పరిమితుల సిద్ధాంతం గణిత విశ్లేషణ యొక్క శాఖలలో ఒకటి. పరిమితులను పరిష్కరించే ప్రశ్న చాలా విస్తృతమైనది, ఎందుకంటే వివిధ రకాల పరిమితులను పరిష్కరించడానికి డజన్ల కొద్దీ పద్ధతులు ఉన్నాయి. ఈ లేదా ఆ పరిమితిని పరిష్కరించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే డజన్ల కొద్దీ సూక్ష్మ నైపుణ్యాలు మరియు ఉపాయాలు ఉన్నాయి. అయినప్పటికీ, ఆచరణలో ఎక్కువగా ఎదుర్కొనే పరిమితుల యొక్క ప్రధాన రకాలను అర్థం చేసుకోవడానికి మేము ఇప్పటికీ ప్రయత్నిస్తాము.
పరిమితి అనే భావనతో ప్రారంభిద్దాం. కానీ ముందుగా, సంక్షిప్త చారిత్రక నేపథ్యం. 19వ శతాబ్దంలో అగస్టిన్ లూయిస్ కౌచీ అనే ఫ్రెంచ్ వ్యక్తి నివసించాడు, అతను మతాన్ యొక్క అనేక భావనలకు ఖచ్చితమైన నిర్వచనాలు ఇచ్చాడు మరియు దాని పునాదులు వేశాడు. ఈ గౌరవనీయమైన గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు భౌతిక శాస్త్రం మరియు గణిత శాస్త్ర విభాగాల విద్యార్థులందరి పీడకలలలో ఉన్నాడు, ఉన్నాడు మరియు ఉంటాడని చెప్పాలి, ఎందుకంటే అతను గణిత విశ్లేషణ యొక్క భారీ సంఖ్యలో సిద్ధాంతాలను నిరూపించాడు మరియు ఒక సిద్ధాంతం మరొకదాని కంటే ప్రాణాంతకం. ఈ విషయంలో, మేము ఇంకా పరిగణించము కౌచీ పరిమితిని నిర్ణయించడం, అయితే రెండు పనులు చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం:
1. పరిమితి అంటే ఏమిటో అర్థం చేసుకోండి.
2. పరిమితుల యొక్క ప్రధాన రకాలను పరిష్కరించడం నేర్చుకోండి.
కొన్ని అశాస్త్రీయ వివరణలకు నేను క్షమాపణలు కోరుతున్నాను, టీపాట్‌కు కూడా పదార్థం అర్థమయ్యేలా ఉండటం ముఖ్యం, వాస్తవానికి ఇది ప్రాజెక్ట్ యొక్క పని.
కాబట్టి పరిమితి ఏమిటి?
మరియు బామ్మను ఎందుకు షాగీ చేయాలి అనేదానికి ఒక ఉదాహరణ.
ఏదైనా పరిమితి మూడు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది:
1) బాగా తెలిసిన పరిమితి చిహ్నం.
2) పరిమితి చిహ్నం క్రింద నమోదులు, ఈ సందర్భంలో . ఎంట్రీలో "X ఒకదానితో ఒకటి ఉంటుంది." చాలా తరచుగా - ఖచ్చితంగా, ఆచరణలో “X” కి బదులుగా ఇతర వేరియబుల్స్ ఉన్నప్పటికీ. ఆచరణాత్మక పనులలో, ఒకరి స్థానం ఖచ్చితంగా ఏదైనా సంఖ్య కావచ్చు, అలాగే అనంతం ().
3) పరిమితి గుర్తు కింద విధులు, ఈ సందర్భంలో .
రికార్డింగ్ కూడా 
ఇలా చదువుతుంది: "x ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి ఐక్యతను కలిగి ఉంటుంది."
తదుపరి ముఖ్యమైన ప్రశ్నను చూద్దాం - “x” వ్యక్తీకరణకు అర్థం ఏమిటి? కృషి చేస్తుందిఒకరికి"? మరియు "ప్రయత్నించు" అంటే ఏమిటి?
పరిమితి యొక్క భావన ఒక భావన, మాట్లాడటానికి, డైనమిక్. ఒక క్రమాన్ని రూపొందిద్దాం: మొదట , తరువాత , …, 
, ….
అంటే, “x కృషి చేస్తుందిఒకరికి” ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకోవాలి: “x” స్థిరంగా విలువలను తీసుకుంటుంది ఇది ఐక్యతను సమీపిస్తుంది మరియు ఆచరణాత్మకంగా దానితో సమానంగా ఉంటుంది.
పై ఉదాహరణను ఎలా పరిష్కరించాలి? పైన పేర్కొన్నదాని ఆధారంగా, మీరు పరిమితి గుర్తు క్రింద ఫంక్షన్‌లో ఒకదాన్ని భర్తీ చేయాలి:
కాబట్టి, మొదటి నియమం: ఏదైనా పరిమితిని ఇచ్చినప్పుడు, ముందుగా మనం ఫంక్షన్‌లో నంబర్‌ను ప్లగ్ చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము.
మేము సరళమైన పరిమితిని పరిగణించాము, కానీ ఇవి ఆచరణలో కూడా జరుగుతాయి మరియు చాలా అరుదుగా కాదు!
అనంతం తో ఉదాహరణ:
అది ఏమిటో తెలుసుకుందాం? ఇది పరిమితి లేకుండా పెరిగినప్పుడు ఇది జరుగుతుంది, అంటే: మొదట, ఆపై, ఆపై, ఆపై, మరియు ప్రకటన అనంతం.
ఈ సమయంలో ఫంక్షన్‌కు ఏమి జరుగుతుంది?
, , 
, …
కాబట్టి: ఉంటే , అప్పుడు ఫంక్షన్ మైనస్ అనంతానికి ఉంటుంది:
స్థూలంగా చెప్పాలంటే, మన మొదటి నియమం ప్రకారం, “X”కి బదులుగా మేము అనంతాన్ని ఫంక్షన్‌లో భర్తీ చేస్తాము మరియు సమాధానాన్ని పొందుతాము.
అనంతంతో మరొక ఉదాహరణ:
మళ్ళీ మేము అనంతం వరకు పెరగడం ప్రారంభించాము మరియు ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తనను చూడండి: 
ముగింపు: ఫంక్షన్ పరిమితి లేకుండా పెరిగినప్పుడు:
మరియు మరొక ఉదాహరణల శ్రేణి:
దయచేసి మీ కోసం క్రింది వాటిని మానసికంగా విశ్లేషించడానికి ప్రయత్నించండి మరియు సరళమైన పరిమితుల రకాలను గుర్తుంచుకోండి:
, , , , 
, , , , 
,
ఎక్కడైనా సందేహాలుంటే కాలిక్యులేటర్ తీసుకుని కొంచెం ప్రాక్టీస్‌ చేయవచ్చు.
ఆ సందర్భంలో, క్రమాన్ని నిర్మించడానికి ప్రయత్నించండి , . అయితే , అప్పుడు , , .
! గమనిక: ఖచ్చితంగా చెప్పాలంటే, అనేక సంఖ్యల క్రమాలను నిర్మించే ఈ విధానం తప్పు, కానీ సరళమైన ఉదాహరణలను అర్థం చేసుకోవడానికి ఇది చాలా సరిఅయినది.
కింది విషయంపై కూడా శ్రద్ధ వహించండి. ఎగువన పెద్ద సంఖ్యతో పరిమితి ఇచ్చినా, లేదా మిలియన్‌తో ఉన్నప్పటికీ: , అప్పుడు అన్నీ ఒకే విధంగా ఉంటాయి 
, త్వరలో లేదా తరువాత “X” అటువంటి భారీ విలువలను పొందడం ప్రారంభిస్తుంది కాబట్టి పోల్చితే మిలియన్ నిజమైన సూక్ష్మజీవి అవుతుంది.
పై నుండి మీరు ఏమి గుర్తుంచుకోవాలి మరియు అర్థం చేసుకోవాలి?
1) ఏదైనా పరిమితిని ఇచ్చినప్పుడు, ముందుగా మనం ఫంక్షన్‌లో నంబర్‌ను ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము.
2) మీరు అర్థం చేసుకోవాలి మరియు వెంటనే సరళమైన పరిమితులను పరిష్కరించాలి 
, , మొదలైనవి
అంతేకాకుండా, పరిమితి చాలా మంచి రేఖాగణిత అర్థాన్ని కలిగి ఉంది. అంశంపై మెరుగైన అవగాహన కోసం, మీరు బోధనా సామగ్రిని చదవమని నేను సిఫార్సు చేస్తున్నాను ప్రాథమిక విధుల గ్రాఫ్‌లు మరియు లక్షణాలు. ఈ కథనాన్ని చదివిన తర్వాత, మీరు పరిమితి అంటే ఏమిటో చివరకు అర్థం చేసుకోవడమే కాకుండా, సాధారణంగా ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి ఉన్నప్పుడు ఆసక్తికరమైన కేసులతో పరిచయం పొందుతారు. ఉనికిలో లేదు!
ఆచరణలో, దురదృష్టవశాత్తు, కొన్ని బహుమతులు ఉన్నాయి. అందువల్ల మేము మరింత క్లిష్టమైన పరిమితులను పరిగణలోకి తీసుకుంటాము. మార్గం ద్వారా, ఈ అంశంపై ఉంది ఇంటెన్సివ్ కోర్సు pdf ఆకృతిలో, మీరు సిద్ధం చేయడానికి చాలా తక్కువ సమయం ఉన్నట్లయితే ఇది ప్రత్యేకంగా ఉపయోగపడుతుంది. కానీ సైట్ పదార్థాలు, అధ్వాన్నంగా లేవు:
ఇప్పుడు మేము పరిమితుల సమూహాన్ని ఎప్పుడు పరిశీలిస్తాము మరియు ఫంక్షన్ అనేది ఒక భిన్నం, దీని లవం మరియు హారం బహుపదిలను కలిగి ఉంటాయి
ఉదాహరణ:
పరిమితిని లెక్కించండి 
మా నియమం ప్రకారం, మేము ఫంక్షన్‌లో అనంతాన్ని భర్తీ చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము. ఎగువన మనం ఏమి పొందుతాము? అనంతం. మరియు క్రింద ఏమి జరుగుతుంది? అలాగే అనంతం. అందువలన, మేము జాతుల అనిశ్చితి అని పిలుస్తారు. అని ఒకరు అనుకోవచ్చు , మరియు సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది, కానీ సాధారణ సందర్భంలో ఇది అస్సలు కాదు మరియు కొన్ని పరిష్కార సాంకేతికతను వర్తింపజేయడం అవసరం, దానిని మనం ఇప్పుడు పరిశీలిస్తాము.
ఈ రకమైన పరిమితులను ఎలా పరిష్కరించాలి?
మొదట మనం న్యూమరేటర్‌ని చూస్తాము మరియు అత్యధిక శక్తిని కనుగొంటాము: 
న్యూమరేటర్‌లో ప్రధాన శక్తి రెండు.
ఇప్పుడు మేము హారంని చూస్తాము మరియు దానిని అత్యధిక శక్తికి కూడా కనుగొంటాము: 
హారం యొక్క అత్యధిక డిగ్రీ రెండు.
అప్పుడు మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క అత్యధిక శక్తిని ఎంచుకుంటాము: ఈ ఉదాహరణలో, అవి ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు రెండింటికి సమానంగా ఉంటాయి.
కాబట్టి, పరిష్కార పద్ధతి క్రింది విధంగా ఉంటుంది: అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి, అత్యధిక శక్తితో న్యూమరేటర్ మరియు హారంను విభజించడం అవసరం.
ఇక్కడ ఇది సమాధానం, మరియు అనంతం కాదు.
నిర్ణయం రూపకల్పనలో ప్రాథమికంగా ముఖ్యమైనది ఏమిటి?
ముందుగా, మేము అనిశ్చితిని సూచిస్తాము, ఏదైనా ఉంటే.
రెండవది, ఇంటర్మీడియట్ వివరణల కోసం పరిష్కారానికి అంతరాయం కలిగించడం మంచిది. నేను సాధారణంగా గుర్తును ఉపయోగిస్తాను, దీనికి గణిత శాస్త్ర అర్థం లేదు, కానీ ఇంటర్మీడియట్ వివరణ కోసం పరిష్కారం అంతరాయం కలిగిందని అర్థం.
మూడవదిగా, పరిమితిలో ఎక్కడికి వెళుతుందో గుర్తించడం మంచిది. పని చేతితో గీసినప్పుడు, ఈ విధంగా చేయడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది: 
నోట్స్ కోసం సాధారణ పెన్సిల్ ఉపయోగించడం మంచిది.
