Євген Ширяєв, викладач та керівник Лабораторії математики Політехнічного музею, розповів АіФ.ru про поділ на нуль:
1. Юрисдикція питання
Погодьтеся, особливу провокаційність правилу надає заборона. Як це не можна? Хто заборонив? А як же наші громадянські права?
Ні конституція РФ, ні Кримінальний кодекс, ні навіть статут вашої школи не заперечують проти інтелектуальної дії, що цікавить нас. Отже, заборона не має юридичної сили, і ніщо не заважає прямо тут, на сторінках АіФ.ru, спробувати щось поділити на нуль. Наприклад, тисячу.
2. Розділимо, як вчили
Згадайте, коли ви тільки дізналися, як ділити, перші приклади вирішували з перевіркою множенням: результат, помножений на дільник, мав збігтися зробленим. Не збігся — не вирішили.
приклад 1. 1000: 0 =...
Забудемо на хвилину про заборонене правило і зробимо кілька спроб відгадати відповідь.
Неправильні відсіче перевірка. Перебирайте варіанти: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для кожного з них перевірка дасть той самий результат:
100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0
Нуль множенням все перетворює на себе і ніколи на тисячу. Висновок сформулювати нескладно: жодне число не пройде перевірку. Т. е. жодне число не може бути результатом розподілу ненульового числа на нуль. Такий поділ не заборонено, а просто не має результату.
3. Нюанс
Ледве не прогавили одну можливість спростувати заборону. Так, ми визнаємо, що ненульове число не розділиться на 0. Але, може, сам 0 зможе?
приклад 2. 0: 0 = ...
Ваші пропозиції для приватного? 100? Будь ласка: приватна 100, помножена на дільник 0, дорівнює ділимому 0.
Ще варіанти! 1? Теж підходить. І -23, і 17, і все-все-все. У цьому прикладі перевірка на результат буде позитивною для будь-якого числа. І чесно, рішенням у цьому прикладі треба називати не число, а безліч чисел. Усіх. А так недовго домовитися і до того, що Аліса це не Аліса, а Мері-Енн, а обидві — сон кролика.
4. Що там про вищу математику?
Проблема вирішена, нюанси враховані, точки розставлені, все прояснилося — відповіддю для прикладу з розподілом на нуль не може бути жодне число. Такі завдання вирішувати - справа безнадійна і неможлива. А значить… цікаве! Дубль два.
приклад 3. Придумати, як поділити 1000 на 0.
А ніяк. Зате 1000 можна легко ділити на інші числа. Ну, давайте хоча б робити, що виходить, хай навіть змінивши поставлене завдання. А там, дивишся, захопимося, і відповідь сама собою з'явиться. Забуваємо на хвилину про нуль і ділимо на сто:
Сотня далека від нуля. Зробимо крок до нього, зменшивши дільник:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Очевидна динаміка: що ближче дільник до нуля, то більше приватна. Тенденцію можна спостерігати і далі, переходячи до дробів і продовжуючи зменшувати чисельник:
Залишилося зауважити, що до нуля ми можемо підійти як завгодно близько, роблячи приватне скільки завгодно великим.
У цьому процесі немає нуля та немає останнього приватного. Ми позначили рух до них, замінивши число на послідовність, що сходить до числа, що нас цікавить:
При цьому мається на увазі аналогічна заміна і для ділимого:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Стрілки недаремно поставлені двосторонніми: деякі послідовності можуть сходитися до чисел. Тоді ми можемо поставити у відповідність послідовності її числову межу.
Подивимося на послідовність приватних:
Вона росте необмежено, не прагнучи ні до якого числа і перевершуючи будь-яке. Математики додають до цифр символ ∞ щоб мати можливість поряд з такою послідовністю поставити двосторонню стрілку:
Зіставлення числам послідовностей, що мають межу, дозволяє запропонувати рішення до третього прикладу:
При поелементному розподілі послідовності, що сходить до 1000, на послідовність з позитивних чисел, що сходить до 0, отримаємо послідовність, що сходить до ∞.
5. І тут нюанс із двома нулями
Що буде результатом поділу двох послідовностей позитивних чисел, що сходяться на нуль? Якщо вони однакові, то тотожна одиниця. Якщо до нуля швидше сходиться послідовність-подільне, то в приватному послідовність нульовою межею. А коли елементи дільника зменшуються набагато швидше, ніж у діленого, послідовність приватного сильно зростатиме:
Невизначена ситуація. І так і називається: невизначеність виду 0/0 . Коли математики бачать послідовності, що підходять під таку невизначеність, вони не кидаються ділити два однакових числаодин на одного, а розуміються, яка з послідовностей швидше біжить до нуля і як саме. І в кожному прикладі буде своя конкретна відповідь!
6. У житті
Закон Ома пов'язує силу струму, напругу та опір у ланцюгу. Часто його записують у такій формі:
Дозволимо собі знехтувати акуратним фізичним розумінням та формально подивимося на праву частину як на приватне двох чисел. Уявімо, що вирішуємо шкільне завданняз електрики. В умові дано напругу у вольтах та опір в омах. Питання очевидне, рішення в одну дію.
А тепер заглянемо у визначення надпровідності: це властивість деяких металів мати нульовий електричний опір.
Ну що, вирішимо завдання для надпровідного ланцюга? Просто так підставити R = 0 не вийде, фізика підкидає цікаве завдання, за якою, очевидно, стоїть наукове відкриття. І люди, які зуміли поділити на нуль у цій ситуації, отримали Нобелівську премію. Будь-які заборони корисно вміти оминати!
Дуже часто багато хто задається питанням, чому ж не можна використовувати поділ на нуль? У цій статті ми детально розповімо про те, звідки з'явилося це правило, а також про те, які дії можна виконувати з нулем.
Нуль можна назвати однією з самих цікавих цифр. Ця цифра не має значення, вона означає порожнечу в прямому значенніслова. Однак, якщо нуль поставити поруч із якоюсь цифрою, то значення цієї цифри побільшає в кілька разів.
Число дуже загадкове саме собою. Його використав ще древній народмайя. У майя нуль означав «початок», а відлік календарних днівтакож починався з нуля.
Дуже цікавим фактомі те, що знак нуля і знак невизначеності вони були схожі. Цим майя хотіли показати, що нуль є таким самим тотожним знаком, як і невизначеність. У Європі позначення нуля з'явилося порівняно недавно.
Також багатьом відома заборона, пов'язана з нулем. Будь-яка людина скаже, що на нуль не можна ділити. Це кажуть вчителі у школі, а діти зазвичай вірять їм у слово. Зазвичай дітям просто не цікаво це знати, або вони знають, що буде, якщо, почувши важливу заборону, відразу ж запитати «А чому не можна ділити на нуль?». Але коли стаєш старшим, то прокидається інтерес, і хочеться більше дізнатися про причини такої заборони. Проте є розумний доказ.
Дії з нулем
Спочатку необхідно визначити, які дії з нулем можна виконувати. Існує кілька видів дій:
- Додавання;
- множення;
- Віднімання;
- Поділ (нуля на число);
- Зведення у ступінь.
Важливо!Якщо при додаванні до будь-якого числа додати нуль, то це число залишиться колишнім і не змінить свого числового значення. Те саме станеться, якщо від будь-якого числа відібрати нуль.
При множенні і розподілі все трохи інакше. Якщо помножити будь-яке число на нуль, те й твір теж стане нульовим.
Розглянемо приклад:
Запишемо це як додавання:
Усього складаються нулів п'ять, от і виходить, що
Спробуємо один помножити на нуль. Результат також буде нульовим.
Нуль також можна розділити на будь-яке інше число, яке не дорівнює йому. І тут вийде , значення якої також буде нульовим. Це ж правило діє і для негативних чисел. Якщо нуль ділити на негативне число, то вийде нуль.
Також можна звести будь-яке число у нульовий ступінь. У такому разі вийде 1. При цьому важливо пам'ятати, що вираз «нуль у нульового ступеняабсолютно безглуздо. Якщо спробувати звести нуль у будь-яку міру, то вийде нуль. Приклад:
Користуємося правилом множення, одержуємо 0.
