні площини та площина , яка перетинає площини та за прямими . Пряма a bвідповідно (Мал. 1.).

Прямі . Пряма a bлежать у одній площині, саме у площині γ. Доведемо, що прямі . Пряма a bне перетинаються.

Якби прямі . Пряма a bперетиналися, тобто мали б загальну точку, то ця загальна точка належала б двом площинам і , і що неможливо, тому що вони паралельні за умовою.

Отже, прямі . Пряма a bпаралельні, що й потрібно було довести.

Відрізки паралельних прямих, укладені між паралельними площинами, рівні.

Доведення

Нехай дані паралельні площини та паралельні прямі АВ a ЗD, які перетинають ці площини (рис. 2). Доведемо, що відрізки АВ a ЗDрівні.

Дві паралельні прямі АВ a ЗDутворюють єдину площину γ, γ = АВDЗ. Площина γ перетинає паралельні площини і паралельним прямим (за першою властивістю). Значить, прямі АС a УDпаралельні.

Прямі АВ a ЗDтакож паралельні (за умовою). Значить, чотирикутник АВDЗ- Паралелограм, так як його протилежні сторони попарно паралельні.

З властивостей паралелограма випливає, що відрізки АВ a ЗDрівні, що потрібно було довести.

Паралельні площини розтинають сторони кута пропорційні частини.

Доведення

Нехай нам дано паралельні площини і які розтинають сторони кута А(Мал. 3.). Потрібно довести, що .

Паралельні площини та розсічені площиною кута А. Назвемо лінію перетину площини кута Ата площини - НД,а лінію перетину площини кута Ата площини - У 1 З 1. За першою властивістю лінії перетину НД a У 1 З 1паралельні.

Отже, трикутники АВС a АВ 1 З 1подібні. Отримуємо:

3. Математичний сайт Цегельного Віталія Станіславовича ()

4. Фестиваль педагогічних ідей"Відкритий урок" ()

1. Крапка Про- загальна середина кожного із відрізків АА 1, ВВ 1, СС 1які не лежать в одній площині. Доведіть, що площині АВС a А 1 В 1 З 1паралельні.

2. Доведіть, що через дві прямі, що схрещуються, можна провести паралельні площини.

3. Доведіть, що пряма, що перетинає одну з двох паралельних площин, перетинає і другу.

4. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ(базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.

Завдання 6, 8, 9 стор.

На цьому уроці ми дамо визначення паралельних площин і згадаємо аксіому про перетин двох площин. Далі ми доведемо теорему - ознака паралельності площин і, спираючись її у, вирішимо кілька завдань на паралельність площин.

Тема: Паралельність прямих та площин

Урок: Паралельні площини

На цьому уроці ми дамо визначення паралельних площин і згадаємо аксіому про перетин двох площин.

Визначення.Дві площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються.

Позначення: .

Ілюстрація паралельних площин(Мал. 1.)

1. Які площини називаються паралельними?

2. Чи можуть бути паралельними площини, які проходять через непаралельні прямі?

3. Яким може бути взаємне розташування двох прямих, кожна з яких лежить в одній із двох різних паралельних площин?

4. Геометрія. 10-11 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ (базовий та профільний рівні) / І. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е видання, виправлене та доповнене – М.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл.

Завдання 1, 2, 5 стор.

Цілі уроку:

Введіть поняття паралельних площин.
Розглянути та довести теореми, що виражають ознаку паралельності площин та властивості паралельних площин.
Простежити застосування цих теорем під час вирішення завдань.

План уроку (записати на дошці):

I. Підготовча усна робота.

ІІ. Вивчення нового матеріалу:

1. Взаємне розташуваннядвох площин у просторі.
2. Визначення паралельних площин.
3. Ознака паралельності площин.
4. Властивість паралельних площин.

ІІІ. Підсумок уроку.

IV. Домашнє завдання.

ХІД УРОКУ

I. Усна робота

Почати урок хочеться з цитати з філософського листа Чаадаєва:

“Звідки це чудодійна міць аналізу математики? Справа в тому, що розум тут діє у повному підпорядкуванні цьому правилу”.

Це підпорядкування правилу ми розглянемо наступне завдання. Для засвоєння нового матеріалу потрібно повторити деякі питання. Для цього треба встановити твердження, яке випливає з даних тверджень та обґрунтувати свою відповідь:

ІІ. Вивчення нового матеріалу

1. Як можуть бути дві площини в просторі? Що являє собою безліч точок, що належать до обох площин?

Відповідь:

а) збігатися (тоді справу матимемо з однією площиною, не влаштовує);
б) перетинатися, ;
в) не перетинатися (загальних точок взагалі немає).

2. Визначення: Якщо дві площини не перетинаються, вони називаються паралельними

3. Позначення:

4. Наведіть приклади паралельних площин з навколишнього оточення

5. Як з'ясувати чи паралельні якісь дві площини в просторі?

Відповідь:

Можна користуватися визначенням, але ці недоцільно, т.к. встановити перетин площин не завжди можливо. Тому необхідно розглянути умову достатню для того, щоб стверджувати про паралельність площин.

6. Розглянемо ситуації:

б) якщо ?

в) якщо ?

Чому в а) та б) відповідь: "не завжди", а в) "так"? (Перетинаються прямі визначають площину єдиним чином, значить визначені однозначно!)

Ситуація 3 є ознакою паралельності двох площин.

7. Теорема: Якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом прямим інший площині, то ці площини паралельні.

Дано:

Довести:

Доведення:

(Позначення на креслення завдають учні).

1. Зазначимо: . Аналогічно:
2. Нехай: .
3. Маємо: Аналогічно:
4. Отримаємо: через М проходить протиріччя з аксіомою планіметрії.
5. Отже: невірно, значить, ч. і т.д.

8. Вирішити № 51 (Позначення на креслення завдають учні).

Дано: