ఆన్‌లైన్‌లో అవకలన కాలిక్యులస్‌ని ఉపయోగించి ఫంక్షన్‌ను అన్వేషించండి. ఆన్‌లైన్‌లో పూర్తి ఫంక్షన్ స్టడీ ఉదాహరణ

మీ గోప్యతను కాపాడుకోవడం మాకు ముఖ్యం. ఈ కారణంగా, మేము మీ సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము మరియు నిల్వ చేస్తాము అని వివరించే గోప్యతా విధానాన్ని మేము అభివృద్ధి చేసాము. దయచేసి మా గోప్యతా పద్ధతులను సమీక్షించండి మరియు మీకు ఏవైనా ప్రశ్నలు ఉంటే మాకు తెలియజేయండి.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క సేకరణ మరియు ఉపయోగం

వ్యక్తిగత సమాచారం అనేది నిర్దిష్ట వ్యక్తిని గుర్తించడానికి లేదా సంప్రదించడానికి ఉపయోగించే డేటాను సూచిస్తుంది.

మీరు మమ్మల్ని సంప్రదించినప్పుడు ఎప్పుడైనా మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని అందించమని మిమ్మల్ని అడగవచ్చు.

మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచార రకాలు మరియు అటువంటి సమాచారాన్ని మేము ఎలా ఉపయోగించవచ్చో కొన్ని ఉదాహరణలు క్రింద ఉన్నాయి.

మేము ఏ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని సేకరిస్తాము:

• మీరు సైట్‌లో దరఖాస్తును సమర్పించినప్పుడు, మేము మీ పేరు, ఫోన్ నంబర్, ఇమెయిల్ చిరునామా మొదలైన వాటితో సహా వివిధ సమాచారాన్ని సేకరించవచ్చు.

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తాము:

• మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారం ప్రత్యేక ఆఫర్‌లు, ప్రమోషన్‌లు మరియు ఇతర ఈవెంట్‌లు మరియు రాబోయే ఈవెంట్‌లతో మిమ్మల్ని సంప్రదించడానికి మమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.
• ఎప్పటికప్పుడు, ముఖ్యమైన నోటీసులు మరియు కమ్యూనికేషన్‌లను పంపడానికి మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.
• మేము అందించే సేవలను మెరుగుపరచడానికి మరియు మా సేవలకు సంబంధించి మీకు సిఫార్సులను అందించడానికి ఆడిట్‌లు, డేటా విశ్లేషణ మరియు వివిధ పరిశోధనలను నిర్వహించడం వంటి అంతర్గత ప్రయోజనాల కోసం మేము వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.
• మీరు బహుమతి డ్రా, పోటీ లేదా ఇలాంటి ప్రమోషన్‌లో పాల్గొంటే, అటువంటి ప్రోగ్రామ్‌లను నిర్వహించడానికి మీరు అందించే సమాచారాన్ని మేము ఉపయోగించవచ్చు.

మూడవ పార్టీలకు సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడం

మేము మీ నుండి స్వీకరించిన సమాచారాన్ని మూడవ పక్షాలకు బహిర్గతం చేయము.

మినహాయింపులు:

• అవసరమైతే - చట్టం, న్యాయ ప్రక్రియ, చట్టపరమైన చర్యలలో, మరియు/లేదా రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క భూభాగంలోని ప్రభుత్వ అధికారుల నుండి పబ్లిక్ అభ్యర్థనలు లేదా అభ్యర్థనల ఆధారంగా - మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని బహిర్గతం చేయడానికి. భద్రత, చట్టాన్ని అమలు చేయడం లేదా ఇతర ప్రజా ప్రాముఖ్యత ప్రయోజనాల కోసం అటువంటి బహిర్గతం అవసరమని లేదా సముచితమని మేము నిర్ధారిస్తే మీ గురించిన సమాచారాన్ని కూడా మేము బహిర్గతం చేయవచ్చు.
• పునర్వ్యవస్థీకరణ, విలీనం లేదా విక్రయం జరిగినప్పుడు, మేము సేకరించే వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని వర్తించే మూడవ పక్షానికి బదిలీ చేయవచ్చు.

వ్యక్తిగత సమాచారం యొక్క రక్షణ

మేము మీ వ్యక్తిగత సమాచారాన్ని నష్టం, దొంగతనం మరియు దుర్వినియోగం నుండి అలాగే అనధికారిక యాక్సెస్, బహిర్గతం, మార్పులు మరియు విధ్వంసం నుండి రక్షించడానికి - అడ్మినిస్ట్రేటివ్, టెక్నికల్ మరియు ఫిజికల్‌తో సహా జాగ్రత్తలు తీసుకుంటాము.

కంపెనీ స్థాయిలో మీ గోప్యతను గౌరవించడం

మీ వ్యక్తిగత సమాచారం సురక్షితంగా ఉందని నిర్ధారించుకోవడానికి, మేము మా ఉద్యోగులకు గోప్యత మరియు భద్రతా ప్రమాణాలను తెలియజేస్తాము మరియు గోప్యతా పద్ధతులను ఖచ్చితంగా అమలు చేస్తాము.

\(y= \frac(x^3)(1-x) \) ఫంక్షన్‌ని అధ్యయనం చేసి, దాని గ్రాఫ్‌ను రూపొందిద్దాం.

