విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలు - పరిష్కారాల ఉదాహరణలు. విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాల ఉత్పన్నం

పట్టిక యొక్క మొదటి ఫార్ములాను పొందినప్పుడు, మేము ఒక పాయింట్ వద్ద ఉత్పన్న ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం నుండి కొనసాగుతాము. ఎక్కడికి తీసుకుందాం x- ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య, అంటే, x- ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం డొమైన్ నుండి ఏదైనా సంఖ్య. ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ నిష్పత్తి యొక్క పరిమితిని ఇక్కడ వ్రాస్దాము:

పరిమితి సంకేతం క్రింద వ్యక్తీకరణ పొందబడిందని గమనించాలి, ఇది సున్నాతో విభజించబడిన సున్నా యొక్క అనిశ్చితి కాదు, ఎందుకంటే న్యూమరేటర్ అనంతమైన విలువను కలిగి ఉండదు, కానీ ఖచ్చితంగా సున్నా. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, స్థిరమైన ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ ఎల్లప్పుడూ సున్నాగా ఉంటుంది.

ఈ విధంగా, స్థిరమైన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నంనిర్వచనం యొక్క మొత్తం డొమైన్‌లో సున్నాకి సమానం.

పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం.

ఉత్పన్న సూత్రం శక్తి ఫంక్షన్కనిపిస్తోంది , ఇక్కడ ఘాతాంకం p- ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య.

ముందుగా సహజ ఘాతాంకం కోసం సూత్రాన్ని నిరూపిద్దాం, అంటే p = 1, 2, 3, …

మేము ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము. పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ మరియు ఆర్గ్యుమెంట్ యొక్క ఇంక్రిమెంట్ నిష్పత్తి యొక్క పరిమితిని వ్రాస్దాము:

న్యూమరేటర్‌లోని వ్యక్తీకరణను సులభతరం చేయడానికి, మేము న్యూటన్ ద్విపద సూత్రాన్ని ఆశ్రయిస్తాము:

అందుకే,

ఇది సహజ ఘాతాంకం కోసం పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క సూత్రాన్ని రుజువు చేస్తుంది.

ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం.

మేము నిర్వచనం ఆధారంగా ఉత్పన్న సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని ప్రదర్శిస్తాము:

మేము అనిశ్చితికి చేరుకున్నాము. దీన్ని విస్తరించడానికి, మేము కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేస్తాము మరియు వద్ద . అప్పుడు . చివరి మార్పులో, మేము కొత్త సంవర్గమాన స్థావరానికి పరివర్తన కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించాము.

అసలు పరిమితిని భర్తీ చేద్దాం:

మీరు రెండవది గుర్తుంచుకుంటే అద్భుతమైన పరిమితి, అప్పుడు మేము ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రాన్ని చేరుకుంటాము:

లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం.

అందరి కోసం సంవర్గమాన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రాన్ని నిరూపిద్దాం xనిర్వచనం యొక్క డొమైన్ మరియు బేస్ యొక్క అన్ని చెల్లుబాటు అయ్యే విలువల నుండి aసంవర్గమానం ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం మేము కలిగి ఉన్నాము:

మీరు గమనించినట్లుగా, రుజువు సమయంలో లాగరిథమ్ యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగించి పరివర్తనాలు జరిగాయి. సమానత్వం రెండవ విశేషమైన పరిమితి కారణంగా ఇది నిజం.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలు.

త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాల కోసం సూత్రాలను పొందేందుకు, మేము కొన్ని త్రికోణమితి సూత్రాలను, అలాగే మొదటి విశేషమైన పరిమితిని గుర్తుకు తెచ్చుకోవాలి.

మేము కలిగి ఉన్న సైన్ ఫంక్షన్ కోసం ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం .

సైన్స్ ఫార్ములా తేడాను ఉపయోగించుకుందాం:

ఇది మొదటి విశేషమైన పరిమితికి మారడానికి మిగిలి ఉంది:

అందువలన, ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం పాపం xఉంది కాస్ x.

కొసైన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క సూత్రం సరిగ్గా అదే విధంగా నిరూపించబడింది.

కాబట్టి, ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కాస్ xఉంది -పాపం x.

మేము నిరూపితమైన భేద నియమాలను (ఒక భిన్నం యొక్క ఉత్పన్నం) ఉపయోగించి టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ కోసం ఉత్పన్నాల పట్టిక కోసం సూత్రాలను పొందుతాము.

హైపర్బోలిక్ ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలు.

