Bir paralelyüzün yüksekliğini nasıl bulacağımızı anlamak için önce kavramları anlayalım.
Tanımlar:
Paralel boru, her biri paralelkenar olan altı kenara sahip bir çokyüzlüdür.
- Paralel borular eğimli veya düz olabilir.
- Eğimli paralel yüzlü- bu, kenarların tabana dik olmadığı bir paralel borudur.
- Dikdörtgen paralel yüzlüdür özel durumŞeklin tüm yüzlerinin sadece paralelkenar değil dikdörtgen olduğu ve tabana dik oldukları yer.
- Paralel borunun yüksekliği, iki zıt düzlemi (tabanlara dik bir bölüm) arasındaki mesafedir.
düşünelim farklı yollar paralelyüzün yüksekliği nasıl bulunur?
Çözümler:
Yüksekliğini h harfiyle gösterelim.
Yöntem 1. Tabanın hacmi ve alanı göz önüne alındığında
Formül:
- h = V/S
- Burada V paralelyüzün hacmidir
- S, yüksekliğin çizildiği tabanın alanıdır.
Örnek:
Eğimli paralel borulu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1'in hacmi 36 cm3, yüksekliğin çizildiği ABCD tabanının alanı 9 cm2'dir. Yüksekliği bulun.
Çözüm:
- h = 36/9 = 4 (cm)
- Cevap: 4cm.
Yöntem 2: Kenarların hacmi ve uzunlukları verilir
Örnek:
Paralel borulu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1'in hacmi 36 cm3, yüksekliği 4 cm olan ABCD tabanının uzunluğu, genişliği 3 cm'dir.
Çözüm:
Yükseklik formülü aynı kalır:
- h = V/S
S tabanın alanıdır ve bunu aşağıdaki formülü kullanarak bulabiliriz:
- S = a*b,
burada a ve b paralelkenarın kenarlarıdır, bizim durumumuzda AB ve BC. Buna dayanarak formülün biçimini S yerine a*b ifadesini koyarak değiştirebiliriz.
Şu formülü elde ederiz: h=V/ (a*b)
Sayıların değiştirilmesi:
- h = 36/ (3*4)= 36/12 = 3 (cm)
- Cevap: 3cm
Yöntem 3: dikdörtgen paralel yüzlü
Yukarıda da öğrendiğimiz gibi, böyle bir paralelyüzlülük özel bir durumdur. Yükseklik nasıl bulunur? dikdörtgen paralel yüzlü? Çok basit - yükseklik her zaman eşleşiyor 
yüzlerden birinden. Bu nedenle onu bulmak için özel formüllere gerek yoktur. Burada yüzlerin uzunluğunu bulmak için formüllere ihtiyacınız olacak. Örneğin, bir paralelyüzlü hacminin formülü:
- V = a*b*c, burada a, b ve c şeklin yüzleridir.
Yüzlerden herhangi biri aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
- a = V / (b*c) ve h'den beri bu durumda a'ya eşitse, o zaman
- h = V / (b*c)
Ve bu soru basit değil, kendiniz görün:
Bir köşeden uzanan dikdörtgen bir paralel yüzün kenarları 1, 2, 3'tür. Yüzey alanını bulun. Söyle bana bunu nasıl sindireceğim?
Elbette soru basit değil - dikdörtgen paralel yüzlü nedir, nasıl ve neyle yenir? Özellikle bu meyve veya sebzenin yüzey alanını hazırlamak için tarif nasıl bulunur? Öncelikle bunun gerçekte ne olduğuna bakalım; dikdörtgen paralel yüzlü mü? İşte dikdörtgen bir paralel borunun resmi.
Gördüğünüz gibi dikdörtgen paralel yüzlü aslında sıradan bir tuğladır. Bu arada, Newton'un kafasına elma şeklinde bir küre değil de tuğla şeklinde dikdörtgen paralel yüzlü bir cisim düşseydi, o zaman onun yasalarını okulda öğretmemiz pek mümkün olmazdı. Dikdörtgen bir oda aynı zamanda dikdörtgen bir paralel yüzlüdür ve şunları yapmanızı sağlar: gezi turu doğrudan içeriden manzaraları aracılığıyla. Bu matematik mucizesinin dışarıdan bir incelemesini yapmak istiyorsanız, o zaman elinize bir ayakkabı kutusu alın ve onu istediğiniz kadar çevirebilirsiniz.