1. నిర్వచనం యొక్క పరిధి.
హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్ (భిన్నం) యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ ఇలా ఉంటుంది: హారం సున్నాకి సమానం కాదు, అనగా. \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). డొమైన్ $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. ఫంక్షన్ బ్రేక్ పాయింట్లు మరియు వాటి వర్గీకరణ.
ఫంక్షన్‌కి ఒక బ్రేక్ పాయింట్ x = 1 ఉంది
x= 1 బిందువును పరిశీలిద్దాం. నిలిపివేత బిందువు యొక్క కుడి మరియు ఎడమ వైపున, కుడివైపు $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1) ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని కనుగొనండి. -x)) = -\infty $$ మరియు పాయింట్ యొక్క ఎడమవైపు $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ ఇది ఎందుకంటే ఇది రెండవ రకమైన నిలిపివేత స్థానం ఏకపక్ష పరిమితులు \(\infty\)కి ​​సమానం.

సరళ రేఖ \(x = 1\) నిలువుగా ఉండే లక్షణం.

3. ఫంక్షన్ సమానత్వం.
మేము సమానత్వం కోసం తనిఖీ చేస్తాము \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు.

4. ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలు (ఆక్స్ అక్షంతో ఖండన పాయింట్లు). ఫంక్షన్ యొక్క స్థిరమైన సంకేతం యొక్క విరామాలు.
ఫంక్షన్ సున్నాలు (ఆక్స్ అక్షంతో ఖండన స్థానం): మేము \(y=0\) సమం చేస్తాము, మనకు \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \) వస్తుంది. వక్రరేఖ అక్షాంశాలతో ఆక్స్ అక్షంతో ఒక ఖండన బిందువును కలిగి ఉంది \((0;0)\).

ఫంక్షన్ యొక్క స్థిరమైన సంకేతం యొక్క విరామాలు.
పరిగణించబడిన విరామాలలో \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) వక్రరేఖ ఆక్స్ అక్షంతో ఖండన యొక్క ఒక బిందువును కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి మేము నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను మూడు విరామాలలో పరిశీలిస్తాము.

డెఫినిషన్ డొమైన్ యొక్క వ్యవధిలో ఫంక్షన్ యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ధారిద్దాం:
విరామం \(-\infty; 0) \) ఏదైనా పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువను కనుగొనండి \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
విరామం \(0; 1) \) మేము ఫంక్షన్ యొక్క విలువను ఏ పాయింట్ వద్దనైనా కనుగొంటాము \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \), ఈ విరామంలో ఫంక్షన్ పాజిటివ్ \(f(x ) > 0 \), అనగా. ఆక్స్ అక్షం పైన ఉంది.
విరామం \((1;+\infty) \) ఏదైనా పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనండి \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Oy అక్షంతో ఖండన పాయింట్లు: మేము \(x=0\) సమం చేస్తాము, మనకు \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\) వస్తుంది. Oy అక్షంతో ఖండన బిందువు యొక్క కోఆర్డినేట్‌లు \((0; 0)\)

6. మార్పులేని విరామాలు. ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమా.
క్లిష్టమైన (స్థిరమైన) పాయింట్లను కనుగొనండి, దీని కోసం మనం మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని దానిని సున్నా $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1)కి సమం చేస్తాము -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ 0 $$ \frac(xకి సమానం ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ ఈ పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ విలువను కనుగొనండి \( f(0) = 0\) మరియు \(f(\frac(3)(2)) = -6.75\). మేము కోఆర్డినేట్‌లతో రెండు క్లిష్టమైన పాయింట్‌లను పొందాము \((0;0)\) మరియు \((1.5;-6.75)\)

ఏకాభిప్రాయం యొక్క విరామాలు.
ఫంక్షన్‌కు రెండు క్లిష్టమైన పాయింట్లు (సాధ్యమైన ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు) ఉన్నాయి, కాబట్టి మేము నాలుగు విరామాలలో మోనోటోనిసిటీని పరిశీలిస్తాము:
విరామం \(-\infty; 0) \) విరామంలో ఏదైనా పాయింట్ వద్ద మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనండి \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x )^2) >
విరామం \((0;1)\) మేము విరామం \(f(0.5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^లో ఏ సమయంలోనైనా మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొంటాము. 2) > 0\) , ఈ విరామంలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.
విరామం \((1;1.5)\) మేము విరామం \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^లో ఏ సమయంలోనైనా మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొంటాము. 2) > 0\) , ఈ విరామంలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.
విరామం \((1.5; +\infty)\) విరామంలో ఏదైనా పాయింట్ వద్ద మొదటి ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనండి \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమా.

ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మేము డెఫినిషన్ డొమైన్ యొక్క విరామంపై రెండు క్లిష్టమైన (స్టేషనరీ) పాయింట్‌లను పొందాము. అవి విపరీతంగా ఉన్నాయో లేదో తెలుసుకుందాం. క్లిష్టమైన పాయింట్ల ద్వారా ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నంలో మార్పును పరిశీలిద్దాం:

పాయింట్ \(x = 0\) డెరివేటివ్ మార్పుల సంకేతం \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\)తో - పాయింట్ అంత్యాంశం కాదు.
పాయింట్ \(x = 1.5\) డెరివేటివ్ మార్పుల సంకేతం \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) - పాయింట్ గరిష్ట పాయింట్.

7. కుంభాకార మరియు పుటాకార విరామాలు. ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు.

కుంభాకార మరియు పుటాకార విరామాలను కనుగొనడానికి, మేము ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొని దానిని సున్నాకి సమం చేస్తాము $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$సున్నాకి సమానం $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ అక్షాంశాలతో \((0;0)\) ఫంక్షన్ రెండవ రకమైన ఒక క్లిష్టమైన పాయింట్‌ను కలిగి ఉంది .
డెఫినిషన్ డొమైన్ యొక్క విరామాలలో కుంభాకారాన్ని నిర్వచిద్దాం, రెండవ రకమైన (సాధ్యమైన ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ యొక్క పాయింట్) యొక్క క్లిష్టమైన పాయింట్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము.