వాస్తవానికి, మీరు వీటిలో దేనినీ చేయవలసిన అవసరం లేదు, కానీ అప్పుడు, బహుశా, ఉపాధ్యాయుడు పరిష్కారంలో లోపాలను ఎత్తి చూపుతాడు లేదా అసైన్‌మెంట్ గురించి అదనపు ప్రశ్నలను అడగడం ప్రారంభిస్తాడు. మీకు ఇది అవసరమా?
ఉదాహరణ 2
పరిమితిని కనుగొనండి 
మళ్లీ న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో మనం అత్యధిక స్థాయిలో కనుగొంటాము: 
న్యూమరేటర్‌లో గరిష్ట డిగ్రీ: 3
హారంలో గరిష్ట డిగ్రీ: 4
ఎంచుకోండి గొప్పవిలువ, ఈ సందర్భంలో నాలుగు.
మా అల్గోరిథం ప్రకారం, అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి, మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా భాగిస్తాము.
పూర్తి అసైన్‌మెంట్ ఇలా ఉండవచ్చు:
న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా విభజించండి
ఉదాహరణ 3
పరిమితిని కనుగొనండి 
న్యూమరేటర్‌లో "X" గరిష్ట డిగ్రీ: 2
హారంలో "X" గరిష్ట డిగ్రీ: 1 (ఇలా వ్రాయవచ్చు)
అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా విభజించడం అవసరం. తుది పరిష్కారం ఇలా ఉండవచ్చు:
న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా విభజించండి
సంజ్ఞామానం అంటే సున్నా ద్వారా విభజించడం కాదు (మీరు సున్నాతో భాగించలేరు), కానీ అనంతమైన సంఖ్యతో భాగించడం.
అందువలన, జాతుల అనిశ్చితిని వెలికితీయడం ద్వారా, మనం చేయగలము చివరి సంఖ్య, సున్నా లేదా అనంతం.
వాటిని పరిష్కరించడానికి రకం మరియు పద్ధతి యొక్క అనిశ్చితితో పరిమితులు
పరిమితుల యొక్క తదుపరి సమూహం ఇప్పుడు పరిగణించబడిన పరిమితులకు కొంతవరకు సమానంగా ఉంటుంది: న్యూమరేటర్ మరియు హారం బహుపదాలను కలిగి ఉంటాయి, కానీ “x” ఇకపై అనంతం వైపు మొగ్గు చూపదు, కానీ పరిమిత సంఖ్య.
ఉదాహరణ 4
పరిమితిని పరిష్కరించండి 
ముందుగా, భిన్నంలో -1ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం: 
ఈ సందర్భంలో, అని పిలవబడే అనిశ్చితి పొందబడుతుంది.
సాధారణ నియమం: న్యూమరేటర్ మరియు హారం బహుపదాలను కలిగి ఉంటే మరియు ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితి ఉంటే, దానిని బహిర్గతం చేయండి మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం చేయాలి.
దీన్ని చేయడానికి, చాలా తరచుగా మీరు చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి మరియు/లేదా సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించాలి. ఈ విషయాలు మరచిపోయినట్లయితే, పేజీని సందర్శించండి గణిత సూత్రాలు మరియు పట్టికలుమరియు బోధనా సామగ్రిని చదవండి పాఠశాల గణిత కోర్సు కోసం హాట్ ఫార్ములాలు. మార్గం ద్వారా, దానిని ప్రింట్ చేయడం ఉత్తమం; ఇది చాలా తరచుగా అవసరం, మరియు సమాచారం కాగితం నుండి బాగా గ్రహించబడుతుంది.
కాబట్టి, మన పరిమితిని పరిష్కరించుకుందాం 
న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం
న్యూమరేటర్‌ను కారకం చేయడానికి, మీరు చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని పరిష్కరించాలి: 
మొదట మేము వివక్షను కనుగొంటాము:
మరియు దాని వర్గమూలం: .
వివక్షత ఎక్కువగా ఉంటే, ఉదాహరణకు 361, మేము కాలిక్యులేటర్‌ని ఉపయోగిస్తాము; వర్గమూలాన్ని సంగ్రహించే పని సరళమైన కాలిక్యులేటర్‌లో ఉంటుంది.
! మూలం పూర్తిగా సంగ్రహించబడకపోతే (కామాతో పాక్షిక సంఖ్య పొందబడుతుంది), వివక్షత తప్పుగా లెక్కించబడి ఉండవచ్చు లేదా టాస్క్‌లో అక్షర దోషం ఉండవచ్చు.
తరువాత మనం మూలాలను కనుగొంటాము: 
ఈ విధంగా:
అన్నీ. న్యూమరేటర్ కారకం చేయబడింది.
హారం. హారం ఇప్పటికే సరళమైన అంశం, మరియు దానిని సరళీకృతం చేయడానికి మార్గం లేదు.
సహజంగానే, దీనిని కుదించవచ్చు:
ఇప్పుడు మనం పరిమితి గుర్తు క్రింద మిగిలి ఉన్న వ్యక్తీకరణలో -1ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:
సహజంగానే, పరీక్ష, పరీక్ష లేదా పరీక్షలో, పరిష్కారం అంత వివరంగా వివరించబడదు. చివరి సంస్కరణలో, డిజైన్ ఇలా ఉండాలి:
న్యూమరేటర్‌ని ఫ్యాక్టరైజ్ చేద్దాం. 
ఉదాహరణ 5
పరిమితిని లెక్కించండి 
మొదట, పరిష్కారం యొక్క "ముగింపు" వెర్షన్
న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం చేద్దాం.
న్యూమరేటర్:
హారం: 
, 
ఈ ఉదాహరణలో ముఖ్యమైనది ఏమిటి?
ముందుగా, న్యూమరేటర్ ఎలా వెల్లడి చేయబడిందనే దానిపై మీకు మంచి అవగాహన ఉండాలి, ముందుగా మేము బ్రాకెట్లలో 2ని తీసివేసి, ఆపై చతురస్రాల వ్యత్యాసం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించాము. ఇది మీరు తెలుసుకోవలసిన మరియు చూడవలసిన సూత్రం.
సిఫార్సు: ఒక పరిమితిలో (దాదాపు ఏదైనా రకం) బ్రాకెట్ల నుండి సంఖ్యను తీయడం సాధ్యమైతే, మేము ఎల్లప్పుడూ దీన్ని చేస్తాము.