Так чи можна ділити на нуль
Отож ми й підійшли до головного питання. Чи можна ділити на нульвзагалі? І чому ж не можна розділити число на нуль при тому, що решта всіх дій з нулем цілком існують і застосовуються? Для відповіді це питання необхідно звернутися до вищої математики.
Почнемо взагалі з визначення поняття, що таке нуль? Шкільні вчителістверджують, що нуль це ніщо. Порожнеча. Тобто, коли ти кажеш, що у тебе 0 ручок, це означає, що у тебе зовсім немає ручок.
У вищій математиці поняття «нуль» ширше. Воно зовсім не означає порожнечу. Тут нуль називають невизначеністю, тому що якщо провести невелике дослідження, то виходить, що при розподілі нуля на нуль ми можемо в результаті отримати будь-яке інше число, яке не обов'язково може бути нулем.
Чи знаєте ви, що ті прості арифметичні дії, які ви вивчали у школі не такі рівноправні між собою? Найбільш базовими діями є додавання та множення.
Для математиків немає понять « » і «віднімання». Допустимо: якщо від п'яти відібрати три, то залишиться два. Так виглядає віднімання. Однак математики запишуть це таким чином:
Таким чином, виходить, що невідомою різницею є якесь число, яке потрібно додати до 3, щоб отримати 5. Тобто не потрібно нічого віднімати, потрібно просто знайти відповідне число. Це діє для складання.
Трохи інакше справи з правилами множення та поділу.Відомо, що множення на нуль призводить до нульового результату. Наприклад, якщо 3: 0 = х, тоді, якщо перевернути запис, вийде 3 * х = 0. А число, яке множилося на 0, дасть нуль і у творі. Виходить, що числа, яке давало б у творі з нулем якусь величину, відмінну від нуля, не існує. Отже, розподіл на нуль безглуздо, тобто він підходить до нашого правила.
Але що буде, якщо спробувати розділити сам нуль на себе? Візьмемо як х якесь невизначена кількість. Виходить рівняння 0х = 0. Його можна вирішити.
Якщо спробуємо взяти замість х ноль, ми отримаємо 0:0=0. Здавалося б, логічно? Але якщо спробуємо замість х взяти будь-яке інше число, наприклад, 1, то зрештою вийде 0:0=1. Та ж ситуація буде, якщо взяти будь-яке інше число і підставити його на рівняння.
В цьому випадку вийде, що ми можемо як множник взяти будь-яке інше число. Підсумком буде нескінченна безліч різних чисел. Часом все ж таки розподіл на 0 у вищій математиці має сенс, але тоді зазвичай з'являється певна умова, завдяки якому ми зможемо все-таки вибрати одне відповідне число. Ця дія називається «розкриттям невизначеності». У звичайній арифметиці поділ на нуль знову втратить свій сенс, оскільки ми не зможемо вибрати з безлічі якесь одне число.
Важливо!На нуль не можна розділити нуль.
Нуль і нескінченність
Нескінченність дуже часто можна зустріти у вищій математиці. Так як школярам просто не важливо знати про те, що існують ще математичні дії з нескінченністю, то і пояснити дітям, чому ділити на нуль не можна, вчителі добре не можуть.
Основні математичні секрети учні починають впізнавати лише першому курсі інституту. Вища математиканадає великий комплексзавдань, які мають рішення. Найвідомішими завданнями є завдання з нескінченністю. Їх можна вирішити за допомогою математичного аналізу
До нескінченності також можна застосувати елементарні математичні дії:додавання, множення на число. Зазвичай ще застосовують віднімання і розподіл, але зрештою вони все одно зводяться до двох найпростіших операцій.
Ще в школі вчителі нам усім намагалися вбити в голову найпростіше правило: «Будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю!», - Але все одно навколо нього постійно виникає купа суперечок. Хтось просто запам'ятав правило та не забиває собі голову питанням «чому?». "Не можна і все тут, тому що в школі так сказали, правило є правило!" Хтось може списати півзошити формулами, доводячи це правило чи, навпаки, його нелогічність.
