ఫంక్షన్‌పై పరిశోధన నిర్వహించి ఆన్‌లైన్‌లో గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి. ఫంక్షన్‌ను ఎలా అధ్యయనం చేయాలి మరియు దాని గ్రాఫ్‌ను ఎలా నిర్మించాలి? క్షితిజ సమాంతర మరియు ఏటవాలు అసమానతలను కనుగొనడం

ఒకటి అత్యంత ముఖ్యమైన పనులు అవకలన కాలిక్యులస్అభివృద్ధి సాధారణ ఉదాహరణలుఫంక్షన్ ప్రవర్తన యొక్క అధ్యయనాలు.

y=f(x) ఫంక్షన్ విరామంలో నిరంతరంగా ఉండి, దాని ఉత్పన్నం సానుకూలంగా లేదా విరామం (a,b)పై 0కి సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు y=f(x) (f"(x)0) ద్వారా పెరుగుతుంది. . y=f (x) ఫంక్షన్ సెగ్మెంట్‌పై నిరంతరంగా ఉంటే మరియు దాని ఉత్పన్నం ప్రతికూలంగా లేదా విరామం (a,b)పై 0కి సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు y=f(x) (f"(x)0 ద్వారా తగ్గుతుంది )

ఫంక్షన్ తగ్గని లేదా పెరగని విరామాలను ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ విరామాలు అంటారు. ఒక ఫంక్షన్ యొక్క మోనోటోనిసిటీ అనేది డెఫినిషన్ యొక్క డొమైన్ యొక్క ఆ పాయింట్ల వద్ద మాత్రమే మారవచ్చు, దీనిలో మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం మారుతుంది. ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నం అదృశ్యమయ్యే లేదా నిలిపివేయబడిన పాయింట్లను క్రిటికల్ అంటారు.

సిద్ధాంతం 1 (1వ తగినంత పరిస్థితిఒక విపరీతమైన ఉనికి).

ఫంక్షన్ y=f(x) x 0 పాయింట్ వద్ద నిర్వచించబడనివ్వండి మరియు పొరుగు δ>0 ఉండనివ్వండి అంటే ఫంక్షన్ విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు విరామం (x 0 -δ,x 0)u(x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , మరియు దాని ఉత్పన్నం నిల్వలు శాశ్వత సంకేతంఈ ప్రతి వ్యవధిలో. అప్పుడు x 0 -δ,x 0) మరియు (x 0 , x 0 +δ) ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలు భిన్నంగా ఉంటే, అప్పుడు x 0 అనేది ఒక విపరీత బిందువు, మరియు అవి ఏకీభవిస్తే, అప్పుడు x 0 ఒక విపరీత బిందువు కాదు. . అంతేకాకుండా, పాయింట్ x0 గుండా వెళుతున్నప్పుడు, ఉత్పన్నం గుర్తును ప్లస్ నుండి మైనస్‌కి మారుస్తుంటే (x 0 f"(x)>0కి ఎడమవైపు సంతృప్తి చెందితే, x 0 గరిష్ట పాయింట్; ఉత్పన్నం మారితే మైనస్ నుండి ప్లస్ (x 0 అమలు చేయబడిన f"(x)కి కుడివైపు<0, то х 0 - точка минимума.

గరిష్ట మరియు కనిష్ట పాయింట్లను ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్లు అని పిలుస్తారు మరియు ఫంక్షన్ యొక్క గరిష్ట మరియు కనిష్టాన్ని దాని తీవ్ర విలువలు అంటారు.

సిద్ధాంతం 2 (స్థానిక తీవ్రత యొక్క అవసరమైన సంకేతం).

y=f(x) ఫంక్షన్‌కు ప్రస్తుత x=x 0 వద్ద అంత్యాంశం ఉంటే, అప్పుడు f’(x 0)=0 లేదా f’(x 0) ఉనికిలో ఉండదు.
భేదాత్మక ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్ర బిందువుల వద్ద, దాని గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్ ఆక్స్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

ఎక్స్‌ట్రంమ్ కోసం ఒక ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేయడానికి అల్గోరిథం:

1) ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.
2) క్లిష్టమైన పాయింట్లను కనుగొనండి, అనగా. ఫంక్షన్ నిరంతరంగా ఉండే పాయింట్లు మరియు ఉత్పన్నం సున్నా లేదా ఉనికిలో లేదు.
3) ప్రతి పాయింట్ యొక్క పొరుగును పరిగణించండి మరియు ఈ పాయింట్ యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని పరిశీలించండి.
4) ఈ విలువ కోసం తీవ్ర పాయింట్ల కోఆర్డినేట్‌లను నిర్ణయించండి క్లిష్టమైన పాయింట్లుఈ ఫంక్షన్‌లో ప్రత్యామ్నాయం. అంత్య భాగాల కోసం తగిన పరిస్థితులను ఉపయోగించి, తగిన ముగింపులను గీయండి.

ఉదాహరణ 18. ఎక్స్‌ట్రీమ్ కోసం y=x 3 -9x 2 +24x ఫంక్షన్‌ను పరిశీలించండి

పరిష్కారం.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి సమం చేస్తే, మేము x 1 =2, x 2 =4ని కనుగొంటాము. IN ఈ విషయంలోఉత్పన్నం ప్రతిచోటా నిర్వచించబడింది; అంటే కనుగొన్న రెండు పాయింట్లు తప్ప, ఇతర క్లిష్టమైన పాయింట్లు లేవు.
3) డెరివేటివ్ y"=3(x-2)(x-4) గుర్తు చిత్రం 1లో చూపిన విధంగా విరామంపై ఆధారపడి మారుతుంది. x=2 పాయింట్ గుండా వెళుతున్నప్పుడు, ఉత్పన్నం సంకేతం ప్లస్ నుండి మైనస్‌కు మారుతుంది, మరియు x=4 పాయింట్ గుండా వెళుతున్నప్పుడు - మైనస్ నుండి ప్లస్ వరకు.
4) పాయింట్ x=2 వద్ద ఫంక్షన్ గరిష్టంగా y గరిష్టంగా =20, మరియు పాయింట్ x=4 వద్ద - కనిష్ట y నిమి =16.

సిద్ధాంతం 3. (ఒక విపరీతమైన ఉనికికి 2వ తగినంత పరిస్థితి).

f"(x 0) మరియు x 0 పాయింట్ వద్ద f""(x 0) ఉంటుంది. అప్పుడు f""(x 0)>0 అయితే, x 0 కనిష్ట బిందువు, మరియు f""(x అయితే) 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

సెగ్మెంట్‌లో, ఫంక్షన్ y=f(x) అతిచిన్న (y కనిష్ట) లేదా గొప్ప (y అత్యధిక) విలువను ఇంటర్వెల్‌లో (a;b) లేదా ఫంక్షన్ యొక్క క్లిష్టమైన పాయింట్‌ల వద్ద చేరుకోగలదు. సెగ్మెంట్ చివరలు.

సెగ్మెంట్‌పై నిరంతర ఫంక్షన్ y=f(x) యొక్క అతిపెద్ద మరియు అతిచిన్న విలువలను కనుగొనడానికి అల్గోరిథం:

1) f"(x)ని కనుగొనండి.
2) f"(x)=0 లేదా f"(x) లేని పాయింట్లను కనుగొని, వాటి నుండి సెగ్మెంట్ లోపల ఉండే వాటిని ఎంచుకోండి.
3) స్టెప్ 2లో పొందిన పాయింట్ల వద్ద, అలాగే సెగ్మెంట్ చివర్లలో ఫంక్షన్ y=f(x) విలువను లెక్కించండి మరియు వాటి నుండి అతిపెద్ద మరియు చిన్న వాటిని ఎంచుకోండి: అవి వరుసగా అతిపెద్దవి (y అతి పెద్దది) మరియు విరామంలో ఫంక్షన్ యొక్క అతిచిన్న (y అతి తక్కువ) విలువలు.

ఉదాహరణ 19. సెగ్మెంట్‌పై నిరంతర ఫంక్షన్ y=x 3 -3x 2 -45+225 యొక్క అతిపెద్ద విలువను కనుగొనండి.