అంతేకాకుండా, అటువంటి సంఖ్యలను పరిమితి చిహ్నానికి మించి తరలించడం మంచిది. దేనికోసం? అవును, వారు దారిలోకి రాకుండా ఉండేందుకు. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే, పరిష్కారం సమయంలో ఈ సంఖ్యలను కోల్పోకూడదు.
దయచేసి పరిష్కారం యొక్క చివరి దశలో, నేను పరిమితి చిహ్నం నుండి రెండింటిని తీసివేసాను, ఆపై మైనస్.
! ముఖ్యమైనది
పరిష్కారం సమయంలో, రకం ఫ్రాగ్మెంట్ చాలా తరచుగా సంభవిస్తుంది. ఈ భిన్నాన్ని తగ్గించండిఅది నిషేధించబడింది
. ముందుగా మీరు న్యూమరేటర్ లేదా హారం యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చాలి (బ్రాకెట్ల నుండి -1ని ఉంచండి).
, అంటే, మైనస్ గుర్తు కనిపిస్తుంది, ఇది పరిమితిని లెక్కించేటప్పుడు పరిగణనలోకి తీసుకోబడుతుంది మరియు దానిని కోల్పోవలసిన అవసరం లేదు.
సాధారణంగా, ఈ రకమైన పరిమితులను కనుగొనడంలో చాలా తరచుగా మీరు రెండు వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించవలసి ఉంటుందని నేను గమనించాను, అనగా, న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ చతురస్రాకార త్రిపదాలను కలిగి ఉంటాయి.
సంయోగ వ్యక్తీకరణ ద్వారా న్యూమరేటర్ మరియు హారం గుణించే విధానం
మేము ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటాము
తదుపరి రకమైన పరిమితులు మునుపటి రకానికి సమానంగా ఉంటాయి. ఒకే విషయం, బహుపదాలతో పాటు, మేము మూలాలను జోడిస్తాము.
ఉదాహరణ 6
పరిమితిని కనుగొనండి 
నిర్ణయించడం ప్రారంభిద్దాం.
ముందుగా మనం పరిమితి గుర్తు కింద వ్యక్తీకరణలో 3ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము
నేను మరోసారి పునరావృతం చేస్తున్నాను - ఏదైనా పరిమితికి మీరు చేయవలసిన మొదటి పని ఇది. ఈ చర్య సాధారణంగా మానసికంగా లేదా డ్రాఫ్ట్ రూపంలో నిర్వహించబడుతుంది.
తొలగించాల్సిన రూపం యొక్క అనిశ్చితి పొందబడింది. 
మీరు బహుశా గమనించినట్లుగా, మా న్యూమరేటర్ మూలాల వ్యత్యాసాన్ని కలిగి ఉంటుంది. మరియు గణితంలో వీలైతే మూలాలను వదిలించుకోవడం ఆచారం. దేనికోసం? మరియు అవి లేకుండా జీవితం సులభం.
మేము ప్రాథమిక ప్రాథమిక విధులను కనుగొన్నాము.
మరింత సంక్లిష్టమైన రకానికి చెందిన ఫంక్షన్‌లకు వెళ్లినప్పుడు, అర్థం నిర్వచించబడని వ్యక్తీకరణల రూపాన్ని మేము ఖచ్చితంగా ఎదుర్కొంటాము. ఇటువంటి వ్యక్తీకరణలు అంటారు అనిశ్చితులు.
ప్రతిదీ జాబితా చేద్దాం అనిశ్చితి యొక్క ప్రధాన రకాలు: సున్నాతో భాగించబడిన సున్నా (0 ద్వారా 0), అనంతం అనంతంతో భాగించబడుతుంది, సున్నాని అనంతంతో గుణించబడుతుంది, అనంతం మైనస్ అనంతం, ఒకటి అనంతం యొక్క శక్తికి, సున్నాకి సున్నా యొక్క శక్తికి, అనంతం సున్నా యొక్క శక్తికి.
అనిశ్చితి యొక్క అన్ని ఇతర వ్యక్తీకరణలు పూర్తిగా నిర్దిష్టమైన పరిమిత లేదా అనంతమైన విలువను కలిగి ఉండవు.
అనిశ్చితిని వెలికితీయండిఅనుమతిస్తుంది:
- ఫంక్షన్ రకం యొక్క సరళీకరణ (సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణల రూపాంతరం, త్రికోణమితి సూత్రాలు, సంయోగ వ్యక్తీకరణల ద్వారా గుణకారం తర్వాత తగ్గింపు మొదలైనవి);
- విశేషమైన పరిమితుల ఉపయోగం;
- L'Hopital నియమం యొక్క అప్లికేషన్;
- దాని సమానమైన (సమానమైన ఇన్ఫినిటీసిమల్‌ల పట్టికను ఉపయోగించి) అనంతమైన వ్యక్తీకరణను భర్తీ చేయడం.
అనిశ్చితులను సమూహపరచుకుందాం అనిశ్చితి పట్టిక. ప్రతి రకమైన అనిశ్చితి కోసం మేము దాని బహిర్గతం కోసం ఒక పద్ధతిని అనుబంధిస్తాము (పరిమితిని కనుగొనే పద్ధతి).
ఈ పట్టిక, ప్రాథమిక ఎలిమెంటరీ ఫంక్షన్ల పరిమితుల పట్టికతో పాటు, ఏదైనా పరిమితులను కనుగొనడంలో మీ ప్రధాన సాధనంగా ఉంటుంది.
విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేసిన వెంటనే ప్రతిదీ పనిచేసినప్పుడు మరియు అనిశ్చితి తలెత్తనప్పుడు కొన్ని ఉదాహరణలను ఇద్దాం.
ఉదాహరణ.
పరిమితిని లెక్కించండి 
పరిష్కారం.
విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: 
మరియు మేము వెంటనే సమాధానం పొందాము.
సమాధానం:
ఉదాహరణ.
పరిమితిని లెక్కించండి 
పరిష్కారం.
మేము x=0 విలువను మా ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ పవర్ ఫంక్షన్ యొక్క ఆధారంలోకి మారుస్తాము: 
అంటే, పరిమితిని ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు 
ఇప్పుడు సూచికను పరిశీలిద్దాం. ఇది పవర్ ఫంక్షన్. ప్రతికూల ఘాతాంకంతో పవర్ ఫంక్షన్ల కోసం పరిమితుల పట్టికను ఆశ్రయిద్దాం. అక్కడ నుండి మనకు ఉంది 
మరియు 
, కాబట్టి, మనం వ్రాయవచ్చు 
.
