Bir tanesi en önemli görevler diferansiyel hesap gelişme mi yaygın örnekler Fonksiyon davranışı üzerine çalışmalar.
y=f(x) fonksiyonu , aralığında sürekliyse ve türevi, (a,b) aralığında pozitif veya 0'a eşitse, bu durumda y=f(x) (f"(x)0) kadar artar y=f(x) fonksiyonu doğru parçası üzerinde sürekliyse ve (a,b) aralığında türevi negatif veya 0'a eşitse, bu durumda y=f(x) (f"(x)0 kadar azalır. )
Fonksiyonun azalmadığı veya artmadığı aralıklara fonksiyonun monotonluk aralıkları denir. Bir fonksiyonun monotonluğunun doğası, yalnızca tanım alanının birinci türevinin işaretinin değiştiği noktalarında değişebilir. Bir fonksiyonun birinci türevinin sıfır olduğu veya süreksiz olduğu noktalara kritik denir.
Teorem 1 (1. yeterli koşul bir ekstremun varlığı).
y=f(x) fonksiyonu x 0 noktasında tanımlı olsun ve fonksiyonun aralıkta sürekli ve (x 0 -δ,x 0)u( aralığında türevlenebilir olmasını sağlayacak şekilde bir δ>0 komşuluğu olsun. x 0 , x 0 +δ) ve türevi korunur kalıcı işaret bu aralıkların her birinde. O halde eğer x 0 -δ,x 0) ve (x 0 , x 0 +δ) üzerinde türevin işaretleri farklıysa, o zaman x 0 bir ekstrem noktadır ve eğer çakışıyorlarsa o zaman x 0 bir ekstrem nokta değildir . Ayrıca, x0 noktasından geçerken türev işareti artıdan eksiye değiştirirse (x 0'ın solunda f"(x)>0 sağlanırsa, o zaman x 0 maksimum nokta olur; eğer türev işareti şu şekilde değiştirirse: eksiden artıya (x 0'ın sağında yürütülen f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.
Maksimum ve minimum noktalara fonksiyonun ekstrem noktaları, maksimum ve minimum noktalarına ise ekstrem değerler denir.
Teorem 2 (yerel bir ekstremun gerekli işareti).
Eğer y=f(x) fonksiyonunun x=x 0 mevcut noktasında bir ekstremumu varsa, o zaman f'(x 0)=0 ya da f'(x 0) mevcut değildir.
Türevlenebilir fonksiyonun uç noktalarında grafiğinin teğeti Ox eksenine paraleldir.
Bir ekstremum için bir fonksiyonu incelemek için algoritma:
1) Fonksiyonun türevini bulun.
2) Kritik noktaları bulun; Fonksiyonun sürekli olduğu ve türevinin sıfır olduğu veya mevcut olmadığı noktalar.
3) Her noktanın komşuluğunu düşünün ve bu noktanın solunda ve sağında türevin işaretini inceleyin.
4) Bu değerin uç noktalarının koordinatlarını belirleyin kritik noktalar bu işlevin yerine koyun. Ekstremum için yeterli koşulları kullanarak uygun sonuçları çıkarın.
Örnek 18. Bir ekstremum için y=x 3 -9x 2 +24x fonksiyonunu inceleyin
Çözüm.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Türevi sıfıra eşitleyerek x 1 =2, x 2 =4'ü buluruz. İÇİNDE bu durumda türev her yerde tanımlıdır; Yani bulunan iki nokta dışında başka kritik nokta yok.
3) y"=3(x-2)(x-4) türevinin işareti Şekil 1'de görüldüğü gibi aralığa bağlı olarak değişmektedir. x=2 noktasından geçerken türevin işareti artıdan eksiye değişir, ve x=4 noktasından geçerken - eksiden artıya.
4) x=2 noktasında fonksiyonun maksimumu y max =20'dir ve x=4 noktasında minimum y min =16'dır.
Teorem 3. (Bir ekstremumun varlığı için 2. yeterli koşul).
f"(x 0) olsun ve x 0 noktasında f""(x 0 vardır. O halde eğer f""(x 0)>0 ise, o zaman x 0 minimum noktadır ve eğer f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
Bir parça üzerinde y=f(x) fonksiyonu en küçük (y en küçük) veya en büyük (y en yüksek) değere ya fonksiyonun (a;b) aralığındaki kritik noktalarında ya da segmentin uçları.
Segment üzerinde sürekli bir y=f(x) fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini bulma algoritması:
1) f"(x)'i bulun.