Хто в результаті прав
Під час цих суперечок обидві людини, які мають протилежні точкизору, дивляться друг на друга, як у барана, і доводять усіма силами свою правоту. Хоча, якщо подивитися на них збоку, то можна побачити не одного, а двох баранів, що упираються один в одного рогами. Різниця між ними лише в тому, що один трохи менш освічений, ніж другий.
Найчастіше ті, хто вважають це правило невірним, намагаються закликати до логіки ось таким способом:
У мене на столі лежить два яблука, якщо я покладу до них нуль яблук, тобто не покладу жодного, то від цього мої два яблука не зникнуть! Правило нелогічне!
Справді, яблука нікуди не зникнуть, але не через те, що правило нелогічне, а тому що тут використано дещо інше рівняння: 2+0 = 2. Так що такий висновок відкинемо відразу - воно нелогічне, хоч і має обернену мету- Закликати до логіки.
Що таке множення
Спочатку правило множеннябуло визначено тільки для натуральних чисел: множення - це число, додане до себе певну кількість разів, що має на увазі натуральність числа. Таким чином, будь-яке число з множенням можна звести до такого рівняння:
- 25×3 = 75
- 25 + 25 + 25 = 75
- 25×3 = 25 + 25 + 25
З цього рівняння випливає висновок, що множення – це спрощене додавання.
Що таке нуль
Будь-яка людина з дитинства знає: нуль - це порожнеча, Незважаючи на те, що ця порожнеча має позначення, вона не несе за собою взагалі нічого. Стародавні східні вчені вважали інакше - вони підходили до питання філософськи і проводили паралелі між порожнечею і нескінченністю і бачили глибокий сенсу тому числі. Адже нуль, що має значення порожнечі, ставши поряд з будь-яким натуральним числом, множить його вдесятеро. Звідси і всі суперечки з приводу множення - це число несе в собі стільки суперечливості, що важко не заплутатися. Крім того, нуль постійно використовується для визначення порожніх розрядів у десяткових дробахце робиться і до, і після коми.
Чи можна множити на порожнечу
Помножувати на нуль можна, але марно, тому що, як не крути, але навіть при множенні негативних чисел все одно виходитиме нуль. Досить просто запам'ятати це найпростіше правило і ніколи більше не задаватися цим питанням. Насправді, все простіше, ніж здається на перший погляд. Ні жодних прихованих смисліві таємниць, як вважали давні вчені. Нижче буде наведено саме логічне пояснення, що це множення марно, адже при множенні числа на нього все одно виходитиме одне і те ж - нуль.
Повертаючись на початок, до приводу з приводу двох яблук, 2 помножити на 0 виглядає ось так:
- Якщо з'їсти по два яблука п'ять разів, з'їдено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблук
- Якщо їх з'їсти по двічі, то з'їдено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблук
- Якщо з'їсти по два яблука нуль разів, то нічого не буде з'їдено - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0
Адже з'їсти яблуко 0 разів – це означає не з'їсти жодного. Це буде зрозуміло навіть самому маленькій дитині. Як не крути - вийде 0, двійку або трійку можна замінити абсолютно будь-яким числом і вийде абсолютно те саме. А якщо простіше кажучи, то нуль - це нічого, а коли у вас нічого немає, то скільки не помножуй - все одно буде нуль. Чарів не буває, і з нічого не вийде яблуко, навіть при множенні 0 на мільйон. Це найпростіше, зрозуміле та логічне пояснення правила множення на нуль. Людині, далекій від усіх формул і математики, буде достатньо такого пояснення, щоб дисонанс у голові розсмоктався, і все стало на свої місця.
Поділ
З усього перерахованого вище випливає й інше важливе правило:
На нуль ділити не можна!
Це правило нам теж із самого дитинства завзято вбивають у голову. Ми просто знаємо, що не можна і все, не забиваючи голову зайвою інформацією. Якщо вам несподівано поставлять питання, чому заборонено ділити на нуль, то більшість розгубиться і не зможе виразно відповісти на найпростіше питанняз шкільної програми, тому що навколо цього правила не ходить стільки суперечок та протиріч.