దీని ఆధారంగా, మా పరిమితి ఇలా వ్రాయబడుతుంది: 
మేము మళ్లీ పరిమితుల పట్టికకు వెళ్తాము, కానీ ఒకటి కంటే ఎక్కువ బేస్ కలిగిన ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ల కోసం, మేము కలిగి ఉన్నాము:
సమాధానం:
వివరణాత్మక పరిష్కారాలతో ఉదాహరణలను చూద్దాం వ్యక్తీకరణలను మార్చడం ద్వారా అనిశ్చితులను వెలికితీయడం.
చాలా తరచుగా పరిమితి గుర్తు కింద వ్యక్తీకరణ అనిశ్చితులు వదిలించుకోవటం కొద్దిగా రూపాంతరం అవసరం.
ఉదాహరణ.
పరిమితిని లెక్కించండి
పరిష్కారం.
విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: 
మేము అనిశ్చితికి చేరుకున్నాము. పరిష్కార పద్ధతిని ఎంచుకోవడానికి మేము అనిశ్చితి పట్టికను చూస్తాము. వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం. 
సమాధానం:
ఉదాహరణ.
పరిమితిని లెక్కించండి 
పరిష్కారం.
విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: 
మేము అనిశ్చితికి వచ్చాము (0 నుండి 0). మేము పరిష్కార పద్ధతిని ఎంచుకోవడానికి అనిశ్చితి పట్టికను చూస్తాము మరియు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము. హారానికి సంయోగం అనే వ్యక్తీకరణ ద్వారా లవం మరియు హారం రెండింటినీ గుణిద్దాం.
హారం కోసం సంయోగ వ్యక్తీకరణ ఉంటుంది 
మేము సంక్షిప్త గుణకార సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడానికి హారంను గుణించాము - చతురస్రాల వ్యత్యాసం మరియు ఫలితంగా వ్యక్తీకరణను తగ్గించండి. 
పరివర్తనల శ్రేణి తరువాత, అనిశ్చితి అదృశ్యమైంది.
సమాధానం:
వ్యాఖ్య:ఈ రకమైన పరిమితుల కోసం, సంయోగ వ్యక్తీకరణల ద్వారా గుణించే పద్ధతి విలక్షణమైనది, కాబట్టి దీన్ని ఉపయోగించడానికి సంకోచించకండి.
ఉదాహరణ.
పరిమితిని లెక్కించండి 
పరిష్కారం.
విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: 
మేము అనిశ్చితికి చేరుకున్నాము. మేము పరిష్కార పద్ధతిని ఎంచుకోవడానికి అనిశ్చితి పట్టికను చూస్తాము మరియు వ్యక్తీకరణను సరళీకృతం చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము. న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ x = 1 వద్ద అదృశ్యమవుతాయి కాబట్టి, ఈ వ్యక్తీకరణలను తగ్గించగలిగితే (x-1) మరియు అనిశ్చితి అదృశ్యమవుతుంది.
న్యూమరేటర్‌ని ఫ్యాక్టరైజ్ చేద్దాం: 
హారంను కారకం చేద్దాం: 
మా పరిమితి రూపం తీసుకుంటుంది: 
పరివర్తన తర్వాత, అనిశ్చితి వెల్లడైంది.
సమాధానం:
శక్తి వ్యక్తీకరణల నుండి అనంతం వద్ద పరిమితులను పరిశీలిద్దాం. శక్తి వ్యక్తీకరణ యొక్క ఘాతాంకాలు సానుకూలంగా ఉంటే, అనంతం వద్ద పరిమితి అనంతం. అంతేకాకుండా, గొప్ప డిగ్రీ ప్రాథమిక ప్రాముఖ్యత కలిగి ఉంటుంది; మిగిలినవి విస్మరించబడతాయి.
ఉదాహరణ.
ఉదాహరణ.
పరిమితి గుర్తు కింద ఉన్న వ్యక్తీకరణ ఒక భిన్నం అయితే, మరియు న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ శక్తి వ్యక్తీకరణలు అయితే (m అనేది న్యూమరేటర్ యొక్క శక్తి మరియు n అనేది హారం యొక్క శక్తి), అప్పుడు రూపం యొక్క అనిశ్చితి అనంతం నుండి అనంతం వరకు ఉన్నప్పుడు పుడుతుంది, ఈ సందర్భంలో అనిశ్చితి వెల్లడైందిన్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ విభజించడం
ఉదాహరణ.
పరిమితిని లెక్కించండి 
ప్రాథమిక విధులు మరియు వాటి గ్రాఫ్‌లు.
ప్రధాన ప్రాథమిక విధులు: పవర్ ఫంక్షన్, ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్, లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్, త్రికోణమితి విధులు మరియు విలోమ త్రికోణమితి విధులు, అలాగే బహుపది మరియు హేతుబద్ధమైన ఫంక్షన్, ఇది రెండు బహుపదిల నిష్పత్తి.
ప్రాథమిక విధులు ప్రాథమిక నాలుగు అంకగణిత కార్యకలాపాలను వర్తింపజేయడం ద్వారా మరియు సంక్లిష్టమైన ఫంక్షన్‌ను రూపొందించడం ద్వారా ప్రాథమిక వాటి నుండి పొందిన విధులను కూడా కలిగి ఉంటాయి.
ప్రాథమిక విధుల గ్రాఫ్‌లు
| సరళ రేఖ- లీనియర్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y = గొడ్డలి + బి. y ఫంక్షన్ ఒక > 0కి మార్పు లేకుండా పెరుగుతుంది మరియు a కోసం తగ్గుతుంది< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) | |
| పరబోలా- క్వాడ్రాటిక్ ట్రినోమియల్ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ y = గొడ్డలి 2 + bx + c. ఇది సమరూపత యొక్క నిలువు అక్షాన్ని కలిగి ఉంటుంది. a > 0 అయితే, a అయితే కనిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения గొడ్డలి 2 + bx +c =0 | |
 | హైపర్బోలా- ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్. a > O అది I మరియు III క్వార్టర్స్‌లో ఉన్నప్పుడు, a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) లేదా y - - x(a< 0). |
 | ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్. ఎగ్జిబిటర్(ఎక్స్‌పోనెన్షియల్ ఫంక్షన్ టు బేస్ ఇ) y = ఇ x. (మరొక స్పెల్లింగ్ y = exp(x)) అసింప్టోట్ అనేది అబ్సిస్సా అక్షం. |
 | లాగరిథమిక్ ఫంక్షన్ y = లాగ్ ఎ x(a > 0) |
 | y = సింక్స్. సైన్ తరంగం- పీరియడ్ T = 2πతో ఆవర్తన ఫంక్షన్ |
ఫంక్షన్ పరిమితి.
y=f(x) ఫంక్షన్‌కు x ఒక పరిమితిగా A సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది, అయితే ఏదైనా సంఖ్య ε › 0 కోసం ఒక సంఖ్య δ › 0 ఉంటే | y – A | ‹ ε అయితే |x - a| ‹ δ,
లేదా లిమ్ y = A
ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు.
y=f(x) ఫంక్షన్ x = a పాయింట్ వద్ద నిరంతరంగా ఉంటుంది if lim f(x) = f(a), i.e.
x = a పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి ఇచ్చిన పాయింట్ వద్ద ఫంక్షన్ విలువకు సమానం.