విరామం \(-\infty; 0)\) ఏదైనా పాయింట్ వద్ద రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనండి \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
విరామం \((0; 1)\) మేము ఏదైనా పాయింట్ వద్ద రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొంటాము \(f""(0.5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), ఈ విరామంలో ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నం సానుకూలంగా ఉంటుంది \(f""(x) > 0 \) ఫంక్షన్ కుంభాకారంగా క్రిందికి (కుంభాకార) ఉంటుంది.
విరామం \((1; \infty)\) ఏదైనా పాయింట్ వద్ద రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క విలువను కనుగొనండి \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు.

రెండవ రకానికి చెందిన క్లిష్టమైన పాయింట్ గుండా వెళుతున్నప్పుడు రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతంలో మార్పును పరిశీలిద్దాం:
\(x =0\) పాయింట్ వద్ద, \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\)తో రెండవ ఉత్పన్న మార్పుల సంకేతం, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ కుంభాకారాన్ని మారుస్తుంది, అనగా. ఇది కోఆర్డినేట్‌లతో ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్ \((0;0)\).

8. అసింప్టోట్స్.

నిలువు అసిప్టోట్. ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌లో ఒక నిలువు అసింప్టోట్ \(x =1\) ఉంది (పేరా 2 చూడండి).
వాలుగా ఉండే లక్షణం.
\(x \to \infty\) వద్ద ఫంక్షన్ \(y= \frac(x^3)(1-x) \) యొక్క గ్రాఫ్‌కు వాలుగా ఉన్న అసింప్టోట్ \(y = kx+b\) , ఇది అవసరం మరియు సరిపోతుంది , కాబట్టి రెండు పరిమితులు $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$ మేము దానిని కనుగొన్నాము $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x))) = \infty => k= \infty $$ మరియు రెండవ పరిమితి $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, ఎందుకంటే \(k = \infty\) - వాలుగా ఉండే లక్షణం లేదు.

క్షితిజ సమాంతర లక్షణం:క్షితిజ సమాంతర లక్షణం ఉండాలంటే, $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ పరిమితి ఉండటం అవసరం $$ \lim_(x \to +\infty) )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ infty$$
క్షితిజ సమాంతర లక్షణము లేదు.

9. ఫంక్షన్ గ్రాఫ్.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనం స్పష్టమైన పథకం ప్రకారం నిర్వహించబడుతుంది మరియు విద్యార్థికి నిర్వచనం మరియు విలువల డొమైన్, ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు, అసింప్టోట్, ఎక్స్‌ట్రీమ్ పాయింట్‌లు, సమానత్వం, ఆవర్తనత మొదలైన ప్రాథమిక గణిత శాస్త్రాల గురించి దృఢమైన జ్ఞానం అవసరం. . విద్యార్థి తప్పనిసరిగా విధులను స్వేచ్ఛగా వేరు చేయగలగాలి మరియు సమీకరణాలను పరిష్కరించగలడు, ఇది కొన్నిసార్లు చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది.

అంటే, ఈ పని విజ్ఞానం యొక్క ముఖ్యమైన పొరను పరీక్షిస్తుంది, సరైన పరిష్కారాన్ని పొందడంలో ఏదైనా గ్యాప్ అడ్డంకిగా మారుతుంది. ముఖ్యంగా తరచుగా, ఫంక్షన్ల గ్రాఫ్‌లను నిర్మించడంలో ఇబ్బందులు తలెత్తుతాయి. ఈ పొరపాటు ఉపాధ్యాయునికి తక్షణమే గుర్తించబడుతుంది మరియు మిగతావన్నీ సరిగ్గా చేసినప్పటికీ, మీ గ్రేడ్‌ను బాగా దెబ్బతీస్తుంది. ఇక్కడ మీరు కనుగొనవచ్చు ఆన్‌లైన్ ఫంక్షన్ పరిశోధన సమస్యలు: అధ్యయన ఉదాహరణలు, డౌన్‌లోడ్ పరిష్కారాలు, ఆర్డర్ అసైన్‌మెంట్‌లు.

ఫంక్షన్‌ను అన్వేషించండి మరియు గ్రాఫ్‌ను ప్లాట్ చేయండి: ఆన్‌లైన్‌లో ఉదాహరణలు మరియు పరిష్కారాలు

మేము మీ కోసం చాలా రెడీమేడ్ ఫంక్షన్ అధ్యయనాలను సిద్ధం చేసాము, రెండూ సొల్యూషన్ బుక్‌లో చెల్లించబడతాయి మరియు ఫంక్షన్ అధ్యయనాల ఉదాహరణలు విభాగంలో ఉచితం. ఈ పరిష్కరించబడిన టాస్క్‌ల ఆధారంగా, మీరు ఇలాంటి పనులను నిర్వహించడానికి పద్దతి గురించి వివరంగా తెలుసుకోవచ్చు మరియు సారూప్యత ద్వారా మీ పరిశోధనను నిర్వహించగలరు.

మేము పూర్తి పరిశోధన మరియు అత్యంత సాధారణ రకాల ఫంక్షన్‌ల ప్లాట్‌కి సంబంధించిన రెడీమేడ్ ఉదాహరణలను అందిస్తున్నాము: బహుపదాలు, పాక్షిక-హేతుబద్ధమైన, అహేతుకమైన, ఘాతాంక, లాగరిథమిక్, త్రికోణమితి విధులు. ప్రతి పరిష్కరించబడిన సమస్య హైలైట్ చేయబడిన కీలక పాయింట్లు, అసింప్టోట్‌లు, మాగ్జిమా మరియు మినిమాతో రెడీమేడ్ గ్రాఫ్‌తో కలిసి ఉంటుంది; ఫంక్షన్‌ని అధ్యయనం చేయడానికి అల్గారిథమ్‌ని ఉపయోగించి పరిష్కారం నిర్వహించబడుతుంది.