Усі просто зазубрили правило і не ділять на нуль, не підозрюючи, що відповідь криється на поверхні. Додавання, множення, розподіл і віднімання - нерівноправні, повноцінні з перерахованого лише множення і додавання, проте інші маніпуляції з числами будуються їх. Тобто запис 10: 2 є скороченням рівняння 2 * х = 10. Значить, запис 10: 0 таке ж скорочення від 0 * х = 10. Виходить, що розподіл на нуль - це завдання знайти число, множачи яке на 0, вийде 10 А ми вже розібралися, що такого числа не існує, отже, у цього рівняння немає рішення, і воно буде апріорі невірним.
Розкажу тобі дозволь,
Щоб не ділив на 0!
Ріж 1 як хочеш, вздовж,
Тільки не поділи на 0!
У математиків специфічний гумор та деякі питання, пов'язані з обчисленнями, вже давно не сприймаються серйозно. Не завжди зрозуміло, намагаються тобі цілком серйозно пояснити, чому не можна ділити на нуль чи це черговий жарт. Адже саме питання не таке вже очевидне, якщо в елементарній математиці до його вирішення можна дійти суто логічно, то у вищій цілком можуть бути інші вихідні умови.
Коли з'явився нуль?
Цифра нуль таїть у собі безліч загадок:
- У Стародавньому Риміцього числа не знали, система відліку починалася із I.
- За право називатися прабатьками нуля довгий чассперечалися араби та індійці.
- Дослідження культури Майя показали, що ця давня цивілізаціяцілком могла бути першою, у плані вживання нуля.
- Нуль не має ніякого числовим значеннямнавіть мінімальним.
- Він буквально означає нічого, відсутність предметів для рахунку.
У первісному ладі був особливої потреби для такої цифри, відсутність чогось можна було пояснити з допомогою слів. Але із зародженням цивілізацій підвищилися і потреби людини у плані архітектури та інженерії.
Для здійснення більш складних розрахунківта виведення нових функцій знадобилося число, яке означало б повна відсутністьчогось.
Чи можна ділити на нуль?
Щодо цього існують дві діаметрально протилежні думки:
У школі, ще в молодших класахвчать з того що на нуль ділити не можна в жодному разі. Пояснюється це дуже просто:
- Уявимо, що у вас є 20 часток мандарину.
- Поділивши їх на 5, ви роздасте п'ятьом друзям по 4 часточки.
- Розділити на нуль не вийде, адже сам процес розподілу між кимось не буде.
Звісно, це образне пояснення, багато в чому спрощене і не зовсім відповідне дійсності. Але воно гранично доступно пояснює безглуздість поділу чогось на нуль.
Адже, по суті, таким чином можна означати факт відсутності поділу. А навіщо ускладнювати математичні обчисленняі записувати ще й відсутність поділу?
Чи можна нуль ділити на число?
З погляду прикладної математики, будь-яке розподіл, у якому бере участь нуль, має так багато сенсу. Але шкільні підручникиоднозначні у своїй думці:
- Нуль можна ділити.
- Для поділу слід використовувати будь-яке число.
- Не можна ділити нуль на нуль.
Третій пункт може викликати легке здивування, адже лише кількома абзацами вище вказувалося, що такий поділ цілком можливий. Насправді все залежить від дисципліни, в рамках якої ви проводите обчислення.
Школярам у такому разі справді краще писати, що вираз неможливо визначити , А отже, воно і не має сенсу. Але в деяких відгалуженнях алгебраїчної науки допускається запис такого виразу, з розподілом нуля на нуль. Особливо коли йдетьсяо обчислювальних машинахта мовами програмування.
Потреба ділити нуль на число може виникнути під час вирішення будь-яких рівностей та пошуку вихідних значень. Але в такому разі, у відповіді завжди буде нуль. Тут, як і з множенням, на яке число ви не ділили б нуль, більше нуля в результаті не отримаєте. Тому якщо у величезній формулі помітили це заповітне число, постарайтеся швидко «прикинути», а чи не зведуть всі обчислення до дуже простого рішення.
Якщо нескінченність ділити на нуль
Про нескінченно великі і нескінченно малі значення необхідно було згадати трохи раніше, адже це теж відкриває деякі лазівки для поділу, в тому числі і з використанням нуля. Ось правда і тут є невелика заковика, адже нескінченно мале значення та повна відсутність значення - поняття різні.