భేదం యొక్క నియమాలు మరియు ఉత్పన్నాల పట్టిక నుండి ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క సూత్రం హైపర్బోలిక్ సైన్, కొసైన్, టాంజెంట్ మరియు కోటాంజెంట్ యొక్క ఉత్పన్నాల కోసం సూత్రాలను పొందేందుకు అనుమతిస్తుంది.

విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం.

ప్రెజెంటేషన్ సమయంలో గందరగోళాన్ని నివారించడానికి, భేదం ప్రదర్శించబడే ఫంక్షన్ యొక్క వాదనను సబ్‌స్క్రిప్ట్‌లో సూచిస్తాము, అంటే ఇది ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం f(x)ద్వారా x.

ఇప్పుడు సూత్రీకరించండి ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనే నియమం విలోమ ఫంక్షన్.

విధులను అనుమతించండి y = f(x)మరియు x = g(y)పరస్పరం విలోమం, విరామాలపై మరియు వరుసగా నిర్వచించబడింది. ఒక పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క పరిమిత సున్నా కాని ఉత్పన్నం ఉంటే f(x), అప్పుడు పాయింట్ వద్ద విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క పరిమిత ఉత్పన్నం ఉంటుంది g(y), మరియు . మరొక పోస్ట్‌లో .

ఈ నియమాన్ని దేనికైనా సంస్కరించవచ్చు xవిరామం నుండి, అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది .

ఈ ఫార్ములాల చెల్లుబాటును తనిఖీ చేద్దాం.

సహజ సంవర్గమానం కోసం విలోమ ఫంక్షన్‌ను కనుగొనండి (ఇక్కడ వైఒక ఫంక్షన్, మరియు x- వాదన). కోసం ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించారు x, మనకు లభిస్తుంది (ఇక్కడ xఒక ఫంక్షన్, మరియు వై- ఆమె వాదన). అంటే, మరియు పరస్పర విలోమ విధులు.

ఉత్పన్నాల పట్టిక నుండి మనం దానిని చూస్తాము మరియు .

విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నాలను కనుగొనే సూత్రాలు అదే ఫలితాలకు దారితీస్తాయని నిర్ధారించుకోండి:

సైన్ - sin(x) యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రం యొక్క రుజువు మరియు ఉత్పన్నం అందించబడింది. సిన్ 2x, సైన్ స్క్వేర్డ్ మరియు క్యూబ్డ్ డెరివేటివ్‌లను లెక్కించడానికి ఉదాహరణలు. nth ఆర్డర్ సైన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రం యొక్క ఉత్పన్నం.

x యొక్క సైన్ నుండి వేరియబుల్ xకి సంబంధించి ఉత్పన్నం x యొక్క కొసైన్‌కి సమానం:
(sin x)′ = cos x.

రుజువు

సైన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రాన్ని పొందేందుకు, మేము ఉత్పన్నం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము:
.

ఈ పరిమితిని కనుగొనడానికి, మేము వ్యక్తీకరణను తెలిసిన చట్టాలు, లక్షణాలు మరియు నియమాలకు తగ్గించే విధంగా మార్చాలి. ఇది చేయాలంటే మనం నాలుగు లక్షణాలను తెలుసుకోవాలి.
1) మొదటి విశేషమైన పరిమితి యొక్క అర్థం:
(1) ;
2) కొసైన్ ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు:
(2) ;
3) త్రికోణమితి సూత్రాలు. మాకు ఈ క్రింది ఫార్ములా అవసరం:
(3) ;
4) ఆస్తి పరిమితి:
ఉంటే మరియు, అప్పుడు
(4) .

ఈ నిబంధనలను మన పరిమితికి వర్తింపజేద్దాం. మొదట మేము బీజగణిత వ్యక్తీకరణను మారుస్తాము
.
దీన్ని చేయడానికి మేము సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము
(3) .
మా విషయంలో
; . అప్పుడు
;
;
;
.

ఇప్పుడు ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం. వద్ద , .
.

అదే ప్రత్యామ్నాయాన్ని చేద్దాం మరియు కొనసాగింపు యొక్క ఆస్తిని ఉపయోగిస్తాము (2):
.

పైన లెక్కించిన పరిమితులు ఉన్నందున, మేము ఆస్తిని (4) వర్తింపజేస్తాము:

.

సైన్ యొక్క ఉత్పన్నం యొక్క సూత్రం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణలు

పరిగణలోకి తీసుకుందాం సాధారణ ఉదాహరణలుసైన్ కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాలను కనుగొనడం. యొక్క ఉత్పన్నాలను మేము కనుగొంటాము క్రింది విధులు:
y = పాపం 2x; y= పాపం 2 xమరియు y = పాపం 3 x.