ఫంక్షన్ల పరిమితులను కనుగొనడం.
ఫంక్షన్ల పరిమితులపై ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలు.
1. స్థిరమైన విలువ యొక్క పరిమితి ఈ స్థిరమైన విలువకు సమానం:
2. బీజగణిత మొత్తం యొక్క పరిమితి ఈ ఫంక్షన్ల పరిమితుల బీజగణిత మొత్తానికి సమానం:
lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h
3. అనేక ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క పరిమితి ఈ ఫంక్షన్ల పరిమితుల ఉత్పత్తికి సమానం:
lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h
4. హారం యొక్క పరిమితి 0కి సమానం కానట్లయితే, రెండు ఫంక్షన్ల పరిమితి ఈ ఫంక్షన్ల పరిమితుల భాగానికి సమానంగా ఉంటుంది:
లిమ్ ------- = ----------
మొదటి విశేషమైన పరిమితి: లిమ్ --------- = 1
రెండవ విశేషమైన పరిమితి: లిమ్ (1 + 1/x) x = ఇ (ఇ = 2, 718281..)
ఫంక్షన్ల పరిమితులను కనుగొనే ఉదాహరణలు.
5.1 ఉదాహరణ:
ఏదైనా పరిమితి మూడు భాగాలను కలిగి ఉంటుంది:
1) బాగా తెలిసిన పరిమితి చిహ్నం.
2) పరిమితి చిహ్నం కింద ఎంట్రీలు. ఎంట్రీ "X ఒకదానితో ఒకటి ఉంటుంది" అని చదవబడుతుంది. చాలా తరచుగా ఇది x, అయితే “x”కి బదులుగా ఏదైనా ఇతర వేరియబుల్ ఉండవచ్చు. ఒకదాని స్థానంలో ఖచ్చితంగా ఏదైనా సంఖ్య ఉండవచ్చు, అలాగే అనంతం 0 లేదా .
3) పరిమితి గుర్తు కింద విధులు, ఈ సందర్భంలో .
రికార్డింగ్ కూడా ఇలా చదువుతుంది: "x ఒక ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి ఐక్యతను కలిగి ఉంటుంది."
చాలా ముఖ్యమైన ప్రశ్న - “x” అనే పదానికి అర్థం ఏమిటి? కృషి చేస్తుందిఒకరికి"? వ్యక్తీకరణ "x" కృషి చేస్తుందిఒకరికి” ఈ క్రింది విధంగా అర్థం చేసుకోవాలి: “x” స్థిరంగా విలువలను తీసుకుంటుంది ఇది ఐక్యతను సమీపిస్తుంది మరియు ఆచరణాత్మకంగా దానితో సమానంగా ఉంటుంది.
పై ఉదాహరణను ఎలా పరిష్కరించాలి? పైన పేర్కొన్నదాని ఆధారంగా, మీరు పరిమితి గుర్తు క్రింద ఫంక్షన్‌లో ఒకదాన్ని భర్తీ చేయాలి:
కాబట్టి మొదటి నియమం : పరిమితి ఇచ్చినప్పుడు, మీరు ముందుగా నంబర్‌ను ఫంక్షన్‌లోకి ప్లగ్ చేయండి.
5.2 అనంతం తో ఉదాహరణ:
అది ఏమిటో తెలుసుకుందాం? పరిమితి లేకుండా పెరిగినప్పుడు ఇదే పరిస్థితి.
కాబట్టి: ఉంటే , తర్వాత ఫంక్షన్ మైనస్ అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది:
మా మొదటి నియమం ప్రకారం, "X"కి బదులుగా మేము ఫంక్షన్‌లో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము అనంతం మరియు మేము సమాధానం పొందుతాము.
5.3 అనంతంతో మరొక ఉదాహరణ:
మళ్ళీ మనం అనంతానికి పెరగడం ప్రారంభిస్తాము మరియు ఫంక్షన్ యొక్క ప్రవర్తనను చూడండి.
ముగింపు: ఫంక్షన్ అపరిమితంగా పెరుగుతుంది
5.4 ఉదాహరణల శ్రేణి:
కింది ఉదాహరణలను మానసికంగా విశ్లేషించడానికి ప్రయత్నించండి మరియు సరళమైన రకాల పరిమితులను పరిష్కరించండి:
, , , , 
, , , , 
,
పై నుండి మీరు ఏమి గుర్తుంచుకోవాలి మరియు అర్థం చేసుకోవాలి?
ఏదైనా పరిమితి ఇచ్చినప్పుడు, ముందుగా నంబర్‌ను ఫంక్షన్‌లోకి ప్లగ్ చేయండి. అదే సమయంలో, మీరు అర్థం చేసుకోవాలి మరియు వెంటనే సరళమైన పరిమితులను పరిష్కరించాలి , , మొదలైనవి
6. రకం యొక్క అనిశ్చితితో పరిమితులు మరియు వాటిని పరిష్కరించడానికి ఒక పద్ధతి.
ఇప్పుడు మనం పరిమితుల సమూహాన్ని ఎప్పుడు పరిగణిస్తాము మరియు ఫంక్షన్ అనేది ఒక భిన్నం, దీని లవం మరియు హారం బహుపదిలను కలిగి ఉంటాయి.
6.1 ఉదాహరణ:
పరిమితిని లెక్కించండి 
మా నియమం ప్రకారం, మేము ఫంక్షన్‌లోకి అనంతాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి ప్రయత్నిస్తాము. ఎగువన మనం ఏమి పొందుతాము? అనంతం. మరియు క్రింద ఏమి జరుగుతుంది? అలాగే అనంతం. అందువలన, మేము జాతుల అనిశ్చితి అని పిలుస్తారు. ఒకరు = 1 అని అనుకోవచ్చు, మరియు సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది, కానీ సాధారణ సందర్భంలో ఇది అస్సలు కాదు మరియు మీరు కొన్ని పరిష్కార సాంకేతికతను వర్తింపజేయాలి, దానిని మేము ఇప్పుడు పరిశీలిస్తాము.