1) మనకు సెగ్మెంట్‌లో y"=3x 2 -6x-45 ఉంది
2) అన్ని x కోసం y" ఉత్పన్నం ఉంది. y"=0 వద్ద ఉన్న పాయింట్లను కనుగొనండి; మాకు దొరికింది:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63 పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ విలువను లెక్కించండి
విభాగంలో x=5 పాయింట్ మాత్రమే ఉంది. ఫంక్షన్ యొక్క కనుగొనబడిన విలువలలో అతిపెద్దది 225, మరియు చిన్నది 50. కాబట్టి, y గరిష్టం = 225, y నిమి = 50.

కుంభాకారంపై ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనం

ఫిగర్ రెండు ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను చూపుతుంది. వాటిలో మొదటిది పైకి కుంభాకారంగా ఉంటుంది, రెండవది క్రిందికి కుంభాకారంగా ఉంటుంది.

y=f(x) ఫంక్షన్ విరామంలో నిరంతరంగా ఉంటుంది మరియు విరామం (a;b)లో భేదం ఉంటుంది, ఈ విరామంలో కుంభాకార పైకి (దిగువ) అని పిలుస్తారు, axb కోసం, దాని గ్రాఫ్ కంటే ఎక్కువ (తక్కువ కాదు) ఉంటుంది. టాంజెంట్ ఏదైనా పాయింట్ వద్ద గీస్తారు M 0 (x 0 ;f(x 0)), ఇక్కడ axb.

సిద్ధాంతం 4. ఫంక్షన్ y=f(x) సెగ్మెంట్ యొక్క ఏదైనా ఇంటీరియర్ పాయింట్ x వద్ద రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కలిగి ఉండనివ్వండి మరియు ఈ సెగ్మెంట్ చివర్లలో నిరంతరంగా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు అసమానత f""(x)0 విరామం (a;b)పై కలిగి ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ విరామంపై క్రిందికి కుంభాకారంగా ఉంటుంది; అసమానత f""(x)0 విరామం (a;b)పై కలిగి ఉంటే, అప్పుడు ఫంక్షన్ పై కుంభాకారంగా ఉంటుంది.

సిద్ధాంతం 5. ఫంక్షన్ y=f(x) విరామం (a;b)పై రెండవ ఉత్పన్నం కలిగి ఉంటే మరియు అది x 0 పాయింట్ గుండా వెళుతున్నప్పుడు గుర్తును మార్చినట్లయితే, M(x 0 ;f(x 0)) ఒక ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్.

ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లను కనుగొనడానికి నియమం:

1) f""(x) ఉనికిలో లేని లేదా అదృశ్యమయ్యే పాయింట్లను కనుగొనండి.
2) మొదటి దశలో కనిపించే ప్రతి పాయింట్‌కి ఎడమ మరియు కుడి వైపున ఉన్న f""(x) గుర్తును పరిశీలించండి.
3) సిద్ధాంతం 4 ఆధారంగా, ఒక ముగింపును గీయండి.

ఉదాహరణ 20. y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు మరియు ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లను కనుగొనండి.

మనకు f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. సహజంగానే, f"(x)=0 ఉన్నప్పుడు x 1 =0, x 2 =1. పాయింట్ x=0 గుండా వెళుతున్నప్పుడు, ఉత్పన్నం గుర్తును మైనస్ నుండి ప్లస్‌కి మారుస్తుంది, కానీ పాయింట్ x=1 గుండా వెళుతున్నప్పుడు అది గుర్తును మార్చదు. దీని అర్థం x=0 అనేది కనిష్ట బిందువు (y నిమి =12), మరియు పాయింట్ x=1 వద్ద అంత్యాంశం లేదు. తరువాత, మేము కనుగొంటాము . రెండవ ఉత్పన్నం x 1 =1, x 2 =1/3 పాయింట్ల వద్ద అదృశ్యమవుతుంది. రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలు క్రింది విధంగా మారుతాయి: రే (-∞;)లో మనకు f""(x)>0, విరామం (;1)లో మనకు f""(x) ఉంటుంది.<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. కాబట్టి, x= అనేది ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ (కుంభాకారం నుండి పైకి కుంభాకారంగా మారడం) మరియు x=1 అనేది ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ (కుంభాకారం నుండి పైకి కుంభాకారం క్రిందికి మారడం). x= అయితే, y=; అయితే, x=1, y=13.