ఉదాహరణ 1

యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి పాపం 2x.

పరిష్కారం

మొదట, సరళమైన భాగం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
మేము దరఖాస్తు చేస్తాము.
.
ఇక్కడ .

సమాధానం

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

ఉదాహరణ 2

సైన్ స్క్వేర్డ్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:
y= పాపం 2 x.

పరిష్కారం

అసలు ఫంక్షన్‌ను మరింత అర్థమయ్యే రూపంలో తిరిగి వ్రాస్దాం:
.
సరళమైన భాగం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:
.
ఉత్పన్న సూత్రాన్ని వర్తింపజేయండి క్లిష్టమైన ఫంక్షన్.

.
ఇక్కడ .

మీరు త్రికోణమితి సూత్రాలలో ఒకదానిని వర్తింపజేయవచ్చు. అప్పుడు
.

సమాధానం

ఉదాహరణ 3

సైన్ క్యూబ్డ్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:
y= పాపం 3 x.

హయ్యర్ ఆర్డర్ డెరివేటివ్స్

యొక్క ఉత్పన్నం అని గమనించండి పాపం xమొదటి క్రమాన్ని సైన్ ద్వారా ఈ క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు:
.

సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి:

.
ఇక్కడ .

ఇప్పుడు మనం ఆ భేదాన్ని గమనించవచ్చు పాపం xద్వారా దాని వాదన పెరగడానికి కారణమవుతుంది. అప్పుడు nవ ఆర్డర్ ఉత్పన్నం రూపం కలిగి ఉంటుంది:
(5) .

పద్ధతిని ఉపయోగించి దీన్ని రుజువు చేద్దాం గణిత ప్రేరణ.

కోసం ఫార్ములా (5) చెల్లుబాటు అవుతుందని మేము ఇప్పటికే తనిఖీ చేసాము.

ఫార్ములా (5) ఒక నిర్దిష్ట విలువకు చెల్లుబాటు అవుతుందని అనుకుందాం. దీని నుండి సూత్రం (5) సంతృప్తి చెందిందని నిరూపిద్దాం.

ఫార్ములా (5)ని ఇక్కడ వ్రాద్దాం:
.
సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌ని వేరు చేయడానికి నియమాన్ని ఉపయోగించి మేము ఈ సమీకరణాన్ని వేరు చేస్తాము:

.
ఇక్కడ .
కాబట్టి మేము కనుగొన్నాము:
.
మనం ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, ఈ ఫార్ములా ఫారమ్ (5)ని తీసుకుంటుంది.

సూత్రం నిరూపించబడింది.

విలోమాల ఉత్పన్నాలు ప్రదర్శించబడ్డాయి త్రికోణమితి విధులుమరియు వాటి సూత్రాల ఉత్పన్నం. అధిక ఆర్డర్ డెరివేటివ్‌ల కోసం ఎక్స్‌ప్రెషన్‌లు కూడా ఇవ్వబడ్డాయి. మరిన్ని ఉన్న పేజీలకు లింక్‌లు వివరణాత్మక ప్రకటనఅవుట్పుట్ సూత్రాలు.

మొదట, మేము ఆర్క్సిన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రాన్ని పొందుతాము. వీలు
y= ఆర్క్సిన్ x.
ఆర్క్సిన్ అనేది సైన్ యొక్క విలోమ ఫంక్షన్ కాబట్టి, అప్పుడు
.
ఇక్కడ y అనేది x యొక్క ఫంక్షన్. వేరియబుల్ xకి సంబంధించి భేదం చూపండి:
.
మేము దరఖాస్తు చేస్తాము:
.
కాబట్టి మేము కనుగొన్నాము:
.

ఎందుకంటే , అప్పుడు. అప్పుడు
.
మరియు మునుపటి ఫార్ములా రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:
. ఇక్కడనుంచి
.

సరిగ్గా ఈ విధంగా, మీరు ఆర్క్ కొసైన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం సూత్రాన్ని పొందవచ్చు. అయినప్పటికీ, విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్లకు సంబంధించిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం సులభం:
.
అప్పుడు
.

"ఆర్క్సిన్ మరియు ఆర్కోసిన్ యొక్క ఉత్పన్నాల ఉత్పన్నం" పేజీలో మరింత వివరణాత్మక వివరణ అందించబడింది. ఇవ్వబడింది రెండు విధాలుగా ఉత్పన్నాల ఉత్పన్నం- పైన చర్చించబడింది మరియు విలోమ ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం సూత్రం ప్రకారం.