ఏ సందర్భంలోనైనా, పరిష్కరించబడిన ఉదాహరణలు మీకు బాగా సహాయపడతాయి, ఎందుకంటే అవి అత్యంత జనాదరణ పొందిన ఫంక్షన్‌లను కవర్ చేస్తాయి. ఇప్పటికే పరిష్కరించబడిన వందలాది సమస్యలను మేము మీకు అందిస్తున్నాము, అయితే, మీకు తెలిసినట్లుగా, ప్రపంచంలో అనంతమైన గణిత విధులు ఉన్నాయి మరియు పేద విద్యార్థుల కోసం మరింత గమ్మత్తైన పనులను కనిపెట్టడంలో ఉపాధ్యాయులు గొప్ప నిపుణులు. కాబట్టి, ప్రియమైన విద్యార్థులారా, అర్హత కలిగిన సహాయం మిమ్మల్ని బాధించదు.

కస్టమ్ ఫంక్షన్ పరిశోధన సమస్యలను పరిష్కరించడం

ఈ సందర్భంలో, మా భాగస్వాములు మీకు మరొక సేవను అందిస్తారు - పూర్తి ఫంక్షన్ పరిశోధన ఆన్‌లైన్ఆజ్ఞాపించుటకు. అటువంటి సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అల్గోరిథం కోసం అన్ని అవసరాలకు అనుగుణంగా మీ కోసం పని పూర్తవుతుంది, ఇది మీ గురువును బాగా సంతోషపరుస్తుంది.

మేము మీ కోసం ఫంక్షన్ యొక్క పూర్తి అధ్యయనం చేస్తాము: మేము నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మరియు విలువల డొమైన్‌ను కనుగొంటాము, కొనసాగింపు మరియు నిలిపివేత కోసం పరిశీలిస్తాము, సమానత్వాన్ని ఏర్పాటు చేస్తాము, ఆవర్తన కోసం మీ ఫంక్షన్‌ను తనిఖీ చేయండి మరియు కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో ఖండన బిందువులను కనుగొంటాము. . మరియు, వాస్తవానికి, అవకలన కాలిక్యులస్‌ని ఉపయోగించడం ద్వారా: మేము అసిమ్ప్టోట్‌లను కనుగొంటాము, ఎక్స్‌ట్రీమా, ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లను లెక్కించి, గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము.

సమస్య దాని గ్రాఫ్ నిర్మాణంతో f (x) = x 2 4 x 2 - 1 ఫంక్షన్ యొక్క పూర్తి అధ్యయనం అవసరమైతే, మేము ఈ సూత్రాన్ని వివరంగా పరిశీలిస్తాము.

ఈ రకమైన సమస్యను పరిష్కరించడానికి, మీరు ప్రాథమిక ప్రాథమిక ఫంక్షన్ల లక్షణాలు మరియు గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించాలి. పరిశోధన అల్గోరిథం క్రింది దశలను కలిగి ఉంటుంది:

Yandex.RTB R-A-339285-1

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనడం

ఫంక్షన్ నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌పై పరిశోధన జరుగుతుంది కాబట్టి, ఈ దశతో ప్రారంభించడం అవసరం.

ఉదాహరణ 1

ODZ నుండి వాటిని మినహాయించడానికి హారం యొక్క సున్నాలను కనుగొనడం ఇవ్వబడిన ఉదాహరణ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

ఫలితంగా, మీరు మూలాలు, లాగరిథమ్‌లు మొదలైనవాటిని పొందవచ్చు. అప్పుడు ODZ అసమానత g (x) ≥ 0 ద్వారా టైప్ g (x) 4 యొక్క సరి డిగ్రీ యొక్క మూలం కోసం శోధించవచ్చు, లాగరిథమ్ కోసం g (x) అసమానత g (x) > 0 ద్వారా లాగ్ అవుతుంది.

ODZ యొక్క సరిహద్దులను అధ్యయనం చేయడం మరియు నిలువు అసమానతలను కనుగొనడం

ఫంక్షన్ యొక్క సరిహద్దుల వద్ద నిలువు అసమానతలు ఉన్నాయి, అటువంటి పాయింట్ల వద్ద ఒక-వైపు పరిమితులు అనంతంగా ఉన్నప్పుడు.

ఉదాహరణ 2

ఉదాహరణకు, x = ± 1 2కి సమానమైన సరిహద్దు పాయింట్లను పరిగణించండి.

అప్పుడు ఒక-వైపు పరిమితిని కనుగొనడానికి ఫంక్షన్‌ను అధ్యయనం చేయడం అవసరం. అప్పుడు మనకు ఇది వస్తుంది: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ లిమ్ x → - 1 2 + 0 f (x) = లిమ్ x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = లిమ్ x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ లిమ్ x → 1 2 - 0 f (x) = లిమ్ x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = లిమ్ x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ లిమ్ x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

ఇది ఏకపక్ష పరిమితులు అనంతం అని చూపిస్తుంది, అంటే సరళ రేఖలు x = ± 1 2 గ్రాఫ్ యొక్క నిలువు అసమానతలు.

ఫంక్షన్ యొక్క అధ్యయనం మరియు అది సరి లేదా బేసి

షరతు y (- x) = y (x) సంతృప్తి చెందినప్పుడు, ఫంక్షన్ సమానంగా పరిగణించబడుతుంది. Oyకి సంబంధించి గ్రాఫ్ సుష్టంగా ఉందని ఇది సూచిస్తుంది. షరతు y (- x) = - y (x) సంతృప్తి చెందినప్పుడు, ఫంక్షన్ బేసిగా పరిగణించబడుతుంది. కోఆర్డినేట్‌ల మూలానికి సంబంధించిన సమరూపత అని దీని అర్థం. కనీసం ఒక అసమానత సంతృప్తి చెందకపోతే, మేము సాధారణ రూపం యొక్క విధిని పొందుతాము.