గ్రాఫ్ యొక్క లక్షణాన్ని కనుగొనడానికి అల్గోరిథం

I. y=f(x)ని x → aగా ఉంటే, అప్పుడు x=a అనేది నిలువు అసింప్టోట్.
II. y=f(x) x → ∞ లేదా x → -∞ అయితే, అప్పుడు y=A అనేది క్షితిజ సమాంతర లక్షణం.
III. ఏటవాలు లక్షణాన్ని కనుగొనడానికి, మేము క్రింది అల్గోరిథంను ఉపయోగిస్తాము:
1) లెక్కించండి. పరిమితి ఉనికిలో ఉండి మరియు bకి సమానంగా ఉంటే, y=b అనేది క్షితిజ సమాంతర లక్షణం; అయితే, రెండవ దశకు వెళ్లండి.
2) లెక్కించండి. ఈ పరిమితి ఉనికిలో లేకుంటే, ఏ లక్షణం లేదు; అది ఉనికిలో ఉండి మరియు k కి సమానంగా ఉంటే, మూడవ దశకు వెళ్లండి.
3) లెక్కించండి. ఈ పరిమితి ఉనికిలో లేకుంటే, ఏ లక్షణం లేదు; అది ఉనికిలో ఉండి మరియు bకి సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు నాల్గవ దశకు వెళ్లండి.
4) ఏటవాలు అసింప్టోట్ y=kx+b సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.

ఉదాహరణ 21: ఫంక్షన్ కోసం అసింప్టోట్‌ను కనుగొనండి

1)
2)
3)
4) ఏటవాలు అసింప్టోట్ యొక్క సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది

ఒక ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేయడానికి మరియు దాని గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి పథకం

I. ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి.
II. కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క ఖండన పాయింట్లను కనుగొనండి.
III. అసింప్టోట్‌లను కనుగొనండి.
IV. సాధ్యమైన తీవ్ర పాయింట్లను కనుగొనండి.
V. క్లిష్టమైన పాయింట్లను కనుగొనండి.
VI. సహాయక బొమ్మను ఉపయోగించి, మొదటి మరియు రెండవ ఉత్పన్నాల చిహ్నాన్ని అన్వేషించండి. పనితీరును పెంచే మరియు తగ్గించే ప్రాంతాలను నిర్ణయించండి, గ్రాఫ్ యొక్క కుంభాకార దిశను కనుగొనండి, విపరీత పాయింట్లు మరియు ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు.
VII. 1-6 పేరాల్లో నిర్వహించిన పరిశోధనను పరిగణనలోకి తీసుకుని గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి.

ఉదాహరణ 22: పై రేఖాచిత్రం ప్రకారం ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌ను రూపొందించండి

పరిష్కారం.
I. ఫంక్షన్ డొమైన్ అనేది x=1 మినహా అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సమితి.
II. x 2 +1=0 సమీకరణానికి అసలు మూలాలు లేవు కాబట్టి, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు ఆక్స్ అక్షంతో ఖండన బిందువులు లేవు, అయితే పాయింట్ (0;-1) వద్ద Oy అక్షాన్ని ఖండిస్తుంది.
III. అసింప్టోట్‌ల ఉనికి యొక్క ప్రశ్నను స్పష్టం చేద్దాం. డిస్‌కంటిన్యూటీ పాయింట్ x=1 దగ్గర ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తనను అధ్యయనం చేద్దాం. y → ∞ x → -∞, y → +∞ x → 1+ కాబట్టి, అప్పుడు సరళ రేఖ x=1 అనేది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క నిలువు లక్షణం.
x → +∞(x → -∞), అప్పుడు y → +∞(y → -∞); కాబట్టి, గ్రాఫ్‌కి క్షితిజ సమాంతర లక్షణాంశం లేదు. ఇంకా, పరిమితుల ఉనికి నుండి

x 2 -2x-1=0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తే మేము రెండు సాధ్యమైన ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లను పొందుతాము:
x 1 =1-√2 మరియు x 2 =1+√2