2) f"(x)=0 veya f"(x)'in bulunmadığı noktaları bulun ve doğru parçasının içinde olanları seçin.
3) Adım 2'de elde edilen noktalarda ve parçanın uçlarında y=f(x) fonksiyonunun değerini hesaplayın ve bunlardan en büyüğünü ve en küçüğünü seçin: bunlar sırasıyla en büyüğüdür (y) aralıktaki fonksiyonun en büyük) ve en küçük (y en küçük) değerleri.
Örnek 19. Parça üzerinde y=x 3 -3x 2 -45+225 sürekli fonksiyonunun en büyük değerini bulun.
1) Doğru parçasında y"=3x 2 -6x-45 var
2) Tüm x'ler için y" türevi vardır. y"=0; şunu elde ederiz:
3x2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x1 =-3; x2 =5
3) Fonksiyonun x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 noktalarındaki değerini hesaplayın.
Doğru parçası yalnızca x=5 noktasını içerir. Fonksiyonun bulunan değerlerinin en büyüğü 225, en küçüğü ise 50 sayısıdır. Yani y max = 225, y min = 50 olur.
Dışbükeylik üzerine bir fonksiyonun incelenmesi
Şekilde iki fonksiyonun grafiği gösterilmektedir. Bunlardan birincisi yukarıya doğru dışbükey, ikincisi aşağıya doğru dışbükeydir.
y=f(x) fonksiyonu parça üzerinde süreklidir ve (a;b) aralığında türevlenebilirdir ve eğer axb için grafiği, Herhangi bir M 0 (x 0 ;f(x 0)) noktasına çizilen teğet, burada axb.
Teorem 4. y=f(x) fonksiyonunun parçanın herhangi bir iç x noktasında ikinci bir türevi olsun ve bu parçanın uçlarında sürekli olsun. Bu durumda, (a;b) aralığında f""(x)0 eşitsizliği sağlanıyorsa, fonksiyon ; aralığında aşağı doğru dışbükeydir; f""(x)0 eşitsizliği (a;b) aralığında geçerliyse, bu durumda fonksiyon üzerinde dışbükeydir.
Teorem 5. Eğer y=f(x) fonksiyonunun (a;b) aralığında ikinci bir türevi varsa ve x 0 noktasından geçerken işaret değiştiriyorsa, M(x 0 ;f(x 0)) bir dönüm noktası.
Bükülme noktalarını bulma kuralı:
1) f""(x)'in bulunmadığı veya sıfır olduğu noktaları bulun.
2) İlk adımda bulunan her noktanın solundaki ve sağındaki f""(x) işaretini inceleyin.
3) Teorem 4'e dayanarak bir sonuç çıkarın.
Örnek 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 fonksiyonunun grafiğinin ekstrem noktalarını ve dönüm noktalarını bulun.
Elimizde f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 var. Açıkçası, x 1 =0, x 2 =1 olduğunda f"(x)=0 olur. Türev, x=0 noktasından geçerken işareti eksiden artıya değiştirir, ancak x=1 noktasından geçerken işareti değişmez. Bu, x=0'ın minimum nokta olduğu (y min =12) ve x=1 noktasında hiçbir ekstremum olmadığı anlamına gelir. Sonra buluyoruz 
. İkinci türev x 1 =1, x 2 =1/3 noktalarında sıfırdır. İkinci türevin işaretleri şu şekilde değişir: (-∞;) ışınında f""(x)>0 var, (;1) aralığında f""(x) var<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Dolayısıyla, x= fonksiyon grafiğinin bükülme noktasıdır (dışbükeylikten yukarıya doğru dışbükeyliğe geçiş) ve x=1 aynı zamanda bükülme noktasıdır (yukarı doğru dışbükeylikten aşağıya doğru dışbükeyliğe geçiş). Eğer x= ise y=; eğer öyleyse x=1, y=13.
Bir grafiğin asimptotunu bulmak için algoritma
I. Eğer x → a olarak y=f(x) ise, o zaman x=a dikey bir asimptottur.
II. Eğer x → ∞ veya x → -∞ olarak y=f(x) ise, o zaman y=A yatay bir asimptottur.
III. Eğik asimptotu bulmak için aşağıdaki algoritmayı kullanırız:
1) Hesaplayın. Limit mevcutsa ve b'ye eşitse, o zaman y=b yatay bir asimptottur; ise ikinci adıma geçin.
2) Hesaplayın. Bu limit yoksa asimptot da yoktur; eğer varsa ve k'ye eşitse üçüncü adıma geçin.