సమానత్వం y (- x) = y (x) ఫంక్షన్ సమానంగా ఉందని సూచిస్తుంది. నిర్మించేటప్పుడు, ఓయ్‌కి సంబంధించి సమరూపత ఉంటుందని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం.

అసమానతను పరిష్కరించడానికి, పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామాలు వరుసగా f " (x) ≥ 0 మరియు f " (x) ≤ 0 షరతులతో ఉపయోగించబడతాయి.

నిర్వచనం 1

స్టేషనరీ పాయింట్లు- ఇవి ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి మార్చే పాయింట్లు.

క్లిష్టమైన పాయింట్లు- ఇవి డెఫినిషన్ యొక్క డొమైన్ నుండి అంతర్గత పాయింట్లు, ఇక్కడ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సున్నాకి సమానం లేదా ఉనికిలో లేదు.

నిర్ణయం తీసుకునేటప్పుడు, ఈ క్రింది గమనికలను పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి:

• రూపం f " (x) > 0 యొక్క అసమానతలను పెంచడం మరియు తగ్గించడం యొక్క ప్రస్తుత విరామాల కోసం, క్లిష్టమైన పాయింట్లు పరిష్కారంలో చేర్చబడలేదు;
• పరిమిత ఉత్పన్నం లేకుండా ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిన పాయింట్లు తప్పనిసరిగా పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామాలలో చేర్చబడాలి (ఉదాహరణకు, y = x 3, ఇక్కడ పాయింట్ x = 0 ఫంక్షన్‌ను నిర్వచిస్తుంది, ఉత్పన్నం ఈ వద్ద అనంతం విలువను కలిగి ఉంటుంది పాయింట్, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 పెరుగుతున్న విరామంలో చేర్చబడింది);
• విభేదాలను నివారించడానికి, విద్యా మంత్రిత్వ శాఖ సిఫార్సు చేసిన గణిత సాహిత్యాన్ని ఉపయోగించమని సిఫార్సు చేయబడింది.

ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే, పెరుగుతున్న మరియు తగ్గే విరామాలలో క్లిష్టమైన పాయింట్‌లను చేర్చడం.

నిర్వచనం 2

కోసం ఫంక్షన్ యొక్క పెరుగుదల మరియు తగ్గుదల యొక్క విరామాలను నిర్ణయించడం, దానిని కనుగొనడం అవసరం:

• ఉత్పన్నం;
• క్లిష్టమైన పాయింట్లు;
• క్లిష్టమైన పాయింట్లను ఉపయోగించి డెఫినిషన్ డొమైన్‌ను విరామాలుగా విభజించండి;
• ప్రతి వ్యవధిలో ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి, ఇక్కడ + అనేది పెరుగుదల మరియు - తగ్గుదల.

ఉదాహరణ 3

f " (x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 -) డొమైన్‌లో ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి 1) 2 .

పరిష్కారం

పరిష్కరించడానికి మీకు ఇది అవసరం:

• స్థిర బిందువులను కనుగొనండి, ఈ ఉదాహరణ x = 0;
• హారం యొక్క సున్నాలను కనుగొనండి, ఉదాహరణ x = ± 1 2 వద్ద సున్నా విలువను తీసుకుంటుంది.

ప్రతి విరామంలో ఉత్పన్నాన్ని నిర్ణయించడానికి మేము సంఖ్య రేఖపై పాయింట్లను ఉంచుతాము. ఇది చేయుటకు, విరామం నుండి ఏదైనా పాయింట్ తీసుకొని గణనను నిర్వహించడం సరిపోతుంది. ఫలితం సానుకూలంగా ఉంటే, మేము గ్రాఫ్‌లో +ని వర్ణిస్తాము, అంటే ఫంక్షన్ పెరుగుతోంది మరియు - అది తగ్గుతోందని అర్థం.

ఉదాహరణకు, f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, అంటే ఎడమ వైపున ఉన్న మొదటి విరామంలో + గుర్తు ఉంటుంది. సంఖ్య రేఖపై పరిగణించండి.

సమాధానం:

• విరామంలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది - ∞; - 1 2 మరియు (- 1 2 ; 0 ] ;
• విరామంలో తగ్గుదల ఉంది [0; 1 2) మరియు 1 2 ; +∞ .

రేఖాచిత్రంలో, + మరియు - ఉపయోగించి, ఫంక్షన్ యొక్క సానుకూలత మరియు ప్రతికూలత వర్ణించబడ్డాయి మరియు బాణాలు తగ్గుదల మరియు పెరుగుదలను సూచిస్తాయి.

ఫంక్షన్ యొక్క ఎక్స్‌ట్రీమమ్ పాయింట్లు ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిన పాయింట్లు మరియు దీని ద్వారా ఉత్పన్న మార్పులు సంకేతం.

ఉదాహరణ 4

x = 0 ఉన్న ఉదాహరణను పరిశీలిస్తే, దానిలోని ఫంక్షన్ విలువ f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0కి సమానం. ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతం + నుండి - వరకు మారినప్పుడు మరియు పాయింట్ x = 0 గుండా వెళుతుంది, అప్పుడు కోఆర్డినేట్‌లతో ఉన్న పాయింట్ (0; 0) గరిష్ట బిందువుగా పరిగణించబడుతుంది. సంకేతం - నుండి +కి మారినప్పుడు, మేము కనీస పాయింట్‌ని పొందుతాము.

f "" (x) ≥ 0 మరియు f "" (x) ≤ 0 రూపాల అసమానతలను పరిష్కరించడం ద్వారా కుంభాకారం మరియు పుటాకారాలు నిర్ణయించబడతాయి. తక్కువ సాధారణంగా ఉపయోగించే పేరు కుంభాకారానికి బదులుగా కుంభాకారం క్రిందికి మరియు కుంభాకారానికి బదులుగా పైకి కుంభాకారంగా ఉంటుంది.