V. క్లిష్టమైన పాయింట్లను కనుగొనడానికి, మేము రెండవ ఉత్పన్నాన్ని గణిస్తాము:

f""(x) అదృశ్యం కానందున, క్లిష్టమైన పాయింట్లు లేవు.
VI. మొదటి మరియు రెండవ ఉత్పన్నాల చిహ్నాన్ని పరిశీలిద్దాం. పరిగణించవలసిన సాధ్యమైన ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు: x 1 =1-√2 మరియు x 2 =1+√2, ఫంక్షన్ ఉనికి యొక్క డొమైన్‌ను విరామాలుగా విభజించండి (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) మరియు (1+√2;+∞).

ఈ విరామాలలో ప్రతిదానిలో, ఉత్పన్నం దాని చిహ్నాన్ని కలిగి ఉంటుంది: మొదటిది - ప్లస్, రెండవది - మైనస్, మూడవది - ప్లస్. మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాల క్రమం క్రింది విధంగా వ్రాయబడుతుంది: +,-,+.
ఫంక్షన్ (-∞;1-√2) వద్ద పెరుగుతుంది, (1-√2;1+√2) వద్ద తగ్గుతుంది మరియు (1+√2;+∞) వద్ద మళ్లీ పెరుగుతుంది. ఎక్స్‌ట్రీమమ్ పాయింట్‌లు: గరిష్టంగా x=1-√2, మరియు f(1-√2)=2-2√2 కనిష్టంగా x=1+√2 వద్ద, మరియు f(1+√2)=2+2√2. (-∞;1) వద్ద గ్రాఫ్ పైకి కుంభాకారంగా ఉంటుంది మరియు (1;+∞) వద్ద అది కుంభాకారంగా క్రిందికి ఉంటుంది.
VII పొందిన విలువల పట్టికను తయారు చేద్దాం

VIII పొందిన డేటా ఆధారంగా, మేము ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ యొక్క స్కెచ్‌ను నిర్మిస్తాము

పని అవసరమైతే పూర్తి పరిశోధనఫంక్షన్ f (x) = x 2 4 x 2 - 1 దాని గ్రాఫ్ నిర్మాణంతో, మేము ఈ సూత్రాన్ని వివరంగా పరిశీలిస్తాము.

ఈ రకమైన సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మీరు ప్రధాన లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించాలి ప్రాథమిక విధులు. పరిశోధన అల్గోరిథం క్రింది దశలను కలిగి ఉంటుంది:

Yandex.RTB R-A-339285-1

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనడం

ఫంక్షన్ నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌పై పరిశోధన జరుగుతుంది కాబట్టి, ఈ దశతో ప్రారంభించడం అవసరం.

ఉదాహరణ 1

వెనుక ఈ ఉదాహరణ ODZ నుండి వాటిని మినహాయించడానికి హారం యొక్క సున్నాలను కనుగొనడంలో ఉంటుంది.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

ఫలితంగా, మీరు మూలాలు, లాగరిథమ్‌లు మొదలైనవాటిని పొందవచ్చు. అప్పుడు ODZ అసమానత g (x) ≥ 0 ద్వారా టైప్ g (x) 4 యొక్క సరి డిగ్రీ యొక్క మూలం కోసం శోధించబడుతుంది, లాగరిథమ్ కోసం g (x) అసమానత g (x) > 0 ద్వారా లాగ్ అవుతుంది.

ODZ యొక్క సరిహద్దులను అధ్యయనం చేయడం మరియు నిలువు అసమానతలను కనుగొనడం

ఫంక్షన్ యొక్క సరిహద్దుల వద్ద నిలువు అసమానతలు ఉన్నాయి, అటువంటి పాయింట్ల వద్ద ఒక-వైపు పరిమితులు అనంతంగా ఉన్నప్పుడు.

ఉదాహరణ 2

ఉదాహరణకు, x = ± 1 2కి సమానమైన సరిహద్దు పాయింట్లను పరిగణించండి.