Ve böylece resimdeki dikdörtgen paralel yüzlü bize köşeleri, kenarları ve köşegenleri görme fırsatı veriyor. Parmağımızla köşelere dokunabiliriz, kenarları ölçebiliriz, köşegeni hesaplayabiliriz. Artık köşegene ihtiyacımız yok. Sınıfta öğrenci hareketi yasasını biliyor musunuz? Bayan öğretmen sınıftan ayrılırsa sınıf daha hızlı ilerler. Problem çözme kanunu da buna çok benzer: ne kadar az saçmalık ararsak, problem o kadar basit olur.
Sorunda karşılaştığımız ilk sorun argo sorunudur. Sorun günlük argoda formüle edilmiştir ve matematikteki tüm formüller ve tanımlar matematiksel argoda formüle edilmiştir. Bu nedenle çeviriyi kendimiz yapmak zorundayız. Adım adım çeviriye cümle cümle başlayalım.
"Bir tepe noktasından uzanan dikdörtgen paralel yüzlü kenarları..."- aslında burada dikdörtgen bir paralel borunun boyutlarını belirlememize ve bu boyutlara dayanarak gerekli tüm hesaplamaları yapmamıza olanak sağlayan kenarlardan bahsediyoruz. Bunlar resimdeki kaburgalar A, B Ve C. Bu üç kaburga kemiğinin şartlara uygun olarak bize verileceğinden kim şüphe edebilir ki, benden değil. Tek bir matematikçi bunu size söylemeyecektir (bilmedikleri için değil, çok fazla karşılaşma korkusuyla). garip sorular), ancak problem ifadesinde iki uzunluk verirseniz paralel kaburga ve bir dik onlar, o zaman prensipte sorunumuzu çözmek imkansız olacaktır. Dikdörtgen bir paralel boruda, her zaman herhangi bir tepe noktasından birbirine dik üç kenar çıkar. Bu nedenle görevimiz doğrudan bundan bahsediyor. Eğer inanırsan kutsal yazılar farklı dinler, o zaman sorunları bütünüyle çözülen tüm dikdörtgen paralel borular böyle bir kenardan yaratılır. adil yarı insanlık.
Sonraki ifade "...1, 2, 3'e eşit" Bu, şekilde gösterildiği gibi bu talihsiz küpü ve yüzlerinin uzunluklarını ölçmek için cetvelimizi aramamıza gerek olmadığı anlamına geliyor. Bu sorunu ortaya çıkaran kişi zaten her şeyi kendisi ölçmüştür (veya bu durumda temel öneme sahip olmayan bu boyutları icat etmiştir). Bu sayı listesinde kim kimdir? Paralel borumuzun uzunluğu, genişliği, yüksekliği nerede? Bizim için önemli değil. Bu dikdörtgen paralelyüzlüyü ne kadar bükersek çevirelim, yüzey alanı her zaman aynı kalacaktır. Önceki nesil matematikçiler bu gerçeği defalarca doğruladılar. Çözüme ulaştığımızda kendi gözümüzle göreceğiz.
Şimdi soru şu: Dikdörtgen paralelyüzümüz ve yüzey alanı tam olarak neyle ölçülüyor? Hangi ölçü birimlerinde? Cevap oldukça basit - herhangi bir uzunluk biriminde. İngilizler ve Amerikalılar inçleri, ayakları, milleri severler. Santimetre, metre, kilometreyi tercih ediyoruz. Uzunluk nasıl ölçülür? Hiç bilmiyoruz. Evet bu ölçü birimleri bizim için önemli değil. Kenarların uzunluğunu nerede ölçersek ölçelim uzunlukların ve alanın yanındaki sayılar aynı olacaktır. Sayılar kalır ancak ölçü birimleri değişir. Matematikte sonuç almanın iki yolu vardır.
farklı sayılar + aynı birimler = farklı sonuçlar
aynı numaralar + farklı birimlerölçümler = farklı sonuç
Yaklaşık olarak bu sayaçtakiyle aynı. Bir çarkı döndürüyoruz ve sayılar değişiyor. Başka bir çarkı çeviriyoruz ve ölçü birimleri değişiyor. Şu anda küçük bir parçasını ele aldığımız gerçek matematik bu şekilde işler.