ఈ రకమైన పరిమితులను ఎలా పరిష్కరించాలి?
మొదట మనం న్యూమరేటర్‌ని చూస్తాము మరియు అత్యధిక శక్తిని కనుగొంటాము: 
న్యూమరేటర్‌లో ప్రధాన శక్తి రెండు.
ఇప్పుడు మేము హారంని చూస్తాము మరియు దానిని అత్యధిక శక్తికి కూడా కనుగొంటాము: 
హారం యొక్క అత్యధిక డిగ్రీ రెండు.
అప్పుడు మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క అత్యధిక శక్తిని ఎంచుకుంటాము: ఈ ఉదాహరణలో, అవి ఒకే విధంగా ఉంటాయి మరియు రెండింటికి సమానంగా ఉంటాయి.
కాబట్టి, పరిష్కార పద్ధతి క్రింది విధంగా ఉంది: అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా విభజించాలి సీనియర్ డిగ్రీలో.
కాబట్టి, సమాధానం 1 కాదు.
ఉదాహరణ
పరిమితిని కనుగొనండి 
మళ్లీ న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో మనం అత్యధిక స్థాయిలో కనుగొంటాము:
న్యూమరేటర్‌లో గరిష్ట డిగ్రీ: 3
హారంలో గరిష్ట డిగ్రీ: 4
ఎంచుకోండి గొప్పవిలువ, ఈ సందర్భంలో నాలుగు.
మా అల్గోరిథం ప్రకారం, అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి, మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా భాగిస్తాము.
ఉదాహరణ
పరిమితిని కనుగొనండి 
న్యూమరేటర్‌లో "X" గరిష్ట డిగ్రీ: 2
హారంలో "X" గరిష్ట డిగ్రీ: 1 (ఇలా వ్రాయవచ్చు)
అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి, న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా విభజించడం అవసరం. తుది పరిష్కారం ఇలా ఉండవచ్చు:
న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా విభజించండి
మీరు న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం చేయాలి
ఇప్పుడు మనం పరిమితి గుర్తు క్రింద మిగిలి ఉన్న వ్యక్తీకరణలో -1ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:
ఉదాహరణ
పరిమితిని లెక్కించండి 
మొదట, పరిష్కారం యొక్క “ఓక్” వెర్షన్, x=2ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:
న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం చేద్దాం.
న్యూమరేటర్:
హారం: 
, 
పరిమితులను లెక్కించేటప్పుడు, మీరు పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి కింది ప్రాథమిక నియమాలు:
1. ఫంక్షన్ల మొత్తం (తేడా) పరిమితి నిబంధనల పరిమితుల మొత్తానికి (తేడా) సమానంగా ఉంటుంది:
2. ఫంక్షన్ల ఉత్పత్తి యొక్క పరిమితి కారకాల పరిమితుల ఉత్పత్తికి సమానం:
3. రెండు ఫంక్షన్ల నిష్పత్తి యొక్క పరిమితి ఈ ఫంక్షన్ల పరిమితుల నిష్పత్తికి సమానం:
.
4. స్థిరమైన కారకాన్ని పరిమితి గుర్తుకు మించి తీసుకోవచ్చు:
.
5. స్థిరాంకం యొక్క పరిమితి స్థిరాంకానికి సమానం:
6. నిరంతర ఫంక్షన్ల కోసం, పరిమితి మరియు ఫంక్షన్ చిహ్నాలను మార్చుకోవచ్చు:
.
ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని కనుగొనడం ఫంక్షన్ కోసం వ్యక్తీకరణలో విలువను భర్తీ చేయడం ద్వారా ప్రారంభించాలి. అంతేకాకుండా, సంఖ్యా విలువ 0 లేదా ¥ పొందినట్లయితే, కావలసిన పరిమితి కనుగొనబడింది.
ఉదాహరణ 2.1.పరిమితిని లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
.
రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణలు , , , , అంటారు అనిశ్చితులు.
మీరు ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితిని పొందినట్లయితే, పరిమితిని కనుగొనడానికి మీరు ఈ అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి ఫంక్షన్‌ను మార్చాలి.
రెండు బహుపదిల నిష్పత్తి యొక్క పరిమితిని ఇచ్చినప్పుడు రూపం యొక్క అనిశ్చితి సాధారణంగా పొందబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, పరిమితిని లెక్కించడానికి, బహుపదిలను కారకం చేయడానికి మరియు వాటిని సాధారణ కారకం ద్వారా తగ్గించడానికి సిఫార్సు చేయబడింది. ఈ గుణకం పరిమితి విలువ వద్ద సున్నా X .
ఉదాహరణ 2.2.పరిమితిని లెక్కించండి.
పరిష్కారం.
ప్రత్యామ్నాయం , మేము అనిశ్చితిని పొందుతాము:
.
న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం చేద్దాం:
;
ఒక సాధారణ కారకం ద్వారా తగ్గించండి మరియు పొందండి
రెండు బహుపదాల నిష్పత్తి యొక్క పరిమితిని వద్ద ఇచ్చినప్పుడు రూపం యొక్క అనిశ్చితి పొందబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, దానిని లెక్కించేందుకు, రెండు బహుపదిలను విభజించాలని సిఫార్సు చేయబడింది X సీనియర్ డిగ్రీలో.
ఉదాహరణ 2.3.పరిమితిని లెక్కించండి.
పరిష్కారం.∞ని ప్రత్యామ్నాయం చేసినప్పుడు, మేము ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితిని పొందుతాము, కాబట్టి మేము వ్యక్తీకరణ యొక్క అన్ని నిబంధనలను దీని ద్వారా విభజిస్తాము x 3.
.
అనేది ఇక్కడ పరిగణనలోకి తీసుకోబడింది.
మూలాలను కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితులను లెక్కించేటప్పుడు, ఫంక్షన్‌ను దాని సంయోగం ద్వారా గుణించడం మరియు విభజించడం సిఫార్సు చేయబడింది.
ఉదాహరణ 2.4.పరిమితిని లెక్కించండి
పరిష్కారం.