నిర్వచనం 3

కోసం పుటాకార మరియు కుంభాకార విరామాలను నిర్ణయించడంఅవసరం:

• రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి;
• రెండవ ఉత్పన్న ఫంక్షన్ యొక్క సున్నాలను కనుగొనండి;
• డెఫినిషన్ ప్రాంతాన్ని కనిపించే పాయింట్లతో విరామాలుగా విభజించండి;
• విరామం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించండి.

ఉదాహరణ 5

డెఫినిషన్ డొమైన్ నుండి రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి.

పరిష్కారం

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క సున్నాలను కనుగొంటాము, ఇక్కడ మన ఉదాహరణలో హారం యొక్క సున్నాలు x = ± 1 2

ఇప్పుడు మీరు సంఖ్య రేఖపై పాయింట్లను ప్లాట్ చేయాలి మరియు ప్రతి విరామం నుండి రెండవ ఉత్పన్నం యొక్క చిహ్నాన్ని నిర్ణయించాలి. మేము దానిని పొందుతాము

సమాధానం:

• ఫంక్షన్ విరామం నుండి కుంభాకారంగా ఉంటుంది - 1 2 ; 12 ;
• ఫంక్షన్ విరామాల నుండి పుటాకారంగా ఉంటుంది - ∞ ; - 1 2 మరియు 1 2; +∞ .

నిర్వచనం 4

ఇన్ఫ్లెక్షన్ పాయింట్– ఇది x 0 రూపం యొక్క పాయింట్; f (x 0) . ఇది ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్‌కు టాంజెంట్‌ను కలిగి ఉన్నప్పుడు, అది x 0 గుండా వెళుతున్నప్పుడు, ఫంక్షన్ గుర్తును వ్యతిరేకానికి మారుస్తుంది.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, ఇది రెండవ డెరివేటివ్ పాస్ మరియు గుర్తును మార్చే పాయింట్, మరియు పాయింట్ల వద్ద అది సున్నాకి సమానం లేదా ఉనికిలో లేదు. అన్ని పాయింట్లు ఫంక్షన్ యొక్క డొమైన్‌గా పరిగణించబడతాయి.

ఉదాహరణలో, x = ± 1 2 పాయింట్ల గుండా వెళుతున్నప్పుడు రెండవ ఉత్పన్న మార్పుల సంకేతం కాబట్టి, ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్లు లేవని స్పష్టమైంది. వారు, క్రమంగా, నిర్వచనం యొక్క పరిధిలో చేర్చబడలేదు.

క్షితిజ సమాంతర మరియు ఏటవాలు అసమానతలను కనుగొనడం

అనంతం వద్ద ఫంక్షన్‌ను నిర్వచించేటప్పుడు, మీరు క్షితిజ సమాంతర మరియు వాలుగా ఉన్న అసమానతల కోసం వెతకాలి.

నిర్వచనం 5

ఏటవాలు లక్షణములు y = k x + b అనే సమీకరణం ద్వారా అందించబడిన సరళ రేఖలను ఉపయోగించి చిత్రించబడ్డాయి, ఇక్కడ k = lim x → ∞ f (x) x మరియు b = lim x → ∞ f (x) - k x.

k = 0 మరియు b కోసం అనంతం సమానం కాదు, మేము ఏటవాలు అసిమ్ప్టోట్ అవుతుందని కనుగొన్నాము అడ్డంగా.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, అసింప్టోట్‌లు ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ అనంతం వద్ద చేరుకునే పంక్తులుగా పరిగణించబడతాయి. ఇది ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క శీఘ్ర నిర్మాణాన్ని సులభతరం చేస్తుంది.

లక్షణాలు లేనట్లయితే, ఫంక్షన్ రెండు అనంతాల వద్ద నిర్వచించబడితే, ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ఎలా ప్రవర్తిస్తుందో అర్థం చేసుకోవడానికి ఈ అనంతాల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని లెక్కించడం అవసరం.

ఉదాహరణ 6

దానిని ఉదాహరణగా పరిశీలిద్దాం

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

క్షితిజ సమాంతర లక్షణము. ఫంక్షన్‌ను పరిశీలించిన తర్వాత, మీరు దానిని నిర్మించడం ప్రారంభించవచ్చు.

ఇంటర్మీడియట్ పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ విలువను గణించడం

గ్రాఫ్‌ను మరింత ఖచ్చితమైనదిగా చేయడానికి, ఇంటర్మీడియట్ పాయింట్ల వద్ద అనేక ఫంక్షన్ విలువలను కనుగొనడం మంచిది.

ఉదాహరణ 7

మేము పరిగణించిన ఉదాహరణ నుండి, x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4 పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను కనుగొనడం అవసరం. ఫంక్షన్ సమానంగా ఉన్నందున, విలువలు ఈ పాయింట్ల వద్ద ఉన్న విలువలతో సమానంగా ఉన్నాయని మేము పొందుతాము, అనగా, మనకు x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4 లభిస్తాయి.