Але цієї невеликої різниці в наших умовах можна знехтувати, зрештою, обчислення проходять з використанням абстрактних величин:
- У чисельники має бути знак нескінченності.
- У знаменнику символічне зображення значення, що прагне до нуля.
- У відповіді вийде нескінченність, що відображає нескінченно велику функцію.
Слід звернути увагу на те, що мова все ж таки йде про символічне відображення нескінченно малої функції, а не про використання нуля. З цим знаком нічого не змінилося, на нього так само не можна ділити, тільки як дуже і дуже рідкісних винятків.
Здебільшого нуль використовується для вирішення завдань, які знаходяться в суто теоретичної площини. Можливо, після десятиліть або навіть століть, усім сучасним обчисленням знайдеться практичне застосуванняі вони забезпечать якийсь грандіозний прорив у науці.
А поки що більшість геніїв від математики про всесвітнє визнання лише мріють. Виняток із цих правил - наш співвітчизник, Перельман. Але його знають завдяки вирішенню дійсно епохального завдання з доказом гіпотези Пуанкере та екстравагантної поведінки.
Парадокси та безглуздість поділу на нуль
Поділ на нуль, здебільшого, не має жодного сенсу:
- Поділ уявляють як функцію, зворотну множенню.
- Ми можемо помножити на нуль будь-яке число і отримати у відповіді нуль.
- За тією ж логікою можна було б ділити будь-яке число на нуль.
- У таких умовах неважко було б дійти висновку, що будь-яке число, помножене або поділене на нуль, дорівнює будь-якому іншому числу, над яким провели цю операцію.
- Відкидаємо математична діяі отримуємо найцікавіше висновок - будь-яке число дорівнює будь-якому числу.
Крім створення таких казусів, поділ на нуль не має практичного значення від слова взагалі. Навіть за можливості виконання цієї дії, не вийде отримати жодної нової інформації.
З погляду елементарної математики, Під час поділу на нуль відбувається поділ цілого предмета нуль разів, тобто жодного разу. Простіше кажучи - процесу поділу не відбуваєтьсяОтже, і результат цієї події бути не може.
Перебуваючи в одному суспільстві з математиком, завжди можна поставити пару банальних питань, за прикладом, чому не можна ділити на нуль і отримати цікаву та доступну для розуміння відповідь. Або роздратування, адже у людини напевно це запитують не вперше. І навіть не о десятій. Тож бережіть своїх друзів-математиків, не змушуйте їх повторювати по сотні разів одне пояснення.
Відео: ділимо на нуль
У цьому відео математик Анна Ломакова розповість, що станеться, якщо поділити якесь число на нуль і чому цього робити не можна, з точки зору математики:
Євген ШИРЯЄВ, викладач та керівник Лабораторії математики Політехнічного музею, розповів "АіФ" про поділ на нуль:
1. Юрисдикція питання
Погодьтеся, особливу провокаційність правилу надає заборона. Як це не можна? Хто заборонив? А як же наші громадянські права?
Ні конституція, ні Кримінальний кодекс, ні навіть статут вашої школи не заперечують проти інтелектуальної дії, що цікавить нас. Отже, заборона не має юридичної сили, і ніщо не заважає прямо тут, на сторінках "АіФ", спробувати щось поділити на нуль. Наприклад, тисячу.
2. Розділимо, як вчили
Згадайте, коли ви тільки довідалися, як ділити, перші приклади вирішували з перевіркою множенням: результат, помножений на дільник, мав збігтися з поділеним. Не збігся – не вирішили.
приклад 1. 1000: 0 =...
Забудемо на хвилину про заборонене правило і зробимо кілька спроб відгадати відповідь.
Неправильні відсіче перевірка. Перебирайте варіанти: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для кожного з них перевірка дасть той самий результат:
100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0
Нуль множенням все перетворює на себе і ніколи - на тисячу. Висновок сформулювати нескладно: жодна кількість не пройде перевірку. Т. е. жодне число не може бути результатом розподілу ненульового числа на нуль. Такий поділ не заборонено, а просто не має результату.