ఫారమ్ లేదా (1) ∞ యొక్క అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి పరిమితులను లెక్కించేటప్పుడు, మొదటి మరియు రెండవ విశేషమైన పరిమితులు తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి:
కొంత పరిమాణం యొక్క నిరంతర పెరుగుదలతో సంబంధం ఉన్న అనేక సమస్యలు రెండవ గొప్ప పరిమితికి దారితీస్తాయి.
సంఖ్య యొక్క వివరణను ఇస్తూ Ya. I. పెరెల్మాన్ యొక్క ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం ఇచక్రవడ్డీ సమస్యలో. పొదుపు బ్యాంకులలో, వడ్డీ డబ్బు ఏటా స్థిర మూలధనానికి జోడించబడుతుంది. ప్రవేశం తరచుగా జరిగితే, పెద్ద మొత్తంలో వడ్డీ ఏర్పడటం వలన మూలధనం వేగంగా పెరుగుతుంది. పూర్తిగా సైద్ధాంతిక, చాలా సరళమైన ఉదాహరణను తీసుకుందాం.
100 మంది నిరాకరించిన వారిని బ్యాంకులో డిపాజిట్ చేయనివ్వండి. యూనిట్లు సంవత్సరానికి 100% ఆధారంగా. ఒక సంవత్సరం తర్వాత మాత్రమే వడ్డీ డబ్బును స్థిర మూలధనానికి జోడించినట్లయితే, ఈ కాలానికి 100 డెన్. యూనిట్లు 200 ద్రవ్య యూనిట్లుగా మారుతుంది.
ఇప్పుడు 100 డెనైజ్ ఎలా మారుతుందో చూద్దాం. యూనిట్లు, వడ్డీ డబ్బు ప్రతి ఆరు నెలలకు స్థిర మూలధనానికి జోడించబడితే. ఆరు నెలల తర్వాత, 100 డెన్. యూనిట్లు 100 × 1.5 = 150, మరియు మరో ఆరు నెలల తర్వాత - 150 × 1.5 = 225 (డెన్. యూనిట్లు) పెరుగుతుంది. ప్రవేశం సంవత్సరంలో ప్రతి 1/3 జరిగితే, ఒక సంవత్సరం తర్వాత 100 డెన్. యూనిట్లు 100 × (1 +1/3) 3 "237 (డెన్. యూనిట్లు)గా మారుతుంది.
మేము వడ్డీ డబ్బును 0.1 సంవత్సరానికి, 0.01 సంవత్సరానికి, 0.001 సంవత్సరానికి, మొదలైన వాటికి జోడించే నిబంధనలను పెంచుతాము. అప్పుడు 100 డెన్ నుండి. యూనిట్లు ఒక సంవత్సరం తర్వాత ఇది ఉంటుంది:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (డెన్. యూనిట్లు),
100 × (1+1/100) 100 »270 (డెన్. యూనిట్లు),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (డెన్. యూనిట్లు).
వడ్డీని జోడించే నిబంధనలలో అపరిమిత తగ్గింపుతో, సంచిత మూలధనం నిరవధికంగా పెరగదు, కానీ సుమారుగా 271కి సమానమైన నిర్దిష్ట పరిమితిని చేరుకుంటుంది. సంవత్సరానికి 100% చొప్పున డిపాజిట్ చేయబడిన మూలధనం 2.71 రెట్లు ఎక్కువ పెరగదు, వడ్డీ పెరిగినప్పటికీ. ఎందుకంటే ప్రతి ఒక్క సెకను రాజధానికి జోడించబడ్డాయి
ఉదాహరణ 2.5.ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని లెక్కించండి
పరిష్కారం.
ఉదాహరణ 2.6.ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని లెక్కించండి 
.
పరిష్కారం.ప్రత్యామ్నాయంగా మేము అనిశ్చితిని పొందుతాము:
.
త్రికోణమితి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము న్యూమరేటర్‌ను ఉత్పత్తిగా మారుస్తాము:
ఫలితంగా మనకు లభిస్తుంది
ఇక్కడ రెండవ గొప్ప పరిమితి పరిగణనలోకి తీసుకోబడింది.
ఉదాహరణ 2.7.ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని లెక్కించండి
పరిష్కారం.
.
ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితిని బహిర్గతం చేయడానికి లేదా, మీరు L'Hopital యొక్క నియమాన్ని ఉపయోగించవచ్చు, ఇది క్రింది సిద్ధాంతంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
సిద్ధాంతం.రెండు అనంతమైన లేదా అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్ల నిష్పత్తి యొక్క పరిమితి వాటి ఉత్పన్నాల నిష్పత్తి పరిమితికి సమానం
ఈ నియమం వరుసగా అనేక సార్లు వర్తించవచ్చని గమనించండి.
ఉదాహరణ 2.8.కనుగొనండి
పరిష్కారం.ప్రత్యామ్నాయం చేసేటప్పుడు, మనకు ఫారమ్ యొక్క అనిశ్చితి ఉంటుంది. L'Hopital యొక్క నియమాన్ని వర్తింపజేయడం, మేము పొందుతాము
ఫంక్షన్ యొక్క కొనసాగింపు
ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ముఖ్యమైన లక్షణం కొనసాగింపు.
నిర్వచనం.ఫంక్షన్ పరిగణించబడుతుంది నిరంతర, ఆర్గ్యుమెంట్ విలువలో చిన్న మార్పు ఫంక్షన్ విలువలో చిన్న మార్పును కలిగిస్తుంది.
గణితశాస్త్రపరంగా ఇది క్రింది విధంగా వ్రాయబడింది: ఎప్పుడు 
ద్వారా మరియు వేరియబుల్స్ ఇంక్రిమెంట్ అంటే, తదుపరి మరియు మునుపటి విలువల మధ్య వ్యత్యాసం: , (Figure 2.3)
 మూర్తి 2.3 - వేరియబుల్స్ పెంపు |
పాయింట్ వద్ద ఒక ఫంక్షన్ నిరంతర నిర్వచనం నుండి అది అనుసరిస్తుంది 
. ఈ సమానత్వం అంటే మూడు షరతులు నెరవేరుతాయి: 
పరిష్కారం.ఫంక్షన్ కోసం నిలిపివేయడం కోసం పాయింట్ అనుమానాస్పదంగా ఉంది, దీన్ని తనిఖీ చేసి, ఏకపక్ష పరిమితులను కనుగొనండి
అందుకే, 
, అంటే - బ్రేక్ పాయింట్
ఒక ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పన్నం