అప్పుడు ఒక-వైపు పరిమితిని కనుగొనడానికి ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేయడం అవసరం. అప్పుడు మనకు ఇది వస్తుంది: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ లిమ్ x → - 1 2 + 0 f (x) = లిమ్ x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = లిమ్ x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ లిమ్ x → 1 2 - 0 f (x) = లిమ్ x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = లిమ్ x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ లిమ్ x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

ఇది ఏకపక్ష పరిమితులు అనంతం అని చూపిస్తుంది, అంటే సరళ రేఖలు x = ± 1 2 గ్రాఫ్ యొక్క నిలువు అసమానతలు.

ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనం మరియు అది సరి లేదా బేసి

షరతు y (- x) = y (x) సంతృప్తి చెందినప్పుడు, ఫంక్షన్ సమానంగా పరిగణించబడుతుంది. Oyకి సంబంధించి గ్రాఫ్ సుష్టంగా ఉందని ఇది సూచిస్తుంది. షరతు y (- x) = - y (x) సంతృప్తి చెందినప్పుడు, ఫంక్షన్ బేసిగా పరిగణించబడుతుంది. కోఆర్డినేట్‌ల మూలానికి సంబంధించిన సమరూపత అని దీని అర్థం. కనీసం ఒక అసమానత సంతృప్తి చెందకపోతే, మేము సాధారణ రూపం యొక్క విధిని పొందుతాము.

సమానత్వం y (- x) = y (x) ఫంక్షన్ సమానంగా ఉందని సూచిస్తుంది. నిర్మించేటప్పుడు, ఓయ్‌కి సంబంధించి సమరూపత ఉంటుందని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం.

అసమానతను పరిష్కరించడానికి, పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామాలు వరుసగా f " (x) ≥ 0 మరియు f " (x) ≤ 0 షరతులతో ఉపయోగించబడతాయి.

నిర్వచనం 1

స్టేషనరీ పాయింట్లు- ఇవి ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి మార్చే పాయింట్లు.

క్లిష్టమైన పాయింట్లు- ఇవి డెఫినిషన్ యొక్క డొమైన్ నుండి అంతర్గత పాయింట్లు, ఇక్కడ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం లేదా ఉనికిలో లేదు.

నిర్ణయం తీసుకునేటప్పుడు, ఈ క్రింది గమనికలను పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి:

• రూపం f " (x) > 0 యొక్క అసమానతలను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క ప్రస్తుత విరామాలకు, పరిష్కారంలో క్లిష్టమైన పాయింట్లు చేర్చబడలేదు;
• పరిమిత ఉత్పన్నం లేకుండా ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిన పాయింట్లు తప్పనిసరిగా పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామాలలో చేర్చబడాలి (ఉదాహరణకు, y = x 3, ఇక్కడ పాయింట్ x = 0 ఫంక్షన్‌ను నిర్వచిస్తుంది, ఉత్పన్నం ఈ వద్ద అనంతం విలువను కలిగి ఉంటుంది పాయింట్, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 పెరుగుతున్న విరామంలో చేర్చబడింది);
• వివాదాలను నివారించడానికి, దీనిని ఉపయోగించమని సిఫార్సు చేయబడింది గణిత సాహిత్యం, ఇది విద్యా మంత్రిత్వ శాఖ ద్వారా సిఫార్సు చేయబడింది.

ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే, పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామాలలో క్లిష్టమైన పాయింట్‌లను చేర్చడం.

నిర్వచనం 2

కోసం ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలను నిర్ణయించడం, దానిని కనుగొనడం అవసరం:

• ఉత్పన్నం;
• క్లిష్టమైన పాయింట్లు;
• క్లిష్టమైన పాయింట్లను ఉపయోగించి డెఫినిషన్ డొమైన్‌ను విరామాలుగా విభజించండి;
• ప్రతి వ్యవధిలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి, ఇక్కడ + అనేది పెరుగుదల మరియు - తగ్గుదల.

ఉదాహరణ 3

f " (x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 -) డొమైన్‌లో ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి 1) 2 .

పరిష్కారం

పరిష్కరించడానికి మీకు ఇది అవసరం:

• కనుగొనండి స్థిర బిందువులు, ఈ ఉదాహరణ x = 0;
• హారం యొక్క సున్నాలను కనుగొనండి, ఉదాహరణ x = ± 1 2 వద్ద సున్నా విలువను తీసుకుంటుంది.