Bu artık özellikle bize problemlerle eziyet etmek için icat edilen çocuk matematiği değil. Bu herkes için aynıdır.
Problemimizde her şeyi soyut uzunluk birimleriyle ölçüyoruz. Buna göre elde ettiğimiz alan aynı ölçü birimlerinin karesi ile ölçülecektir.
Şimdi tek yapmamız gereken, derin cebimizden dikdörtgen paralel yüzlü formüllerin bulunduğu bir kopya kağıdı çıkarmak ve orada bizim için neyin yararlı olduğunu görmek.
Bu kopya kağıdında tam olarak ne var? Dikdörtgen paralel yüzlü bir hacim formülünün köşegen formülü. Yüzey alanı için çeşitli formüller vardır: toplam, taban, yanal. Bu formüllerden birine ihtiyacımız var. Ayakkabı kutusu örneğini kullanarak alanlara bakalım. Taban alanı kutunun alt veya kapağının alanıdır. Yan yüzey alanı, kutunun alt ve kapaksız yan duvarlarıdır. Tam alan, alt ve kapakla birlikte yan duvarlardır.
Şimdi sorunun koşullarına bakıyoruz ve “Neye ihtiyacın var büyüğüm?” diye belirliyoruz. Ve onun (o, onların) “yüzey alanına” ihtiyacı var. "Yan" veya "taban" gibi bir özellik yoksa, dikdörtgen paralel borunun toplam yüzey alanını aramanız gerekir. Üç yüzün uzunlukları elimizde, formül de var, hesaplamayı da yapabiliyoruz. Tabanlarla, yanlarla uğraşmamızın hiçbir anlamı yok.
Gördüğümüz gibi, toplam alan Dikdörtgen paralel borumuzun yüzeyinin 22 birim kareye eşit olduğu ortaya çıktı. Tam olarak hangi birimler? Ve hangilerini umursamadığınızı veya hangilerini en çok sevdiğinizi.
Öğrencilerin isteği üzerine dikdörtgen bir paralel yüzün kenarlarının uzunluklarının toplamı hakkında bir resim ekliyorum.
Bir dikdörtgenin çevresine çok benzediği için paralel yüzün tüm kenarlarının uzunluklarının toplamını “P” harfiyle belirttim. Bu arada, bunu tüm kenarların uzunlukları için formüle yazmadım, ancak dikdörtgen bir paralel yüzün şekil oluşturan üç yüzünü alırsak, bunlar dikdörtgendir, o zaman tüm kenarların uzunluklarının toplamı paralel yüzün kenarları bu dikdörtgenlerin çevrelerinin toplamına eşit olacaktır.
Sayfa sponsoru: Oradaydım ama ortadan kayboldum.
Buna paralelyüz denir dörtgen prizma tabanları paralelkenar olan. Paralel borunun yüksekliği, tabanlarının düzlemleri arasındaki mesafedir. Şekilde yükseklik segmentle gösterilmiştir. . İki tür paralel boru vardır: düz ve eğimli. Kural olarak, bir matematik öğretmeni önce prizma için uygun tanımları verir ve ardından bunları paralel yüzeye aktarır. Biz de aynısını yapacağız.
Yan kenarları tabanlara dik olan prizmaya düz, diklik yoksa eğimli prizmaya prizma denildiğini hatırlatayım. Bu terminoloji aynı zamanda paralelyüzlüler tarafından da miras alınmıştır. Sağ paralel yüzlü bir tür dik prizmadan başka bir şey değildir, yan kaburga bu da yükseklikle örtüşüyor. Tüm çokyüzlüler ailesi için ortak olan yüz, kenar ve tepe noktası gibi kavramların tanımları korunmuştur. Zıt yüzler kavramı ortaya çıkıyor. Paralel borunun 3 çift karşıt yüzü, 8 köşesi ve 12 kenarı vardır.