ఆర్క్టాంజెంట్ మరియు ఆర్కోటాంజెంట్ యొక్క ఉత్పన్నాల ఉత్పన్నం

అదే విధంగా మనం ఆర్క్టాంజెంట్ మరియు ఆర్కోటాంజెంట్ యొక్క ఉత్పన్నాలను కనుగొంటాము.

వీలు
y= ఆర్క్టాన్ x.
ఆర్క్టాంజెంట్ అనేది టాంజెంట్ యొక్క విలోమ ఫంక్షన్:
.
వేరియబుల్ xకి సంబంధించి భేదం చూపండి:
.
సంక్లిష్ట ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం కోసం మేము సూత్రాన్ని వర్తింపజేస్తాము:
.
కాబట్టి మేము కనుగొన్నాము:
.

ఆర్క్ కోటాంజెంట్ యొక్క ఉత్పన్నం:
.

ఆర్క్సిన్ ఉత్పన్నాలు

వీలు
.
మేము ఇప్పటికే ఆర్క్సైన్ యొక్క మొదటి-ఆర్డర్ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొన్నాము:
.
వేరు చేయడం ద్వారా, మేము రెండవ-ఆర్డర్ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొంటాము:
;
.
ఇది క్రింది రూపంలో కూడా వ్రాయవచ్చు:
.
ఇక్కడ నుండి మేము పొందుతాము అవకలన సమీకరణం, ఇది మొదటి మరియు రెండవ ఆర్డర్‌ల ఆర్క్సిన్ ఉత్పన్నాల ద్వారా సంతృప్తి చెందుతుంది:
.

ఈ సమీకరణాన్ని వేరు చేయడం ద్వారా, మేము అధిక ఆర్డర్ ఉత్పన్నాలను కనుగొనవచ్చు.

nth ఆర్డర్ యొక్క ఆర్క్సిన్ యొక్క ఉత్పన్నం

ఆర్డర్ n యొక్క ఆర్క్సైన్ యొక్క ఉత్పన్నం ఉంది తదుపరి వీక్షణ:
,
డిగ్రీ యొక్క బహుపది ఎక్కడ ఉంది. ఇది సూత్రాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:
;
.
ఇక్కడ .

బహుపది అవకలన సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది:
.

nth ఆర్డర్ యొక్క ఆర్కోసిన్ యొక్క ఉత్పన్నం

ఆర్క్ కొసైన్ కోసం ఉత్పన్నాలు త్రికోణమితి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి ఆర్క్ సైన్ కోసం ఉత్పన్నాల నుండి పొందబడతాయి:
.
కాబట్టి, ఈ ఫంక్షన్ల యొక్క ఉత్పన్నాలు గుర్తులో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి:
.

ఆర్క్టాంజెంట్ యొక్క ఉత్పన్నాలు

వీలు . మేము మొదటి ఆర్డర్ యొక్క ఆర్క్ కోటాంజెంట్ యొక్క ఉత్పన్నాన్ని కనుగొన్నాము:
.

భిన్నాన్ని దాని సరళమైన రూపంలోకి విచ్ఛిన్నం చేద్దాం:

.
ఇక్కడ ఊహాత్మక యూనిట్ ఉంది, .

మేము ఒకసారి వేరు చేసి, భిన్నాన్ని సాధారణ హారంకి తీసుకువస్తాము:

.

ప్రత్యామ్నాయం, మేము పొందుతాము:
.

nవ క్రమం యొక్క ఆర్క్టాంజెంట్ యొక్క ఉత్పన్నం

అందువలన, nవ క్రమం యొక్క ఆర్క్టాంజెంట్ యొక్క ఉత్పన్నం అనేక విధాలుగా సూచించబడుతుంది:
;
.

ఆర్క్ కోటాంజెంట్ యొక్క ఉత్పన్నాలు

అది ఇప్పుడు ఉండనివ్వండి. విలోమ త్రికోణమితి ఫంక్షన్లను అనుసంధానించే సూత్రాన్ని వర్తింపజేద్దాం:
.
అప్పుడు ఆర్క్ టాంజెంట్ యొక్క nవ ఆర్డర్ ఉత్పన్నం ఆర్క్ టాంజెంట్ యొక్క ఉత్పన్నం నుండి గుర్తులో మాత్రమే భిన్నంగా ఉంటుంది:
.

ప్రత్యామ్నాయం , మేము కనుగొంటాము:
.

ప్రస్తావనలు:
ఎన్.ఎం. గుంటర్, ఆర్.ఓ. కుజ్మిన్, సమస్యల సేకరణ ఉన్నత గణితం, "లాన్", 2003.