3) Hesaplayın. Bu limit mevcut değilse asimptot da yoktur; eğer varsa ve b'ye eşitse dördüncü adıma geçin.
4) Eğik asimptot y=kx+b'nin denklemini yazın.
Örnek 21: Bir fonksiyonun asimptotunu bulun 
1) 
2)
3)
4) Eğik asimptotun denklemi şu şekildedir:
Bir fonksiyonu incelemek ve grafiğini oluşturmak için şema
I. Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun.
II. Fonksiyonun grafiğinin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun.
III. Asimptotları bulun.
IV. Olası ekstrem noktaları bulun.
V. Kritik noktaları bulun.
VI. Yardımcı şekli kullanarak birinci ve ikinci türevlerin işaretini inceleyin. Artan ve azalan fonksiyonun alanlarını belirleyin, grafiğin dışbükeylik yönünü, ekstremum noktalarını ve dönüm noktalarını bulun.
VII. 1-6 paragraflarında yapılan araştırmayı dikkate alarak bir grafik oluşturun.
Örnek 22: Yukarıdaki diyagrama göre fonksiyonun grafiğini oluşturun
Çözüm.
I. Bir fonksiyonun tanım kümesi, x=1 dışındaki tüm gerçek sayılar kümesidir.
II. x 2 +1=0 denkleminin gerçek kökleri olmadığından, fonksiyonun grafiğinin Ox ekseni ile kesişme noktası yoktur, ancak Oy eksenini (0;-1) noktasında keser.
III. Asimptotların varlığı sorusunu açıklığa kavuşturalım. Fonksiyonun x=1 süreksizlik noktası yakınındaki davranışını inceleyelim. x → -∞ olarak y → ∞, x → 1+ olarak y → +∞ olduğundan, x=1 düz çizgisi fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur.
Eğer x → +∞(x → -∞), o zaman y → +∞(y → -∞); bu nedenle grafiğin yatay bir asimptotu yoktur. Ayrıca sınırların varlığından
x 2 -2x-1=0 denklemini çözerek iki olası uç nokta elde ederiz:
x 1 =1-√2 ve x 2 =1+√2
V. Kritik noktaları bulmak için ikinci türevi hesaplıyoruz:
f""(x) yok olmadığından kritik noktalar yoktur.
VI. Birinci ve ikinci türevlerin işaretini inceleyelim. Dikkate alınması gereken olası uç noktalar: x 1 =1-√2 ve x 2 =1+√2, fonksiyonun varlık tanım kümesini aralıklara bölün (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) ve (1+√2;+∞).
Bu aralıkların her birinde türev işaretini korur: birincide artı, ikincide eksi, üçüncüde artı. Birinci türevin işaret dizisi şu şekilde yazılacaktır: +,-,+.
Fonksiyonun (-∞;1-√2)'de arttığını, (1-√2;1+√2)'de azaldığını ve (1+√2;+∞)'da tekrar arttığını buluyoruz. Ekstrem noktalar: x=1-√2'de maksimum ve f(1-√2)=2-2√2 x=1+√2'de minimum ve f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1) noktasında grafik yukarıya doğru dışbükeydir ve (1;+∞) noktasında aşağıya doğru dışbükeydir.
VII Elde edilen değerlerin bir tablosunu yapalım
VIII Elde edilen verilere dayanarak fonksiyonun grafiğinin bir taslağını oluşturuyoruz 
Görev gerektiriyorsa tam araştırma f (x) = x 2 4 x 2 - 1 fonksiyonunu grafiğinin yapısıyla birlikte inceledikten sonra bu prensibi detaylı olarak ele alacağız.
Bu tip bir problemi çözmek için ana problemin özelliklerini ve grafiklerini kullanmalısınız. temel işlevler. Araştırma algoritması aşağıdaki adımları içerir:
Yandex.RTB R-A-339285-1
Tanımın alanını bulma
Fonksiyon tanımı alanında araştırma yapıldığı için bu adımla başlamak gerekir.
Örnek 1
İçin bu örnek ODZ'den hariç tutmak için paydanın sıfırlarını bulmayı içerir.
4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞
Sonuç olarak kökleri, logaritmaları vb. elde edebilirsiniz. Daha sonra ODZ, g (x) ≥ 0 eşitsizliği ile g (x) 4 türünde çift dereceli bir kök için, g (x) > 0 eşitsizliği ile logaritma log a g (x) için aranabilir.