Paralel borunun köşegeni (bir prizmanın köşegeni), bir çokyüzlünün iki köşesini birbirine bağlayan ve hiçbir yüzünün üzerinde yer almayan bir bölümdür.
Çapraz bölüm - paralel borunun köşegeninden ve tabanının köşegeninden geçen bir bölümü.
Eğik bir paralelyüzün özellikleri:
1) Bütün yüzleri paralelkenardır ve karşıt yüzleri eşit paralelkenardır.
2)
Paralel borunun köşegenleri bir noktada kesişir ve bu noktada ikiye ayrılır.
3)
Her paralel yüzlü, eşit hacimli altı üçgen piramitten oluşur. Bunları öğrenciye göstermek için matematik öğretmeninin paralelyüzlüden yarısını kesmesi gerekir. çapraz bölüm ve onu ayrı ayrı 3 piramite bölün. Temelleri şu şekilde olmalıdır: farklı yüzler orijinal paralel yüzlü. Bir matematik öğretmeni bu özelliğin uygulamasını analitik geometri. Piramidin hacmini görüntülemek için kullanılır. karma çalışma vektörler.
Paralel borunun hacmi için formüller:
1) Tabanın alanı nerede, h yüksekliktir.
2) Paralelyüzün hacmi ürüne eşit alan enine kesit yan kenarda.
Matematik öğretmeni: Bildiğiniz gibi formül tüm prizmalarda ortaktır ve eğer öğretmen bunu zaten kanıtlamışsa paralelyüzlü için aynı şeyi tekrarlamanın bir anlamı yoktur. Ancak ortalama seviyedeki bir öğrenciyle çalışırken (formül zayıf bir öğrenci için işe yaramaz) öğretmenin tam tersini yapması tavsiye edilir. Prizmayı kendi haline bırakın ve paralelyüzlü için dikkatli bir ispat yapın.
3) , altıdan birinin hacmi nerede üçgen piramit paralel yüzlü bunlardan oluşur.
4) Eğer öyleyse
Paralel borunun yan yüzeyinin alanı, tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır:
Bir paralel yüzün toplam yüzeyi, tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır, yani alan + tabanın iki alanı: .
Eğik paralel yüzlü bir öğretmenin çalışması hakkında:
Bir matematik öğretmeni genellikle eğik paralelyüzlü problemler üzerinde çalışmaz. Birleşik Devlet Sınavına girme olasılıkları oldukça düşük ve didaktikleri aşırı derecede zayıf. Eğimli paralel yüzlü çağrıların ses seviyesinde az çok makul bir sorun ciddi sorunlar, yüksekliğinin tabanı olan H noktasının konumunun belirlenmesiyle ilişkilidir. Bu durumda, matematik öğretmenine paralelyüzlüyü altı piramitten birine kesmesi önerilebilir (yaklaşık olarak hakkında konuşuyoruz 3 numaralı özellikte), hacmini bulmaya ve 6 ile çarpmaya çalışın.
Paralel borunun yan kenarı varsa eşit açılar tabanın kenarları ile aynı ise H, ABCD tabanının A açısının ortaortasında yer alır. Ve eğer örneğin ABCD bir eşkenar dörtgen ise, o zaman
Matematik öğretmeni görevleri:
1) Paralel borunun yüzleri 2 cm kenarla birbirine eşittir ve dar açı. Paralelyüzün hacmini bulun.
2) Eğik bir paralel boruda yan kenar 5 cm'dir. Buna dik olan bölüm, uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan karşılıklı dik köşegenlere sahip bir dörtgendir. Paralel borunun hacmini hesaplayın.
3) Eğik bir paralel boruda, ABCD'de tabanın, kenarı 2 cm ve açısı olan bir eşkenar dörtgen olduğu bilinmektedir. Paralel borunun hacmini belirleyin.
Matematik öğretmeni Alexander Kolpakov