వ్రాసి పరిష్కరించుకుందాం:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

ఫంక్షన్, ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లు మరియు ఇంటర్మీడియట్ పాయింట్‌ల గరిష్ట మరియు కనిష్టాన్ని నిర్ణయించడానికి, అసింప్‌టోట్‌లను నిర్మించడం అవసరం. అనుకూలమైన హోదా కోసం, పెరుగుతున్న, తగ్గుతున్న, కుంభాకార మరియు పుటాకార విరామాలు నమోదు చేయబడతాయి. క్రింద ఉన్న చిత్రాన్ని చూద్దాం.

గుర్తించబడిన పాయింట్ల ద్వారా గ్రాఫ్ పంక్తులను గీయడం అవసరం, ఇది బాణాలను అనుసరించడం ద్వారా మీరు అసిప్టోట్‌లను చేరుకోవడానికి అనుమతిస్తుంది.

ఇది ఫంక్షన్ యొక్క పూర్తి అన్వేషణను ముగించింది. రేఖాగణిత పరివర్తనాలు ఉపయోగించబడే కొన్ని ప్రాథమిక విధులను నిర్మించే సందర్భాలు ఉన్నాయి.

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

పూర్తి అధ్యయనాన్ని నిర్వహించి, ఫంక్షన్‌ను గ్రాఫ్ చేయండి

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) ఫంక్షన్ యొక్క పరిధి. ఫంక్షన్ భిన్నం కాబట్టి, మేము హారం యొక్క సున్నాలను కనుగొనాలి.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

మేము ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి x=1x=1 అనే ఏకైక పాయింట్‌ను మినహాయించి, పొందండి:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) డిస్‌కంటిన్యూటీ పాయింట్‌కి సమీపంలో ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తనను అధ్యయనం చేద్దాం. ఏకపక్ష పరిమితులను కనుగొనండి:

పరిమితులు అనంతానికి సమానం కాబట్టి, బిందువు x=1x=1 రెండవ రకం యొక్క నిలిపివేత, సరళ రేఖ x=1x=1 ఒక నిలువు అసమానత.

3) కోఆర్డినేట్ అక్షాలతో ఫంక్షన్ గ్రాఫ్ యొక్క ఖండన పాయింట్లను గుర్తించండి.

ఆర్డినేట్ యాక్సిస్ OyOyతో ఖండన బిందువులను కనుగొనండి, దీని కోసం మనం x=0x=0ని సమం చేస్తాము:

అందువలన, OyOy అక్షంతో ఖండన బిందువు కోఆర్డినేట్‌లను కలిగి ఉంటుంది (0;8)(0;8).

abscissa axis OxOxతో ఖండన బిందువులను కనుగొనండి, దీని కోసం మనం y=0y=0 సెట్ చేస్తాము:

సమీకరణానికి మూలాలు లేవు, కాబట్టి OxOx అక్షంతో ఖండన పాయింట్లు లేవు.

ఏదైనా xx కోసం x2+8>0x2+8>0 అని గమనించండి. కాబట్టి, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), ఫంక్షన్ y>0y>0 (ధనాత్మక విలువలను తీసుకుంటుంది, గ్రాఫ్ x-అక్షం పైన ఉంటుంది), x∈(1;+∞ కోసం )x∈(1; +∞) ఫంక్షన్ y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) ఫంక్షన్ సరి లేదా బేసి కాదు ఎందుకంటే:

5) ఆవర్తన కోసం ఫంక్షన్‌ని పరిశీలిద్దాం. ఫంక్షన్ ఆవర్తన కాదు, ఎందుకంటే ఇది పాక్షిక హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్.

6) ఎక్స్‌ట్రీమా మరియు మోనోటోనిసిటీ కోసం ఫంక్షన్‌ని పరిశీలిద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము ఫంక్షన్ యొక్క మొదటి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:

మొదటి ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి సమం చేసి, స్థిర బిందువులను (ఇందులో y′=0y′=0) కనుగొనండి:

మాకు మూడు క్లిష్టమైన పాయింట్లు వచ్చాయి: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌ను ఈ పాయింట్‌లతో విరామాలుగా విభజిద్దాము మరియు ప్రతి విరామంలో ఉత్పన్నం యొక్క సంకేతాలను నిర్ణయిస్తాము:

x∈(-−∞;−2),(4;+∞)x∈(-−∞;−2),(4;+∞) ఉత్పన్నం y′ కోసం<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) ఉత్పన్నం y′>0y′>0 కోసం, ఈ విరామాలలో ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది.

ఈ సందర్భంలో, x=−2x=−2 అనేది స్థానిక కనిష్ట బిందువు (ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది మరియు పెరుగుతుంది), x=4x=4 అనేది స్థానిక గరిష్ట బిందువు (ఫంక్షన్ పెరుగుతుంది మరియు తగ్గుతుంది).

ఈ పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క విలువలను కనుగొనండి:

అందువలన, కనిష్ట పాయింట్ (-2;4)(-2;4), గరిష్ట పాయింట్ (4;-8)(4;-8).

7) కింక్స్ మరియు కుంభాకారం కోసం ఫంక్షన్‌ని పరిశీలిద్దాం. ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

రెండవ ఉత్పన్నాన్ని సున్నాకి సమం చేద్దాం:

ఫలిత సమీకరణానికి మూలాలు లేవు, కాబట్టి ఇన్‌ఫ్లెక్షన్ పాయింట్‌లు లేవు. అంతేకాకుండా, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 సంతృప్తి చెందినప్పుడు, అంటే, ఫంక్షన్ పుటాకారంగా ఉన్నప్పుడు, x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) y′′ ద్వారా సంతృప్తి చెందింది<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) అనంతం వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తనను పరిశీలిద్దాం, అంటే వద్ద.