ODZ'nin sınırlarını incelemek ve dikey asimptotları bulmak
Bu noktalardaki tek taraflı limitler sonsuz olduğunda, fonksiyonun sınırlarında dikey asimptotlar vardır.
Örnek 2
Örneğin, sınır noktalarını x = ± 1 2'ye eşit olarak düşünün.
Daha sonra tek taraflı limiti bulmak için fonksiyonu incelemek gerekir. O zaman şunu elde ederiz: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞
Bu, tek taraflı sınırların sonsuz olduğunu gösterir; bu, x = ± 1 2 düz çizgilerinin grafiğin dikey asimptotları olduğu anlamına gelir.
Bir fonksiyonun incelenmesi ve onun çift mi yoksa tek mi olduğu
y (- x) = y (x) koşulu sağlandığında fonksiyon çift kabul edilir. Bu, grafiğin Oy'a göre simetrik olarak yerleştirildiğini göstermektedir. y (- x) = - y (x) koşulu karşılandığında, fonksiyon tek olarak kabul edilir. Bu, simetrinin koordinatların kökenine göre olduğu anlamına gelir. En az bir eşitsizlik sağlanmazsa genel formda bir fonksiyon elde ederiz.
y (- x) = y (x) eşitliği fonksiyonun çift olduğunu gösterir. İnşa ederken Oy'a göre simetri olacağını dikkate almak gerekir.
Eşitsizliği çözmek için sırasıyla f " (x) ≥ 0 ve f " (x) ≤ 0 koşullarıyla artan ve azalan aralıklar kullanılır.
Tanım 1
Sabit noktalar- bunlar türevi sıfıra çeviren noktalardır.
Kritik noktalar- bunlar, fonksiyonun türevinin sıfıra eşit olduğu veya mevcut olmadığı tanım bölgesinden gelen iç noktalardır.
Karar verirken aşağıdaki notlar dikkate alınmalıdır:
- f " (x) > 0 formundaki artan ve azalan eşitsizliklerin mevcut aralıkları için kritik noktalar çözüme dahil edilmez;
- fonksiyonun sonlu türevi olmadan tanımlandığı noktalar artan ve azalan aralıklara dahil edilmelidir (örneğin y = x 3, burada x = 0 noktası fonksiyonu tanımlı yapar, türev bu noktada sonsuz değerine sahiptir) nokta, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 artan aralığa dahildir);
- Anlaşmazlıkları önlemek için kullanılması tavsiye edilir matematik literatürü Milli Eğitim Bakanlığı'nın önerdiği bir uygulamadır.
Kritik noktaların, fonksiyonun tanım tanım kümesini karşılamaları durumunda, artan ve azalan aralıklara dahil edilmesi.
Tanım 2
İçin Bir fonksiyonun artış ve azalış aralıklarını belirlemek için bulunması gerekir:
- türev;
- kritik noktalar;
- kritik noktaları kullanarak tanım alanını aralıklara bölmek;
- +'nın bir artış ve -'nin bir azalma olduğu aralıkların her biri için türevin işaretini belirleyin.
Örnek 3
f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 -) tanım kümesindeki türevi bulun 1) 2 .
Çözüm
Çözmek için ihtiyacınız olan:
- bulmak sabit noktalar bu örnekte x = 0;
- paydanın sıfırlarını bulun, örnek x = ± 1 2'de sıfır değerini alır.
Her aralığın türevini belirlemek için sayı eksenine noktalar yerleştiririz. Bunun için aralıktan herhangi bir noktayı alıp hesaplama yapmak yeterlidir. Şu tarihte: olumlu sonuç Grafikte + ifadesini gösteriyoruz, bu fonksiyonun arttığını, - ise azaldığını gösteriyor.
Örneğin, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, bu da soldaki ilk aralığın + işaretine sahip olduğu anlamına gelir. Sayı doğrusu üzerinde düşünün.
Cevap:
- fonksiyon - ∞ aralığında artar; - 1 2 ve (- 1 2 ; 0 ] ;
- [ 0 ; 1 2) ve 1 2; + ∞ .
Diyagramda + ve - kullanılarak fonksiyonun pozitifliği ve negatifliği gösterilir, oklar ise azalma ve artışı gösterir.
Bir fonksiyonun ekstrem noktaları, fonksiyonun tanımlandığı ve türevin işaret değiştirdiği noktalardır.
Örnek 4
Eğer x = 0 olan bir örneği ele alırsak, o zaman içindeki fonksiyonun değeri f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0'a eşittir. Türevin işareti +'dan -'ye değiştiğinde ve x = 0 noktasından geçtiğinde, koordinatları (0; 0) olan nokta maksimum nokta olarak kabul edilir. İşaret -'den +'ya değiştiğinde minimum bir puan elde ederiz.