ప్రతి విరామంలో ఉత్పన్నాన్ని నిర్ణయించడానికి మేము సంఖ్య రేఖపై పాయింట్లను ఉంచుతాము. ఇది చేయుటకు, విరామం నుండి ఏదైనా పాయింట్ తీసుకొని గణనను నిర్వహించడం సరిపోతుంది. వద్ద సానుకూల ఫలితంగ్రాఫ్‌లో మేము +ని వర్ణిస్తాము, అంటే ఫంక్షన్ పెరుగుతోంది మరియు - అంటే అది తగ్గుతోంది.

ఉదాహరణకు, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, అంటే ఎడమ వైపున ఉన్న మొదటి విరామంలో + గుర్తు ఉంటుంది. సంఖ్య రేఖపై పరిగణించండి.

సమాధానం:

• విరామంలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది - ∞; - 1 2 మరియు (- 1 2 ; 0 ] ;
• విరామంలో తగ్గుదల ఉంది [0; 1 2) మరియు 1 2 ; +∞ .

రేఖాచిత్రంలో, + మరియు - ఉపయోగించి, ఫంక్షన్ యొక్క సానుకూలత మరియు ప్రతికూలత వర్ణించబడ్డాయి మరియు బాణాలు తగ్గుదల మరియు పెరుగుదలను సూచిస్తాయి.

ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమమ్ పాయింట్లు ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిన పాయింట్లు మరియు దీని ద్వారా ఉత్పన్న మార్పులు సంకేతం.

ఉదాహరణ 4

x = 0 ఉన్న ఉదాహరణను పరిశీలిస్తే, దానిలోని ఫంక్షన్ విలువ f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0కి సమానం. ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం + నుండి - వరకు మారినప్పుడు మరియు పాయింట్ x = 0 గుండా వెళుతుంది, అప్పుడు కోఆర్డినేట్‌లతో ఉన్న పాయింట్ (0; 0) గరిష్ట బిందువుగా పరిగణించబడుతుంది. సంకేతం - నుండి +కి మారినప్పుడు, మేము కనీస పాయింట్‌ని పొందుతాము.

f "" (x) ≥ 0 మరియు f "" (x) ≤ 0 రూపాల అసమానతలను పరిష్కరించడం ద్వారా కుంభాకారం మరియు పుటాకారాలు నిర్ణయించబడతాయి. తక్కువ సాధారణంగా ఉపయోగించే పేరు కుంభాకారానికి బదులుగా కుంభాకారం క్రిందికి మరియు కుంభాకారానికి బదులుగా పైకి కుంభాకారంగా ఉంటుంది.

నిర్వచనం 3

కోసం పుటాకార మరియు కుంభాకార విరామాలను నిర్ణయించడంఅవసరం:

• రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి;
• రెండవ ఉత్పన్న ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలను కనుగొనండి;
• డెఫినిషన్ ప్రాంతాన్ని కనిపించే పాయింట్లతో విరామాలుగా విభజించండి;
• విరామం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి.

ఉదాహరణ 5

డెఫినిషన్ డొమైన్ నుండి రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క సున్నాలను కనుగొంటాము, ఇక్కడ మన ఉదాహరణలో హారం యొక్క సున్నాలు x = ± 1 2

ఇప్పుడు మీరు సంఖ్య రేఖపై పాయింట్లను ప్లాట్ చేయాలి మరియు ప్రతి విరామం నుండి రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించాలి. మేము దానిని పొందుతాము

సమాధానం:

• ఫంక్షన్ విరామం నుండి కుంభాకారంగా ఉంటుంది - 1 2 ; 12 ;
• ఫంక్షన్ విరామాల నుండి పుటాకారంగా ఉంటుంది - ∞ ; - 1 2 మరియు 1 2; +∞ .

నిర్వచనం 4

ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్– ఇది x 0 రూపం యొక్క పాయింట్; f (x 0) . ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ను కలిగి ఉన్నప్పుడు, అది x 0 గుండా వెళుతున్నప్పుడు, ఫంక్షన్ గుర్తును వ్యతిరేకానికి మారుస్తుంది.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది రెండవ డెరివేటివ్ పాస్ మరియు గుర్తును మార్చే పాయింట్, మరియు పాయింట్ల వద్ద అది సున్నాకి సమానం లేదా ఉనికిలో లేదు. అన్ని పాయింట్లు ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్‌గా పరిగణించబడతాయి.