పరిమితులు అనంతం కాబట్టి, క్షితిజ సమాంతర లక్షణాలు లేవు.

y=kx+by=kx+b రూపం యొక్క ఏటవాలు అసమానతలను గుర్తించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మేము తెలిసిన సూత్రాలను ఉపయోగించి k,bk,b విలువలను గణిస్తాము:

ఫంక్షన్‌కు ఒక వాలుగా ఉండే అసింప్టోట్ y=−x−1y=−x−1 ఉందని మేము కనుగొన్నాము.

9) అదనపు పాయింట్లు. గ్రాఫ్‌ను మరింత ఖచ్చితంగా నిర్మించడానికి కొన్ని ఇతర పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ విలువను గణిద్దాం.

y(-5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=-12;y(7)=-9.5.

10) పొందిన డేటా ఆధారంగా, మేము ఒక గ్రాఫ్‌ను నిర్మిస్తాము, దానిని x=1x=1 (నీలం), y=-x−1y=-x−1 (ఆకుపచ్చ) అనే అసింప్‌టోట్‌లతో భర్తీ చేస్తాము మరియు లక్షణ బిందువులను (ఆర్డినేట్‌తో ఊదా ఖండన) గుర్తు చేస్తాము. అక్షం, ఆరెంజ్ ఎక్స్‌ట్రీమా, నలుపు అదనపు పాయింట్లు) :

టాస్క్ 4: రేఖాగణిత, ఆర్థిక సమస్యలు (నాకు ఏమి తెలియదు, పరిష్కారాలు మరియు సూత్రాలతో ఉన్న సమస్యల యొక్క సుమారు ఎంపిక ఇక్కడ ఉంది)

ఉదాహరణ 3.23. a

పరిష్కారం. xమరియు వై వై
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4 మాత్రమే కీలకమైన పాయింట్ కాబట్టి, ఈ పాయింట్ గుండా వెళుతున్నప్పుడు ఉత్పన్నం యొక్క గుర్తు మారుతుందో లేదో చూద్దాం. xa/4 S " > 0, మరియు x >a/4 S " కోసం< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

ఉదాహరణ 3.24.

పరిష్కారం.
R = 2, H = 16/4 = 4.

ఉదాహరణ 3.22. f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రతను కనుగొనండి.

పరిష్కారం. f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​-2)(x - 3), అప్పుడు x 1 = 2 మరియు x 2 = 3 ఫంక్షన్ యొక్క క్లిష్టమైన పాయింట్లు. ఎక్స్‌ట్రీమా ఇక్కడ మాత్రమే ఉంటుంది ఈ పాయింట్లు x 1 = 2 పాయింట్ గుండా వెళుతున్నప్పుడు ఉత్పన్నం దాని చిహ్నాన్ని ప్లస్ నుండి మైనస్‌కి మారుస్తుంది, ఈ సమయంలో ఫంక్షన్ గరిష్టంగా ఉంటుంది. అదనంగా, కాబట్టి x 2 = 3 పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ కనిష్టంగా ఉంటుంది. పాయింట్ల వద్ద ఫంక్షన్ విలువలను లెక్కించిన తర్వాత
x 1 = 2 మరియు x 2 = 3, మేము ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రతను కనుగొంటాము: గరిష్ట f(2) = 14 మరియు కనిష్ట f(3) = 13.

ఉదాహరణ 3.23.రాతి గోడకు సమీపంలో ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార ప్రాంతాన్ని నిర్మించడం అవసరం, తద్వారా మూడు వైపులా వైర్ మెష్తో కంచె వేయబడుతుంది మరియు నాల్గవ వైపు గోడకు ఆనుకొని ఉంటుంది. దీని కోసం ఉంది aమెష్ యొక్క లీనియర్ మీటర్లు. సైట్ ఏ కారక నిష్పత్తిలో అతిపెద్ద విస్తీర్ణాన్ని కలిగి ఉంటుంది?

పరిష్కారం.ప్లాట్‌ఫారమ్ యొక్క భుజాలను దీని ద్వారా సూచిస్తాము xమరియు వై. సైట్ యొక్క ప్రాంతం S = xy. వీలు వై- ఇది గోడకు ప్రక్కనే ఉన్న వైపు పొడవు. అప్పుడు, షరతు ప్రకారం, సమానత్వం 2x + y = తప్పనిసరిగా పట్టుకోవాలి. కాబట్టి y = a - 2x మరియు S = x(a - 2x), ఎక్కడ
0 ≤ x ≤ a/2 (ప్యాడ్ యొక్క పొడవు మరియు వెడల్పు ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు). S " = a - 4x, a - 4x = 0 వద్ద x = a/4, ఎక్కడ నుండి
y = a - 2×a/4 =a/2. x = a/4 మాత్రమే కీలకమైన పాయింట్ కాబట్టి, ఈ పాయింట్ గుండా వెళుతున్నప్పుడు ఉత్పన్నం యొక్క గుర్తు మారుతుందో లేదో చూద్దాం. xa/4 S " > 0, మరియు x >a/4 S " కోసం< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

ఉదాహరణ 3.24. V=16p ≈ 50 m 3 సామర్థ్యంతో క్లోజ్డ్ స్థూపాకార ట్యాంక్‌ను ఉత్పత్తి చేయడం అవసరం. ట్యాంక్ యొక్క కొలతలు (వ్యాసార్థం R మరియు ఎత్తు H) ఏ విధంగా ఉండాలి, తద్వారా దాని తయారీకి తక్కువ మొత్తంలో పదార్థం ఉపయోగించబడుతుంది?

పరిష్కారం.సిలిండర్ యొక్క మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం S = 2pR(R+H). సిలిండర్ V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 యొక్క వాల్యూమ్ మాకు తెలుసు. దీని అర్థం S(R) = 2p(R 2 +16/R). మేము ఈ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 కోసం R 3 = 8, కాబట్టి,
R = 2, H = 16/4 = 4.

సంబంధించిన సమాచారం.