Dışbükeylik ve içbükeylik, f "" (x) ≥ 0 ve f "" (x) ≤ 0 formundaki eşitsizliklerin çözülmesiyle belirlenir. Daha az yaygın olarak kullanılan ad, içbükeylik yerine dışbükeylik ve dışbükeylik yerine dışbükeylik adıdır.
Tanım 3
İçin içbükeylik ve dışbükeylik aralıklarının belirlenmesi gerekli:
- ikinci türevi bulun;
- ikinci türev fonksiyonunun sıfırlarını bulun;
- tanım alanını görünen noktalarla aralıklara bölün;
- aralığın işaretini belirleyiniz.
Örnek 5
Tanım alanından ikinci türevi bulun.
Çözüm
f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2) - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3
Pay ve paydanın sıfırlarını buluyoruz; örneğimizde paydanın sıfırları x = ± 1 2
Şimdi sayı doğrusu üzerindeki noktaları çizmeniz ve her aralığın ikinci türevinin işaretini belirlemeniz gerekiyor. Bunu anlıyoruz
Cevap:
- fonksiyon - 1 2 aralığından dışbükeydir; 1 2;
- fonksiyon - ∞ aralıklarından içbükeydir; - 1 2 ve 1 2; + ∞ .
Tanım 4
Bükülme noktası– bu x 0 biçiminde bir noktadır; f(x0) . Fonksiyonun grafiğine teğet olduğunda, x 0'dan geçtiğinde fonksiyonun işareti ters yönde değişir.
Başka bir deyişle bu, ikinci türevin geçtiği ve işaret değiştirdiği bir noktadır ve noktalarda sıfıra eşittir veya yoktur. Tüm noktalar fonksiyonun tanım kümesi olarak kabul edilir.
Örnekte, ikinci türev x = ± 1 2 noktalarından geçerken işaret değiştirdiğinden, bükülme noktalarının olmadığı açıktı. Bunlar da tanım kapsamına dahil değildir.
Yatay ve eğik asimptotları bulma
Sonsuzda bir fonksiyon tanımlarken yatay ve eğik asimptotlara bakmanız gerekir.
Tanım 5
Eğik asimptotlar düz çizgiler kullanılarak tasvir edilmiştir, denklem tarafından verilen y = k x + b, burada k = lim x → ∞ f (x) x ve b = lim x → ∞ f (x) - k x.
k = 0 ve b sonsuza eşit olmadığı için eğik asimptotun şöyle olduğunu buluruz: yatay.
Başka bir deyişle asimptotlar, bir fonksiyonun grafiğinin sonsuzda yaklaştığı çizgiler olarak kabul edilir. Bu, bir fonksiyon grafiğinin hızlı bir şekilde oluşturulmasını kolaylaştırır.
Asimptot yoksa ancak fonksiyon her iki sonsuzda da tanımlıysa, fonksiyonun grafiğinin nasıl davranacağını anlamak için fonksiyonun bu sonsuzluklardaki limitini hesaplamak gerekir.
Örnek 6
Örnek olarak şunu düşünelim
k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4
yatay bir asimptottur. Fonksiyonu inceledikten sonra oluşturmaya başlayabilirsiniz.
Bir fonksiyonun değerini ara noktalarda hesaplamak
Grafiği daha doğru hale getirmek için ara noktalarda birkaç fonksiyon değerinin bulunması önerilir.
Örnek 7
İncelediğimiz örnekten, fonksiyonun değerlerini x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 noktalarında bulmak gerekir. Fonksiyon çift olduğundan değerlerin bu noktalardaki değerlerle çakıştığını yani x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 elde ederiz.
Yazalım ve çözelim:
F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08
Fonksiyonun maksimum ve minimumlarını, dönüm noktalarını ve ara noktaları belirlemek için asimptotların oluşturulması gerekir. Uygun tanımlama için artan, azalan, dışbükeylik ve içbükeylik aralıkları kaydedilir. Aşağıdaki resme bakalım.
Okları takip ederek asimptotlara yaklaşmanızı sağlayacak grafik çizgilerini işaretli noktalardan çizmek gerekiyor.
Bu, fonksiyonun tam olarak araştırılmasını tamamlar. Geometrik dönüşümlerin kullanıldığı bazı temel fonksiyonların oluşturulma durumları vardır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.