3. Нюанс
Ледве не прогавили одну можливість спростувати заборону. Так, ми визнаємо, що ненульове число не розділиться на 0. Але, може, сам 0 зможе?
приклад 2. 0: 0 = ...
Ваші пропозиції для приватного? 100? Будь ласка: приватна 100, помножена на дільник 0, дорівнює ділимому 0.
Ще варіанти! 1? Теж підходить. І -23, і 17, і все-все-все. У цьому прикладі перевірка на результат буде позитивною для будь-якого числа. І, по-чесному, рішенням у цьому прикладі треба називати не число, а безліч чисел. Усіх. А так недовго домовитися і до того, що Аліса – це не Аліса, а Мері-Енн, а обидві – сон кролика.
4. Що там про вищу математику?
Проблема вирішена, нюанси враховані, точки розставлені, все прояснилося - відповіддю для прикладу з розподілом на нуль не може бути жодне число. Такі завдання вирішувати - справа безнадійна і неможлива. А значить… цікаве! Дубль два.
приклад 3. Придумати, як поділити 1000 на 0.
А ніяк. Зате 1000 можна легко ділити на інші числа. Ну, давайте хоча б робити те, що виходить, навіть змінивши поставлене завдання. А там, дивишся, захопимося, і відповідь сама собою з'явиться. Забуваємо на хвилину про нуль і ділимо на сто:
Сотня далека від нуля. Зробимо крок до нього, зменшивши дільник:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Очевидна динаміка: що ближче дільник до нуля, то більше приватна. Тенденцію можна спостерігати і далі, переходячи до дробів і продовжуючи зменшувати чисельник:
Залишилося зауважити, що до нуля ми можемо підійти як завгодно близько, роблячи приватне скільки завгодно великим.
У цьому процесі немає нуля та немає останнього приватного. Ми позначили рух до них, замінивши число на послідовність, що сходить до числа, що нас цікавить:
При цьому мається на увазі аналогічна заміна і для ділимого:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Стрілки недаремно поставлені двосторонніми: деякі послідовності можуть сходитися до чисел. Тоді ми можемо поставити у відповідність послідовності її числову межу.
Подивимося на послідовність приватних:
Вона росте необмежено, не прагнучи ні до якого числа і перевершуючи будь-яке. Математики додають до цифр символ ∞ щоб мати можливість поряд з такою послідовністю поставити двосторонню стрілку:
Зіставлення числам послідовностей, що мають межу, дозволяє запропонувати рішення до третього прикладу:
При поелементному розподілі послідовності, що сходить до 1000, на послідовність з позитивних чисел, що сходить до 0, отримаємо послідовність, що сходить до ∞.
5. І тут нюанс із двома нулями
Що буде результатом поділу двох послідовностей позитивних чисел, що сходяться на нуль? Якщо вони однакові, то тотожна одиниця. Якщо до нуля швидше сходиться послідовність-ділене, то в приватному - послідовність з нульовою межею. А коли елементи дільника зменшуються набагато швидше, ніж у діленого, послідовність приватного сильно зростатиме:
Невизначена ситуація. І так і називається: невизначеність виду 0/0 . Коли математики бачать послідовності, відповідні таку невизначеність, де вони кидаються ділити два однакових числа друг на друга, а розуміються, яка з послідовностей швидше біжить до нуля як саме. І в кожному прикладі буде своя конкретна відповідь!
6. У житті
Закон Ома пов'язує силу струму, напругу та опір у ланцюгу. Часто його записують у такій формі:
Дозволимо собі знехтувати акуратним фізичним розумінням та формально подивимося на праву частину як на приватне двох чисел. Уявімо, що вирішуємо шкільне завдання з електрики. В умові дано напругу у вольтах та опір в омах. Питання очевидне, рішення в одну дію.
А тепер заглянемо у визначення надпровідності: це властивість деяких металів мати нульовий електричний опір.
Ну що, вирішимо завдання для надпровідного ланцюга? Просто так підставити R = 0 не вийде, фізика підкидає цікаве завдання, за яким, очевидно, стоїть наукове відкриття. І люди, які зуміли поділити на нуль у цій ситуації, здобули Нобелівську премію. Будь-які заборони корисно вміти оминати!