ఉదాహరణలో, x = ± 1 2 పాయింట్ల గుండా వెళుతున్నప్పుడు రెండవ ఉత్పన్న మార్పుల సంకేతం కాబట్టి, ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు లేవని స్పష్టమైంది. వారు, క్రమంగా, నిర్వచనం యొక్క పరిధిలో చేర్చబడలేదు.

క్షితిజ సమాంతర మరియు ఏటవాలు అసమానతలను కనుగొనడం

అనంతం వద్ద ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించేటప్పుడు, మీరు క్షితిజ సమాంతర మరియు వాలుగా ఉన్న అసమానతల కోసం వెతకాలి.

నిర్వచనం 5

ఏటవాలు లక్షణములుసరళ రేఖలను ఉపయోగించి చిత్రీకరించబడ్డాయి, సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడింది y = k x + b, ఇక్కడ k = lim x → ∞ f (x) x మరియు b = lim x → ∞ f (x) - k x.

k = 0 మరియు b కోసం అనంతం సమానం కాదు, మేము ఏటవాలు అసిమ్ప్టోట్ అవుతుందని కనుగొన్నాము అడ్డంగా.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అసింప్టోట్‌లు ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అనంతం వద్ద చేరుకునే పంక్తులుగా పరిగణించబడతాయి. ఇది ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క శీఘ్ర నిర్మాణాన్ని సులభతరం చేస్తుంది.

లక్షణాలు లేనట్లయితే, ఫంక్షన్ రెండు అనంతాల వద్ద నిర్వచించబడితే, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఎలా ప్రవర్తిస్తుందో అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ అనంతాల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని లెక్కించడం అవసరం.

ఉదాహరణ 6

దానిని ఉదాహరణగా పరిశీలిద్దాం

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

క్షితిజ సమాంతర లక్షణము. ఫంక్షన్‌ను పరిశీలించిన తర్వాత, మీరు దానిని నిర్మించడం ప్రారంభించవచ్చు.

ఇంటర్మీడియట్ పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ విలువను గణించడం

గ్రాఫ్‌ను మరింత ఖచ్చితమైనదిగా చేయడానికి, ఇంటర్మీడియట్ పాయింట్ల వద్ద అనేక ఫంక్షన్ విలువలను కనుగొనడం మంచిది.

ఉదాహరణ 7

మేము పరిగణించిన ఉదాహరణ నుండి, x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను కనుగొనడం అవసరం. ఫంక్షన్ సమానంగా ఉన్నందున, విలువలు ఈ పాయింట్ల వద్ద ఉన్న విలువలతో సమానంగా ఉన్నాయని మేము పొందుతాము, అనగా, మనకు x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 లభిస్తాయి.

వ్రాసి పరిష్కరించుకుందాం:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

ఫంక్షన్, ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లు మరియు ఇంటర్మీడియట్ పాయింట్‌ల గరిష్ట మరియు కనిష్టాన్ని నిర్ణయించడానికి, అసింప్‌టోట్‌లను నిర్మించడం అవసరం. అనుకూలమైన హోదా కోసం, పెరుగుతున్న, తగ్గుతున్న, కుంభాకార మరియు పుటాకార విరామాలు నమోదు చేయబడతాయి. క్రింద ఉన్న చిత్రాన్ని చూద్దాం.

గుర్తించబడిన పాయింట్ల ద్వారా గ్రాఫ్ పంక్తులను గీయడం అవసరం, ఇది బాణాలను అనుసరించడం ద్వారా మీరు అసిప్టోట్‌లను చేరుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది.

ఇది ఫంక్షన్ యొక్క పూర్తి అన్వేషణను ముగించింది. రేఖాగణిత పరివర్తనాలు ఉపయోగించబడే కొన్ని ప్రాథమిక విధులను నిర్మించే సందర్భాలు ఉన్నాయి.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి